Utiliser une formule : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices sans calculatrice, comme à l'épreuve anticipée : calculer la valeur d'une expression, isoler une lettre dans une formule, faire une application numérique. Un rappel de cours de trois lignes avant chaque niveau, et une correction écrite étape par étape.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. Sans calculatrice.

Rappel de cours

Remplacer une lettre par un nombre : on écrit le nombre ENTRE PARENTHÈSES, surtout s'il est négatif.
Priorités : les puissances d'abord, puis $\times$ et $\div$ , puis $+$ et $-$ . Ainsi $(- 1)^{2} =$ $1$ , mais $- 1^{2} =$ $- 1$ .
Isoler une lettre : on fait la même opération des deux côtés. Ce qui MULTIPLIE la lettre passe de l'autre côté en DIVISANT, et inversement.

1
Calculer la valeur de l'expression $2 x^{2} - 3 x - 4$ pour $x =$ $- 1$ .
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On remplace $x$ par $(- 1)$ , entre parenthèses : $2 \times (- 1)^{2} - 3 \times (- 1) -$ $4$ . La puissance d'abord : $(- 1)^{2} =$ $1$ , donc $2 \times 1 =$ $2$ . Le produit ensuite : $- 3 \times (- 1) =$ $+ 3$ . La somme enfin : $2 + 3 - 4 =$ $1$ . L'expression vaut $1$ . ⚠️ Sans parenthèses, on écrit $2 \times$ $- 1^{2}$ , et l'erreur de signe arrive. ⭐ C'est la question du sujet des Centres étrangers, en juin 2026.
2
Calculer la valeur de $- x^{2} + 5 x$ pour $x =$ $- 2$ .
Voir la correction
On remplace : $- (- 2)^{2} + 5 \times$ $(- 2)$ . La puissance d'abord : $(- 2)^{2} =$ $4$ . Le signe moins devant s'applique APRÈS : $- (- 2)^{2} =$ $- 4$ . Le produit : $5 \times (- 2) =$ $- 10$ . La somme : $- 4 - 10 =$ $- 14$ . ⚠️ Le piège : écrire $- (- 2)^{2} =$ $+ 4$ . Dans $- x^{2}$ , on élève au carré, PUIS on prend l'opposé.
3
On donne $a = - 3$ et $b =$ $5$ . Calculer $a -$ $b$ , $a \times$ $b$ , $- a + 2 b$ et $a^{2} -$ $b^{2}$ .
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$a - b = - 3 - 5 =$ $- 8$ . $a \times b = (- 3) \times 5 =$ $- 15$ : un négatif fois un positif donne un négatif. $- a + 2 b = - (- 3) + 2 \times 5 = 3 + 10 =$ $13$ : l'opposé de $- 3$ est $3$ . $a^{2} - b^{2} = (- 3)^{2} - 5^{2} = 9 - 25 =$ $- 16$ . ⚠️ $- a$ n'est pas forcément négatif : si $a$ est négatif, $- a$ est positif.
4
La résistance d'un appareil est donnée par $R =$ $\frac{U ^{2}}{P}$ , où $U$ est la tension en volts et $P$ la puissance en watts. Calculer $R$ pour $U = 20$ et $P =$ $80$ .
