Droites et coefficient directeur : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices sans calculatrice, comme à l'épreuve anticipée : reconnaître une fonction affine ou linéaire, tracer une droite, lire son équation réduite, calculer un coefficient directeur à partir de deux points. Un rappel de cours de trois lignes avant chaque niveau, et une correction qui dessine l'escalier du coefficient directeur.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. Sans calculatrice.

Rappel de cours

Une fonction affine s'écrit $f (x) = a x +$ $b$ : sa courbe est une DROITE. Si $b =$ $0$ , elle est linéaire, et sa droite passe par l'origine.
$b$ , l'ordonnée à l'origine, se lit là où la droite coupe l'axe vertical.
$a$ , le coefficient directeur : quand on avance de $1$ , la droite monte de $a$ (elle descend si $a <$ $0$ ).
Avec deux points : $a =$ $\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ , dans le même ordre en haut et en bas.

1
Parmi ces fonctions, lesquelles sont affines ? lesquelles sont linéaires ? $f (x) = 3 x -$ $2$ ; $g (x) =$ $- 5 x$ ; $h (x) = x^{2} +$ $1$ ; $k (x) =$ $\frac{1}{x}$ ; $l (x) =$ $7$ ; $u (x) = \frac{x}{2} +$ $4$ .
Voir la correction
Affine : de la forme $a x +$ $b$ , sans carré et sans $x$ au dénominateur. $f$ est affine ( $a =$ $3$ , $b =$ $- 2$ ). $g$ est affine ET linéaire ( $b =$ $0$ ). $u (x) = \frac{x}{2} + 4 = 0, 5 x + 4$ est affine. $l (x) = 7$ est affine aussi, avec $a =$ $0$ : sa droite est horizontale. $h$ (un carré) et $k$ ( $x$ au dénominateur) ne sont pas affines : leurs courbes ne sont pas des droites. ⚠️ $\frac{x}{2}$ est affine, $\frac{1}{x}$ ne l'est pas : tout dépend de la place du $x$ .
2
Une fonction linéaire $f$ vérifie $f (4) =$ $10$ . Donner son expression, puis calculer $f (6)$ .
Voir la correction
Linéaire : $f (x) =$ $a x$ . Donc $f (4) = 4 a =$ $10$ , et $a = \frac{10}{4} =$ $2, 5$ . $f (x) =$ $2, 5 x$ , et $f (6) = 2, 5 \times 6 =$ $15$ . ⭐ Une fonction linéaire traduit la PROPORTIONNALITÉ : $4 \to$ $10$ , donc $6 \to$ $15$ , comme dans un tableau de proportionnalité. ⚠️ Ce raisonnement ne marche pas pour une fonction affine avec $b \neq =$ $0$ .
3
Tracer la droite d'équation $y = 2 x -$ $1$ .
Voir la correction
On place l'ordonnée à l'origine : le point $(0; - 1)$ . Depuis ce point, on avance de $1$ et on monte de $2$ , le coefficient directeur : on arrive en $(1; 1)$ . On trace la droite qui passe par ces deux points. ✔️ Un troisième point pour vérifier : pour $x =$ $3$ , $y = 2 \times 3 - 1 =$ $5$ . Le point $(3; 5)$ est bien sur la droite. ⚠️ On avance de $1$ PUIS on monte de $2$ : pas l'inverse.
4
Tracer la droite qui passe par $A (1; 3)$ et qui a pour coefficient directeur $- 2$ . Donner son équation réduite.
Voir la correction
On place $A (1; 3)$ . Coefficient directeur $- 2$ : on avance de $1$ et on DESCEND de $2$ . On arrive en $(2; 1)$ . On trace la droite qui passe par ces deux points. Son équation est $y = - 2 x +$ $b$ , et elle passe par $A$ : $3 = - 2 \times 1 +$ $b$ , donc $b =$ $5$ . C'est $y = - 2 x +$ $5$ . ✔️ Sur le dessin, la droite coupe bien l'axe vertical en $5$ . ⚠️ Un coefficient directeur négatif fait DESCENDRE la droite.
5
Lire l'équation réduite de la droite tracée.
Voir la correction
$b$ se lit à l'intersection avec l'axe vertical : $b =$ $- 1$ . Pour $a$ , on cherche deux points sur les nœuds de la grille. De $(0; - 1)$ à $(2; 2)$ , on avance de $2$ et on monte de $3$ : $a = \frac{3}{2} =$ $1, 5$ . La droite a pour équation $y = 1, 5 x -$ $1$ . ⭐ Quand la pente n'est pas entière, on avance de plusieurs carreaux, jusqu'à retomber sur un nœud de la grille. ⚠️ Ne pas échanger $a$ et $b$ : $y = - x + 1, 5$ serait une tout autre droite.
