La partie et le tout : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices sans calculatrice, comme à l'épreuve anticipée : calculer une partie connaissant le tout, retrouver le tout connaissant une partie, prendre un pourcentage d'un pourcentage. Un rappel de cours de trois lignes avant chaque niveau, et une correction écrite étape par étape.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. Sans calculatrice.

Rappel de cours

La PARTIE, connaissant le tout : $partie = tout \times$ $proportion$ . On multiplie.
Le TOUT, connaissant une partie : $tout =$ $\frac{partie}{proportion}$ . On divise, et le tout est plus grand que la partie.
Une partie d'une partie : on MULTIPLIE les deux proportions. $50$ % de $40$ %, c'est $0, 5 \times 0, 4 =$ $0, 2$ , soit $20$ %.

1
Un lycée compte $800$ élèves, dont $35$ % sont en terminale. Combien d'élèves de terminale y a-t-il ?
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On connaît le tout ( $800$ ) et la proportion ( $35$ %) : on cherche la partie, on multiplie. $10$ % de $800$ font $80$ ; $30$ % font $240$ ; $5$ % font $40$ . $35$ % $= 240 + 40 = 280$ élèves. ✔️ Autre chemin : $800 \times 0, 35 =$ $280$ .
2
Dans un lycée, $20$ % des élèves sont demi-pensionnaires, soit $80$ élèves. Combien le lycée compte-t-il d'élèves ?
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Ici, c'est le TOUT qu'on cherche : on divise la partie par la proportion. $\frac{80}{0 , 2} = \frac{800}{2} = 400$ élèves. De tête : $20$ %, c'est $\frac{1}{5}$ . Si un cinquième vaut $80$ , le tout vaut $5 \times 80 =$ $400$ . ✔️ Vérification : $20$ % de $400$ $=$ $80$ . ⚠️ Le piège : $80 \times 0, 2 =$ $16$ . Un tout PLUS PETIT que sa partie, c'est impossible.
3
Dans un lycée, $40$ % des élèves sont en seconde, et $25$ % de ces élèves de seconde font du sport en club. Quel pourcentage des élèves DU LYCÉE sont des élèves de seconde sportifs ?
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Une partie ( $25$ %) d'une partie ( $40$ %) : on multiplie les deux proportions. $0, 4 \times 0, 25 =$ $0, 1$ , soit $10$ %. De tête : $25$ %, c'est un quart ; le quart de $40$ %, c'est $10$ %. ⚠️ Ni $40 + 25 = 65$ %, ni $40 - 25 = 15$ %. Une partie d'une partie est PLUS PETITE que chacune des deux.
4
Calculer les $\frac{3}{5}$ de $45$ .
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Prendre les $\frac{3}{5}$ , c'est partager en $5$ , puis prendre $3$ parts. Une part : $45 \div 5 =$ $9$ . Trois parts : $3 \times 9 =$ $27$ . ⭐ On divise d'abord : les nombres restent petits.
5
$30$ % d'un nombre valent $12$ . Quel est ce nombre ?
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On cherche le tout. On redescend d'abord à $10$ % : $30$ % $\div 3$ , donc $12 \div 3 =$ $4$ . Puis on remonte à $100$ % : $10 \times 4 =$ $40$ . Le nombre est $40$ . ✔️ Vérification : $30$ % de $40$ $=$ $12$ .
pourcentage 10 % 30 % 100 %
valeur 4 12 40
6
Combien font $50$ % de $60$ % ?
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On multiplie les deux proportions : $0, 5 \times 0, 6 =$ $0, 3$ , soit $30$ %. De tête : $50$ %, c'est la moitié ; la moitié de $60$ %, c'est $30$ %. ⚠️ Pas $110$ %, pas $10$ % : on ne fait ni la somme ni la différence.
7
Les $\frac{3}{4}$ d'un groupe représentent $18$ personnes. Combien de personnes compte le groupe ?
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Trois quarts valent $18$ : un quart vaut $18 \div 3 =$ $6$ . Le groupe entier, quatre quarts : $4 \times 6 = 24$ personnes. ✔️ Vérification : les $\frac{3}{4}$ de $24$ font $18$ .
8
Calculer $15$ % de $240$ .
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$10$ % de $240$ font $24$ ; $5$ %, la moitié, font $12$ . $15$ % $= 24 + 12 =$ $36$ . ⭐ $15$ % $= 10$ % $+ 5$ % : le geste le plus utile du calcul de tête.

pourcentage	10 %	30 %	100 %
valeur	4	12	40

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Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Dire si l'on cherche une partie, un tout, ou une partie d'une partie, puis conclure par une phrase. Sans calculatrice.