Voir la correction
On remplace chaque lettre par sa valeur : $R =$ $\frac{2 0 ^{2}}{80}$ . Le carré d'abord : $2 0^{2} = 20 \times 20 =$ $400$ . La division ensuite : $\frac{400}{80} =$ $5$ . La résistance vaut $5$ ohms. ⚠️ $2 0^{2}$ veut dire $20 \times$ $20$ , et non $20 \times$ $2$ . ⭐ C'est la question du sujet des Antilles, en juin 2026.
5
La puissance électrique vérifie $P = U \times$ $I$ . Isoler $I$ , puis vérifier avec $P = 60$ et $U =$ $12$ .
Voir la correction
Dans $P = U \times$ $I$ , la lettre $I$ est MULTIPLIÉE par $U$ . On divise les deux côtés par $U$ : $\frac{P}{U} =$ $I$ . Donc $I =$ $\frac{P}{U}$ . Vérification : $I = \frac{60}{12} =$ $5$ , et $12 \times 5 =$ $60$ . ✔️ ⚠️ Le piège : écrire $I =$ $\frac{U}{P}$ . On divise PAR ce qui multipliait $I$ , c'est-à-dire par $U$ .
6
La distance parcourue vérifie $d = v \times$ $t$ . Isoler $t$ , puis calculer la durée d'un trajet de $150$ km à $60$ km/h.
Voir la correction
$t$ est multiplié par $v$ : on divise les deux côtés par $v$ . Donc $t =$ $\frac{d}{v}$ . Application : $t = \frac{150}{60} = 2, 5$ heures. $0, 5$ heure, c'est une demi-heure, donc $30$ minutes : le trajet dure $2$ h $30$ min. ⚠️ $2, 5$ h ne veut PAS dire $2$ h $50$ : une heure compte $60$ minutes, pas $100$ .
durée 1 h 2 h 2 h 30
distance (km) 60 120 150
7
Écrire $\frac{x}{3} + \frac{x}{6}$ sous la forme d'une seule fraction, la plus simple possible.
Voir la correction
On met au même dénominateur, $6$ : $\frac{x}{3} =$ $\frac{2 x}{6}$ . Donc $\frac{2 x}{6} + \frac{x}{6} =$ $\frac{3 x}{6}$ . On simplifie par $3$ : $\frac{3 x}{6} =$ $\frac{x}{2}$ . ✔️ Vérification avec $x =$ $6$ : $\frac{6}{3} + \frac{6}{6} = 2 + 1 =$ $3$ , et $\frac{6}{2} =$ $3$ . ⚠️ Le piège : additionner les dénominateurs, $\frac{2 x}{9}$ . On n'additionne JAMAIS les dénominateurs.
8
On a $y = 3 x -$ $6$ . Exprimer $x$ en fonction de $y$ .
Voir la correction
On veut $x$ seul. D'abord, on ajoute $6$ des deux côtés : $y + 6 =$ $3 x$ . Ensuite, $x$ est multiplié par $3$ : on divise les deux côtés par $3$ . Donc $x =$ $\frac{y + 6}{3}$ . ✔️ Vérification : pour $x =$ $4$ , $y = 12 - 6 =$ $6$ , et $\frac{6 + 6}{3} =$ $4$ . ⚠️ Le piège : $x = \frac{y}{3} +$ $6$ . On retire ce qui est « le plus loin » de $x$ en premier : le $- 6$ , puis le $\times 3$ .

