Calcul mental, ordres de grandeur et unités : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : calcul mental, ordres de grandeur et unités, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. La multiplication passe avant l'addition. $4\times \frac{3}{5}=$$\frac{12}{5}$. Puis on ajoute $2=$$\frac{10}{5}$ : $\frac{12}{5}+\frac{10}{5}=$$\frac{22}{5}$. En décimal : $\frac{22}{5}=\frac{44}{10}=$$4,4$. ⚠️ Le piège : calculer d'abord $\frac{3}{5}+$$2$. Les priorités ne changent pas avec les fractions.
2. 2. $25$ %, c'est un quart : $360÷4=$$90$. $15$ %, c'est $10$ % plus $5$ %. $10$ % de $80$ font $8$ ; $5$ %, la moitié, font $4$. Donc $15$ % de $80$ font $8+4=$$12$. ⭐ Découper un pourcentage en morceaux faciles ($10$ %, $5$ %, $1$ %) : c'est le geste du calcul mental.
3. 3. $1$ cm $=10$ mm, donc $1$ cm³ $=10\times 10\times 10=1000$ mm³. Pour passer des mm³ aux cm³, on divise par $1000$ : $3400÷1000=$$3,4$. $3400$ mm³ $=3,4$ cm³. ⚠️ Le piège : diviser par $10$, le facteur des longueurs. Pour les volumes, chaque rang du tableau vaut $1000$. ⭐ Question tombée à l'épreuve anticipée de juin 2026 (Asie).

   unité	dm³	cm³	mm³
   3 400 mm³	0,0034	3,4	3 400

4. 4. $1$ m $=100$ cm, donc $1$ m² $=100\times 100=10000$ cm². $2,5\times 10000=$$25000$. $2,5$ m² $=25000$ cm². ⚠️ Le piège : multiplier par $100$. Un carré de $1$ m de côté contient $100$ rangées de $100$ petits carrés de $1$ cm de côté.

   unité	m²	dm²	cm²
   2,5 m²	2,5	250	25 000

5. 5. $90$ km/h, c'est $90$ km en une heure, soit $90000$ m en $3600$ s. En une seconde : $\frac{90000}{3600}=\frac{900}{36}=25$ m/s. ⭐ Le raccourci à retenir : de km/h en m/s, on divise par $3,6$. ⚠️ Le piège : diviser par $60$. Une heure compte $3600$ secondes, pas $60$.
6. 6. $45$ min, c'est $\frac{45}{60}=\frac{3}{4}=0,75$ h. Donc $1$ h $45$ min $=1,75$ h. $0,3$ h $=0,3\times 60=18$ min. ⚠️ Le piège : écrire $1$ h $45$ min $=1,45$ h. Les minutes vont de $60$ en $60$, pas de $100$ en $100$.
7. 7. On arrondit chaque facteur à une valeur simple : $0,48\approx 0,5$ et $205\approx$$200$. $0,5\times 200=$$100$ : le résultat est de l'ordre de $100$. ✔️ Le calcul exact donne $98,4$ : l'estimation est très proche. ⭐ Multiplier par $0,5$, c'est prendre la moitié.
8. 8. Une moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur. Ici, entre $9$ et $15$. Or $16,5>$$15$ : le résultat est impossible. Le bon calcul : $12+15+9+14=$$50$, et $50÷4=$$12,5$. ⭐ Ce contrôle prend deux secondes, et repère l'erreur sans rien refaire. ⚠️ L'erreur la plus probable : une note oubliée, ou une division par un mauvais nombre.
9. 9. La carte de randonnée a) $1$ cm sur la carte représente $25000$ cm en réalité. $6\times 25000=150000$ cm. On convertit : $150000$ cm $=1500$ m $=1,5$ km (on divise par $100$, puis par $1000$). b) Durée $=$ distance $÷$ vitesse $=1,5÷4=0,375$ h. En minutes : $0,375\times 60=22,5$ min, soit $22$ min $30$ s. ⚠️ Le piège : lire $0,375$ h comme $37,5$ min. Des heures décimales se convertissent en multipliant par $60$.

