Fractions et puissances : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices sans calculatrice, comme à l'épreuve anticipée : calculer avec des fractions, avec des puissances, passer d'une fraction à un décimal ou à un pourcentage. Un rappel de cours avant chaque niveau, et une correction écrite étape par étape.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. Sans calculatrice.

Rappel de cours

Additionner ou soustraire deux fractions : on les met au MÊME dénominateur, puis on ajoute les numérateurs. Le dénominateur ne bouge plus.
Multiplier : numérateur fois numérateur, dénominateur fois dénominateur. Diviser par une fraction, c'est multiplier par son INVERSE.
Puissances : $a^{m} \times a^{n} =$ $a^{m + n}$ ; $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} =$ $a^{m - n}$ ; $(a^{m})^{n} =$ $a^{m \times n}$ .
Trois écritures d'un même nombre : $\frac{1}{4} = 0, 25 = 25$ %.

1
Calculer $\frac{2}{5} -$ $\frac{3}{10}$ . Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
Voir la correction
$10$ est un multiple de $5$ : on transforme seulement la première fraction. $\frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} =$ $\frac{4}{10}$ . Donc $\frac{4}{10} - \frac{3}{10} =$ $\frac{1}{10}$ . ⚠️ Le piège : soustraire en haut ET en bas, $\frac{2 - 3}{5 - 10}$ . Une addition ou une soustraction ne touche jamais aux dénominateurs. ⭐ La droite graduée le montre : $\frac{3}{10}$ et $\frac{2}{5}$ sont à un dixième l'un de l'autre.
2
Calculer $\frac{3}{4} \times$ $\frac{2}{9}$ .
Voir la correction
Pour multiplier, pas besoin du même dénominateur : on multiplie en haut, et en bas. $\frac{3}{4} \times \frac{2}{9} = \frac{3 \times 2}{4 \times 9} =$ $\frac{6}{36}$ . On simplifie par $6$ : $\frac{6}{36} =$ $\frac{1}{6}$ . ⭐ Plus rapide : simplifier AVANT de multiplier. $3$ et $9$ se simplifient par $3$ , $2$ et $4$ par $2$ . Il reste $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} =$ $\frac{1}{6}$ . ⚠️ Mettre au même dénominateur est inutile ici : c'est le geste de l'addition, pas du produit.
3
Calculer $\frac{5}{6} \div$ $\frac{10}{3}$ .
Voir la correction
Diviser par $\frac{10}{3}$ , c'est multiplier par son inverse, $\frac{3}{10}$ . $\frac{5}{6} \times \frac{3}{10} =$ $\frac{15}{60}$ . On simplifie par $15$ : $\frac{15}{60} =$ $\frac{1}{4}$ . ⚠️ Le piège : retourner la PREMIÈRE fraction. Seule celle par laquelle on divise se retourne. ✔️ Vérification : $\frac{1}{4} \times \frac{10}{3} = \frac{10}{12} =$ $\frac{5}{6}$ .
4
Écrire $(5^{3})^{4} \times 5^{10}$ sous la forme d'une seule puissance de $5$ .
Voir la correction
D'abord la puissance d'une puissance : on MULTIPLIE les exposants. $(5^{3})^{4} = 5^{3 \times 4} =$ $5^{12}$ . Puis le produit de deux puissances de $5$ : on AJOUTE les exposants. $5^{12} \times 5^{10} =$ $5^{22}$ . ⚠️ Deux règles, deux gestes : multiplier pour $(a^{m})^{n}$ , ajouter pour $a^{m} \times$ $a^{n}$ . Tout additionner donnerait $5^{17}$ : c'est faux. ⭐ Question tombée à l'épreuve anticipée de juin 2026 (Asie).
5
Calculer $\frac{2 ^{7} \times 2 ^{- 3}}{2 ^{2}}$ .
Voir la correction
Au numérateur, on ajoute les exposants : $2^{7} \times 2^{- 3} = 2^{7 + (- 3)} =$ $2^{4}$ . Pour le quotient, on SOUSTRAIT les exposants : $\frac{2 ^{4}}{2 ^{2}} = 2^{4 - 2} =$ $2^{2}$ . Et $2^{2} =$ $4$ . ⚠️ Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : $2^{- 3} =$ $\frac{1}{8}$ , qui est positif.
6
Écrire $\frac{2}{5}$ sous forme décimale, puis sous forme de pourcentage.
Voir la correction
Sous forme décimale : on multiplie en haut et en bas par $2$ . $\frac{2}{5} = \frac{4}{10} =$ $0, 4$ . En pourcentage : on veut le dénominateur $100$ . $\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 40$ %. ⚠️ Le piège : écrire $0, 4$ %. Un pourcentage, c'est le décimal multiplié par $100$ : $0, 4 = 40$ %. ⭐ Question tombée à l'épreuve anticipée de juin 2026.