durée	1 h	2 h	2 h 30
distance (km)	60	120	150

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Repérer ce que l'on connaît et ce que l'on cherche, puis conclure par une phrase. Sans calculatrice.

Rappel de cours

Une formule relie des grandeurs. On repère ce que l'on CONNAÎT et ce que l'on CHERCHE.
Si la grandeur cherchée n'est pas seule, on l'isole d'abord, puis on remplace.
On contrôle l'unité et l'ordre de grandeur : un prix HT est plus petit que le prix TTC, un salaire net plus petit que le brut.

9Hors taxes, toutes taxes
En France, avec une TVA à $20$ %, le prix TTC (toutes taxes comprises) s'obtient à partir du prix HT (hors taxes) par $P_{TTC} = 1, 2 \times$ $P_{H T}$ . a) Un casque coûte $50$ € HT. Quel est son prix TTC ? b) Isoler $P_{H T}$ dans la formule. c) Un vélo coûte $90$ € TTC. Quel est son prix HT ?
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a) $P_{TTC} = 1, 2 \times 50 = 60$ €. b) $P_{H T}$ est multiplié par $1, 2$ : on divise par $1, 2$ . Donc $P_{H T} =$ $\frac{P _{TTC}}{1 , 2}$ . c) $P_{H T} = \frac{90}{1 , 2} = \frac{900}{12} = 75$ €. ✔️ Vérification : $1, 2 \times 75 =$ $90$ . ⚠️ Le piège : retirer $20$ % de $90$ , ce qui donne $72$ €. Faux : les $20$ % se calculent sur le prix HT, pas sur le TTC.
prix HT (€) 50 75 100
prix TTC (€) 60 90 120
10La météo en Fahrenheit
Aux États-Unis, les températures s'expriment en degrés Fahrenheit (°F). La formule $F = 1, 8 \times C + 32$ convertit une température $C$ en degrés Celsius en degrés Fahrenheit. a) Convertir $20$ °C, $0$ °C et $- 10$ °C. b) Isoler $C$ dans la formule. c) Un bulletin météo annonce $50$ °F. Fait-il chaud ?
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a) $1, 8 \times 20 + 32 = 36 + 32 = 68$ °F. $1, 8 \times 0 + 32 = 32$ °F : l'eau gèle à $32$ °F. $1, 8 \times (- 10) + 32 = - 18 + 32 = 14$ °F. b) D'abord on retire $32$ : $F - 32 = 1, 8 \times$ $C$ . Puis on divise par $1, 8$ : $C =$ $\frac{F - 32}{1 , 8}$ . c) $C = \frac{50 - 32}{1 , 8} = \frac{18}{1 , 8} = 10$ °C. Il fait frais. ⚠️ Le piège : diviser $50$ par $1, 8$ avant de retirer $32$ . On défait les opérations dans l'ordre INVERSE.
°C −10 0 10 20
°F 14 32 50 68
11La vitesse d'un train
Un train relie deux villes distantes de $450$ km en $2$ h $30$ min. a) Calculer sa vitesse moyenne avec $v =$ $\frac{d}{t}$ . b) À cette vitesse, combien de temps faut-il pour parcourir $540$ km ?
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a) On convertit la durée en heures : $2$ h $30$ min $= 2, 5$ h. $v = \frac{450}{2 , 5} = \frac{4 500}{25} = 180$ km/h. ⚠️ Le piège : écrire $2, 30$ h. Trente minutes, c'est une DEMI-heure, donc $0, 5$ h. b) On isole $t$ : $v = \frac{d}{t}$ donne $t =$ $\frac{d}{v}$ . $t = \frac{540}{180} = 3$ heures.
12Le taux de natalité
Le taux de natalité d'une ville, en naissances pour mille habitants, est $n = \frac{N}{P} \times$ $1000$ , où $N$ est le nombre de naissances dans l'année et $P$ la population (chiffres de modèle). a) Une ville de $50000$ habitants compte $600$ naissances. Calculer $n$ . b) Isoler $N$ dans la formule. c) Une ville de $80000$ habitants a un taux de natalité de $10$ pour mille. Combien de naissances y a-t-il eu ?
