Lire une probabilité dans un tableau ou un arbre : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices sans calculatrice, comme à l'épreuve anticipée : lire P(A ∩ B) dans une case d'un tableau croisé, lire une probabilité conditionnelle sur une ligne ou sur une branche d'arbre, et ne plus confondre « B sachant A » et « A sachant B ». Clients d'une compagnie aérienne, vote par âge, emploi des diplômés, chômage des jeunes, fraude bancaire, achats en ligne. Un rappel de cours avant chaque niveau, et une correction écrite étape par étape.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une lecture par exercice : la case, puis le bon dénominateur.

Rappel de cours

$P (A \cap B)$ se lit « $A$ ET $B$ ». Dans un tableau croisé : la CASE, divisée par le TOTAL général.
$P_{A} (B)$ se lit « $B$ sachant $A$ » : on se place PARMI les $A$ . La case, divisée par le total de la ligne (ou de la colonne) de $A$ .
Même case, trois dénominateurs : le total pour $P (A \cap$ $B)$ , le total de $A$ pour $P_{A} (B)$ , le total de $B$ pour $P_{B} (A)$ .
Sur un arbre, les branches du deuxième niveau portent des probabilités CONDITIONNELLES. Pour $P (A \cap$ $B)$ , on MULTIPLIE le long du chemin.

