Moyenne, médiane, quartiles : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices sans calculatrice, comme à l'épreuve anticipée : calculer une moyenne (avec effectifs, avec classes), ranger pour trouver la médiane, les quartiles, lire et comparer des boîtes à moustaches, et dire ce que les nombres racontent. Salaires, loyers, patrimoine, temps de trajet, climat, dons à une association. Un rappel de cours avant chaque niveau, et une correction écrite étape par étape.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Un indicateur par exercice. Sans calculatrice.

Rappel de cours

MOYENNE : la somme des valeurs divisée par leur nombre. Avec des effectifs, chaque valeur compte autant de fois que son effectif.
MÉDIANE : on RANGE la série. Effectif impair : la valeur du milieu. Effectif pair : la moyenne des deux valeurs du milieu.
QUARTILES d'une série rangée de $N$ valeurs : $Q_{1}$ est la valeur de rang $\frac{N}{4}$ , $Q_{3}$ celle de rang $\frac{3 N}{4}$ , rangs arrondis à l'entier SUPÉRIEUR.
Diagramme en boîte : minimum, $Q_{1}$ , médiane, $Q_{3}$ , maximum.

1
Températures relevées à midi pendant cinq jours, en °C : $12$ , $15$ , $9$ , $14$ , $10$ . Calculer la température moyenne.
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On additionne les cinq valeurs : $12 + 15 + 9 + 14 + 10 =$ $60$ . On divise par leur nombre, $5$ : $\frac{60}{5} = 12$ °C. ⚠️ Le piège : faire la moyenne de la plus petite et de la plus grande, $\frac{9 + 15}{2} =$ $12$ . Ici on tombe juste par hasard ; en général, c'est faux.
2
Voici les six dernières notes, sur $5$ , attribuées à un hôtel : $2$ ; $3$ ; $5$ ; $4$ ; $2$ ; $3$ . Quelle est la médiane de cette série ?
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On RANGE d'abord : $2$ ; $2$ ; $3$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ . $6$ valeurs, un nombre pair : la médiane est la moyenne des $3^{e}$ et $4^{e}$ valeurs. $\frac{3 + 3}{2} =$ $3$ . La médiane est $3$ . ⛔ Le piège : prendre les $3^{e}$ et $4^{e}$ valeurs SANS ranger, $5$ et $4$ , et répondre $4, 5$ .
Rang 1 2 3 4 5 6
Valeur 2 2 3 3 4 5
3
Déterminer la médiane de la série : $8$ , $13$ , $5$ , $11$ , $16$ , $7$ , $10$ .
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On range : $5$ , $7$ , $8$ , $10$ , $11$ , $13$ , $16$ . $7$ valeurs, un nombre impair : la médiane est la valeur du milieu, la $4^{e}$ . La médiane est $10$ : trois valeurs en dessous, trois au-dessus. ⛔ Le piège : prendre la $4^{e}$ valeur de la liste telle qu'elle arrive, $11$ .
4
Une série rangée compte $8$ valeurs : $3$ , $5$ , $6$ , $8$ , $9$ , $11$ , $12$ , $15$ . Déterminer $Q_{1}$ et $Q_{3}$ .