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a) $n = \frac{600}{50 000} \times 1000 = \frac{600 000}{50 000} = 12$ naissances pour mille habitants. b) On multiplie par $P$ , puis on divise par $1000$ : $N =$ $\frac{n \times P}{1 000}$ . c) $N = \frac{10 \times 80 000}{1 000} = \frac{800 000}{1 000} = 800$ naissances. ⭐ Un taux « pour mille » permet de comparer des villes de tailles différentes : c'est l'outil des démographes.
13Les intérêts simples
Un capital $C$ placé à intérêts simples au taux annuel $t$ rapporte, en $n$ années, $I = C \times t \times n$ euros. a) Calculer $I$ pour $C = 2000$ €, $t = 0, 03$ (soit $3$ %) et $n = 4$ ans. b) Isoler $n$ dans la formule. c) Combien d'années faut-il pour que ces $2000$ € rapportent $300$ € ?
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a) Par an : $2000 \times 0, 03 = 60$ €. En $4$ ans : $I = 60 \times 4 = 240$ €. b) $n$ est multiplié par $C \times$ $t$ : on divise par $C \times$ $t$ . Donc $n =$ $\frac{I}{C \times t}$ . c) $n = \frac{300}{2 000 \times 0 , 03} = \frac{300}{60} = 5$ ans. ⭐ Intérêts SIMPLES : on gagne la même somme chaque année, $60$ €. Les barres montent d'un pas régulier.
14Salaire brut, salaire net
Dans un modèle simplifié (le vrai taux dépend du contrat), le salaire net vaut $N = 0, 8 \times$ $B$ , où $B$ est le salaire brut. a) Calculer le net pour un brut de $2000$ €. b) Isoler $B$ dans la formule. c) Une offre d'emploi annonce $2400$ € net. Quel est le brut ?
Voir la correction
a) $N = 0, 8 \times 2000 = 1600$ €. b) $B$ est multiplié par $0, 8$ : on divise par $0, 8$ . Donc $B =$ $\frac{N}{0 , 8}$ . c) $B = \frac{2 400}{0 , 8} = \frac{24 000}{8} = 3000$ €. Les cotisations valent $3000 - 2400 = 600$ €. ⚠️ Le piège : ajouter $20$ % au net, $2400 + 480 = 2880$ €. Faux : les $20$ % se prennent sur le BRUT.
15L'échelle d'une carte
Sur une carte de randonnée au $\frac{1}{25 000}$ , une distance réelle $D$ et sa mesure $d$ sur la carte vérifient $D = 25000 \times d$ (dans la même unité). a) Deux refuges sont à $4$ cm l'un de l'autre sur la carte. Quelle est la distance réelle, en km ? b) Isoler $d$ . c) Un sentier fait $3$ km. Quelle longueur mesure-t-il sur la carte ?
Voir la correction
a) $D = 25000 \times 4 = 100000$ cm. On convertit : $100000$ cm $= 1000$ m $= 1$ km. b) $d$ est multiplié par $25000$ : $d =$ $\frac{D}{25 000}$ . c) D'abord la même unité : $3$ km $= 300000$ cm. $d = \frac{300 000}{25 000} = 12$ cm. ⚠️ Le piège des unités : $\frac{3}{25 000}$ ne veut rien dire en cm. On convertit AVANT de remplacer.
carte (cm) 1 4 12
réalité (km) 0,25 1 3
16Le coût moyen
Une entreprise fabrique $q$ objets. Son coût total est $C = 5 q + 200$ euros : $5$ € de matière par objet, et $200$ € de frais fixes. a) Le coût moyen d'un objet est $M =$ $\frac{C}{q}$ . Montrer que $M = 5 +$ $\frac{200}{q}$ . b) Calculer $M$ pour $q =$ $50$ , $q = 100$ et $q =$ $200$ . c) Que devient le coût moyen quand on produit beaucoup ?
Voir la correction
a) $M = \frac{5 q + 200}{q} = \frac{5 q}{q} + \frac{200}{q} = 5 +$ $\frac{200}{q}$ . ⚠️ On divise CHAQUE terme du numérateur par $q$ ; on ne « barre » pas le $q$ de $5 q$ tout seul. b) $q =$ $50$ : $5 + \frac{200}{50} = 5 + 4 = 9$ €. $q =$ $100$ : $5 + 2 = 7$ €. $q =$ $200$ : $5 + 1 = 6$ €. c) $\frac{200}{q}$ devient de plus en plus petit : le coût moyen se rapproche de $5$ €. ⭐ Les frais fixes se partagent entre plus d'objets : ce sont les économies d'échelle.