7
Écrire $0, 125$ sous forme de fraction irréductible, puis en pourcentage.
Voir la correction
$0, 125$ a trois chiffres après la virgule : c'est $\frac{125}{1000}$ . On simplifie par $125$ , car $125 \times 8 =$ $1000$ : $\frac{125}{1000} =$ $\frac{1}{8}$ . En pourcentage : $0, 125 \times 100 = 12, 5$ %. ⭐ À connaître par cœur : $\frac{1}{2} = 50$ %, $\frac{1}{4} = 25$ %, $\frac{1}{8} = 12, 5$ %. Chaque fois qu'on coupe en deux, le pourcentage est divisé par deux.
8
Donner l'écriture décimale de $3, 2 \times$ $1 0^{4}$ , puis celle de $5 \times$ $1 0^{- 3}$ .
Voir la correction
$1 0^{4} =$ $10000$ : multiplier par $1 0^{4}$ décale la virgule de $4$ rangs vers la droite. $3, 2 \times 1 0^{4} =$ $32000$ . $1 0^{- 3} =$ $0, 001$ : multiplier par $1 0^{- 3}$ décale la virgule de $3$ rangs vers la GAUCHE. $5 \times 1 0^{- 3} =$ $0, 005$ . ⚠️ Le piège : $1 0^{- 3}$ n'est pas $- 1000$ . L'exposant négatif veut dire « petit », pas « négatif ».

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Traduire la situation en calcul, puis conclure par une phrase. Sans calculatrice.

Rappel de cours

Prendre une fraction d'une quantité, c'est MULTIPLIER : $\frac{2}{3}$ de $600$ , c'est $\frac{2}{3} \times 600 =$ $400$ .
Ce qui reste quand on a retiré des parts : $1$ moins la somme des parts.
Pour comparer des parts, on les écrit toutes en pourcentage, c'est-à-dire sur $100$ .
Les grands nombres s'écrivent avec des puissances de $10$ : un million $=$ $1 0^{6}$ , un milliard $=$ $1 0^{9}$ .

9Le budget d'un ménage
Un ménage gagne $2400$ € par mois. Il consacre $\frac{1}{3}$ de ce revenu au logement et $\frac{1}{4}$ à l'alimentation. a) Quelle fraction du revenu reste-t-il pour le reste des dépenses ? b) Combien d'euros cela représente-t-il ?
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a) On additionne les deux parts sur le dénominateur commun $12$ : $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} =$ $\frac{7}{12}$ . Le reste, c'est le tout moins les parts : $1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} =$ $\frac{5}{12}$ . b) $\frac{1}{12}$ du revenu, c'est $2400 \div 12 = 200$ €. Donc $\frac{5}{12}$ , c'est $5 \times 200 = 1000$ €. ✔️ En euros : logement $800$ €, alimentation $600$ €, reste $1000$ €. Total : $2400$ €. ⚠️ Le piège : $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} =$ $\frac{2}{7}$ . On n'additionne jamais les dénominateurs.
10Les emplois d'une région
Dans une région (chiffres d'un modèle), $\frac{2}{3}$ des actifs travaillent dans les services, et parmi eux $\frac{3}{8}$ travaillent dans le commerce. Quelle fraction de tous les actifs travaille dans le commerce ? Donner aussi le pourcentage.
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« $\frac{3}{8}$ DE $\frac{2}{3}$ » : le mot « de » se traduit par une multiplication. $\frac{3}{8} \times \frac{2}{3} =$ $\frac{6}{24}$ . On simplifie par $6$ : $\frac{6}{24} =$ $\frac{1}{4}$ . En pourcentage : $\frac{1}{4} = 25$ %. Un actif sur quatre travaille dans le commerce. ⚠️ Le piège : additionner $\frac{2}{3} +$ $\frac{3}{8}$ . Une part d'une part se MULTIPLIE, et le résultat est plus petit que chacune des deux.
11Trois pays, trois écritures
Dans trois pays (chiffres d'un modèle), la part des actifs au chômage est donnée ainsi : pays $A$ , $\frac{1}{20}$ ; pays $B$ , $0, 08$ ; pays $C$ , $\frac{3}{50}$ . Ranger les trois pays du taux le plus bas au taux le plus haut.
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Trois écritures différentes : on les met toutes en pourcentage. $A$ : $\frac{1}{20} = \frac{5}{100} = 5$ % (on a multiplié en haut et en bas par $5$ ). $B$ : $0, 08 = \frac{8}{100} = 8$ %. $C$ : $\frac{3}{50} = \frac{6}{100} = 6$ % (on a multiplié par $2$ ). Du plus bas au plus haut : $A$ ( $5$ %), puis $C$ ( $6$ %), puis $B$ ( $8$ %). ⭐ Une même écriture pour tous, et la comparaison se fait d'un coup d'œil, comme sur le diagramme. ⚠️ Le piège : croire que $\frac{3}{50}$ est petit « parce que $50$ est grand ».
