Équations et inéquations : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : équations et inéquations, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. On retire $5x$ des deux côtés : $2x+4=$$6$. On retire $4$ des deux côtés : $2x=$$2$. On divise les deux côtés par $2$ : $x=$$1$. ✔️ Vérification : $7\times 1+4=11$ et $5\times 1+6=$$11$. ⚠️ Le piège : faire passer $5x$ à gauche sans changer son signe, et écrire $12x$. ⭐ Question tombée à l'épreuve anticipée de juin 2026 (Métropole).
2. 2. On développe d'abord : $3x-6=x+$$4$. On retire $x$ des deux côtés : $2x-6=$$4$. On ajoute $6$ : $2x=$$10$. On divise par $2$ : $x=$$5$. ✔️ $3\times (5-2)=9$ et $5+4=$$9$. ⚠️ Le piège : $3(x-2)=3x-$$2$. Le $3$ multiplie aussi le $2$.
3. 3. $5>$$0$ : l'équation a deux solutions. $x=\sqrt{5}$ ou $x=$$-\sqrt{5}$. $S=$$\{-\sqrt{5};\sqrt{5}\}$. ⭐ Sur le dessin, la droite horizontale $y=5$ coupe la parabole $y=x^2$ en DEUX points, symétriques. ⚠️ Le piège : oublier la solution négative. $(-\sqrt{5}{)}^2=5$ aussi. ⭐ Question tombée à l'épreuve anticipée de juin 2026 (Asie).
4. 4. a) $49=$$7^2$ : $x=7$ ou $x=$$-7$. b) Un carré n'est jamais négatif : aucune solution. $S=$$\varnothing$. c) Seul $0$ a pour carré $0$ : $x=$$0$. ⚠️ Le piège au b) : répondre $x=$$-2$. Or $(-2{)}^2=$$4$, pas $-4$. ⭐ Trois cas, trois nombres de solutions : deux, aucune, une.
5. 5. $x$ est au dénominateur : on suppose $x\ne$$0$. On multiplie les deux côtés par $x$ : $12=$$3x$. On divise par $3$ : $x=$$4$. ✔️ $\frac{12}{4}=$$3$. ⚠️ Le piège : répondre $x=$$36$, en multipliant $12$ par $3$. Or $\frac{12}{36}=$$\frac{1}{3}$, pas $3$.
6. 6. On suppose $x\ne$$0$, et on multiplie les deux côtés par $x$ : $5=$$-2x$. On divise par $-2$ : $x=\frac{5}{-2}=$$-2,5$. ✔️ $\frac{5}{-2,5}=$$-2$. ⚠️ Le signe compte : le numérateur $5$ est positif et le quotient est négatif, donc $x$ est NÉGATIF.
7. 7. On retire $3$ des deux côtés : $-2x>$$4$. On divise par $-2$, un nombre NÉGATIF : le sens s'inverse. $x<$$\frac{4}{-2}$, soit $x<$$-2$. $S=$$\left]-\infty ;-2\right[$ : crochet ouvert en $-2$, car l'inégalité est stricte. ✔️ Test avec $x=$$-3$ : $-2\times (-3)+3=$$9$, et $9>$$7$. ⚠️ Le piège : garder le sens, et écrire $x>$$-2$.
8. 8. On retire $x$ des deux côtés : $2x-5⩽$$1$. On ajoute $5$ : $2x⩽$$6$. On divise par $2$, un nombre POSITIF : le sens ne change pas. $x⩽$$3$. $S=$$\left]-\infty ;3\right]$ : le crochet est fermé en $3$, car $3$ est solution. ⚠️ Le piège : un crochet ouvert en $3$. Avec $⩽$, la borne est comprise.