6
Calculer le coefficient directeur de la droite $(A B)$ , avec $A (- 1; 2)$ et $B (- 3; 4)$ .
Voir la correction
$a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{4 - 2}{- 3 - ( - 1 )} = \frac{2}{- 2} =$ $- 1$ . ⚠️ Le piège : $- 3 - (- 1) = - 3 + 1 =$ $- 2$ , et non $- 4$ . ✔️ Sur le dessin : de $B$ vers $A$ , on avance de $2$ et on descend de $2$ . La droite descend : $a$ est bien négatif. ⭐ C'est une question du sujet de Métropole, juin 2026.
7
On donne $A (2; 1)$ et $B (6; 3)$ . Calculer le coefficient directeur de la droite $(A B)$ , puis son équation réduite.
Voir la correction
$a = \frac{3 - 1}{6 - 2} = \frac{2}{4} =$ $0, 5$ . La droite $y = 0, 5 x + b$ passe par $A$ : $1 = 0, 5 \times 2 +$ $b$ , soit $1 = 1 +$ $b$ , donc $b =$ $0$ . L'équation est $y =$ $0, 5 x$ : la droite passe par l'origine, la fonction est linéaire. ✔️ Avec $B$ : $0, 5 \times 6 =$ $3$ .
8
Associer chaque droite à son équation : $y =$ $2 x$ ; $y = - x +$ $3$ ; $y =$ $3$ .
Voir la correction
La verte est horizontale : $a =$ $0$ , c'est $y =$ $3$ . La bleue passe par l'origine et monte de $2$ quand on avance de $1$ : c'est $y =$ $2 x$ , une fonction linéaire. L'orange descend et coupe l'axe vertical en $3$ : c'est $y = - x +$ $3$ . ⭐ Trois questions suffisent : la droite monte-t-elle ou descend-elle ? Passe-t-elle par l'origine ? Où coupe-t-elle l'axe vertical ? ⚠️ $y = 3$ et $y = - x + 3$ coupent l'axe vertical au même point : c'est le signe de $a$ qui les distingue.

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Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Traduire la situation par une droite, puis répondre avec l'unité. Sans calculatrice.

Rappel de cours

Dans un problème, $b$ est souvent un montant FIXE (abonnement, prise en charge) ; $a$ , un montant PAR unité (par heure, par km, par an).
Deux points suffisent pour tracer une droite ; un troisième sert à vérifier.
$a =$ $\frac{variation de y}{variation de x}$ : c'est une vitesse, avec une unité (euros par heure, km par an…).

9Deux taxis
Un premier taxi facture $3$ € de prise en charge, puis $1$ € par km. Un second ne facture rien au départ, mais $2$ € par km (chiffres d'un modèle). a) Écrire les prix $T_{1} (x)$ et $T_{2} (x)$ pour $x$ km. Laquelle de ces fonctions est linéaire ? b) Expliquer comment tracer les deux droites. c) Pour quelles distances le second taxi est-il le moins cher ?
Voir la correction
a) $T_{1} (x) = x +$ $3$ : affine, $3$ € fixes plus $1$ € par km. $T_{2} (x) =$ $2 x$ : linéaire, le prix est proportionnel à la distance. b) $T_{1}$ : on part de $(0; 3)$ , on avance de $1$ , on monte de $1$ . $T_{2}$ : on part de l'origine, on avance de $1$ , on monte de $2$ . c) Les droites se croisent en $(3; 6)$ : pour $3$ km, les deux taxis coûtent $6$ €. Avant $3$ km, la droite de $T_{2}$ est en dessous : le second taxi est moins cher. Après, c'est le premier. ✔️ $T_{1} (3) = 3 + 3 = 6$ et $T_{2} (3) = 2 \times 3 =$ $6$ . ⚠️ On répond par des DISTANCES : « moins de $3$ km », pas « moins de $6$ € ».
10La location de kayaks
La droite donne le prix d'une location de kayak, en euros, en fonction du nombre d'heures. a) Lire l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur. Que signifient-ils ? b) En déduire l'équation réduite. c) Combien coûte une location de $8$ heures ?
Voir la correction
a) La droite coupe l'axe vertical en $3$ : $b =$ $3$ , les $3$ € payés au départ, même pour $0$ heure. Quand on avance d'une heure, elle monte de $2$ : $a =$ $2$ , soit $2$ € par heure. b) $y = 2 x +$ $3$ . c) $2 \times 8 + 3 = 19$ € : hors du dessin, l'équation prend le relais. ⭐ Connaître l'équation d'une droite, c'est pouvoir calculer au-delà du graphique.