Rappel de cours

Première question à se poser : le nombre donné est-il le TOUT, ou une PARTIE ?
On cherche le tout : on divise. ✔️ Le résultat doit être plus grand que la partie.
« $25$ % DE CES élèves » : le tout a changé, c'est une partie d'une partie.

9Le loyer
Une salariée consacre $30$ % de son salaire à son loyer, qui est de $750$ € par mois. Quel est son salaire ?
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Le loyer est une PARTIE du salaire : on cherche le tout, on divise. $10$ % du salaire : $750 \div 3 = 250$ €. $100$ % : $10 \times 250 = 2500$ €. ✔️ $30$ % de $2500$ € $= 750$ €. ⚠️ $30$ % de $750$ € ( $225$ €) ne répond pas à la question : ce n'est pas le bon tout.
10Combien de suffrages ?
À une élection (modèle), la liste $A$ a obtenu $45$ % des suffrages exprimés, soit $900$ voix. Combien y a-t-il eu de suffrages exprimés ?
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On connaît une partie ( $900$ voix) et sa proportion ( $45$ %) : on cherche le tout. $\frac{900}{0 , 45} = \frac{90 000}{45} = 2000$ suffrages exprimés. De tête : $45$ % valent $900$ , donc $5$ % valent $100$ , et $100$ % valent $2000$ . ✔️ $45$ % de $2000$ $=$ $900$ .
11Les transports en commun
Dans une région (modèle), $60$ % des habitants vivent en ville. Parmi les habitants des villes, $25$ % prennent les transports en commun chaque jour. Quel pourcentage des habitants de la région cela représente-t-il ?
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« $25$ % des habitants DES VILLES » : le tout n'est plus la région, c'est une partie d'une partie. On multiplie : $0, 6 \times 0, 25 =$ $0, 15$ , soit $15$ %. De tête : le quart de $60$ %, c'est $15$ %. ⚠️ Répondre $25$ % serait confondre les deux touts : les citadins et toute la région.
12Retrouver le prix hors taxes
Avec une TVA à $20$ %, une paire de chaussures coûte $120$ € TTC. Quel est son prix hors taxes ? Combien de TVA l'État perçoit-il ?
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La TVA s'ajoute au prix HT : le TTC vaut $100$ % $+ 20$ % $= 120$ % du prix HT. Le prix HT est le tout : on divise. $\frac{120}{1 , 2} = 100$ €. La TVA : $120 - 100 = 20$ €. ⚠️ Le piège : $20$ % de $120$ € $= 24$ €, puis $120 - 24 = 96$ €. Faux : les $20$ % portent sur le HT, pas sur le TTC.
13Le budget d'une commune