prix HT (€)	50	75	100
prix TTC (€)	60	90	120

°C	−10	0	10	20
°F	14	32	50	68

carte (cm)	1	4	12
réalité (km)	0,25	1	3

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Un problème complet, avec ses questions qui s'enchaînent. Sans calculatrice.

Rappel de cours

On écrit la formule, on isole la grandeur cherchée, on remplace, on calcule, on conclut avec l'unité.
Une vérification rapide : on remet le résultat dans la formule de départ.

17Qui paie le plus de TVA ?
En France, la TVA est à $10$ % au restaurant et à $20$ % pour la plupart des achats. Avec un taux $t$ (en écriture décimale), $P_{TTC} = P_{H T} \times (1 +$ $t)$ . a) Vérifier que, pour $t =$ $0, 2$ , on retrouve $P_{TTC} = 1, 2 \times$ $P_{H T}$ . b) Isoler $P_{H T}$ . c) Une addition au restaurant s'élève à $44$ € TTC. Calculer le prix HT, puis la TVA payée. d) Un pull coûte $36$ € TTC. Même question. e) Lequel des deux achats rapporte le plus de TVA à l'État ?
Voir la correction
a) $1 + 0, 2 =$ $1, 2$ : on retrouve bien $P_{TTC} = 1, 2 \times$ $P_{H T}$ . b) $P_{H T}$ est multiplié par $(1 +$ $t)$ : $P_{H T} =$ $\frac{P _{TTC}}{1 + t}$ . c) $t =$ $0, 1$ : $P_{H T} = \frac{44}{1 , 1} = \frac{440}{11} = 40$ €. La TVA vaut $44 - 40 = 4$ €. d) $t =$ $0, 2$ : $P_{H T} = \frac{36}{1 , 2} = \frac{360}{12} = 30$ €. La TVA vaut $36 - 30 = 6$ €. e) Le pull, pourtant moins cher, rapporte plus de TVA : $6$ € contre $4$ €. ⭐ Ce n'est pas le prix qui décide, c'est le prix ET le taux. Sur le diagramme, chaque prix HT est suivi de sa TVA. ⚠️ $10$ % de $44$ € ferait $4, 40$ € : faux, la TVA se calcule sur le HT.
18La vitesse moyenne d'une livraison
Un camion livre un magasin à $120$ km de son entrepôt. À l'aller, chargé, il roule à $40$ km/h de moyenne ; au retour, à vide, à $60$ km/h. a) Dans $v =$ $\frac{d}{t}$ , isoler $t$ . b) Calculer la durée de l'aller, puis celle du retour. c) Calculer la vitesse moyenne sur l'aller-retour. d) Pourquoi n'est-ce pas $50$ km/h, la moyenne de $40$ et $60$ ?
Voir la correction
a) On multiplie par $t$ , puis on divise par $v$ : $t =$ $\frac{d}{v}$ . b) Aller : $t = \frac{120}{40} = 3$ h. Retour : $t = \frac{120}{60} = 2$ h. c) Distance totale : $240$ km. Durée totale : $3 + 2 = 5$ h. $v = \frac{240}{5} = 48$ km/h. d) Le camion passe PLUS DE TEMPS à $40$ km/h ( $3$ h) qu'à $60$ km/h ( $2$ h) : la vitesse lente pèse plus lourd. ⚠️ Une vitesse moyenne ne se calcule jamais en faisant la moyenne des vitesses : on repart TOUJOURS de $\frac{distance totale}{dur e ˊ e totale}$ .
trajet aller retour total
durée (h) 3 2 5
19Le prix d'une course en taxi
Un taxi applique un tarif de modèle : $2$ € de prise en charge, puis $1$ € par kilomètre. Pour $d$ km, le prix est $P = 2 + d$ euros. La droite ci-dessous représente ce prix. a) Combien coûte une course de $7$ km ? b) Isoler $d$ dans la formule. c) Avec $12$ €, combien de kilomètres peut-on parcourir ? d) Lire sur le graphique la distance parcourue pour $8$ €, puis la vérifier par le calcul.
Voir la correction
a) $P = 2 + 7 = 9$ €. b) On retire $2$ des deux côtés : $d = P -$ $2$ . c) $d = 12 - 2 = 10$ km. d) Sur le graphique : on part de $8$ sur l'axe vertical, on va jusqu'à la droite, on descend. On lit $6$ km. Par le calcul : $d = 8 - 2 = 6$ km. ✔️ ⭐ Isoler $d$ , c'est lire le graphique « à l'envers » : du prix vers la distance. ⚠️ Le prix n'est PAS proportionnel à la distance : $10$ km coûtent $12$ €, pas le double de $5$ km ( $7$ €).
20Trois pays, trois densités
La densité de population est $d =$ $\frac{N}{S}$ , en habitants par km², où $N$ est le nombre d'habitants et $S$ la surface en km². Trois pays (chiffres de modèle) : · pays $A$ : $12$ millions d'habitants sur $300000$ km² ; · pays $B$ : une densité de $120$ habitants par km² sur $500000$ km² ; · pays $C$ : $18$ millions d'habitants et une densité de $90$ habitants par km². a) Calculer la densité du pays $A$ . b) Isoler $N$ , puis calculer la population du pays $B$ . c) Isoler $S$ , puis calculer la surface du pays $C$ . d) Ranger les trois pays par densité croissante.
Voir la correction
a) $d = \frac{12 000 000}{300 000} = \frac{120}{3} = 40$ habitants par km². b) On multiplie par $S$ : $N = d \times S = 120 \times 500000 =$ $60000000$ , soit $60$ millions d'habitants. c) $S$ est au dénominateur : on multiplie par $S$ ( $d \times$ $S =$ $N$ ), puis on divise par $d$ : $S =$ $\frac{N}{d}$ . $S = \frac{18 000 000}{90} = 200000$ km². d) $A$ ( $40$ ) $<$ $C$ ( $90$ ) $<$ $B$ ( $120$ ). ⚠️ Le piège : $S =$ $\frac{d}{N}$ . Un pays de $200000$ km² est plausible ; un pays de $0, 000005$ km² ne l'est pas. L'ordre de grandeur trahit l'erreur.