1
Un centre d'entraînement accueille $120$ sportifs, en judo ou en natation, au niveau espoir ou élite. On choisit un sportif au hasard. On note $J$ « faire du judo » et $E$ « être au niveau élite ». Quelle est la probabilité $P (J \cap E)$ que le sportif fasse du judo ET soit au niveau élite ?
Espoir Élite Total
Judo 36 12 48
Natation 48 24 72
Total 84 36 120
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« Judo ET élite » : c'est UNE case, au croisement de la ligne Judo et de la colonne Élite. Elle contient $12$ sportifs. On divise par le TOTAL, puisqu'on choisit parmi tous les sportifs : $P (J \cap E) = \frac{12}{120} =$ $\frac{1}{10}$ . ⚠️ Le piège : diviser par $48$ (les judokas) ou par $36$ (les élites). Ce seraient des probabilités « sachant », pas « et ».
2
Avec le tableau de l'exercice 1, on choisit un JUDOKA au hasard. Quelle est la probabilité qu'il soit au niveau élite ?
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« Parmi les judokas » : on se place sur la ligne Judo, qui compte $48$ sportifs. Parmi eux, $12$ sont élites : $P_{J} (E) = \frac{12}{48} =$ $\frac{1}{4}$ . ⭐ Le dénominateur est le total de la LIGNE, pas le total général.
Espoir Élite Total
Judo 36 12 48
Natation 48 24 72
Total 84 36 120
3
Toujours avec le même tableau, on choisit un sportif de niveau ÉLITE au hasard. Quelle est la probabilité qu'il fasse du judo ? Comparer avec l'exercice 2.
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« Parmi les élites » : on se place dans la colonne Élite, qui compte $36$ sportifs. Parmi eux, $12$ font du judo : $P_{E} (J) = \frac{12}{36} =$ $\frac{1}{3}$ . À l'exercice 2, $P_{J} (E) =$ $\frac{1}{4}$ . ⛔ Même case, $12$ sportifs, mais deux questions et deux réponses : $P_{E} (J) \neq =$ $P_{J} (E)$ . Ce qui est APRÈS « sachant » donne le dénominateur.
Espoir Élite Total
Judo 36 12 48
Natation 48 24 72
Total 84 36 120
4
Le tableau donne directement des PROBABILITÉS. a) Lire $P (A \cap B)$ et $P (A)$ . b) Calculer $P_{A} (B)$ puis $P_{B} (A)$ .
B non B Total
A 0,12 0,28 0,4
non A 0,24 0,36 0,6
Total 0,36 0,64 1
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a) $P (A \cap B)$ est la case au croisement de $A$ et de $B$ : $0, 12$ . $P (A)$ est le total de la ligne $A$ : $0, 4$ . b) $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{0 , 12}{0 , 4} =$ $0, 3$ . $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{0 , 12}{0 , 36} =$ $\frac{1}{3}$ . ⭐ Dans un tableau de probabilités, le total général vaut $1$ : la case se lit donc directement comme $P (A \cap$ $B)$ .
5
Lire sur cet arbre pondéré : $P (A)$ , $P_{A} (B)$ , $P (\overline{A})$ et $P_{\overline{A}} (\overline{B})$ .
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Le premier niveau porte $P (A) = 0, 6$ et $P (\overline{A}) =$ $0, 4$ . La branche qui part de $A$ vers $B$ porte $P_{A} (B) =$ $0, 3$ : c'est une probabilité SACHANT $A$ . La branche qui part de $\overline{A}$ vers $\overline{B}$ porte $P_{\overline{A}} (\overline{B}) =$ $0, 5$ . ⚠️ Le piège : lire $0, 3$ comme $P (B)$ . Une branche du deuxième niveau dépend toujours du nœud d'où elle part.