Le diagramme donne la répartition du budget d'une commune (en %, modèle). Les écoles reçoivent $1, 2$ million d'euros. a) Quel est le budget total de la commune ? b) Combien reçoit la culture ?
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a) On lit : les écoles ont $40$ % du budget. $1, 2$ million est une PARTIE : on cherche le tout. $10$ % du budget : $1200000 \div 4 = 300000$ €. Le budget : $10 \times 300000 = 3$ millions d'euros. b) La culture a $15$ % de $3$ millions : $300000 + 150000 = 450000$ €. ⭐ Deux gestes à la suite : de la partie au tout, puis du tout à une autre partie.
14Les forêts protégées
Un département de $6000$ km² est couvert à $35$ % par la forêt, et $20$ % de cette forêt est protégée (modèle). a) Quel pourcentage du département est en forêt protégée ? b) Quelle surface cela représente-t-il ?
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a) Une partie d'une partie : $0, 35 \times 0, 2 =$ $0, 07$ , soit $7$ %. De tête : $20$ %, c'est un cinquième ; $35 \div 5 =$ $7$ . b) $7$ % de $6000$ km² : $1$ % vaut $60$ , donc $7$ % valent $420$ km². ✔️ Autre chemin : forêt $= 2100$ km², et $20$ % de $2100$ $= 420$ km².
15Le chômage
Dans un pays (modèle), le taux de chômage est de $12$ % de la population active, ce qui représente $3, 6$ millions de chômeurs. Quelle est la population active de ce pays ?
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Les chômeurs sont une PARTIE de la population active : on cherche le tout. $1$ % : $3, 6 \div 12 = 0, 3$ million. $100$ % : $100 \times 0, 3 = 30$ millions. ✔️ $12$ % de $30$ millions $= 3, 6$ millions. ⭐ Le taux de chômage se calcule sur les ACTIFS (ceux qui travaillent ou cherchent un emploi), pas sur toute la population.
part des actifs 1 % 12 % 100 %
millions 0,3 3,6 30
16Les écrans
Une enquête (modèle) interroge $1000$ lycéens. $70$ % ont un smartphone depuis le collège, et parmi eux, $40$ % l'utilisent plus de trois heures par jour. a) Quel pourcentage de TOUS les lycéens interrogés cela représente-t-il ? b) Combien de lycéens ?
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a) Une partie d'une partie : $0, 7 \times 0, 4 =$ $0, 28$ , soit $28$ %. b) $28$ % de $1000$ $= 280$ lycéens. ✔️ Autre chemin : $70$ % de $1000$ $=$ $700$ , puis $40$ % de $700$ $=$ $280$ . ⚠️ $40$ % n'est pas la réponse : c'est une part des $700$ , pas des $1000$ .