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$Q_{1}$ : $\frac{8}{4} =$ $2$ . C'est la $2^{e}$ valeur : $Q_{1} =$ $5$ . $Q_{3}$ : $\frac{3 \times 8}{4} =$ $6$ . C'est la $6^{e}$ valeur : $Q_{3} =$ $11$ . ⭐ Au moins un quart des valeurs sont inférieures ou égales à $5$ , au moins trois quarts à $11$ . ✔️ Au passage, la médiane : $\frac{8 + 9}{2} =$ $8, 5$ .
5
Déterminer $Q_{1}$ et $Q_{3}$ de la série de $10$ valeurs : $12$ , $4$ , $9$ , $15$ , $7$ , $10$ , $6$ , $13$ , $8$ , $11$ .
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On range : $4$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , $10$ , $11$ , $12$ , $13$ , $15$ . $Q_{1}$ : $\frac{10}{4} =$ $2, 5$ , arrondi à $3$ . La $3^{e}$ valeur : $Q_{1} =$ $7$ . $Q_{3}$ : $\frac{3 \times 10}{4} =$ $7, 5$ , arrondi à $8$ . La $8^{e}$ valeur : $Q_{3} =$ $12$ . ⛔ Le piège : arrondir $2, 5$ à $2$ . Le rang d'un quartile s'arrondit TOUJOURS à l'entier supérieur.
Rang Valeur
1 4
2 6
3 7
4 8
5 9
6 10
7 11
8 12
9 13
10 15
Rang 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Valeur 4 6 7 8 9 10 11 12 13 15
6
Voici les notes d'un petit groupe. Calculer la note moyenne.
Note 8 10 12 15
Effectif 2 5 2 1
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Effectif total : $2 + 5 + 2 + 1 = 10$ élèves. Chaque note compte autant de fois que son effectif : $8 \times 2 + 10 \times 5 + 12 \times 2 + 15 \times 1 = 16 + 50 + 24 + 15 =$ $105$ . Moyenne : $\frac{105}{10} =$ $10, 5$ . ⛔ Le piège : la moyenne des quatre notes, $\frac{8 + 10 + 12 + 15}{4} =$ $11, 25$ . Elle compte autant le seul $15$ que les cinq $10$ .
Note 8 10 12 15
Note × effectif 16 50 24 15
7
Lire sur ce diagramme en boîte le minimum, $Q_{1}$ , la médiane, $Q_{3}$ et le maximum. Calculer l'écart interquartile et l'étendue.
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Les bouts des moustaches : minimum $5$ , maximum $20$ . Les bords de la boîte : $Q_{1} = 8$ et $Q_{3} =$ $14$ . Le trait dans la boîte : la médiane, $10$ . Écart interquartile : $Q_{3} - Q_{1} = 14 - 8 =$ $6$ , la largeur de la boîte. Étendue : $20 - 5 =$ $15$ , d'un bout à l'autre. ⛔ Le piège : prendre le trait de la boîte pour la MOYENNE. C'est la médiane ; la moyenne n'apparaît pas sur une boîte.
8
Dans une entreprise, le salaire MOYEN est de $2800$ € et le salaire MÉDIAN de $2100$ €. Vrai ou faux ? a) La moitié des salariés gagnent au moins $2800$ €. b) Au moins la moitié des salariés gagnent $2100$ € ou moins. c) Quelques salaires très élevés tirent la moyenne vers le haut.
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a) Faux. C'est la MÉDIANE qui coupe les salariés en deux moitiés, pas la moyenne. b) Vrai : c'est la définition de la médiane. c) Vrai : la moyenne dépasse la médiane de $700$ €. Il faut quelques gros salaires pour la faire monter si haut. ⭐ C'est pour cela qu'on publie souvent le salaire MÉDIAN : il résiste aux valeurs extrêmes.