11Un glacier qui recule
Dans ce modèle, un glacier des Alpes mesurait $6$ km de long en 1980 et $4, 5$ km en 2010. On suppose que sa longueur diminue de façon affine. a) Calculer le coefficient directeur, en km par an. b) Donner l'équation réduite, avec $x$ le nombre d'années depuis 1980. c) Quelle longueur ce modèle prévoit-il pour 2030 ?
Voir la correction
a) $a = \frac{4 , 5 - 6}{2010 - 1980} = \frac{- 1 , 5}{30} =$ $- 0, 05$ : le glacier perd $0, 05$ km, soit $50$ m, par an. b) En 1980, $x = 0$ et la longueur vaut $6$ : $b =$ $6$ . Donc $L (x) = - 0, 05 x +$ $6$ . c) 2030, c'est $x =$ $50$ : $- 0, 05 \times 50 + 6 = - 2, 5 + 6 = 3, 5$ km. Sur le dessin, une unité horizontale vaut dix ans : la droite perd $0, 5$ km par décennie. ⚠️ Le coefficient directeur a une UNITÉ : ici, des kilomètres par an. ⭐ Prolonger une droite, c'est supposer que la tendance continue : une hypothèse, pas une certitude.
12Une étape du Tour de France
Pendant une étape, un coureur roule à vitesse constante (chiffres d'un modèle). À $9$ h, il a parcouru $20$ km ; à $11$ h, $60$ km. a) Calculer le coefficient directeur de la droite « distance en fonction de l'heure ». Que représente-t-il ? b) Quelle distance a-t-il parcourue à $10$ h ? c) À quelle heure est-il parti ?
Voir la correction
a) $a = \frac{60 - 20}{11 - 9} = \frac{40}{2} =$ $20$ : $20$ km par heure, c'est sa VITESSE. b) À $10$ h, une heure après $9$ h : $20 + 20 = 40$ km. c) Il avait fait $20$ km à $9$ h, à $20$ km par heure : une heure plus tôt, à $8$ h, il était à $0$ km. Il est parti à $8$ h. ⚠️ Même ordre en haut et en bas : $60 - 20$ sur $11 -$ $9$ .
13La facture d'électricité
Le tableau donne le montant d'une facture d'électricité, en euros, selon la consommation, en centaines de kWh (chiffres d'un modèle). a) La facture est-elle une fonction affine de la consommation ? Justifier. b) Donner son expression. Que représentent les deux nombres ? c) La facture est-elle proportionnelle à la consommation ?
consommation (centaines de kWh) 0 1 2 3
facture (€) 12 37 62 87
Voir la correction
a) Quand la consommation augmente de $1$ , la facture augmente toujours de $25$ € : $37 - 12 = 62 - 37 = 87 - 62 =$ $25$ . Des hausses égales : la fonction est affine. b) $f (x) = 25 x +$ $12$ : $12$ € d'abonnement, payés même sans rien consommer, et $25$ € par centaine de kWh. c) Non : pour $0$ kWh, on paie $12$ €, pas $0$ . Doubler la consommation ne double pas la facture : $f (2) =$ $62$ , et non $2 \times 37 =$ $74$ . ⚠️ Affine n'est pas proportionnel : il faut $b = 0$ pour être linéaire.
14Une citerne agricole
La droite donne le volume d'eau d'une citerne agricole, en m³, en fonction du nombre de jours sans pluie (chiffres d'un modèle). a) Lire l'équation réduite de la droite. b) Au bout de combien de jours la citerne est-elle vide ? c) Que signifie le signe du coefficient directeur ?
Voir la correction
a) La droite coupe l'axe vertical en $9$ : $b =$ $9$ . De $(0; 9)$ à $(2; 6)$ , on avance de $2$ et on descend de $3$ : $a = \frac{- 3}{2} =$ $- 1, 5$ . Équation : $y = - 1, 5 x +$ $9$ . b) La droite coupe l'axe horizontal en $6$ : la citerne est vide au bout de $6$ jours. Calcul : $- 1, 5 \times 6 + 9 =$ $0$ . ✔️ c) $a = - 1, 5 <$ $0$ : la citerne PERD $1, 5$ m³ par jour. ⚠️ La droite descend, donc le coefficient directeur est négatif. Oublier le signe moins, c'est faire monter l'eau.