part des actifs	1 %	12 %	100 %
millions	0,3	3,6	30

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Un problème complet, avec ses questions qui s'enchaînent. Sans calculatrice.

Rappel de cours

À chaque étape, on nomme le tout : « $75$ % DES INSCRITS », « $90$ % DES VOTANTS »…
Une chaîne de parties se calcule en multipliant les proportions ; un tout retrouvé se vérifie en remultipliant.

17Du bureau de vote au résultat
Une ville compte $40000$ inscrits (modèle). La participation est de $75$ % ; $90$ % des votants s'expriment (les autres votent blanc ou nul) ; la candidate $A$ obtient $40$ % des suffrages exprimés. a) Calculer le nombre de votants, de suffrages exprimés, puis de voix pour $A$ . b) Quel pourcentage des INSCRITS a voté pour $A$ ? Le calculer de deux façons.
Voir la correction
a) Votants : $75$ % de $40000$ , les trois quarts, soit $30000$ . Exprimés : $90$ % de $30000$ $= 30000 - 3000 =$ $27000$ . Voix pour $A$ : $40$ % de $27000$ $= 4 \times 2700 =$ $10800$ . b) Premier chemin : $\frac{10 800}{40 000} = \frac{108}{400} = \frac{27}{100} = 27$ %. Second chemin, en chaîne : $0, 75 \times 0, 9 \times 0, 4 = 0, 675 \times 0, 4 =$ $0, 27$ . ⭐ « $40$ % des voix » et « $27$ % des inscrits » décrivent le même vote, avec deux touts différents.
18La cantine et le budget
Une commune (modèle) dépense $180000$ € par an pour la cantine scolaire, soit $12$ % de son budget. Les écoles dans leur ensemble (cantine comprise) représentent $30$ % du budget. a) Quel est le budget de la commune ? b) Combien reçoivent les écoles ? c) Quelle part du budget des écoles la cantine représente-t-elle ? d) Vérifier le résultat avec un pourcentage de pourcentage.
Voir la correction
a) $180000$ € est une partie : $1$ % du budget vaut $180000 \div 12 = 15000$ €, donc le budget vaut $1500000$ €. b) $30$ % de $1500000$ € $= 450000$ €. c) $\frac{180 000}{450 000} = \frac{18}{45} = \frac{2}{5} = 40$ %. d) $40$ % de $30$ % : $0, 4 \times 0, 3 = 0, 12 = 12$ %. On retrouve bien la part de la cantine dans le budget. ✔️ ⭐ La même cantine pèse $12$ % du budget, et $40$ % du budget des écoles : ce n'est pas le même tout.
19Une population qui vieillit
Un pays (modèle) compte $60$ millions d'habitants, dont $16$ % ont $65$ ans ou plus. Quarante ans plus tard, selon une projection, il en compte $64$ millions, dont $25$ % ont $65$ ans ou plus. a) Combien de personnes de $65$ ans ou plus aux deux dates ? b) À la seconde date, $40$ % des $65$ ans ou plus ont $80$ ans ou plus. Quel pourcentage de la population totale cela représente-t-il ? Combien de personnes ?
Voir la correction
a) Première date : $16$ % de $60$ millions. $1$ % vaut $0, 6$ million, donc $16 \times 0, 6 = 9, 6$ millions. Seconde date : $25$ % de $64$ millions, le quart, soit $16$ millions. b) Une partie d'une partie : $0, 4 \times 0, 25 =$ $0, 1$ , soit $10$ % de la population. $10$ % de $64$ millions $= 6, 4$ millions de personnes. ✔️ Autre chemin : $40$ % de $16$ millions $= 6, 4$ millions. ⭐ C'est ainsi qu'on prévoit, des années à l'avance, les places en maison de retraite.
20Soldes et TVA
Pendant les soldes, un manteau est vendu $90$ € TTC après une remise de $25$ %. La TVA est de $20$ %. a) Quel était le prix TTC avant la remise ? b) Quel est le prix hors taxes du manteau soldé ? Combien de TVA contient-il ? c) Un client dit : « Avant la remise, il coûtait $90 + 25$ % de $90$ . » Calculer ce prix et expliquer l'erreur.
Voir la correction
a) Après une remise de $25$ %, on paie $75$ % du prix de départ : $90$ € sont une PARTIE. $25$ % du prix de départ : $90 \div 3 = 30$ €. Le prix de départ : $4 \times 30 = 120$ € TTC. b) $90$ € TTC $= 120$ % du prix HT : le HT est le tout. $\frac{90}{1 , 2} = \frac{900}{12} = 75$ € HT. La TVA : $90 - 75 = 15$ €. c) $90 + 22, 50 = 112, 50$ €. Faux : les $25$ % se prennent sur le prix de DÉPART ( $120$ €), pas sur le prix soldé. ⚠️ Retrouver un prix d'avant, c'est toujours chercher un tout : on divise.
manteau soldé TTC (€) HT (€) TVA (€)
montant 90 75 15