6
Avec l'arbre de l'exercice 5, calculer $P (A \cap B)$ et $P (\overline{A} \cap$ $B)$ .
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On multiplie le long de chaque chemin. $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) = 0, 6 \times 0, 3 =$ $0, 18$ . $P (\overline{A} \cap B) = 0, 4 \times 0, 5 =$ $0, 2$ . ⛔ Le piège : répondre $P (A \cap B) =$ $0, 3$ . $0, 3$ est la probabilité de $B$ PARMI $A$ ; il faut encore tomber dans $A$ .
7
On note $M$ « être malade » et $T$ « avoir un test positif ». Traduire chaque phrase par une probabilité. a) « Parmi les malades, $95$ % ont un test positif. » b) « $2$ % des personnes sont malades et ont un test positif. » c) « Parmi les tests positifs, $40$ % correspondent à des malades. »
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a) « Parmi les malades » : on SAIT que la personne est malade. $P_{M} (T) =$ $0, 95$ . b) « Malades ET positives », parmi toutes les personnes : $P (M \cap T) =$ $0, 02$ . c) « Parmi les tests positifs » : on SAIT que le test est positif. $P_{T} (M) =$ $0, 4$ . ⭐ Le mot « parmi » annonce le « sachant » : ce qui le suit va en INDICE. ⚠️ a) et c) parlent des mêmes personnes, malades et positives, mais pas vues du même côté : $0, 95$ et $0, 4$ .
8
Une classe de $30$ élèves compte $18$ filles. $12$ élèves font du latin, dont $9$ filles. On choisit un élève au hasard ; $L$ : « faire du latin », $F$ : « être une fille ». Calculer $P (L \cap$ $F)$ , $P_{L} (F)$ et $P_{F} (L)$ .
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On range les effectifs dans un tableau : latinistes $9$ filles et $3$ garçons ; non-latinistes $9$ filles et $9$ garçons. $P (L \cap F) = \frac{9}{30} =$ $0, 3$ : on divise par TOUTE la classe. $P_{L} (F) = \frac{9}{12} =$ $\frac{3}{4}$ : parmi les $12$ latinistes. $P_{F} (L) = \frac{9}{18} =$ $\frac{1}{2}$ : parmi les $18$ filles. ⭐ Trois quarts des latinistes sont des filles, mais seule une fille sur deux fait du latin.
Filles Garçons Total
Latin 9 3 12
Pas latin 9 9 18
Total 18 12 30

	Espoir	Élite	Total
Judo	36	12	48
Natation	48	24	72
Total	84	36	120

	Espoir	Élite	Total
Judo	36	12	48
Natation	48	24	72
Total	84	36	120

	Espoir	Élite	Total
Judo	36	12	48
Natation	48	24	72
Total	84	36	120

	B	non B	Total
A	0,12	0,28	0,4
non A	0,24	0,36	0,6
Total	0,36	0,64	1

	Filles	Garçons	Total
Latin	9	3	12
Pas latin	9	9	18
Total	18	12	30

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Compléter, lire, puis dire en une phrase ce que la probabilité signifie. Sans calculatrice.

Rappel de cours

Pour compléter un tableau croisé : les cases d'une ligne font le total de la ligne, les cases d'une colonne le total de la colonne.
Un pourcentage « parmi les… » est une probabilité CONDITIONNELLE : il va sur une branche du deuxième niveau, ou se calcule sur une ligne.
Pour passer d'un arbre à un tableau, on raisonne sur un effectif simple : $100$ , $1000$ , $10000$ personnes.