   carte (cm)	1	4	6
   réel (km)	0,25	1	1,5

10. 10. Le train a) $20$ min $=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$ h, donc $2$ h $20$ min $=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ h. b) $v=420÷\frac{7}{3}=420\times \frac{3}{7}=60\times 3=180$ km/h. c) Non : $180$ m/s, c'est $180\times 3,6=648$ km/h, plus du double de la vitesse d'un TGV. L'unité est fausse : c'est $180$ km/h. ⚠️ Le piège : $2$ h $20$ min $=2,2$ h. On trouverait $420÷2,2\approx 191$ km/h, faux. ⭐ Le tableau le confirme : en $20$ minutes, le train fait $60$ km ; en $7$ fois $20$ minutes, $420$ km.

    durée	20 min	1 h	2 h 20
    distance (km)	60	180	420

11. 11. Les déchets d'une région On arrondit : $5950000\approx 6000000$ et $0,98\approx$$1$. Masse par jour : $6000000\times 1=6000000$ kg. On convertit : $1$ t $=1000$ kg, donc $6000000$ kg $=6000$ t. Environ $6000$ tonnes par jour. ✔️ Le calcul exact donne $5831$ tonnes : l'ordre de grandeur est le bon. ⭐ En un an, c'est de l'ordre de $6000\times$$365$, environ $2$ millions de tonnes.
12. 12. Un salaire mal recopié Un an compte $12$ mois : le salaire annuel est $2000\times 12=24000$ €. $2400000$ €, c'est $100$ fois trop : à $2000$ € par mois, on ne gagne pas des millions en un an. ⭐ L'ordre de grandeur suffit : $2000\times 12$ est entre $2000\times 10=20000$ et $2000\times 20=$$40000$. ⚠️ Deux zéros de trop : c'est l'erreur la plus fréquente dans les chiffres. On la voit dès qu'on se demande « est-ce possible ? ».
13. 13. La surface d'une commune a) $1$ km² $=100$ ha : un carré de $1$ km de côté contient $10\times 10$ carrés de $100$ m de côté. $12$ km² $=1200$ ha. $1$ ha $=10000$ m², donc $1200$ ha $=12000000$ m². b) Un terrain : $100\times 70=7000$ m². $12000000÷7000=12000÷$$7$, environ $1700$. Environ $1700$ terrains de football. ⚠️ Le piège : $1$ km² $=1000$ m². C'est $1000\times 1000=1000000$ m².