15Le prix d'une maison
Dans un village, une maison valait $120000$ € en 2015 et $150000$ € en 2021 (chiffres d'un modèle). On suppose une évolution affine. a) Calculer le coefficient directeur, en euros par an. b) Quel prix ce modèle donne-t-il pour 2018 ? pour 2025 ?
Voir la correction
a) $a = \frac{150 000 - 120 000}{2021 - 2015} = \frac{30 000}{6} =$ $5000$ : le prix monte de $5000$ € par an. b) 2018 : $120000 + 3 \times 5000 = 135000$ €. 2025 : $150000 + 4 \times 5000 = 170000$ €. ⭐ Une évolution affine ajoute la MÊME somme chaque année ; une évolution en pourcentage, non. ⚠️ Calculer $150000 - 120000$ ne suffit pas : il faut encore diviser par le nombre d'années.
année 2015 2018 2021 2025
prix (€) 120 000 135 000 150 000 170 000
16Une ville qui grandit
Une ville compte $4000$ habitants en 2020 et gagne $500$ habitants par an (chiffres d'un modèle). a) Écrire sa population $P (x)$ , en milliers, $x$ années après 2020. b) Pour tracer la droite, quel point placer d'abord ? Comment dessiner la pente ? c) En quelle année la ville atteint-elle $7000$ habitants ?
Voir la correction
a) $P (x) = 0, 5 x +$ $4$ , en milliers : $4$ au départ, $+ 0, 5$ par an. b) On place $(0; 4)$ . Avancer d'un an et monter de $0, 5$ , c'est un demi-carreau : difficile à tracer. On avance plutôt de $2$ ans et on monte de $1$ : on arrive en $(2; 5)$ . c) $0, 5 x + 4 = 7$ donne $0, 5 x =$ $3$ , donc $x =$ $6$ : en 2026. ⭐ Pour tracer une pente de $0, 5$ , on double tout : $2$ en avant, $1$ en haut.

consommation (centaines de kWh)	0	1	2	3
facture (€)	12	37	62	87

année	2015	2018	2021	2025
prix (€)	120 000	135 000	150 000	170 000

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Un problème complet, avec ses questions qui s'enchaînent. Sans calculatrice.

Rappel de cours

Équation de la droite qui passe par $A$ et $B$ : d'abord $a =$ $\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ , puis $b$ en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ .
On dit ce que représentent $a$ (une vitesse, un prix par unité) et $b$ (une valeur de départ, un montant fixe).
Là où deux droites se croisent, les deux grandeurs sont égales : on lit l'ABSCISSE du point.

17Le seuil de rentabilité d'un food-truck
Un food-truck vend des repas. En bleu, sa recette $R$ ; en orange, ses coûts $C$ ; en centaines d'euros, pour $x$ dizaines de repas par jour (chiffres d'un modèle). a) Lire l'équation réduite de chaque droite. Laquelle représente une fonction linéaire ? b) Que représentent les nombres $4$ et $1$ de l'équation des coûts ? c) Pour combien de repas la recette couvre-t-elle exactement les coûts ? d) Écrire le bénéfice $B (x) = R (x) -$ $C (x)$ . Est-ce une fonction affine ?
Voir la correction
a) Bleue : elle passe par l'origine et monte de $2$ par unité : $R (x) =$ $2 x$ , une fonction linéaire. Orange : elle coupe l'axe vertical en $4$ et monte de $1$ : $C (x) = x +$ $4$ . b) $4$ centaines d'euros de frais fixes par jour (emplacement, camion), payés même sans rien vendre ; puis $1$ centaine d'euros par dizaine de repas, soit $10$ € par repas. c) Les droites se croisent en $(4; 8)$ : pour $40$ repas, recette et coûts valent $800$ €. d) $B (x) = 2 x - (x + 4) = x -$ $4$ : affine, avec $a = 1$ et $b =$ $- 4$ . Le bénéfice est négatif avant $40$ repas, positif après. ⭐ Le prix de vente se lit aussi : $R (x) =$ $2 x$ , soit $2$ centaines d'euros par dizaine de repas, $20$ € le repas. ⚠️ Attention aux unités : $x =$ $4$ , ce sont $40$ repas ; $8$ en ordonnée, ce sont $800$ €.
18La montée des eaux
Dans ce modèle, le niveau moyen de la mer dans un port vaut $0$ cm en 1990 (niveau de référence) et $6$ cm en 2020 ; on suppose une montée affine. a) Calculer le coefficient directeur, en cm par an, puis en cm par décennie. b) Donner l'équation réduite, avec $x$ en décennies depuis 1990. c) Comment tracer la droite ? d) Si la tendance continuait, en quelle année le niveau atteindrait-il $10$ cm ?