12Les dépenses d'un État
Un pays (chiffres d'un modèle) compte $60$ millions d'habitants, et son État dépense $480$ milliards d'euros par an. a) Écrire ces deux nombres sous la forme $a \times$ $1 0^{n}$ , avec $1 ⩽ a <$ $10$ . b) Combien l'État dépense-t-il par habitant et par an ?
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a) Un million, c'est $1 0^{6}$ : $60$ millions $= 60 \times 1 0^{6} = 6 \times$ $1 0^{7}$ . Un milliard, c'est $1 0^{9}$ : $480$ milliards $= 480 \times 1 0^{9} = 4, 8 \times$ $1 0^{11}$ . b) Par habitant, on divise : $\frac{4 , 8 \times 1 0 ^{11}}{6 \times 1 0 ^{7}}$ . Les nombres d'un côté : $\frac{4 , 8}{6} =$ $0, 8$ . Les puissances de l'autre : $\frac{1 0 ^{11}}{1 0 ^{7}} = 1 0^{11 - 7} =$ $1 0^{4}$ . Résultat : $0, 8 \times 1 0^{4} = 8000$ € par habitant et par an. ⚠️ Le piège : diviser $11$ par $7$ . Pour un quotient de puissances, on SOUSTRAIT les exposants.
13Une énigme ancienne
Une vieille énigme raconte qu'un père laisse des chameaux à ses trois fils : $\frac{1}{2}$ du troupeau pour l'aîné, $\frac{1}{3}$ pour le deuxième, $\frac{1}{9}$ pour le plus jeune. a) Quelle fraction du troupeau le père a-t-il distribuée ? b) Le troupeau compte $18$ chameaux. Combien chaque fils en reçoit-il, et combien en reste-t-il ?
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a) Dénominateur commun $18$ , car $18$ est un multiple de $2$ , de $3$ et de $9$ . $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18} =$ $\frac{17}{18}$ . Le père n'a PAS tout distribué : il reste $1 - \frac{17}{18} = \frac{1}{18}$ du troupeau. b) $\frac{1}{2}$ de $18$ : $9$ . $\frac{1}{3}$ de $18$ : $6$ . $\frac{1}{9}$ de $18$ : $2$ . $9 + 6 + 2 =$ $17$ : il reste $1$ chameau, c'est bien $\frac{1}{18}$ de $18$ . ⭐ Dans l'énigme, le troupeau compte $17$ chameaux, et un voyageur prête le sien pour faire $18$ : il le reprend à la fin ! Le calcul explique le tour : les trois parts ne font pas $1$ .
14Un loyer qui augmente
En dix ans, un loyer est passé de $800$ € à $1000$ € par mois (chiffres d'un modèle). a) Écrire le quotient $\frac{1 000}{800}$ sous forme de fraction irréductible, puis sous forme décimale. b) De quel pourcentage le loyer a-t-il augmenté ?
Voir la correction
a) On simplifie par $200$ : $\frac{1 000}{800} =$ $\frac{5}{4}$ . Et $\frac{5}{4} = 1 + \frac{1}{4} =$ $1, 25$ . b) $1, 25 = 125$ % : le nouveau loyer vaut $125$ % de l'ancien. Il a donc augmenté de $125 - 100 = 25$ %. ✔️ En euros : $25$ % de $800$ , c'est $200$ €, et $800 + 200 =$ $1000$ . ⚠️ Le piège : répondre « $125$ % d'augmentation ». Le quotient dit ce que l'on paie, pas ce que l'on paie EN PLUS.
15Le prix du stockage
Selon un modèle simplifié, le prix d'un gigaoctet de mémoire est divisé par $10$ tous les cinq ans. En $2000$ , il vaut $1 0^{3}$ €. a) Écrire le prix en $2005$ , $2010$ , $2015$ et $2020$ sous forme de puissances de $10$ . b) Par combien le prix a-t-il été divisé entre $2000$ et $2020$ ?
Voir la correction
a) Diviser par $10$ , c'est enlever $1$ à l'exposant. $2005$ : $1 0^{2}$ €. $2010$ : $1 0^{1} = 10$ €. $2015$ : $1 0^{0} = 1$ €. $2020$ : $1 0^{- 1} = 0, 1$ €. b) $\frac{1 0 ^{3}}{1 0 ^{- 1}} = 1 0^{3 - (- 1)} =$ $1 0^{4}$ : le prix a été divisé par $10000$ . ⭐ $1 0^{0} = 1$ et $1 0^{- 1} =$ $0, 1$ : les exposants continuent sous zéro, avec la même règle. ⚠️ Le piège : $3 - (- 1) =$ $2$ . Retirer un nombre négatif, c'est AJOUTER : $3 + 1 =$ $4$ .
année prix (€)
2000 1000
2005 100
2010 10
2015 1
2020 0,1
année 2000 2005 2010 2015 2020
prix (€) 1000 100 10 1 0,1
16Le territoire en parts
Le diagramme donne, selon un modèle arrondi, la part du territoire d'un pays occupée par les forêts, les terres agricoles et le reste (villes, routes, eaux…), en pourcentage. a) Écrire chaque part sous forme de fraction irréductible. b) Vérifier que la somme des trois fractions vaut $1$ . c) Le pays mesure $550000$ km². Quelle surface est couverte de forêts ?