Rang	1	2	3	4	5	6
Valeur	2	2	3	3	4	5

Rang	Valeur
1	4
2	6
3	7
4	8
5	9
6	10
7	11
8	12
9	13
10	15

Rang	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Valeur	4	6	7	8	9	10	11	12	13	15

Note	8	10	12	15
Effectif	2	5	2	1

Note	8	10	12	15
Note × effectif	16	50	24	15

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Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs étapes, puis une phrase qui dit ce que les nombres signifient.

Rappel de cours

Données en CLASSES : on remplace chaque classe par son CENTRE, puis on fait la moyenne avec les effectifs. C'est une estimation.
Le total se retrouve à partir de la moyenne : total $=$ moyenne $\times$ effectif.
Une valeur extrême TIRE la moyenne ; la médiane, elle, ne bouge presque pas.
Comparer deux séries : un indicateur de position (médiane) ET un indicateur de dispersion (écart interquartile $Q_{3} -$ $Q_{1}$ ).

9Le temps de trajet
On a relevé le temps de trajet domicile-travail de $50$ salariés, en minutes, regroupé en classes (modèle). Estimer le temps de trajet moyen.
Temps (min) Effectif
[0 ; 10[ 10
[10 ; 20[ 20
[20 ; 30[ 15
[30 ; 40[ 5
Temps (min) [0 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 40[
Effectif 10 20 15 5
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On prend le CENTRE de chaque classe : $5$ , $15$ , $25$ et $35$ minutes. On multiplie par les effectifs : $5 \times 10 + 15 \times 20 + 25 \times 15 + 35 \times 5 = 50 + 300 + 375 + 175 =$ $900$ . On divise par l'effectif total : $\frac{900}{50} = 18$ minutes. ⭐ C'est une ESTIMATION : on fait comme si chaque salarié était pile au centre de sa classe. ⛔ Le piège : la moyenne des quatre centres, $\frac{5 + 15 + 25 + 35}{4} =$ $20$ . Elle oublie que $20$ salariés sont dans la classe $[10; 20 [$ .
Centre (min) 5 15 25 35
Centre × effectif 50 300 375 175
10Une embauche
Une petite entreprise compte $20$ salariés, payés en moyenne $2000$ € par mois. Elle embauche un ingénieur à $2420$ €. Quel est le nouveau salaire moyen ?
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On retrouve la masse salariale : $20 \times 2000 = 40000$ €. On ajoute le nouveau salaire : $40000 + 2420 = 42420$ €. On divise par le nouvel effectif, $21$ : $\frac{42 420}{21} = 2020$ €. ✔️ Vérification : $21 \times 2020 = 42000 + 420 =$ $42420$ . ⛔ Le piège : $\frac{2 000 + 2 420}{2} = 2210$ €. Le nouveau venu ne pèse qu'un salaire sur $21$ .
11Les loyers d'un immeuble
Les sept appartements d'un immeuble sont loués (en € par mois) : $550$ , $600$ , $620$ , $650$ , $700$ , $720$ , et $2460$ pour le dernier étage. a) Calculer le loyer moyen et le loyer médian. b) Lequel décrit le mieux le loyer « ordinaire » de l'immeuble ?
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a) Somme : $550 + 600 + 620 + 650 + 700 + 720 + 2460 = 6300$ €. Moyenne : $\frac{6 300}{7} = 900$ €. La série est déjà rangée, $7$ valeurs : la médiane est la $4^{e}$ , $650$ €. b) Six loyers sur sept sont sous la moyenne : c'est le dernier étage qui la tire vers le haut. La médiane, $650$ €, décrit mieux le loyer ordinaire. ⭐ Une seule valeur extrême a déplacé la moyenne de $250$ € au-dessus de la médiane.
12Le service client
Voici la durée de $12$ appels à un service client, en minutes : $3$ , $8$ , $5$ , $12$ , $4$ , $6$ , $15$ , $7$ , $5$ , $9$ , $4$ , $10$ . a) Déterminer la médiane, $Q_{1}$ et $Q_{3}$ . b) Calculer l'écart interquartile, puis tracer le diagramme en boîte.
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On range : $3$ , $4$ , $4$ , $5$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , $10$ , $12$ , $15$ . a) $12$ valeurs : la médiane est la moyenne des $6^{e}$ et $7^{e}$ , $\frac{6 + 7}{2} = 6, 5$ minutes. $\frac{12}{4} =$ $3$ : $Q_{1}$ est la $3^{e}$ valeur, $Q_{1} =$ $4$ . $\frac{3 \times 12}{4} =$ $9$ : $Q_{3}$ est la $9^{e}$ valeur, $Q_{3} =$ $9$ . b) $Q_{3} - Q_{1} = 9 - 4 = 5$ minutes : la moitié centrale des appels dure entre $4$ et $9$ minutes. La boîte va de $4$ à $9$ , les moustaches de $3$ à $15$ . ⚠️ La moustache de droite est longue : quelques appels durent beaucoup plus que les autres.