9. 9. Deux loueurs de voiture a) Soit $x$ le nombre de km. Prix chez $A$ : $40+$$0,2x$. Chez $B$ : $60+$$0,1x$. Égalité : $40+0,2x=60+$$0,1x$. On retire $0,1x$ : $40+0,1x=$$60$. On retire $40$ : $0,1x=$$20$. On multiplie par $10$ : $x=$$200$. Pour $200$ km, les deux coûtent $40+0,2\times 200=80$ €. b) Pour $300$ km : $A$ coûte $40+60=100$ €, $B$ coûte $60+30=90$ €. On choisit $B$. ⭐ Le graphique, en centaines de km et en dizaines d'euros : les droites se croisent en $(2;8)$, soit $200$ km et $80$ €. Avant, la bleue ($A$) est en dessous ; après, c'est l'orange ($B$). ⚠️ Le piège : $0,1x=20$ donne $x=$$2$. Diviser par $0,1$, c'est multiplier par $10$.
10. 10. Le prix d'équilibre a) À l'équilibre : $2p-4=20-$$p$. On ajoute $p$ des deux côtés : $3p-4=$$20$. On ajoute $4$ : $3p=$$24$. On divise par $3$ : $p=$$8$. b) $D=20-8=12$ milliers d'unités, et $O=2\times 8-4=$$12$. ✔️ ⭐ Sur le graphique, la droite de l'offre monte (plus c'est cher, plus on veut vendre), celle de la demande descend : elles se croisent en $(8;12)$. ⚠️ Le piège : oublier le $-p$ de droite, écrire $2p=24$ et trouver $p=$$12$.
11. 11. Le partage de la location Soit $x$ le nombre de personnes ($x>$$0$). Chacun paie $\frac{480}{x}$ €. Équation : $\frac{480}{x}=$$40$. On multiplie par $x$ : $480=$$40x$. On divise par $40$ : $x=$$12$. Ils sont $12$. ✔️ $480÷12=$$40$. ⚠️ Le piège : calculer $480\times$$40$. L'inconnue est au dénominateur : on finit par diviser $480$ par $40$.
12. 12. La superficie d'un territoire La densité est le quotient : habitants $÷$ superficie. Soit $x$ la superficie, en km² : $\frac{900000}{x}=$$60$. On multiplie par $x$ : $900000=$$60x$. On divise par $60$ : $x=$$15000$. La superficie est de $15000$ km². ✔️ $900000÷15000=$$60$. ⭐ Quand on cherche la surface, elle est au dénominateur : c'est une équation du type $\frac{a}{x}=$$b$.
13. 13. Un champ carré $1$ ha $=10000$ m², donc $2,25$ ha $=22500$ m². Soit $x$ le côté, en m : $x^2=$$22500$. Deux solutions : $x=150$ ou $x=$$-150$, car $150^2=$$22500$. Une longueur est positive : on garde $x=150$ m. ✔️ $15^2=$$225$, donc $150^2=$$22500$. ⚠️ Le piège : garder $-150$, ou l'écarter sans dire pourquoi.
14. 14. L'abonnement au cinéma Soit $x$ le nombre de séances dans le mois. Sans abonnement : $9x$. Avec : $20+$$5x$. L'abonnement est plus intéressant quand $20+5x<$$9x$. On retire $5x$ : $20<$$4x$. On divise par $4$, positif : $5<$$x$. $x$ est un nombre entier : l'abonnement devient intéressant à partir de $6$ séances. ✔️ Le tableau : pour $5$ séances, $45$ € des deux façons ; pour $6$, $54$ € contre $50$ €. ⚠️ Le piège : répondre « à partir de $5$ ». À $5$ séances, les deux coûtent autant.

    séances	4	5	6
    sans (€)	36	45	54
    avec (€)	40	45	50

15. 15. Où gèle-t-il ? On cherche $h$ tel que $18-6h<$$0$. On retire $18$ des deux côtés : $-6h<$$-18$. On divise par $-6$, NÉGATIF : le sens s'inverse. $h>$$3$. La température est négative au-dessus de $3$ km d'altitude, soit $3000$ m. ✔️ À $h=$$4$ : $18-24=-6$ °C. ⚠️ Le piège : oublier d'inverser, et conclure « en dessous de $3$ km »… là où il fait le plus chaud !