Voir la correction
a) $a = \frac{6 - 0}{2020 - 1990} = \frac{6}{30} = 0, 2$ cm par an, soit $0, 2 \times 10 = 2$ cm par décennie. b) En décennies, $a =$ $2$ ; en 1990 ( $x =$ $0$ ), le niveau vaut $0$ , donc $b =$ $0$ . L'équation est $y =$ $2 x$ : une fonction linéaire. c) On part de l'origine ; on avance d'une décennie et on monte de $2$ cm. d) $2 x = 10$ donne $x =$ $5$ : cinq décennies après 1990, en 2040. ⚠️ Le coefficient directeur dépend de l'unité choisie en abscisse : $0, 2$ par an, c'est $2$ par décennie. ⭐ Un modèle affine suppose une montée régulière ; si elle s'accélère, la droite sous-estime l'avenir.
19La croissance d'un plant de maïs
Un agriculteur mesure un plant de maïs : $20$ cm au jour $10$ , $50$ cm au jour $20$ , $90$ cm au jour $30$ (chiffres d'un modèle). a) Calculer la vitesse de croissance entre les jours $10$ et $20$ , puis entre les jours $20$ et $30$ . b) La hauteur est-elle une fonction affine du temps ? c) Un modèle affine construit sur les jours $10$ et $20$ prévoirait quelle hauteur au jour $30$ ?
Voir la correction
a) Entre les jours $10$ et $20$ : $\frac{50 - 20}{20 - 10} = \frac{30}{10} = 3$ cm par jour. Entre les jours $20$ et $30$ : $\frac{90 - 50}{30 - 20} = \frac{40}{10} = 4$ cm par jour. b) Les deux coefficients directeurs sont différents : les trois points ne sont pas alignés, la hauteur n'est pas une fonction affine du temps. La croissance accélère. c) Le modèle affine ajoute $3$ cm par jour : $50 + 3 \times 10 = 80$ cm, au lieu des $90$ cm mesurés. ⚠️ Deux points donnent toujours une droite : c'est le troisième qui dit si le modèle affine tient. ⭐ Sur le dessin (une unité $= 10$ jours en abscisse, $10$ cm en ordonnée), la ligne bleue se redresse et quitte la droite orange.
20La carte de réduction
Une carte de réduction de train coûte $40$ € par an, et chaque trajet coûte alors $10$ €. Sans carte, un trajet coûte $15$ € (chiffres d'un modèle). a) Exprimer le coût annuel $A (x)$ avec la carte et $S (x)$ sans carte, pour $x$ trajets. Laquelle de ces fonctions est linéaire ? b) En dizaines d'euros, donner pour chaque droite l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur. c) La droite de $A$ passe par $(2; 60)$ et $(6; 100)$ , en euros. Retrouver son coefficient directeur à partir de ces deux points. d) À partir de combien de trajets la carte est-elle rentable ?
Voir la correction
a) $A (x) = 10 x +$ $40$ : $40$ € fixes et $10$ € par trajet. $S (x) =$ $15 x$ : linéaire, le prix est proportionnel au nombre de trajets. b) En dizaines d'euros, la droite de $A$ coupe l'axe vertical en $4$ et monte de $1$ par trajet ; celle de $S$ part de l'origine et monte de $1, 5$ par trajet. c) $\frac{100 - 60}{6 - 2} = \frac{40}{4} = 10$ € par trajet : c'est bien le prix d'un trajet avec la carte. ✔️ Et $10 \times 2 + 40 =$ $60$ . d) $10 x + 40 = 15 x$ donne $5 x =$ $40$ , donc $x =$ $8$ : pour $8$ trajets, les deux formules coûtent $120$ €. Au-delà de $8$ trajets, la droite de $A$ passe sous celle de $S$ : la carte est rentable. ⚠️ Le point de croisement se lit en ABSCISSE : $8$ trajets, pas $12$ dizaines d'euros. ⭐ Un coût fixe contre une économie à chaque usage : c'est le calcul de toute carte d'abonnement.

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Corrigés : droites et coefficient directeur, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. Affine : de la forme $a x +$ $b$ , sans carré et sans $x$ au dénominateur. $f$ est affine ( $a =$ $3$ , $b =$ $- 2$ ). $g$ est affine ET linéaire ( $b =$ $0$ ). $u (x) = \frac{x}{2} + 4 = 0, 5 x + 4$ est affine. $l (x) = 7$ est affine aussi, avec $a =$ $0$ : sa droite est horizontale. $h$ (un carré) et $k$ ( $x$ au dénominateur) ne sont pas affines : leurs courbes ne sont pas des droites. ⚠️ $\frac{x}{2}$ est affine, $\frac{1}{x}$ ne l'est pas : tout dépend de la place du $x$ .