13Deux entreprises
Les diagrammes en boîte donnent les salaires mensuels nets dans deux entreprises A et B, en CENTAINES d'euros (modèle). a) Dans quelle entreprise le salaire médian est-il le plus élevé ? b) Comparer les écarts interquartiles. c) Dans quelle entreprise au moins $75$ % des salariés gagnent-ils $2000$ € ou plus ? d) Où se trouve le salaire le plus élevé ?
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a) On lit le trait dans chaque boîte : $18$ pour A, $22$ pour B. Médianes : $1800$ € et $2200$ €. C'est B. b) A : $22 - 16 =$ $6$ , soit $600$ €. B : $24 - 20 =$ $4$ , soit $400$ €. Les salaires du milieu sont plus resserrés dans B. c) Dans B : $Q_{1} =$ $20$ . Au plus un quart des salariés gagnent moins de $2000$ €, donc au moins $75$ % gagnent $2000$ € ou plus. d) Dans A : sa moustache va jusqu'à $40$ , soit $4000$ €. ⭐ A a le plus haut salaire, mais B paie mieux la plupart de ses salariés. Deux indicateurs, deux réponses. ⚠️ On traduit l'unité : « $22$ » veut dire $2200$ €.
14Les absences
Le tableau donne le nombre de jours d'absence, sur un mois, des $25$ salariés d'un atelier. a) Déterminer la médiane, $Q_{1}$ et $Q_{3}$ . b) Calculer le nombre moyen de jours d'absence.
Jours d'absence 0 1 2 3 4
Effectif 8 6 5 4 2
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On cumule les effectifs : $8$ , $14$ , $19$ , $23$ , $25$ . a) $25$ valeurs : la médiane est la $1 3^{e}$ . Les rangs $9$ à $14$ valent $1$ : la médiane est $1$ jour. $\frac{25}{4} =$ $6, 25$ , arrondi à $7$ : la $7^{e}$ valeur est $0$ , donc $Q_{1} =$ $0$ . $\frac{3 \times 25}{4} =$ $18, 75$ , arrondi à $19$ : les rangs $15$ à $19$ valent $2$ , donc $Q_{3} =$ $2$ . b) $0 \times 8 + 1 \times 6 + 2 \times 5 + 3 \times 4 + 4 \times 2 = 0 + 6 + 10 + 12 + 8 = 36$ jours en tout. Moyenne : $\frac{36}{25} = \frac{144}{100} = 1, 44$ jour. ⛔ Le piège au a) : prendre la valeur du milieu du TABLEAU, $2$ . On cherche le salarié du milieu, pas la colonne du milieu.
15Le patrimoine des ménages
Dans un pays (modèle), le patrimoine MÉDIAN des ménages est de $180000$ € et le patrimoine MOYEN de $300000$ €. a) Que signifie la médiane, en une phrase ? b) Pourquoi la moyenne est-elle beaucoup plus grande ? c) Un article écrit : « le ménage typique possède $300000$ € ». Est-ce juste ?
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a) La moitié des ménages possèdent $180000$ € ou moins, l'autre moitié $180000$ € ou plus. b) Quelques ménages très riches ont des patrimoines énormes : ils tirent la moyenne vers le haut, pas la médiane. c) Non. Plus de la moitié des ménages possèdent moins de $300000$ € (la médiane est bien en dessous). Le ménage « typique » est mieux décrit par la médiane. ⭐ Quand la moyenne dépasse nettement la médiane, c'est le signe de quelques valeurs très grandes : les inégalités se lisent dans cet écart.
16Un climat en quatre nombres
Températures moyennes de chaque mois, de janvier à décembre, dans une ville (modèle, en °C) : $4$ , $5$ , $8$ , $11$ , $15$ , $18$ , $21$ , $20$ , $17$ , $13$ , $8$ , $4$ . a) Calculer la moyenne annuelle. b) Déterminer la médiane, $Q_{1}$ et $Q_{3}$ . c) Compléter : « au moins un quart des mois ont une température moyenne d'au moins … °C ».
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a) Somme : $144$ . Moyenne : $\frac{144}{12} = 12$ °C. b) On range : $4$ , $4$ , $5$ , $8$ , $8$ , $11$ , $13$ , $15$ , $17$ , $18$ , $20$ , $21$ . Médiane : $\frac{11 + 13}{2} = 12$ °C. $Q_{1}$ : rang $3$ , $Q_{1} = 5$ °C. $Q_{3}$ : rang $9$ , $Q_{3} = 17$ °C. c) Les valeurs de rang $9$ à $12$ sont au moins égales à $Q_{3}$ : au moins un quart des mois ont au moins $17$ °C. ⭐ Ici moyenne et médiane coïncident, $12$ °C : aucune valeur extrême ne tire la moyenne. ⚠️ On range AVANT de chercher les rangs : l'ordre des mois n'est pas l'ordre des températures.