trajet	aller	retour	total
durée (h)	3	2	5

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : utiliser une formule, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. On remplace $x$ par $(- 1)$ , entre parenthèses : $2 \times (- 1)^{2} - 3 \times (- 1) -$ $4$ . La puissance d'abord : $(- 1)^{2} =$ $1$ , donc $2 \times 1 =$ $2$ . Le produit ensuite : $- 3 \times (- 1) =$ $+ 3$ . La somme enfin : $2 + 3 - 4 =$ $1$ . L'expression vaut $1$ . ⚠️ Sans parenthèses, on écrit $2 \times$ $- 1^{2}$ , et l'erreur de signe arrive. ⭐ C'est la question du sujet des Centres étrangers, en juin 2026.
2. On remplace : $- (- 2)^{2} + 5 \times$ $(- 2)$ . La puissance d'abord : $(- 2)^{2} =$ $4$ . Le signe moins devant s'applique APRÈS : $- (- 2)^{2} =$ $- 4$ . Le produit : $5 \times (- 2) =$ $- 10$ . La somme : $- 4 - 10 =$ $- 14$ . ⚠️ Le piège : écrire $- (- 2)^{2} =$ $+ 4$ . Dans $- x^{2}$ , on élève au carré, PUIS on prend l'opposé.
3. $a - b = - 3 - 5 =$ $- 8$ . $a \times b = (- 3) \times 5 =$ $- 15$ : un négatif fois un positif donne un négatif. $- a + 2 b = - (- 3) + 2 \times 5 = 3 + 10 =$ $13$ : l'opposé de $- 3$ est $3$ . $a^{2} - b^{2} = (- 3)^{2} - 5^{2} = 9 - 25 =$ $- 16$ . ⚠️ $- a$ n'est pas forcément négatif : si $a$ est négatif, $- a$ est positif.
4. On remplace chaque lettre par sa valeur : $R =$ $\frac{2 0 ^{2}}{80}$ . Le carré d'abord : $2 0^{2} = 20 \times 20 =$ $400$ . La division ensuite : $\frac{400}{80} =$ $5$ . La résistance vaut $5$ ohms. ⚠️ $2 0^{2}$ veut dire $20 \times$ $20$ , et non $20 \times$ $2$ . ⭐ C'est la question du sujet des Antilles, en juin 2026.
5. Dans $P = U \times$ $I$ , la lettre $I$ est MULTIPLIÉE par $U$ . On divise les deux côtés par $U$ : $\frac{P}{U} =$ $I$ . Donc $I =$ $\frac{P}{U}$ . Vérification : $I = \frac{60}{12} =$ $5$ , et $12 \times 5 =$ $60$ . ✔️ ⚠️ Le piège : écrire $I =$ $\frac{U}{P}$ . On divise PAR ce qui multipliait $I$ , c'est-à-dire par $U$ .
6. $t$ est multiplié par $v$ : on divise les deux côtés par $v$ . Donc $t =$ $\frac{d}{v}$ . Application : $t = \frac{150}{60} = 2, 5$ heures. $0, 5$ heure, c'est une demi-heure, donc $30$ minutes : le trajet dure $2$ h $30$ min. ⚠️ $2, 5$ h ne veut PAS dire $2$ h $50$ : une heure compte $60$ minutes, pas $100$ .
durée 1 h 2 h 2 h 30
distance (km) 60 120 150
7. On met au même dénominateur, $6$ : $\frac{x}{3} =$ $\frac{2 x}{6}$ . Donc $\frac{2 x}{6} + \frac{x}{6} =$ $\frac{3 x}{6}$ . On simplifie par $3$ : $\frac{3 x}{6} =$ $\frac{x}{2}$ . ✔️ Vérification avec $x =$ $6$ : $\frac{6}{3} + \frac{6}{6} = 2 + 1 =$ $3$ , et $\frac{6}{2} =$ $3$ . ⚠️ Le piège : additionner les dénominateurs, $\frac{2 x}{9}$ . On n'additionne JAMAIS les dénominateurs.
8. On veut $x$ seul. D'abord, on ajoute $6$ des deux côtés : $y + 6 =$ $3 x$ . Ensuite, $x$ est multiplié par $3$ : on divise les deux côtés par $3$ . Donc $x =$ $\frac{y + 6}{3}$ . ✔️ Vérification : pour $x =$ $4$ , $y = 12 - 6 =$ $6$ , et $\frac{6 + 6}{3} =$ $4$ . ⚠️ Le piège : $x = \frac{y}{3} +$ $6$ . On retire ce qui est « le plus loin » de $x$ en premier : le $- 6$ , puis le $\times 3$ .