Voir la correction
a) Un pourcentage est une fraction sur $100$ , qu'on simplifie. Forêts : $\frac{30}{100} =$ $\frac{3}{10}$ . Terres agricoles : $\frac{50}{100} =$ $\frac{1}{2}$ . Autres : $\frac{20}{100} =$ $\frac{1}{5}$ . b) Tout sur $10$ : $\frac{3}{10} + \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{10}{10} =$ $1$ . Les trois parts couvrent bien tout le territoire. c) $\frac{3}{10}$ de $550000$ : $550000 \div 10 =$ $55000$ , puis $55000 \times 3 = 165000$ km². ⭐ Dans un camembert, la somme des parts vaut toujours $1$ , soit $100$ %.

année	prix (€)
2000	1000
2005	100
2010	10
2015	1
2020	0,1

année	2000	2005	2010	2015	2020
prix (€)	1000	100	10	1	0,1

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Un problème complet, avec ses questions qui s'enchaînent. Sans calculatrice.

Rappel de cours

Deux évolutions successives se MULTIPLIENT : $\times \frac{5}{4}$ puis $\times \frac{6}{5}$ , c'est $\times \frac{5}{4} \times$ $\frac{6}{5}$ .
Quotient de deux nombres écrits avec des puissances de $10$ : on divise les nombres entre eux, puis on soustrait les exposants.
On conclut par une phrase, avec l'unité, et on se demande si le résultat est vraisemblable.

17Le pouvoir d'achat
En dix ans (chiffres d'un modèle), les prix ont été multipliés par $\frac{5}{4}$ et un salaire par $\frac{6}{5}$ . a) Écrire chacune de ces hausses en pourcentage. b) Le pouvoir d'achat est multiplié par $\frac{6}{5} \div$ $\frac{5}{4}$ . Calculer ce nombre sous forme de fraction, puis sous forme décimale. c) Le salarié peut-il acheter plus, ou moins, qu'il y a dix ans ? De combien de pour cent ?
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a) $\frac{5}{4} =$ $1, 25$ : les prix ont augmenté de $25$ %. $\frac{6}{5} =$ $1, 2$ : le salaire a augmenté de $20$ %. b) Diviser par $\frac{5}{4}$ , c'est multiplier par $\frac{4}{5}$ : $\frac{6}{5} \times \frac{4}{5} =$ $\frac{24}{25}$ . Sur $100$ : $\frac{24}{25} = \frac{96}{100} =$ $0, 96$ . c) $0, 96 <$ $1$ : il peut acheter MOINS, $96$ % de ce qu'il achetait, soit $4$ % de moins. ⚠️ Le piège : « $+ 20$ % contre $+ 25$ %, donc $- 5$ % ». Des évolutions se multiplient ou se divisent, elles ne se soustraient pas. ⭐ Son salaire a augmenté, et pourtant il peut acheter moins : c'est exactement ce que mesure le pouvoir d'achat. Le diagramme le montre en base $100$ : la barre des prix dépasse celle du salaire.
18La richesse par habitant
On compare deux pays (chiffres d'un modèle). Le pays $A$ produit chaque année $2800$ milliards d'euros de richesses pour $70$ millions d'habitants ; le pays $B$ en produit $18000$ milliards pour $300$ millions d'habitants. a) Écrire ces quatre nombres sous la forme $a \times$ $1 0^{n}$ , avec $1 ⩽ a <$ $10$ . b) Calculer la richesse produite par habitant dans chaque pays. c) Combien de fois celle de $B$ contient-elle celle de $A$ ? Donner le résultat en fraction, en décimal, puis en pourcentage de plus.
Voir la correction
a) $2800$ milliards $= 2, 8 \times 1 0^{3} \times 1 0^{9} = 2, 8 \times$ $1 0^{12}$ . $70$ millions $= 7 \times$ $1 0^{7}$ . $18000$ milliards $= 1, 8 \times 1 0^{4} \times 1 0^{9} = 1, 8 \times$ $1 0^{13}$ . $300$ millions $= 3 \times$ $1 0^{8}$ . b) $A$ : $\frac{2 , 8 \times 1 0 ^{12}}{7 \times 1 0 ^{7}} = 0, 4 \times 1 0^{5} = 40000$ € par habitant. $B$ : $\frac{1 , 8 \times 1 0 ^{13}}{3 \times 1 0 ^{8}} = 0, 6 \times 1 0^{5} = 60000$ € par habitant. c) $\frac{60 000}{40 000} = \frac{3}{2} =$ $1, 5$ : $B$ produit par habitant $150$ % de ce que produit $A$ , soit $50$ % de plus. ⚠️ Le piège : comparer directement $2800$ et $18000$ milliards. $B$ produit environ six fois plus, mais pour environ quatre fois plus d'habitants : c'est le quotient PAR HABITANT qui compte. ⭐ $0, 4 \times$ $1 0^{5}$ : on décale la virgule de $5$ rangs vers la droite, $40000$ .