    unité	km²	ha	m²
    12 km²	12	1 200	12 000 000

14. 14. La pluie sur un toit a) $1$ m $=1000$ mm, donc $800$ mm $=0,8$ m. b) Le volume est celui d'une couche d'eau : surface $\times$ hauteur $=50\times 0,8=40$ m³. $1$ m³ $=1000$ L, donc $40$ m³ $=40000$ L. ⭐ « $800$ mm de pluie », c'est $800$ litres sur chaque m² : $800\times 50=40000$ L. Même résultat. ⚠️ Le piège : calculer $50\times 800$ et répondre en m³. Les unités doivent être accordées AVANT de multiplier.
15. 15. Deux remises de suite a) $-30$ %, c'est garder $70$ % : $60\times 0,7=42$ €. Puis $-10$ % sur $42$ € : $10$ % de $42$ font $4,20$ €, donc $42-4,20=37,80$ €. b) $40$ % de remise donneraient $60\times 0,6=36$ €. Or le manteau coûte $37,80$ € : le client se trompe. La remise totale est $60-37,80=22,20$ €, soit $\frac{22,2}{60}=$$0,37$, donc $37$ %. ⚠️ Le piège : additionner les pourcentages. La deuxième remise porte sur $42$ €, pas sur $60$ €.
16. 16. Depuis la prise de la Bastille Nombre d'années : $2026-1789=237$ ans. On arrondit : $237\approx 240$ ans, et $365\approx 360$ jours par an. $240\times 360=$$86400$, car $24\times 36=$$864$. Environ $86000$ jours, de l'ordre de $10^5$. ✔️ Le calcul exact, années bissextiles comprises, donne un peu plus de $86500$ jours. ⭐ Sur la frise, $237$ ans : un peu moins d'un quart de millénaire. ⚠️ Le piège : oublier une étape, et répondre $237\times 12$ (des mois) ou $237\times 52$ (des semaines).
17. 17. Le plein pour les vacances a) $800$ km, c'est $8$ fois $100$ km : $8\times 6=48$ L. b) $48\times 1,90=48\times 2-48\times 0,10=96-4,80=91,20$ €. c) Ordre de grandeur : $50$ L à $2$ € font $100$ €. $912$ €, c'est dix fois trop : une virgule a glissé. d) $v=800÷8=100$ km/h. ⭐ « Fois $2$, puis on retire un peu » : c'est le geste du calcul mental avec les prix en $,90$. ⚠️ Le piège au a) : $6\times 800=4800$ L. La consommation est donnée pour $100$ km, pas pour $1$ km.

    distance (km)	100	400	800
    essence (L)	6	24	48

18. 18. La mer qui monte a) En $10$ ans : $3\times 10=30$ mm $=3$ cm. En $100$ ans : $3\times 100=300$ mm $=30$ cm. b) Non : $3$ m, c'est $300$ cm, dix fois trop. L'élève a confondu millimètres et centimètres. c) $1$ m $=1000$ mm, et $1000÷3\approx$$333$ : environ $330$ ans. ⭐ Le graphique est une droite, car la hausse est la même chaque année. En abscisse, les décennies ; en ordonnée, les décimètres ($1$ dm $=10$ cm). Au bout de $10$ décennies : $3$ dm, soit $30$ cm. ⚠️ Un modèle simplifie : rien ne dit que le rythme restera le même pendant trois siècles.
19. 19. Le parc sur la carte a) $1$ cm représente $100000$ cm $=1000$ m $=1$ km. b) $3$ km sur $4$ km. Aire : $3\times 4=12$ km², soit $12\times 100=1200$ ha. c) C'est absurde : $120$ m², c'est la surface d'un appartement, pas celle d'un parc naturel. Pour les AIRES, l'échelle joue deux fois : $12$ cm² représentent $12\times 100000\times 100000$ cm², soit bien $12$ km². d) Périmètre : $2\times (3+4)=14$ km. Durée : $14÷4=3,5$ h, soit $3$ h $30$ min. ⚠️ Le piège : $3,5$ h $=3$ h $50$ min. $0,5$ h, c'est une demi-heure : $30$ min. ⭐ Le tableau : les longueurs sont multipliées par $100000$, les aires par $100000\times$$100000$.

    	carte	réalité
    longueur	3 cm	3 km
    largeur	4 cm	4 km
    aire	12 cm²	12 km²

20. 20. Le salaire horaire a) $1820\times 12=18200+3640=21840$ €. b) $35\times 52=35\times 50+35\times 2=1750+70=1820$ h. c) $\frac{21840}{1820}=12$ € de l'heure, car $1820\times 12=$$21840$ : c'est le calcul du a). d) $1820÷150$ est proche de $1800÷150=$$12$ : même ordre de grandeur. ✔️ ⭐ Une coïncidence utile : $1820$ est à la fois le salaire mensuel et le nombre d'heures dans l'année. Le salaire horaire vaut donc le nombre de mois, $12$. ⚠️ Le piège : diviser le salaire MENSUEL par les heures ANNUELLES, et trouver $1$ € de l'heure. Invraisemblable : on a mélangé deux durées.