manteau soldé	TTC (€)	HT (€)	TVA (€)
montant	90	75	15

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Corrigés : la partie et le tout, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. On connaît le tout ( $800$ ) et la proportion ( $35$ %) : on cherche la partie, on multiplie. $10$ % de $800$ font $80$ ; $30$ % font $240$ ; $5$ % font $40$ . $35$ % $= 240 + 40 = 280$ élèves. ✔️ Autre chemin : $800 \times 0, 35 =$ $280$ .
2. Ici, c'est le TOUT qu'on cherche : on divise la partie par la proportion. $\frac{80}{0 , 2} = \frac{800}{2} = 400$ élèves. De tête : $20$ %, c'est $\frac{1}{5}$ . Si un cinquième vaut $80$ , le tout vaut $5 \times 80 =$ $400$ . ✔️ Vérification : $20$ % de $400$ $=$ $80$ . ⚠️ Le piège : $80 \times 0, 2 =$ $16$ . Un tout PLUS PETIT que sa partie, c'est impossible.
3. Une partie ( $25$ %) d'une partie ( $40$ %) : on multiplie les deux proportions. $0, 4 \times 0, 25 =$ $0, 1$ , soit $10$ %. De tête : $25$ %, c'est un quart ; le quart de $40$ %, c'est $10$ %. ⚠️ Ni $40 + 25 = 65$ %, ni $40 - 25 = 15$ %. Une partie d'une partie est PLUS PETITE que chacune des deux.
4. Prendre les $\frac{3}{5}$ , c'est partager en $5$ , puis prendre $3$ parts. Une part : $45 \div 5 =$ $9$ . Trois parts : $3 \times 9 =$ $27$ . ⭐ On divise d'abord : les nombres restent petits.
5. On cherche le tout. On redescend d'abord à $10$ % : $30$ % $\div 3$ , donc $12 \div 3 =$ $4$ . Puis on remonte à $100$ % : $10 \times 4 =$ $40$ . Le nombre est $40$ . ✔️ Vérification : $30$ % de $40$ $=$ $12$ .
pourcentage 10 % 30 % 100 %
valeur 4 12 40
6. On multiplie les deux proportions : $0, 5 \times 0, 6 =$ $0, 3$ , soit $30$ %. De tête : $50$ %, c'est la moitié ; la moitié de $60$ %, c'est $30$ %. ⚠️ Pas $110$ %, pas $10$ % : on ne fait ni la somme ni la différence.
7. Trois quarts valent $18$ : un quart vaut $18 \div 3 =$ $6$ . Le groupe entier, quatre quarts : $4 \times 6 = 24$ personnes. ✔️ Vérification : les $\frac{3}{4}$ de $24$ font $18$ .
8. $10$ % de $240$ font $24$ ; $5$ %, la moitié, font $12$ . $15$ % $= 24 + 12 =$ $36$ . ⭐ $15$ % $= 10$ % $+ 5$ % : le geste le plus utile du calcul de tête.
9. Le loyer Le loyer est une PARTIE du salaire : on cherche le tout, on divise. $10$ % du salaire : $750 \div 3 = 250$ €. $100$ % : $10 \times 250 = 2500$ €. ✔️ $30$ % de $2500$ € $= 750$ €. ⚠️ $30$ % de $750$ € ( $225$ €) ne répond pas à la question : ce n'est pas le bon tout.
10. Combien de suffrages ? On connaît une partie ( $900$ voix) et sa proportion ( $45$ %) : on cherche le tout. $\frac{900}{0 , 45} = \frac{90 000}{45} = 2000$ suffrages exprimés. De tête : $45$ % valent $900$ , donc $5$ % valent $100$ , et $100$ % valent $2000$ . ✔️ $45$ % de $2000$ $=$ $900$ .
11. Les transports en commun « $25$ % des habitants DES VILLES » : le tout n'est plus la région, c'est une partie d'une partie. On multiplie : $0, 6 \times 0, 25 =$ $0, 15$ , soit $15$ %. De tête : le quart de $60$ %, c'est $15$ %. ⚠️ Répondre $25$ % serait confondre les deux touts : les citadins et toute la région.
12. Retrouver le prix hors taxes La TVA s'ajoute au prix HT : le TTC vaut $100$ % $+ 20$ % $= 120$ % du prix HT. Le prix HT est le tout : on divise. $\frac{120}{1 , 2} = 100$ €. La TVA : $120 - 100 = 20$ €. ⚠️ Le piège : $20$ % de $120$ € $= 24$ €, puis $120 - 24 = 96$ €. Faux : les $20$ % portent sur le HT, pas sur le TTC.