19La TVA et les soldes
Un article coûte $50$ € hors taxes (HT). Le prix toutes taxes comprises (TTC) s'obtient en ajoutant une TVA de $20$ %. a) Écrire $20$ % sous forme de fraction irréductible. Par quelle fraction multiplie-t-on le prix HT pour obtenir le prix TTC ? b) Calculer le prix TTC. c) Pendant les soldes, le magasin retire $\frac{1}{6}$ du prix TTC. Calculer le prix soldé. Que remarque-t-on ? d) Écrire $\frac{1}{6}$ en pourcentage, arrondi à l'unité. Pourquoi une remise de $20$ % ne ramène-t-elle pas au prix HT ?
Voir la correction
a) $20$ % $= \frac{20}{100} =$ $\frac{1}{5}$ . Ajouter un cinquième, c'est multiplier par $1 + \frac{1}{5} =$ $\frac{6}{5}$ . b) $50 \times \frac{6}{5} = \frac{300}{5} = 60$ € TTC. c) Retirer $\frac{1}{6}$ , c'est multiplier par $1 - \frac{1}{6} =$ $\frac{5}{6}$ . $60 \times \frac{5}{6} = 50$ €. On retombe sur le prix HT, car $\frac{6}{5} \times \frac{5}{6} =$ $1$ . d) $\frac{1}{6} \approx$ $0, 167$ , soit environ $17$ %. Une remise de $20$ % donnerait $60 \times \frac{4}{5} = 48$ €, moins que le prix HT : ces $20$ % portent sur $60$ €, pas sur $50$ €. ⚠️ Le piège : croire qu'une baisse de $20$ % annule une hausse de $20$ %. Pour revenir en arrière, on multiplie par l'INVERSE, $\frac{5}{6}$ . ⭐ En pourcentage, la chose se cache ; en fraction, elle saute aux yeux : $\frac{6}{5}$ et $\frac{5}{6}$ sont inverses.
20Une ville qui double
Selon un modèle, une ville industrielle compte $5000$ habitants en $1850$ , et sa population double tous les $30$ ans jusqu'en $1970$ . a) Combien de fois la population double-t-elle entre $1850$ et $1970$ ? Par quelle puissance de $2$ est-elle multipliée ? b) Calculer la population en $1970$ , et l'écrire sous la forme $a \times$ $1 0^{n}$ . c) Si ce rythme avait continué jusqu'en $2090$ , la ville aurait-elle dépassé un million d'habitants ?
Voir la correction
a) De $1850$ à $1970$ : $120$ ans, soit $\frac{120}{30} = 4$ doublements. La population est multipliée par $2^{4} =$ $16$ . b) $5000 \times 16 = 80000$ habitants, soit $8 \times$ $1 0^{4}$ . c) De $1850$ à $2090$ : $240$ ans, soit $8$ doublements, donc $\times 2^{8} =$ $256$ . $5000 \times 256 =$ $1280000$ : oui, plus d'un million. ✔️ Autre chemin : $2^{8} = 2^{4} \times$ $2^{4}$ , donc $80000 \times 16 =$ $1280000$ . ⚠️ Le piège : $4$ doublements, ce n'est pas $\times 4$ , ni $\times 8$ . C'est $\times 2 \times 2 \times 2 \times 2 =$ $\times 16$ . ⭐ Le diagramme, en milliers d'habitants : chaque barre est le double de la précédente. Aucune ville ne double indéfiniment : un modèle a ses limites.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : fractions et puissances, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. $10$ est un multiple de $5$ : on transforme seulement la première fraction. $\frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} =$ $\frac{4}{10}$ . Donc $\frac{4}{10} - \frac{3}{10} =$ $\frac{1}{10}$ . ⚠️ Le piège : soustraire en haut ET en bas, $\frac{2 - 3}{5 - 10}$ . Une addition ou une soustraction ne touche jamais aux dénominateurs. ⭐ La droite graduée le montre : $\frac{3}{10}$ et $\frac{2}{5}$ sont à un dixième l'un de l'autre.