2. Linéaire : $f (x) =$ $a x$ . Donc $f (4) = 4 a =$ $10$ , et $a = \frac{10}{4} =$ $2, 5$ . $f (x) =$ $2, 5 x$ , et $f (6) = 2, 5 \times 6 =$ $15$ . ⭐ Une fonction linéaire traduit la PROPORTIONNALITÉ : $4 \to$ $10$ , donc $6 \to$ $15$ , comme dans un tableau de proportionnalité. ⚠️ Ce raisonnement ne marche pas pour une fonction affine avec $b \neq =$ $0$ .
3. On place l'ordonnée à l'origine : le point $(0; - 1)$ . Depuis ce point, on avance de $1$ et on monte de $2$ , le coefficient directeur : on arrive en $(1; 1)$ . On trace la droite qui passe par ces deux points. ✔️ Un troisième point pour vérifier : pour $x =$ $3$ , $y = 2 \times 3 - 1 =$ $5$ . Le point $(3; 5)$ est bien sur la droite. ⚠️ On avance de $1$ PUIS on monte de $2$ : pas l'inverse.
4. On place $A (1; 3)$ . Coefficient directeur $- 2$ : on avance de $1$ et on DESCEND de $2$ . On arrive en $(2; 1)$ . On trace la droite qui passe par ces deux points. Son équation est $y = - 2 x +$ $b$ , et elle passe par $A$ : $3 = - 2 \times 1 +$ $b$ , donc $b =$ $5$ . C'est $y = - 2 x +$ $5$ . ✔️ Sur le dessin, la droite coupe bien l'axe vertical en $5$ . ⚠️ Un coefficient directeur négatif fait DESCENDRE la droite.
5. $b$ se lit à l'intersection avec l'axe vertical : $b =$ $- 1$ . Pour $a$ , on cherche deux points sur les nœuds de la grille. De $(0; - 1)$ à $(2; 2)$ , on avance de $2$ et on monte de $3$ : $a = \frac{3}{2} =$ $1, 5$ . La droite a pour équation $y = 1, 5 x -$ $1$ . ⭐ Quand la pente n'est pas entière, on avance de plusieurs carreaux, jusqu'à retomber sur un nœud de la grille. ⚠️ Ne pas échanger $a$ et $b$ : $y = - x + 1, 5$ serait une tout autre droite.
6. $a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{4 - 2}{- 3 - ( - 1 )} = \frac{2}{- 2} =$ $- 1$ . ⚠️ Le piège : $- 3 - (- 1) = - 3 + 1 =$ $- 2$ , et non $- 4$ . ✔️ Sur le dessin : de $B$ vers $A$ , on avance de $2$ et on descend de $2$ . La droite descend : $a$ est bien négatif. ⭐ C'est une question du sujet de Métropole, juin 2026.
7. $a = \frac{3 - 1}{6 - 2} = \frac{2}{4} =$ $0, 5$ . La droite $y = 0, 5 x + b$ passe par $A$ : $1 = 0, 5 \times 2 +$ $b$ , soit $1 = 1 +$ $b$ , donc $b =$ $0$ . L'équation est $y =$ $0, 5 x$ : la droite passe par l'origine, la fonction est linéaire. ✔️ Avec $B$ : $0, 5 \times 6 =$ $3$ .
8. La verte est horizontale : $a =$ $0$ , c'est $y =$ $3$ . La bleue passe par l'origine et monte de $2$ quand on avance de $1$ : c'est $y =$ $2 x$ , une fonction linéaire. L'orange descend et coupe l'axe vertical en $3$ : c'est $y = - x +$ $3$ . ⭐ Trois questions suffisent : la droite monte-t-elle ou descend-elle ? Passe-t-elle par l'origine ? Où coupe-t-elle l'axe vertical ? ⚠️ $y = 3$ et $y = - x + 3$ coupent l'axe vertical au même point : c'est le signe de $a$ qui les distingue.