13. Le budget d'une commune a) On lit : les écoles ont $40$ % du budget. $1, 2$ million est une PARTIE : on cherche le tout. $10$ % du budget : $1200000 \div 4 = 300000$ €. Le budget : $10 \times 300000 = 3$ millions d'euros. b) La culture a $15$ % de $3$ millions : $300000 + 150000 = 450000$ €. ⭐ Deux gestes à la suite : de la partie au tout, puis du tout à une autre partie.
14. Les forêts protégées a) Une partie d'une partie : $0, 35 \times 0, 2 =$ $0, 07$ , soit $7$ %. De tête : $20$ %, c'est un cinquième ; $35 \div 5 =$ $7$ . b) $7$ % de $6000$ km² : $1$ % vaut $60$ , donc $7$ % valent $420$ km². ✔️ Autre chemin : forêt $= 2100$ km², et $20$ % de $2100$ $= 420$ km².
15. Le chômage Les chômeurs sont une PARTIE de la population active : on cherche le tout. $1$ % : $3, 6 \div 12 = 0, 3$ million. $100$ % : $100 \times 0, 3 = 30$ millions. ✔️ $12$ % de $30$ millions $= 3, 6$ millions. ⭐ Le taux de chômage se calcule sur les ACTIFS (ceux qui travaillent ou cherchent un emploi), pas sur toute la population.
part des actifs 1 % 12 % 100 %
millions 0,3 3,6 30
16. Les écrans a) Une partie d'une partie : $0, 7 \times 0, 4 =$ $0, 28$ , soit $28$ %. b) $28$ % de $1000$ $= 280$ lycéens. ✔️ Autre chemin : $70$ % de $1000$ $=$ $700$ , puis $40$ % de $700$ $=$ $280$ . ⚠️ $40$ % n'est pas la réponse : c'est une part des $700$ , pas des $1000$ .
17. Du bureau de vote au résultat a) Votants : $75$ % de $40000$ , les trois quarts, soit $30000$ . Exprimés : $90$ % de $30000$ $= 30000 - 3000 =$ $27000$ . Voix pour $A$ : $40$ % de $27000$ $= 4 \times 2700 =$ $10800$ . b) Premier chemin : $\frac{10 800}{40 000} = \frac{108}{400} = \frac{27}{100} = 27$ %. Second chemin, en chaîne : $0, 75 \times 0, 9 \times 0, 4 = 0, 675 \times 0, 4 =$ $0, 27$ . ⭐ « $40$ % des voix » et « $27$ % des inscrits » décrivent le même vote, avec deux touts différents.
18. La cantine et le budget a) $180000$ € est une partie : $1$ % du budget vaut $180000 \div 12 = 15000$ €, donc le budget vaut $1500000$ €. b) $30$ % de $1500000$ € $= 450000$ €. c) $\frac{180 000}{450 000} = \frac{18}{45} = \frac{2}{5} = 40$ %. d) $40$ % de $30$ % : $0, 4 \times 0, 3 = 0, 12 = 12$ %. On retrouve bien la part de la cantine dans le budget. ✔️ ⭐ La même cantine pèse $12$ % du budget, et $40$ % du budget des écoles : ce n'est pas le même tout.
19. Une population qui vieillit a) Première date : $16$ % de $60$ millions. $1$ % vaut $0, 6$ million, donc $16 \times 0, 6 = 9, 6$ millions. Seconde date : $25$ % de $64$ millions, le quart, soit $16$ millions. b) Une partie d'une partie : $0, 4 \times 0, 25 =$ $0, 1$ , soit $10$ % de la population. $10$ % de $64$ millions $= 6, 4$ millions de personnes. ✔️ Autre chemin : $40$ % de $16$ millions $= 6, 4$ millions. ⭐ C'est ainsi qu'on prévoit, des années à l'avance, les places en maison de retraite.
20. Soldes et TVA a) Après une remise de $25$ %, on paie $75$ % du prix de départ : $90$ € sont une PARTIE. $25$ % du prix de départ : $90 \div 3 = 30$ €. Le prix de départ : $4 \times 30 = 120$ € TTC. b) $90$ € TTC $= 120$ % du prix HT : le HT est le tout. $\frac{90}{1 , 2} = \frac{900}{12} = 75$ € HT. La TVA : $90 - 75 = 15$ €. c) $90 + 22, 50 = 112, 50$ €. Faux : les $25$ % se prennent sur le prix de DÉPART ( $120$ €), pas sur le prix soldé. ⚠️ Retrouver un prix d'avant, c'est toujours chercher un tout : on divise.
manteau soldé TTC (€) HT (€) TVA (€)
montant 90 75 15

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : la partie et le tout, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3