9La compagnie aérienne
Une compagnie aérienne interroge $1000$ clients : ont-ils acheté leur billet en agence ou sur internet, et sont-ils satisfaits ? On choisit un client au hasard. a) Quelle est la probabilité qu'il ait acheté sur internet ET soit satisfait ? b) Parmi les clients d'internet, quelle est la probabilité d'être satisfait ? Et parmi ceux d'agence ? c) Quel canal donne les clients les plus souvent satisfaits ? d) Un client est satisfait. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté sur internet ?
Satisfait Non satisfait Total
Agence 160 40 200
Internet 560 240 800
Total 720 280 1000
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a) La case Internet × Satisfait : $\frac{560}{1 000} =$ $0, 56$ . b) Internet : $\frac{560}{800} =$ $0, 7$ . Agence : $\frac{160}{200} =$ $0, 8$ . c) L'agence : $80$ % de satisfaits contre $70$ %. ⚠️ Pourtant il y a bien plus de satisfaits sur internet ( $560$ contre $160$ ) : c'est un NOMBRE, pas une proportion. Internet a quatre fois plus de clients. d) Parmi les $720$ satisfaits : $P_{S} (I) = \frac{560}{720} = \frac{7}{9} \approx$ $0, 78$ . ⭐ b) et d) utilisent la même case, $560$ , avec deux dénominateurs : $800$ et $720$ .
10Le vote par âge
Un institut interroge $500$ électeurs (modèle). $200$ ont moins de $35$ ans, dont $110$ déclarent qu'ils iront voter. Parmi les $300$ autres, $240$ iront voter. On choisit un électeur au hasard ; $J$ : « avoir moins de $35$ ans », $V$ : « aller voter ». a) Compléter un tableau croisé. b) Calculer $P (J \cap$ $V)$ , $P_{J} (V)$ et $P_{\overline{J}} (V)$ . Commenter. c) Calculer $P_{V} (J)$ .
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a) Moins de $35$ ans : $110$ votent, $200 - 110 = 90$ non. $35$ ans et plus : $240$ votent, $60$ non. Votants : $350$ ; abstentionnistes : $150$ . b) $P (J \cap V) = \frac{110}{500} =$ $0, 22$ . $P_{J} (V) = \frac{110}{200} = 0, 55$ et $P_{\overline{J}} (V) = \frac{240}{300} =$ $0, 8$ . Les moins de $35$ ans déclarent moins souvent aller voter : $55$ % contre $80$ %. c) Parmi les $350$ votants : $P_{V} (J) = \frac{110}{350} = \frac{11}{35} \approx$ $0, 31$ . ⛔ Le piège : confondre $P_{J} (V) = 0, 55$ (la participation des jeunes) et $P_{V} (J) \approx 0, 31$ (la part des jeunes parmi les votants).
Vote Ne vote pas Total
Moins de 35 ans 110 90 200
35 ans et plus 240 60 300
Total 350 150 500
11L'emploi des diplômés
Dans une région (modèle), $60$ % des jeunes sortis de formation ont un diplôme du supérieur ( $S$ ). Parmi eux, $90$ % ont un emploi ( $E$ ) trois ans après ; parmi les autres, $70$ %. a) Construire l'arbre pondéré. b) Lire $P_{S} (E)$ . Calculer $P (S \cap E)$ et $P (\overline{S} \cap$ $E)$ .
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a) Premier niveau : $P (S) =$ $0, 6$ , $P (\overline{S}) =$ $0, 4$ . Deuxième niveau : $P_{S} (E) =$ $0, 9$ , $P_{S} (\overline{E}) =$ $0, 1$ ; $P_{\overline{S}} (E) =$ $0, 7$ , $P_{\overline{S}} (\overline{E}) =$ $0, 3$ . b) $P_{S} (E) =$ $0, 9$ , lu sur la branche $S \to$ $E$ . $P (S \cap E) = 0, 6 \times 0, 9 = 0, 54$ et $P (\overline{S} \cap E) = 0, 4 \times 0, 7 =$ $0, 28$ . ⭐ « Parmi eux, $90$ % » va sur la branche derrière $S$ : c'est une probabilité sachant $S$ . ⚠️ $0, 9$ n'est pas la part des jeunes qui ont un emploi : c'est la part PARMI les diplômés du supérieur.
12De l'arbre au tableau
Reprendre l'exercice 11 avec $1000$ jeunes. a) Compléter le tableau croisé des effectifs. b) Y lire $P (S \cap$ $E)$ . c) Un jeune a un emploi. Quelle est, à peu près, la probabilité qu'il soit diplômé du supérieur ?
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a) Supérieur : $600$ jeunes, dont $0, 9 \times 600 = 540$ en emploi et $60$ sans. Autres : $400$ , dont $0, 7 \times 400 = 280$ en emploi et $120$ sans. En emploi : $540 + 280 =$ $820$ ; sans emploi : $180$ . b) La case Supérieur × Emploi, sur le total : $\frac{540}{1 000} =$ $0, 54$ . C'est bien le résultat de l'arbre. c) Parmi les $820$ jeunes en emploi, $540$ sont diplômés du supérieur : $P_{E} (S) =$ $\frac{540}{820}$ . Les deux tiers de $820$ font environ $547$ : $P_{E} (S)$ vaut environ $\frac{2}{3}$ . ⭐ L'arbre donnait $P_{S} (E) =$ $0, 9$ ; le tableau donne l'autre sens, $P_{E} (S) \approx$ $0, 66$ .