9. Deux taxis a) $T_{1} (x) = x +$ $3$ : affine, $3$ € fixes plus $1$ € par km. $T_{2} (x) =$ $2 x$ : linéaire, le prix est proportionnel à la distance. b) $T_{1}$ : on part de $(0; 3)$ , on avance de $1$ , on monte de $1$ . $T_{2}$ : on part de l'origine, on avance de $1$ , on monte de $2$ . c) Les droites se croisent en $(3; 6)$ : pour $3$ km, les deux taxis coûtent $6$ €. Avant $3$ km, la droite de $T_{2}$ est en dessous : le second taxi est moins cher. Après, c'est le premier. ✔️ $T_{1} (3) = 3 + 3 = 6$ et $T_{2} (3) = 2 \times 3 =$ $6$ . ⚠️ On répond par des DISTANCES : « moins de $3$ km », pas « moins de $6$ € ».
10. La location de kayaks a) La droite coupe l'axe vertical en $3$ : $b =$ $3$ , les $3$ € payés au départ, même pour $0$ heure. Quand on avance d'une heure, elle monte de $2$ : $a =$ $2$ , soit $2$ € par heure. b) $y = 2 x +$ $3$ . c) $2 \times 8 + 3 = 19$ € : hors du dessin, l'équation prend le relais. ⭐ Connaître l'équation d'une droite, c'est pouvoir calculer au-delà du graphique.
11. Un glacier qui recule a) $a = \frac{4 , 5 - 6}{2010 - 1980} = \frac{- 1 , 5}{30} =$ $- 0, 05$ : le glacier perd $0, 05$ km, soit $50$ m, par an. b) En 1980, $x = 0$ et la longueur vaut $6$ : $b =$ $6$ . Donc $L (x) = - 0, 05 x +$ $6$ . c) 2030, c'est $x =$ $50$ : $- 0, 05 \times 50 + 6 = - 2, 5 + 6 = 3, 5$ km. Sur le dessin, une unité horizontale vaut dix ans : la droite perd $0, 5$ km par décennie. ⚠️ Le coefficient directeur a une UNITÉ : ici, des kilomètres par an. ⭐ Prolonger une droite, c'est supposer que la tendance continue : une hypothèse, pas une certitude.
12. Une étape du Tour de France a) $a = \frac{60 - 20}{11 - 9} = \frac{40}{2} =$ $20$ : $20$ km par heure, c'est sa VITESSE. b) À $10$ h, une heure après $9$ h : $20 + 20 = 40$ km. c) Il avait fait $20$ km à $9$ h, à $20$ km par heure : une heure plus tôt, à $8$ h, il était à $0$ km. Il est parti à $8$ h. ⚠️ Même ordre en haut et en bas : $60 - 20$ sur $11 -$ $9$ .
13. La facture d'électricité a) Quand la consommation augmente de $1$ , la facture augmente toujours de $25$ € : $37 - 12 = 62 - 37 = 87 - 62 =$ $25$ . Des hausses égales : la fonction est affine. b) $f (x) = 25 x +$ $12$ : $12$ € d'abonnement, payés même sans rien consommer, et $25$ € par centaine de kWh. c) Non : pour $0$ kWh, on paie $12$ €, pas $0$ . Doubler la consommation ne double pas la facture : $f (2) =$ $62$ , et non $2 \times 37 =$ $74$ . ⚠️ Affine n'est pas proportionnel : il faut $b = 0$ pour être linéaire.
14. Une citerne agricole a) La droite coupe l'axe vertical en $9$ : $b =$ $9$ . De $(0; 9)$ à $(2; 6)$ , on avance de $2$ et on descend de $3$ : $a = \frac{- 3}{2} =$ $- 1, 5$ . Équation : $y = - 1, 5 x +$ $9$ . b) La droite coupe l'axe horizontal en $6$ : la citerne est vide au bout de $6$ jours. Calcul : $- 1, 5 \times 6 + 9 =$ $0$ . ✔️ c) $a = - 1, 5 <$ $0$ : la citerne PERD $1, 5$ m³ par jour. ⚠️ La droite descend, donc le coefficient directeur est négatif. Oublier le signe moins, c'est faire monter l'eau.
15. Le prix d'une maison a) $a = \frac{150 000 - 120 000}{2021 - 2015} = \frac{30 000}{6} =$ $5000$ : le prix monte de $5000$ € par an. b) 2018 : $120000 + 3 \times 5000 = 135000$ €. 2025 : $150000 + 4 \times 5000 = 170000$ €. ⭐ Une évolution affine ajoute la MÊME somme chaque année ; une évolution en pourcentage, non. ⚠️ Calculer $150000 - 120000$ ne suffit pas : il faut encore diviser par le nombre d'années.
année 2015 2018 2021 2025
prix (€) 120 000 135 000 150 000 170 000
16. Une ville qui grandit a) $P (x) = 0, 5 x +$ $4$ , en milliers : $4$ au départ, $+ 0, 5$ par an. b) On place $(0; 4)$ . Avancer d'un an et monter de $0, 5$ , c'est un demi-carreau : difficile à tracer. On avance plutôt de $2$ ans et on monte de $1$ : on arrive en $(2; 5)$ . c) $0, 5 x + 4 = 7$ donne $0, 5 x =$ $3$ , donc $x =$ $6$ : en 2026. ⭐ Pour tracer une pente de $0, 5$ , on double tout : $2$ en avant, $1$ en haut.