Temps (min)	Effectif
[0 ; 10[	10
[10 ; 20[	20
[20 ; 30[	15
[30 ; 40[	5

Temps (min)	[0 ; 10[	[10 ; 20[	[20 ; 30[	[30 ; 40[
Effectif	10	20	15	5

Centre (min)	5	15	25	35
Centre × effectif	50	300	375	175

Jours d'absence	0	1	2	3	4
Effectif	8	6	5	4	2

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Des séries tirées de la vie économique : on calcule, on compare, et on dit ce que les nombres racontent.

Rappel de cours

On range TOUJOURS la série avant la médiane et les quartiles.
Pour comparer deux séries : la médiane pour la position, l'écart interquartile pour la dispersion.
On conclut par une phrase : un nombre n'est pas une réponse.

17Le salaire du dirigeant
Une entreprise compte $9$ personnes. Salaires mensuels nets, en euros : $1600$ , $1700$ , $1700$ , $1800$ , $1900$ , $2000$ , $2100$ , $2400$ , et $7300$ pour le dirigeant. a) Calculer le salaire moyen et le salaire médian. b) Combien de personnes gagnent moins que la moyenne ? c) Déterminer $Q_{1}$ , $Q_{3}$ et l'écart interquartile. d) Le dirigeant s'augmente de $900$ €. Que deviennent la moyenne et la médiane ?
Voir la correction
a) Somme : $22500$ €. Moyenne : $\frac{22 500}{9} = 2500$ €. $9$ valeurs, déjà rangées : la médiane est la $5^{e}$ , $1900$ €. b) Huit personnes sur neuf gagnent moins de $2500$ € : seul le dirigeant est au-dessus. c) $\frac{9}{4} =$ $2, 25$ , arrondi à $3$ : $Q_{1} = 1700$ €. $\frac{3 \times 9}{4} =$ $6, 75$ , arrondi à $7$ : $Q_{3} = 2100$ €. Écart interquartile : $400$ €. d) La somme augmente de $900$ €, donc la moyenne de $\frac{900}{9} = 100$ € : elle passe à $2600$ €. La $5^{e}$ valeur n'a pas changé : la médiane reste $1900$ €. ⭐ La moyenne suit le dirigeant ; la médiane et les quartiles décrivent les huit autres.
18Deux quartiers
Les boîtes donnent les loyers, en euros par m², des appartements de deux quartiers d'une ville (modèle). a) Comparer les loyers médians. b) Comparer les écarts interquartiles, puis les étendues. c) Un étudiant cherche un loyer d'au plus $13$ € le m². Dans quel quartier est-il sûr de trouver le plus d'appartements en proportion ? d) Peut-on connaître le loyer moyen de chaque quartier ?
Voir la correction
a) Même médiane, $12$ € le m² : la moitié des appartements de chaque quartier sont à $12$ € ou moins. b) Écarts interquartiles : Nord $13 - 10 =$ $3$ , Sud $16 - 11 =$ $5$ . Au centre, le Sud est plus dispersé. Étendues : Nord $20 - 8 =$ $12$ , Sud $18 - 9 =$ $9$ . Aux extrêmes, c'est le Nord. c) Au Nord, $Q_{3} =$ $13$ : au moins $75$ % des appartements sont à $13$ € ou moins. Au Sud, $13$ est entre la médiane et $Q_{3}$ : on est sûr d'au moins $50$ % seulement. C'est le Nord. d) Non : une boîte donne cinq nombres, jamais la moyenne. ⭐ Même médiane, deux quartiers très différents : un seul nombre ne suffit pas.
19L'âge des salariés
Le diagramme donne la répartition par âge des $50$ salariés d'une entreprise (modèle), en classes de $10$ ans : de $20$ à $30$ ans, de $30$ à $40$ ans, etc. a) Estimer l'âge moyen. b) Dans quelle classe se trouve l'âge médian ? c) Si personne ne part et personne n'arrive, quel sera l'âge moyen dans $10$ ans ? d) Quelle part des salariés a $50$ ans ou plus ? Pourquoi la direction s'y intéresse-t-elle ?
Voir la correction
a) Centres : $25$ , $35$ , $45$ et $55$ ans. $25 \times 12 + 35 \times 18 + 45 \times 14 + 55 \times 6 = 300 + 630 + 630 + 330 =$ $1890$ . $\frac{1 890}{50} = 37, 8$ ans (diviser par $50$ , c'est multiplier par $2$ puis diviser par $100$ ). b) $50$ salariés : la médiane est entre le $2 5^{e}$ et le $2 6^{e}$ . Effectifs cumulés : $12$ , puis $30$ . Ils sont dans la classe $[30; 40 [$ . c) Chacun a $10$ ans de plus : la moyenne augmente aussi de $10$ , soit environ $47, 8$ ans. d) $\frac{6}{50} = \frac{12}{100} = 12$ %. Ce sont les prochains départs à la retraite : il faudra recruter ou former pour les remplacer. ⚠️ Au a), c'est une ESTIMATION : on a remplacé chaque âge par le centre de sa classe.
20Le don moyen
Une association a reçu $10$ dons, en euros : $10$ , $20$ , $20$ , $30$ , $40$ , $40$ , $50$ , $60$ , $130$ , $1000$ . a) Calculer le don moyen et le don médian. b) Déterminer $Q_{1}$ , $Q_{3}$ et l'écart interquartile. c) Recalculer la moyenne et la médiane sans le don de $1000$ €. d) Pour sa campagne, l'association écrit : « don moyen : $140$ € ». Pourquoi est-ce trompeur ?
Voir la correction
a) Somme : $1400$ €. Moyenne : $\frac{1 400}{10} = 140$ €. $10$ valeurs, déjà rangées : médiane $\frac{40 + 40}{2} = 40$ €. b) $\frac{10}{4} =$ $2, 5$ , arrondi à $3$ : $Q_{1} = 20$ €. $\frac{30}{4} =$ $7, 5$ , arrondi à $8$ : $Q_{3} = 60$ €. Écart interquartile : $40$ €. c) Il reste $9$ dons, de somme $400$ € : moyenne $\frac{400}{9} \approx 44$ €. La médiane est la $5^{e}$ valeur, $40$ € : elle n'a pas bougé. d) Neuf donateurs sur dix ont donné moins de $140$ €. C'est un seul don de $1000$ € qui fait la moyenne. Un nouveau donateur qui lit « $140$ € » croit qu'on attend de lui bien plus que ce que donne la plupart des gens. ⭐ Une valeur sur dix a multiplié la moyenne par plus de trois ; la médiane, elle, n'a pas bougé.