9. Hors taxes, toutes taxes a) $P_{TTC} = 1, 2 \times 50 = 60$ €. b) $P_{H T}$ est multiplié par $1, 2$ : on divise par $1, 2$ . Donc $P_{H T} =$ $\frac{P _{TTC}}{1 , 2}$ . c) $P_{H T} = \frac{90}{1 , 2} = \frac{900}{12} = 75$ €. ✔️ Vérification : $1, 2 \times 75 =$ $90$ . ⚠️ Le piège : retirer $20$ % de $90$ , ce qui donne $72$ €. Faux : les $20$ % se calculent sur le prix HT, pas sur le TTC.
prix HT (€) 50 75 100
prix TTC (€) 60 90 120
10. La météo en Fahrenheit a) $1, 8 \times 20 + 32 = 36 + 32 = 68$ °F. $1, 8 \times 0 + 32 = 32$ °F : l'eau gèle à $32$ °F. $1, 8 \times (- 10) + 32 = - 18 + 32 = 14$ °F. b) D'abord on retire $32$ : $F - 32 = 1, 8 \times$ $C$ . Puis on divise par $1, 8$ : $C =$ $\frac{F - 32}{1 , 8}$ . c) $C = \frac{50 - 32}{1 , 8} = \frac{18}{1 , 8} = 10$ °C. Il fait frais. ⚠️ Le piège : diviser $50$ par $1, 8$ avant de retirer $32$ . On défait les opérations dans l'ordre INVERSE.
°C −10 0 10 20
°F 14 32 50 68
11. La vitesse d'un train a) On convertit la durée en heures : $2$ h $30$ min $= 2, 5$ h. $v = \frac{450}{2 , 5} = \frac{4 500}{25} = 180$ km/h. ⚠️ Le piège : écrire $2, 30$ h. Trente minutes, c'est une DEMI-heure, donc $0, 5$ h. b) On isole $t$ : $v = \frac{d}{t}$ donne $t =$ $\frac{d}{v}$ . $t = \frac{540}{180} = 3$ heures.
12. Le taux de natalité a) $n = \frac{600}{50 000} \times 1000 = \frac{600 000}{50 000} = 12$ naissances pour mille habitants. b) On multiplie par $P$ , puis on divise par $1000$ : $N =$ $\frac{n \times P}{1 000}$ . c) $N = \frac{10 \times 80 000}{1 000} = \frac{800 000}{1 000} = 800$ naissances. ⭐ Un taux « pour mille » permet de comparer des villes de tailles différentes : c'est l'outil des démographes.
13. Les intérêts simples a) Par an : $2000 \times 0, 03 = 60$ €. En $4$ ans : $I = 60 \times 4 = 240$ €. b) $n$ est multiplié par $C \times$ $t$ : on divise par $C \times$ $t$ . Donc $n =$ $\frac{I}{C \times t}$ . c) $n = \frac{300}{2 000 \times 0 , 03} = \frac{300}{60} = 5$ ans. ⭐ Intérêts SIMPLES : on gagne la même somme chaque année, $60$ €. Les barres montent d'un pas régulier.
14. Salaire brut, salaire net a) $N = 0, 8 \times 2000 = 1600$ €. b) $B$ est multiplié par $0, 8$ : on divise par $0, 8$ . Donc $B =$ $\frac{N}{0 , 8}$ . c) $B = \frac{2 400}{0 , 8} = \frac{24 000}{8} = 3000$ €. Les cotisations valent $3000 - 2400 = 600$ €. ⚠️ Le piège : ajouter $20$ % au net, $2400 + 480 = 2880$ €. Faux : les $20$ % se prennent sur le BRUT.
15. L'échelle d'une carte a) $D = 25000 \times 4 = 100000$ cm. On convertit : $100000$ cm $= 1000$ m $= 1$ km. b) $d$ est multiplié par $25000$ : $d =$ $\frac{D}{25 000}$ . c) D'abord la même unité : $3$ km $= 300000$ cm. $d = \frac{300 000}{25 000} = 12$ cm. ⚠️ Le piège des unités : $\frac{3}{25 000}$ ne veut rien dire en cm. On convertit AVANT de remplacer.
carte (cm) 1 4 12