Sur 1000 Emploi Sans emploi Total
Supérieur 540 60 600
Autres 280 120 400
Total 820 180 1000
13Le soir de l'élection
Un sondage réalisé à la sortie des urnes (modèle) donne trois phrases. On choisit un votant au hasard ; $J$ : « avoir moins de $35$ ans », $A$ : « avoir voté pour la candidate A ». « $30$ % des votants ont moins de $35$ ans. » « Parmi les moins de $35$ ans, $40$ % ont voté A. » « $25$ % des électeurs de A ont moins de $35$ ans. » a) Traduire chaque phrase par une probabilité. b) Calculer $P (J \cap$ $A)$ , puis en déduire $P (A)$ .
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a) $P (J) =$ $0, 3$ ; « parmi les moins de $35$ ans » : $P_{J} (A) =$ $0, 4$ ; « des électeurs de A » : $P_{A} (J) =$ $0, 25$ . b) $P (J \cap A) = P (J) \times P_{J} (A) = 0, 3 \times 0, 4 =$ $0, 12$ . Or $P_{A} (J) =$ $\frac{P ( J \cap A )}{P ( A )}$ , donc $P (A) = \frac{0 , 12}{0 , 25} =$ $0, 48$ . La candidate A a obtenu environ $48$ % des voix. ⭐ Les deux phrases conditionnelles ont servi DANS LES DEUX SENS : l'une pour trouver $P (J \cap$ $A)$ , l'autre pour remonter à $P (A)$ .
14Le chômage et le diplôme
On a interrogé $400$ actifs (modèle). $160$ sont diplômés du supérieur, dont $8$ au chômage ; parmi les $240$ autres, $24$ sont au chômage. On choisit un actif au hasard ; $D$ : « diplômé du supérieur », $C$ : « au chômage ». a) Calculer $P (D \cap$ $C)$ . b) Calculer le taux de chômage des diplômés, $P_{D} (C)$ , puis celui des autres. c) Un actif est au chômage. Quelle est la probabilité qu'il soit diplômé du supérieur ?
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a) $8$ actifs sont diplômés ET au chômage : $P (D \cap C) = \frac{8}{400} =$ $0, 02$ . b) Parmi les $160$ diplômés : $P_{D} (C) = \frac{8}{160} =$ $0, 05$ . Parmi les $240$ autres : $\frac{24}{240} =$ $0, 1$ . Le taux de chômage est deux fois plus faible chez les diplômés du supérieur. c) Chômeurs : $8 + 24 =$ $32$ . Parmi eux, $8$ diplômés : $P_{C} (D) = \frac{8}{32} =$ $0, 25$ . ⛔ Le piège : $0, 02$ , $0, 05$ et $0, 25$ ont tous le même numérateur, $8$ . Seul le dénominateur dit de qui on parle.
En emploi Chômage Total
Diplômés 152 8 160
Autres 216 24 240
Total 368 32 400
15Les trajets domicile-travail
Dans une agglomération (modèle), on choisit au hasard un trajet domicile-travail ; $V$ : « le trajet se fait en voiture », $L$ : « le trajet dépasse $10$ km ». Lire sur l'arbre $P (V)$ et $P_{V} (L)$ , puis calculer $P (V \cap L)$ et $P (\overline{V} \cap$ $L)$ .
Voir la correction
Premier niveau : $P (V) =$ $0, 7$ . Branche $V \to$ $L$ : $P_{V} (L) =$ $0, 8$ , « parmi les trajets en voiture, $80$ % dépassent $10$ km ». $P (V \cap L) = 0, 7 \times 0, 8 =$ $0, 56$ . $P (\overline{V} \cap L) = 0, 3 \times 0, 25 =$ $0, 075$ . ⚠️ $0, 8$ n'est pas la part des trajets longs : c'est leur part PARMI les trajets en voiture. ⭐ Les longs trajets se font presque tous en voiture : $0, 56$ contre $0, 075$ . C'est là que se jouent les politiques de transport.
16Le détecteur de fraude
Une banque teste un détecteur de fraude sur $10000$ paiements (modèle). $20$ sont frauduleux ; le détecteur en signale $18$ . Il signale aussi, à tort, $180$ paiements honnêtes. a) Compléter un tableau croisé. b) Calculer $P_{F} (S)$ , la probabilité qu'une fraude soit signalée. c) Un paiement est signalé. Quelle est la probabilité que ce soit vraiment une fraude ?
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a) Fraudes : $18$ signalées, $2$ non. Paiements honnêtes : $9980$ , dont $180$ signalés et $9800$ non. Signalés : $18 + 180 =$ $198$ . b) Parmi les $20$ fraudes : $P_{F} (S) = \frac{18}{20} =$ $0, 9$ . Le détecteur attrape $90$ % des fraudes. c) Parmi les $198$ paiements signalés : $P_{S} (F) = \frac{18}{198} = \frac{1}{11} \approx$ $0, 09$ . Une alerte sur onze seulement est une vraie fraude. ⛔ Le piège : répondre $0, 9$ au c). Les paiements honnêtes sont si NOMBREUX que leurs fausses alertes noient les vraies.
Sur 10000 Signalé Non signalé Total
Fraude 18 2 20
Honnête 180 9800 9980
Total 198 9802 10000