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Corrigés : moyenne, médiane, quartiles, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. On additionne les cinq valeurs : $12 + 15 + 9 + 14 + 10 =$ $60$ . On divise par leur nombre, $5$ : $\frac{60}{5} = 12$ °C. ⚠️ Le piège : faire la moyenne de la plus petite et de la plus grande, $\frac{9 + 15}{2} =$ $12$ . Ici on tombe juste par hasard ; en général, c'est faux.
2. On RANGE d'abord : $2$ ; $2$ ; $3$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ . $6$ valeurs, un nombre pair : la médiane est la moyenne des $3^{e}$ et $4^{e}$ valeurs. $\frac{3 + 3}{2} =$ $3$ . La médiane est $3$ . ⛔ Le piège : prendre les $3^{e}$ et $4^{e}$ valeurs SANS ranger, $5$ et $4$ , et répondre $4, 5$ .
Rang 1 2 3 4 5 6
Valeur 2 2 3 3 4 5
3. On range : $5$ , $7$ , $8$ , $10$ , $11$ , $13$ , $16$ . $7$ valeurs, un nombre impair : la médiane est la valeur du milieu, la $4^{e}$ . La médiane est $10$ : trois valeurs en dessous, trois au-dessus. ⛔ Le piège : prendre la $4^{e}$ valeur de la liste telle qu'elle arrive, $11$ .
4. $Q_{1}$ : $\frac{8}{4} =$ $2$ . C'est la $2^{e}$ valeur : $Q_{1} =$ $5$ . $Q_{3}$ : $\frac{3 \times 8}{4} =$ $6$ . C'est la $6^{e}$ valeur : $Q_{3} =$ $11$ . ⭐ Au moins un quart des valeurs sont inférieures ou égales à $5$ , au moins trois quarts à $11$ . ✔️ Au passage, la médiane : $\frac{8 + 9}{2} =$ $8, 5$ .
5. On range : $4$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , $10$ , $11$ , $12$ , $13$ , $15$ . $Q_{1}$ : $\frac{10}{4} =$ $2, 5$ , arrondi à $3$ . La $3^{e}$ valeur : $Q_{1} =$ $7$ . $Q_{3}$ : $\frac{3 \times 10}{4} =$ $7, 5$ , arrondi à $8$ . La $8^{e}$ valeur : $Q_{3} =$ $12$ . ⛔ Le piège : arrondir $2, 5$ à $2$ . Le rang d'un quartile s'arrondit TOUJOURS à l'entier supérieur.
Rang Valeur
1 4
2 6
3 7
4 8
5 9
6 10
7 11
8 12
9 13
10 15
Rang 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Valeur 4 6 7 8 9 10 11 12 13 15
6. Effectif total : $2 + 5 + 2 + 1 = 10$ élèves. Chaque note compte autant de fois que son effectif : $8 \times 2 + 10 \times 5 + 12 \times 2 + 15 \times 1 = 16 + 50 + 24 + 15 =$ $105$ . Moyenne : $\frac{105}{10} =$ $10, 5$ . ⛔ Le piège : la moyenne des quatre notes, $\frac{8 + 10 + 12 + 15}{4} =$ $11, 25$ . Elle compte autant le seul $15$ que les cinq $10$ .
Note 8 10 12 15
Note × effectif 16 50 24 15
7. Les bouts des moustaches : minimum $5$ , maximum $20$ . Les bords de la boîte : $Q_{1} = 8$ et $Q_{3} =$ $14$ . Le trait dans la boîte : la médiane, $10$ . Écart interquartile : $Q_{3} - Q_{1} = 14 - 8 =$ $6$ , la largeur de la boîte. Étendue : $20 - 5 =$ $15$ , d'un bout à l'autre. ⛔ Le piège : prendre le trait de la boîte pour la MOYENNE. C'est la médiane ; la moyenne n'apparaît pas sur une boîte.
8. a) Faux. C'est la MÉDIANE qui coupe les salariés en deux moitiés, pas la moyenne. b) Vrai : c'est la définition de la médiane. c) Vrai : la moyenne dépasse la médiane de $700$ €. Il faut quelques gros salaires pour la faire monter si haut. ⭐ C'est pour cela qu'on publie souvent le salaire MÉDIAN : il résiste aux valeurs extrêmes.
9. Le temps de trajet On prend le CENTRE de chaque classe : $5$ , $15$ , $25$ et $35$ minutes. On multiplie par les effectifs : $5 \times 10 + 15 \times 20 + 25 \times 15 + 35 \times 5 = 50 + 300 + 375 + 175 =$ $900$ . On divise par l'effectif total : $\frac{900}{50} = 18$ minutes. ⭐ C'est une ESTIMATION : on fait comme si chaque salarié était pile au centre de sa classe. ⛔ Le piège : la moyenne des quatre centres, $\frac{5 + 15 + 25 + 35}{4} =$ $20$ . Elle oublie que $20$ salariés sont dans la classe $[10; 20 [$ .