réalité (km) 0,25 1 3
16. Le coût moyen a) $M = \frac{5 q + 200}{q} = \frac{5 q}{q} + \frac{200}{q} = 5 +$ $\frac{200}{q}$ . ⚠️ On divise CHAQUE terme du numérateur par $q$ ; on ne « barre » pas le $q$ de $5 q$ tout seul. b) $q =$ $50$ : $5 + \frac{200}{50} = 5 + 4 = 9$ €. $q =$ $100$ : $5 + 2 = 7$ €. $q =$ $200$ : $5 + 1 = 6$ €. c) $\frac{200}{q}$ devient de plus en plus petit : le coût moyen se rapproche de $5$ €. ⭐ Les frais fixes se partagent entre plus d'objets : ce sont les économies d'échelle.
17. Qui paie le plus de TVA ? a) $1 + 0, 2 =$ $1, 2$ : on retrouve bien $P_{TTC} = 1, 2 \times$ $P_{H T}$ . b) $P_{H T}$ est multiplié par $(1 +$ $t)$ : $P_{H T} =$ $\frac{P _{TTC}}{1 + t}$ . c) $t =$ $0, 1$ : $P_{H T} = \frac{44}{1 , 1} = \frac{440}{11} = 40$ €. La TVA vaut $44 - 40 = 4$ €. d) $t =$ $0, 2$ : $P_{H T} = \frac{36}{1 , 2} = \frac{360}{12} = 30$ €. La TVA vaut $36 - 30 = 6$ €. e) Le pull, pourtant moins cher, rapporte plus de TVA : $6$ € contre $4$ €. ⭐ Ce n'est pas le prix qui décide, c'est le prix ET le taux. Sur le diagramme, chaque prix HT est suivi de sa TVA. ⚠️ $10$ % de $44$ € ferait $4, 40$ € : faux, la TVA se calcule sur le HT.
18. La vitesse moyenne d'une livraison a) On multiplie par $t$ , puis on divise par $v$ : $t =$ $\frac{d}{v}$ . b) Aller : $t = \frac{120}{40} = 3$ h. Retour : $t = \frac{120}{60} = 2$ h. c) Distance totale : $240$ km. Durée totale : $3 + 2 = 5$ h. $v = \frac{240}{5} = 48$ km/h. d) Le camion passe PLUS DE TEMPS à $40$ km/h ( $3$ h) qu'à $60$ km/h ( $2$ h) : la vitesse lente pèse plus lourd. ⚠️ Une vitesse moyenne ne se calcule jamais en faisant la moyenne des vitesses : on repart TOUJOURS de $\frac{distance totale}{dur e ˊ e totale}$ .
trajet aller retour total
durée (h) 3 2 5
19. Le prix d'une course en taxi a) $P = 2 + 7 = 9$ €. b) On retire $2$ des deux côtés : $d = P -$ $2$ . c) $d = 12 - 2 = 10$ km. d) Sur le graphique : on part de $8$ sur l'axe vertical, on va jusqu'à la droite, on descend. On lit $6$ km. Par le calcul : $d = 8 - 2 = 6$ km. ✔️ ⭐ Isoler $d$ , c'est lire le graphique « à l'envers » : du prix vers la distance. ⚠️ Le prix n'est PAS proportionnel à la distance : $10$ km coûtent $12$ €, pas le double de $5$ km ( $7$ €).
20. Trois pays, trois densités a) $d = \frac{12 000 000}{300 000} = \frac{120}{3} = 40$ habitants par km². b) On multiplie par $S$ : $N = d \times S = 120 \times 500000 =$ $60000000$ , soit $60$ millions d'habitants. c) $S$ est au dénominateur : on multiplie par $S$ ( $d \times$ $S =$ $N$ ), puis on divise par $d$ : $S =$ $\frac{N}{d}$ . $S = \frac{18 000 000}{90} = 200000$ km². d) $A$ ( $40$ ) $<$ $C$ ( $90$ ) $<$ $B$ ( $120$ ). ⚠️ Le piège : $S =$ $\frac{d}{N}$ . Un pays de $200000$ km² est plausible ; un pays de $0, 000005$ km² ne l'est pas. L'ordre de grandeur trahit l'erreur.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : utiliser une formule, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3