2. Pour multiplier, pas besoin du même dénominateur : on multiplie en haut, et en bas. $\frac{3}{4} \times \frac{2}{9} = \frac{3 \times 2}{4 \times 9} =$ $\frac{6}{36}$ . On simplifie par $6$ : $\frac{6}{36} =$ $\frac{1}{6}$ . ⭐ Plus rapide : simplifier AVANT de multiplier. $3$ et $9$ se simplifient par $3$ , $2$ et $4$ par $2$ . Il reste $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} =$ $\frac{1}{6}$ . ⚠️ Mettre au même dénominateur est inutile ici : c'est le geste de l'addition, pas du produit.
3. Diviser par $\frac{10}{3}$ , c'est multiplier par son inverse, $\frac{3}{10}$ . $\frac{5}{6} \times \frac{3}{10} =$ $\frac{15}{60}$ . On simplifie par $15$ : $\frac{15}{60} =$ $\frac{1}{4}$ . ⚠️ Le piège : retourner la PREMIÈRE fraction. Seule celle par laquelle on divise se retourne. ✔️ Vérification : $\frac{1}{4} \times \frac{10}{3} = \frac{10}{12} =$ $\frac{5}{6}$ .
4. D'abord la puissance d'une puissance : on MULTIPLIE les exposants. $(5^{3})^{4} = 5^{3 \times 4} =$ $5^{12}$ . Puis le produit de deux puissances de $5$ : on AJOUTE les exposants. $5^{12} \times 5^{10} =$ $5^{22}$ . ⚠️ Deux règles, deux gestes : multiplier pour $(a^{m})^{n}$ , ajouter pour $a^{m} \times$ $a^{n}$ . Tout additionner donnerait $5^{17}$ : c'est faux. ⭐ Question tombée à l'épreuve anticipée de juin 2026 (Asie).
5. Au numérateur, on ajoute les exposants : $2^{7} \times 2^{- 3} = 2^{7 + (- 3)} =$ $2^{4}$ . Pour le quotient, on SOUSTRAIT les exposants : $\frac{2 ^{4}}{2 ^{2}} = 2^{4 - 2} =$ $2^{2}$ . Et $2^{2} =$ $4$ . ⚠️ Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : $2^{- 3} =$ $\frac{1}{8}$ , qui est positif.
6. Sous forme décimale : on multiplie en haut et en bas par $2$ . $\frac{2}{5} = \frac{4}{10} =$ $0, 4$ . En pourcentage : on veut le dénominateur $100$ . $\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 40$ %. ⚠️ Le piège : écrire $0, 4$ %. Un pourcentage, c'est le décimal multiplié par $100$ : $0, 4 = 40$ %. ⭐ Question tombée à l'épreuve anticipée de juin 2026.
7. $0, 125$ a trois chiffres après la virgule : c'est $\frac{125}{1000}$ . On simplifie par $125$ , car $125 \times 8 =$ $1000$ : $\frac{125}{1000} =$ $\frac{1}{8}$ . En pourcentage : $0, 125 \times 100 = 12, 5$ %. ⭐ À connaître par cœur : $\frac{1}{2} = 50$ %, $\frac{1}{4} = 25$ %, $\frac{1}{8} = 12, 5$ %. Chaque fois qu'on coupe en deux, le pourcentage est divisé par deux.
8. $1 0^{4} =$ $10000$ : multiplier par $1 0^{4}$ décale la virgule de $4$ rangs vers la droite. $3, 2 \times 1 0^{4} =$ $32000$ . $1 0^{- 3} =$ $0, 001$ : multiplier par $1 0^{- 3}$ décale la virgule de $3$ rangs vers la GAUCHE. $5 \times 1 0^{- 3} =$ $0, 005$ . ⚠️ Le piège : $1 0^{- 3}$ n'est pas $- 1000$ . L'exposant négatif veut dire « petit », pas « négatif ».
9. Le budget d'un ménage a) On additionne les deux parts sur le dénominateur commun $12$ : $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} =$ $\frac{7}{12}$ . Le reste, c'est le tout moins les parts : $1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} =$ $\frac{5}{12}$ . b) $\frac{1}{12}$ du revenu, c'est $2400 \div 12 = 200$ €. Donc $\frac{5}{12}$ , c'est $5 \times 200 = 1000$ €. ✔️ En euros : logement $800$ €, alimentation $600$ €, reste $1000$ €. Total : $2400$ €. ⚠️ Le piège : $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} =$ $\frac{2}{7}$ . On n'additionne jamais les dénominateurs.
10. Les emplois d'une région « $\frac{3}{8}$ DE $\frac{2}{3}$ » : le mot « de » se traduit par une multiplication. $\frac{3}{8} \times \frac{2}{3} =$ $\frac{6}{24}$ . On simplifie par $6$ : $\frac{6}{24} =$ $\frac{1}{4}$ . En pourcentage : $\frac{1}{4} = 25$ %. Un actif sur quatre travaille dans le commerce. ⚠️ Le piège : additionner $\frac{2}{3} +$ $\frac{3}{8}$ . Une part d'une part se MULTIPLIE, et le résultat est plus petit que chacune des deux.