16. 16. Les intérêts composés Chaque année, le capital est multiplié par $1+$$t$ ; en deux ans, par $(1+$$t{)}^2$. $1000\times (1+t{)}^2=$$1210$, donc $(1+t{)}^2=$$1,21$. C'est une équation « carré $=$ nombre » : $1+t=1,1$ ou $1+t=$$-1,1$, car $1,1^2=$$1,21$. Donc $t=0,1$ ou $t=$$-2,1$. Un taux de $-210$ % n'a pas de sens ici : $t=$$0,1$, soit $10$ % par an. ✔️ $1000$ € devient $1100$ € la première année, puis $1210$ € la deuxième. ⚠️ Le piège : diviser $21$ % par deux, et répondre $10,5$ % par an.
17. 17. Deux villes qui se rapprochent a) Au bout de $n$ années, $A$ compte $50000+1000n$ habitants et $B$ en compte $80000-$$500n$. Égalité : $50000+1000n=80000-$$500n$. On ajoute $500n$ : $50000+1500n=$$80000$. On retire $50000$ : $1500n=$$30000$. On divise par $1500$ : $n=$$20$. Au bout de $20$ ans, les deux villes comptent $70000$ habitants. b) $A$ dépasse $B$ quand $50000+1000n>80000-$$500n$, soit $1500n>$$30000$, soit $n>$$20$ : après $20$ ans. ⭐ Le graphique, en décennies et en dizaines de milliers d'habitants : les droites se croisent en $(2;7)$. Après, la droite bleue ($A$) passe au-dessus. ⚠️ Le piège : écrire $1000n=80000-$$500n$, en oubliant les $50000$ habitants de départ.
18. 18. Le voyage scolaire a) Part du car : $\frac{1200}{30}=40$ €. Avec l'entrée : $40+10=50$ €. b) $\frac{1200}{x}=24$ donne $1200=$$24x$, donc $x=50$ élèves. c) $\frac{1200}{x}+10=40$ donne $\frac{1200}{x}=$$30$, puis $1200=$$30x$, donc $x=40$ élèves. d) On veut $\frac{1200}{x}+10⩽$$40$, soit $\frac{1200}{x}⩽$$30$. $x$ est positif : on multiplie par $x$ sans changer le sens. $1200⩽$$30x$, donc $x⩾$$40$. Il faut au moins $40$ élèves. ⭐ Le tableau le montre : plus les élèves sont nombreux, plus la part du car baisse. ⚠️ Le piège au c) : oublier les $10$ € d'entrée, et résoudre $\frac{1200}{x}=$$40$.

    élèves	20	30	40	50
    part du car (€)	60	40	30	24

19. 19. Le parc et sa clôture a) $4$ ha $=40000$ m². Soit $x$ le côté : $x^2=$$40000$, donc $x=200$ ou $x=$$-200$. Une longueur est positive : $200$ m. b) $200$ m $=20000$ cm, et $20000÷10000=2$ cm. c) Périmètre : $4\times 200=800$ m. Coût : $800\times 15+500=12000+500=12500$ €. ✔️ d) Le périmètre vaut $4x$, et le coût $15\times 4x+500=60x+$$500$. Équation : $60x+500=$$9500$. On retire $500$ : $60x=$$9000$. On divise par $60$ : $x=150$ m. Aire : $150^2=22500$ m², soit $2,25$ ha. ⚠️ Le piège au d) : oublier le portail, et résoudre $60x=$$9500$. ⭐ La balance : on enlève d'abord le prix fixe, puis on divise.
20. 20. Taxi ou VTC ? a) Soit $x$ la distance, en km. On veut $4+2x⩽$$30$. On retire $4$ : $2x⩽$$26$. On divise par $2$ : $x⩽$$13$. Au plus $13$ km. b) Taxi moins cher : $4+2x<7+$$1,5x$. On retire $1,5x$ : $4+0,5x<$$7$. On retire $4$ : $0,5x<$$3$. On multiplie par $2$, positif : $x<$$6$. Le taxi est moins cher pour moins de $6$ km. c) Pour $x=$$6$ : taxi $4+12=16$ €, VTC $7+9=16$ €. ⭐ Sur la droite : en dessous de $6$ km, le taxi ; au-dessus, le VTC. ⚠️ Le piège au b) : diviser $3$ par $0,5$ et trouver $1,5$. Diviser par $0,5$, c'est multiplier par $2$.