Centre (min) 5 15 25 35
Centre × effectif 50 300 375 175
10. Une embauche On retrouve la masse salariale : $20 \times 2000 = 40000$ €. On ajoute le nouveau salaire : $40000 + 2420 = 42420$ €. On divise par le nouvel effectif, $21$ : $\frac{42 420}{21} = 2020$ €. ✔️ Vérification : $21 \times 2020 = 42000 + 420 =$ $42420$ . ⛔ Le piège : $\frac{2 000 + 2 420}{2} = 2210$ €. Le nouveau venu ne pèse qu'un salaire sur $21$ .
11. Les loyers d'un immeuble a) Somme : $550 + 600 + 620 + 650 + 700 + 720 + 2460 = 6300$ €. Moyenne : $\frac{6 300}{7} = 900$ €. La série est déjà rangée, $7$ valeurs : la médiane est la $4^{e}$ , $650$ €. b) Six loyers sur sept sont sous la moyenne : c'est le dernier étage qui la tire vers le haut. La médiane, $650$ €, décrit mieux le loyer ordinaire. ⭐ Une seule valeur extrême a déplacé la moyenne de $250$ € au-dessus de la médiane.
12. Le service client On range : $3$ , $4$ , $4$ , $5$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , $10$ , $12$ , $15$ . a) $12$ valeurs : la médiane est la moyenne des $6^{e}$ et $7^{e}$ , $\frac{6 + 7}{2} = 6, 5$ minutes. $\frac{12}{4} =$ $3$ : $Q_{1}$ est la $3^{e}$ valeur, $Q_{1} =$ $4$ . $\frac{3 \times 12}{4} =$ $9$ : $Q_{3}$ est la $9^{e}$ valeur, $Q_{3} =$ $9$ . b) $Q_{3} - Q_{1} = 9 - 4 = 5$ minutes : la moitié centrale des appels dure entre $4$ et $9$ minutes. La boîte va de $4$ à $9$ , les moustaches de $3$ à $15$ . ⚠️ La moustache de droite est longue : quelques appels durent beaucoup plus que les autres.
13. Deux entreprises a) On lit le trait dans chaque boîte : $18$ pour A, $22$ pour B. Médianes : $1800$ € et $2200$ €. C'est B. b) A : $22 - 16 =$ $6$ , soit $600$ €. B : $24 - 20 =$ $4$ , soit $400$ €. Les salaires du milieu sont plus resserrés dans B. c) Dans B : $Q_{1} =$ $20$ . Au plus un quart des salariés gagnent moins de $2000$ €, donc au moins $75$ % gagnent $2000$ € ou plus. d) Dans A : sa moustache va jusqu'à $40$ , soit $4000$ €. ⭐ A a le plus haut salaire, mais B paie mieux la plupart de ses salariés. Deux indicateurs, deux réponses. ⚠️ On traduit l'unité : « $22$ » veut dire $2200$ €.
14. Les absences On cumule les effectifs : $8$ , $14$ , $19$ , $23$ , $25$ . a) $25$ valeurs : la médiane est la $1 3^{e}$ . Les rangs $9$ à $14$ valent $1$ : la médiane est $1$ jour. $\frac{25}{4} =$ $6, 25$ , arrondi à $7$ : la $7^{e}$ valeur est $0$ , donc $Q_{1} =$ $0$ . $\frac{3 \times 25}{4} =$ $18, 75$ , arrondi à $19$ : les rangs $15$ à $19$ valent $2$ , donc $Q_{3} =$ $2$ . b) $0 \times 8 + 1 \times 6 + 2 \times 5 + 3 \times 4 + 4 \times 2 = 0 + 6 + 10 + 12 + 8 = 36$ jours en tout. Moyenne : $\frac{36}{25} = \frac{144}{100} = 1, 44$ jour. ⛔ Le piège au a) : prendre la valeur du milieu du TABLEAU, $2$ . On cherche le salarié du milieu, pas la colonne du milieu.
15. Le patrimoine des ménages a) La moitié des ménages possèdent $180000$ € ou moins, l'autre moitié $180000$ € ou plus. b) Quelques ménages très riches ont des patrimoines énormes : ils tirent la moyenne vers le haut, pas la médiane. c) Non. Plus de la moitié des ménages possèdent moins de $300000$ € (la médiane est bien en dessous). Le ménage « typique » est mieux décrit par la médiane. ⭐ Quand la moyenne dépasse nettement la médiane, c'est le signe de quelques valeurs très grandes : les inégalités se lisent dans cet écart.