11. Trois pays, trois écritures Trois écritures différentes : on les met toutes en pourcentage. $A$ : $\frac{1}{20} = \frac{5}{100} = 5$ % (on a multiplié en haut et en bas par $5$ ). $B$ : $0, 08 = \frac{8}{100} = 8$ %. $C$ : $\frac{3}{50} = \frac{6}{100} = 6$ % (on a multiplié par $2$ ). Du plus bas au plus haut : $A$ ( $5$ %), puis $C$ ( $6$ %), puis $B$ ( $8$ %). ⭐ Une même écriture pour tous, et la comparaison se fait d'un coup d'œil, comme sur le diagramme. ⚠️ Le piège : croire que $\frac{3}{50}$ est petit « parce que $50$ est grand ».
12. Les dépenses d'un État a) Un million, c'est $1 0^{6}$ : $60$ millions $= 60 \times 1 0^{6} = 6 \times$ $1 0^{7}$ . Un milliard, c'est $1 0^{9}$ : $480$ milliards $= 480 \times 1 0^{9} = 4, 8 \times$ $1 0^{11}$ . b) Par habitant, on divise : $\frac{4 , 8 \times 1 0 ^{11}}{6 \times 1 0 ^{7}}$ . Les nombres d'un côté : $\frac{4 , 8}{6} =$ $0, 8$ . Les puissances de l'autre : $\frac{1 0 ^{11}}{1 0 ^{7}} = 1 0^{11 - 7} =$ $1 0^{4}$ . Résultat : $0, 8 \times 1 0^{4} = 8000$ € par habitant et par an. ⚠️ Le piège : diviser $11$ par $7$ . Pour un quotient de puissances, on SOUSTRAIT les exposants.
13. Une énigme ancienne a) Dénominateur commun $18$ , car $18$ est un multiple de $2$ , de $3$ et de $9$ . $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18} =$ $\frac{17}{18}$ . Le père n'a PAS tout distribué : il reste $1 - \frac{17}{18} = \frac{1}{18}$ du troupeau. b) $\frac{1}{2}$ de $18$ : $9$ . $\frac{1}{3}$ de $18$ : $6$ . $\frac{1}{9}$ de $18$ : $2$ . $9 + 6 + 2 =$ $17$ : il reste $1$ chameau, c'est bien $\frac{1}{18}$ de $18$ . ⭐ Dans l'énigme, le troupeau compte $17$ chameaux, et un voyageur prête le sien pour faire $18$ : il le reprend à la fin ! Le calcul explique le tour : les trois parts ne font pas $1$ .
14. Un loyer qui augmente a) On simplifie par $200$ : $\frac{1 000}{800} =$ $\frac{5}{4}$ . Et $\frac{5}{4} = 1 + \frac{1}{4} =$ $1, 25$ . b) $1, 25 = 125$ % : le nouveau loyer vaut $125$ % de l'ancien. Il a donc augmenté de $125 - 100 = 25$ %. ✔️ En euros : $25$ % de $800$ , c'est $200$ €, et $800 + 200 =$ $1000$ . ⚠️ Le piège : répondre « $125$ % d'augmentation ». Le quotient dit ce que l'on paie, pas ce que l'on paie EN PLUS.
15. Le prix du stockage a) Diviser par $10$ , c'est enlever $1$ à l'exposant. $2005$ : $1 0^{2}$ €. $2010$ : $1 0^{1} = 10$ €. $2015$ : $1 0^{0} = 1$ €. $2020$ : $1 0^{- 1} = 0, 1$ €. b) $\frac{1 0 ^{3}}{1 0 ^{- 1}} = 1 0^{3 - (- 1)} =$ $1 0^{4}$ : le prix a été divisé par $10000$ . ⭐ $1 0^{0} = 1$ et $1 0^{- 1} =$ $0, 1$ : les exposants continuent sous zéro, avec la même règle. ⚠️ Le piège : $3 - (- 1) =$ $2$ . Retirer un nombre négatif, c'est AJOUTER : $3 + 1 =$ $4$ .
année prix (€)
2000 1000
2005 100
2010 10
2015 1
2020 0,1
année 2000 2005 2010 2015 2020
prix (€) 1000 100 10 1 0,1
16. Le territoire en parts a) Un pourcentage est une fraction sur $100$ , qu'on simplifie. Forêts : $\frac{30}{100} =$ $\frac{3}{10}$ . Terres agricoles : $\frac{50}{100} =$ $\frac{1}{2}$ . Autres : $\frac{20}{100} =$ $\frac{1}{5}$ . b) Tout sur $10$ : $\frac{3}{10} + \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{10}{10} =$ $1$ . Les trois parts couvrent bien tout le territoire. c) $\frac{3}{10}$ de $550000$ : $550000 \div 10 =$ $55000$ , puis $55000 \times 3 = 165000$ km². ⭐ Dans un camembert, la somme des parts vaut toujours $1$ , soit $100$ %.