17. Le seuil de rentabilité d'un food-truck a) Bleue : elle passe par l'origine et monte de $2$ par unité : $R (x) =$ $2 x$ , une fonction linéaire. Orange : elle coupe l'axe vertical en $4$ et monte de $1$ : $C (x) = x +$ $4$ . b) $4$ centaines d'euros de frais fixes par jour (emplacement, camion), payés même sans rien vendre ; puis $1$ centaine d'euros par dizaine de repas, soit $10$ € par repas. c) Les droites se croisent en $(4; 8)$ : pour $40$ repas, recette et coûts valent $800$ €. d) $B (x) = 2 x - (x + 4) = x -$ $4$ : affine, avec $a = 1$ et $b =$ $- 4$ . Le bénéfice est négatif avant $40$ repas, positif après. ⭐ Le prix de vente se lit aussi : $R (x) =$ $2 x$ , soit $2$ centaines d'euros par dizaine de repas, $20$ € le repas. ⚠️ Attention aux unités : $x =$ $4$ , ce sont $40$ repas ; $8$ en ordonnée, ce sont $800$ €.
18. La montée des eaux a) $a = \frac{6 - 0}{2020 - 1990} = \frac{6}{30} = 0, 2$ cm par an, soit $0, 2 \times 10 = 2$ cm par décennie. b) En décennies, $a =$ $2$ ; en 1990 ( $x =$ $0$ ), le niveau vaut $0$ , donc $b =$ $0$ . L'équation est $y =$ $2 x$ : une fonction linéaire. c) On part de l'origine ; on avance d'une décennie et on monte de $2$ cm. d) $2 x = 10$ donne $x =$ $5$ : cinq décennies après 1990, en 2040. ⚠️ Le coefficient directeur dépend de l'unité choisie en abscisse : $0, 2$ par an, c'est $2$ par décennie. ⭐ Un modèle affine suppose une montée régulière ; si elle s'accélère, la droite sous-estime l'avenir.
19. La croissance d'un plant de maïs a) Entre les jours $10$ et $20$ : $\frac{50 - 20}{20 - 10} = \frac{30}{10} = 3$ cm par jour. Entre les jours $20$ et $30$ : $\frac{90 - 50}{30 - 20} = \frac{40}{10} = 4$ cm par jour. b) Les deux coefficients directeurs sont différents : les trois points ne sont pas alignés, la hauteur n'est pas une fonction affine du temps. La croissance accélère. c) Le modèle affine ajoute $3$ cm par jour : $50 + 3 \times 10 = 80$ cm, au lieu des $90$ cm mesurés. ⚠️ Deux points donnent toujours une droite : c'est le troisième qui dit si le modèle affine tient. ⭐ Sur le dessin (une unité $= 10$ jours en abscisse, $10$ cm en ordonnée), la ligne bleue se redresse et quitte la droite orange.
20. La carte de réduction a) $A (x) = 10 x +$ $40$ : $40$ € fixes et $10$ € par trajet. $S (x) =$ $15 x$ : linéaire, le prix est proportionnel au nombre de trajets. b) En dizaines d'euros, la droite de $A$ coupe l'axe vertical en $4$ et monte de $1$ par trajet ; celle de $S$ part de l'origine et monte de $1, 5$ par trajet. c) $\frac{100 - 60}{6 - 2} = \frac{40}{4} = 10$ € par trajet : c'est bien le prix d'un trajet avec la carte. ✔️ Et $10 \times 2 + 40 =$ $60$ . d) $10 x + 40 = 15 x$ donne $5 x =$ $40$ , donc $x =$ $8$ : pour $8$ trajets, les deux formules coûtent $120$ €. Au-delà de $8$ trajets, la droite de $A$ passe sous celle de $S$ : la carte est rentable. ⚠️ Le point de croisement se lit en ABSCISSE : $8$ trajets, pas $12$ dizaines d'euros. ⭐ Un coût fixe contre une économie à chaque usage : c'est le calcul de toute carte d'abonnement.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : droites et coefficient directeur, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3