16. Un climat en quatre nombres a) Somme : $144$ . Moyenne : $\frac{144}{12} = 12$ °C. b) On range : $4$ , $4$ , $5$ , $8$ , $8$ , $11$ , $13$ , $15$ , $17$ , $18$ , $20$ , $21$ . Médiane : $\frac{11 + 13}{2} = 12$ °C. $Q_{1}$ : rang $3$ , $Q_{1} = 5$ °C. $Q_{3}$ : rang $9$ , $Q_{3} = 17$ °C. c) Les valeurs de rang $9$ à $12$ sont au moins égales à $Q_{3}$ : au moins un quart des mois ont au moins $17$ °C. ⭐ Ici moyenne et médiane coïncident, $12$ °C : aucune valeur extrême ne tire la moyenne. ⚠️ On range AVANT de chercher les rangs : l'ordre des mois n'est pas l'ordre des températures.
17. Le salaire du dirigeant a) Somme : $22500$ €. Moyenne : $\frac{22 500}{9} = 2500$ €. $9$ valeurs, déjà rangées : la médiane est la $5^{e}$ , $1900$ €. b) Huit personnes sur neuf gagnent moins de $2500$ € : seul le dirigeant est au-dessus. c) $\frac{9}{4} =$ $2, 25$ , arrondi à $3$ : $Q_{1} = 1700$ €. $\frac{3 \times 9}{4} =$ $6, 75$ , arrondi à $7$ : $Q_{3} = 2100$ €. Écart interquartile : $400$ €. d) La somme augmente de $900$ €, donc la moyenne de $\frac{900}{9} = 100$ € : elle passe à $2600$ €. La $5^{e}$ valeur n'a pas changé : la médiane reste $1900$ €. ⭐ La moyenne suit le dirigeant ; la médiane et les quartiles décrivent les huit autres.
18. Deux quartiers a) Même médiane, $12$ € le m² : la moitié des appartements de chaque quartier sont à $12$ € ou moins. b) Écarts interquartiles : Nord $13 - 10 =$ $3$ , Sud $16 - 11 =$ $5$ . Au centre, le Sud est plus dispersé. Étendues : Nord $20 - 8 =$ $12$ , Sud $18 - 9 =$ $9$ . Aux extrêmes, c'est le Nord. c) Au Nord, $Q_{3} =$ $13$ : au moins $75$ % des appartements sont à $13$ € ou moins. Au Sud, $13$ est entre la médiane et $Q_{3}$ : on est sûr d'au moins $50$ % seulement. C'est le Nord. d) Non : une boîte donne cinq nombres, jamais la moyenne. ⭐ Même médiane, deux quartiers très différents : un seul nombre ne suffit pas.
19. L'âge des salariés a) Centres : $25$ , $35$ , $45$ et $55$ ans. $25 \times 12 + 35 \times 18 + 45 \times 14 + 55 \times 6 = 300 + 630 + 630 + 330 =$ $1890$ . $\frac{1 890}{50} = 37, 8$ ans (diviser par $50$ , c'est multiplier par $2$ puis diviser par $100$ ). b) $50$ salariés : la médiane est entre le $2 5^{e}$ et le $2 6^{e}$ . Effectifs cumulés : $12$ , puis $30$ . Ils sont dans la classe $[30; 40 [$ . c) Chacun a $10$ ans de plus : la moyenne augmente aussi de $10$ , soit environ $47, 8$ ans. d) $\frac{6}{50} = \frac{12}{100} = 12$ %. Ce sont les prochains départs à la retraite : il faudra recruter ou former pour les remplacer. ⚠️ Au a), c'est une ESTIMATION : on a remplacé chaque âge par le centre de sa classe.
20. Le don moyen a) Somme : $1400$ €. Moyenne : $\frac{1 400}{10} = 140$ €. $10$ valeurs, déjà rangées : médiane $\frac{40 + 40}{2} = 40$ €. b) $\frac{10}{4} =$ $2, 5$ , arrondi à $3$ : $Q_{1} = 20$ €. $\frac{30}{4} =$ $7, 5$ , arrondi à $8$ : $Q_{3} = 60$ €. Écart interquartile : $40$ €. c) Il reste $9$ dons, de somme $400$ € : moyenne $\frac{400}{9} \approx 44$ €. La médiane est la $5^{e}$ valeur, $40$ € : elle n'a pas bougé. d) Neuf donateurs sur dix ont donné moins de $140$ €. C'est un seul don de $1000$ € qui fait la moyenne. Un nouveau donateur qui lit « $140$ € » croit qu'on attend de lui bien plus que ce que donne la plupart des gens. ⭐ Une valeur sur dix a multiplié la moyenne par plus de trois ; la médiane, elle, n'a pas bougé.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : moyenne, médiane, quartiles, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3