17. Le pouvoir d'achat a) $\frac{5}{4} =$ $1, 25$ : les prix ont augmenté de $25$ %. $\frac{6}{5} =$ $1, 2$ : le salaire a augmenté de $20$ %. b) Diviser par $\frac{5}{4}$ , c'est multiplier par $\frac{4}{5}$ : $\frac{6}{5} \times \frac{4}{5} =$ $\frac{24}{25}$ . Sur $100$ : $\frac{24}{25} = \frac{96}{100} =$ $0, 96$ . c) $0, 96 <$ $1$ : il peut acheter MOINS, $96$ % de ce qu'il achetait, soit $4$ % de moins. ⚠️ Le piège : « $+ 20$ % contre $+ 25$ %, donc $- 5$ % ». Des évolutions se multiplient ou se divisent, elles ne se soustraient pas. ⭐ Son salaire a augmenté, et pourtant il peut acheter moins : c'est exactement ce que mesure le pouvoir d'achat. Le diagramme le montre en base $100$ : la barre des prix dépasse celle du salaire.
18. La richesse par habitant a) $2800$ milliards $= 2, 8 \times 1 0^{3} \times 1 0^{9} = 2, 8 \times$ $1 0^{12}$ . $70$ millions $= 7 \times$ $1 0^{7}$ . $18000$ milliards $= 1, 8 \times 1 0^{4} \times 1 0^{9} = 1, 8 \times$ $1 0^{13}$ . $300$ millions $= 3 \times$ $1 0^{8}$ . b) $A$ : $\frac{2 , 8 \times 1 0 ^{12}}{7 \times 1 0 ^{7}} = 0, 4 \times 1 0^{5} = 40000$ € par habitant. $B$ : $\frac{1 , 8 \times 1 0 ^{13}}{3 \times 1 0 ^{8}} = 0, 6 \times 1 0^{5} = 60000$ € par habitant. c) $\frac{60 000}{40 000} = \frac{3}{2} =$ $1, 5$ : $B$ produit par habitant $150$ % de ce que produit $A$ , soit $50$ % de plus. ⚠️ Le piège : comparer directement $2800$ et $18000$ milliards. $B$ produit environ six fois plus, mais pour environ quatre fois plus d'habitants : c'est le quotient PAR HABITANT qui compte. ⭐ $0, 4 \times$ $1 0^{5}$ : on décale la virgule de $5$ rangs vers la droite, $40000$ .
19. La TVA et les soldes a) $20$ % $= \frac{20}{100} =$ $\frac{1}{5}$ . Ajouter un cinquième, c'est multiplier par $1 + \frac{1}{5} =$ $\frac{6}{5}$ . b) $50 \times \frac{6}{5} = \frac{300}{5} = 60$ € TTC. c) Retirer $\frac{1}{6}$ , c'est multiplier par $1 - \frac{1}{6} =$ $\frac{5}{6}$ . $60 \times \frac{5}{6} = 50$ €. On retombe sur le prix HT, car $\frac{6}{5} \times \frac{5}{6} =$ $1$ . d) $\frac{1}{6} \approx$ $0, 167$ , soit environ $17$ %. Une remise de $20$ % donnerait $60 \times \frac{4}{5} = 48$ €, moins que le prix HT : ces $20$ % portent sur $60$ €, pas sur $50$ €. ⚠️ Le piège : croire qu'une baisse de $20$ % annule une hausse de $20$ %. Pour revenir en arrière, on multiplie par l'INVERSE, $\frac{5}{6}$ . ⭐ En pourcentage, la chose se cache ; en fraction, elle saute aux yeux : $\frac{6}{5}$ et $\frac{5}{6}$ sont inverses.
20. Une ville qui double a) De $1850$ à $1970$ : $120$ ans, soit $\frac{120}{30} = 4$ doublements. La population est multipliée par $2^{4} =$ $16$ . b) $5000 \times 16 = 80000$ habitants, soit $8 \times$ $1 0^{4}$ . c) De $1850$ à $2090$ : $240$ ans, soit $8$ doublements, donc $\times 2^{8} =$ $256$ . $5000 \times 256 =$ $1280000$ : oui, plus d'un million. ✔️ Autre chemin : $2^{8} = 2^{4} \times$ $2^{4}$ , donc $80000 \times 16 =$ $1280000$ . ⚠️ Le piège : $4$ doublements, ce n'est pas $\times 4$ , ni $\times 8$ . C'est $\times 2 \times 2 \times 2 \times 2 =$ $\times 16$ . ⭐ Le diagramme, en milliers d'habitants : chaque barre est le double de la précédente. Aucune ville ne double indéfiniment : un modèle a ses limites.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : fractions et puissances, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3