	Satisfait	Non satisfait	Total
Agence	160	40	200
Internet	560	240	800
Total	720	280	1000

	Vote	Ne vote pas	Total
Moins de 35 ans	110	90	200
35 ans et plus	240	60	300
Total	350	150	500

Sur 1000	Emploi	Sans emploi	Total
Supérieur	540	60	600
Autres	280	120	400
Total	820	180	1000

	En emploi	Chômage	Total
Diplômés	152	8	160
Autres	216	24	240
Total	368	32	400

Sur 10000	Signalé	Non signalé	Total
Fraude	18	2	20
Honnête	180	9800	9980
Total	198	9802	10000

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Tableau ou arbre, la bonne question, puis une phrase qui dit ce que ça signifie. Sans calculatrice.

Rappel de cours

Avant chaque calcul, on se demande : PARMI QUI ? La réponse donne le dénominateur.
Sur un arbre, on multiplie le long d'un chemin, et on additionne les chemins qui mènent au même évènement.
Pour « retourner » un arbre, on passe par un tableau d'effectifs : $1000$ personnes suffisent souvent.

17Le projet du lycée
Un lycée consulte ses $1000$ élèves sur un projet. On choisit un élève au hasard ; $F$ : « être favorable », $T$ : « être en terminale ». a) Quelle est la probabilité qu'un élève soit en première ET favorable ? b) Calculer $P_{T} (F)$ et $P_{F} (T)$ . c) Le proviseur dit : « $60$ % des élèves sont favorables, donc $60$ % des terminales le sont aussi. » A-t-il raison ? d) Dans quel niveau le projet a-t-il le plus de soutien, en proportion ?
Favorable Défavorable Total
Seconde 240 110 350
Première 200 150 350
Terminale 160 140 300
Total 600 400 1000
Voir la correction
a) La case Première × Favorable, sur le total : $\frac{200}{1 000} =$ $0, 2$ . b) Parmi les $300$ terminales : $P_{T} (F) = \frac{160}{300} = \frac{8}{15} \approx$ $0, 53$ . Parmi les $600$ favorables : $P_{F} (T) = \frac{160}{600} = \frac{4}{15} \approx$ $0, 27$ . c) Non : $P (F) = \frac{600}{1 000} = 0, 6$ pour tout le lycée, mais $P_{T} (F) \approx 0, 53$ chez les terminales. La moyenne du lycée ne s'applique pas à chaque niveau. d) Seconde : $\frac{240}{350} = \frac{24}{35} \approx$ $0, 69$ . Première : $\frac{200}{350} = \frac{4}{7} \approx$ $0, 57$ . Terminale : $\approx$ $0, 53$ . C'est en seconde. ⭐ Pour comparer des groupes de tailles différentes, on compare des probabilités « sachant », jamais des cases brutes.
18Le chômage des jeunes
Dans un pays (modèle), $20$ % des actifs ont moins de $25$ ans ( $J$ ). Le taux de chômage ( $C$ ) est de $20$ % chez les moins de $25$ ans et de $5$ % chez les autres actifs. On choisit un actif au hasard. a) Construire l'arbre pondéré. b) Calculer $P (J \cap C)$ et $P (\overline{J} \cap$ $C)$ . c) En déduire la probabilité qu'un actif soit au chômage. d) Un actif est au chômage. Quelle est la probabilité qu'il ait moins de $25$ ans ? Commenter.
Voir la correction
a) Premier niveau : $P (J) =$ $0, 2$ , $P (\overline{J}) =$ $0, 8$ . Deuxième niveau : $P_{J} (C) =$ $0, 2$ , $P_{\overline{J}} (C) =$ $0, 05$ , et leurs contraires $0, 8$ et $0, 95$ . b) $P (J \cap C) = 0, 2 \times 0, 2 = 0, 04$ et $P (\overline{J} \cap C) = 0, 8 \times 0, 05 =$ $0, 04$ . c) Deux chemins mènent à $C$ : $P (C) = 0, 04 + 0, 04 =$ $0, 08$ . Le taux de chômage global est de $8$ %. d) $P_{C} (J) = \frac{P ( J \cap C )}{P ( C )} = \frac{0 , 04}{0 , 08} =$ $0, 5$ . Les moins de $25$ ans sont $20$ % des actifs, mais la MOITIÉ des chômeurs. ⛔ Le piège : lire $0, 2$ sur la branche et dire « $20$ % des chômeurs sont jeunes ». $0, 2$ est $P_{J} (C)$ , le taux de chômage des jeunes.
19Les retours d'une boutique en ligne
Une boutique en ligne étudie $1000$ commandes (modèle). $40$ % sont des vêtements ( $V$ ). $25$ % des commandes de vêtements sont renvoyées ( $R$ ), contre $5$ % des autres commandes. a) Compléter un tableau croisé des effectifs. b) Calculer $P (V \cap R)$ et $P_{V} (R)$ . c) Une commande est renvoyée. Quelle est la probabilité que ce soit un vêtement ? d) Un client affirme : « un quart des retours sont des vêtements ». Qu'a-t-il confondu ?
Voir la correction
a) Vêtements : $400$ commandes, dont $0, 25 \times 400 = 100$ renvoyées et $300$ gardées. Autres : $600$ , dont $0, 05 \times 600 = 30$ renvoyées et $570$ gardées. Retours : $130$ . b) $P (V \cap R) = \frac{100}{1 000} = 0, 1$ et $P_{V} (R) = \frac{100}{400} =$ $0, 25$ . c) Parmi les $130$ retours : $P_{R} (V) = \frac{100}{130} = \frac{10}{13} \approx$ $0, 77$ . d) Il a confondu $P_{V} (R) = 0, 25$ (« un vêtement sur quatre est renvoyé ») et $P_{R} (V) \approx 0, 77$ (« plus de trois retours sur quatre sont des vêtements »). ⭐ Pour la boutique, c'est la seconde qui compte : c'est sur les vêtements qu'il faut agir pour réduire les retours.
Renvoyée Gardée Total
Vêtements 100 300 400
Autres 30 570 600
Total 130 870 1000
20Ce qu'on dit, ce qu'on vote
Avant une élection (modèle), $55$ % des électeurs déclarent vouloir voter pour A ( $D$ ). Le jour du vote, $80$ % d'entre eux votent vraiment A ( $V$ ) ; parmi les autres électeurs, $10$ % votent finalement A. a) Construire l'arbre, puis compléter un tableau sur $1000$ électeurs. b) Calculer $P (D \cap V)$ et $P (V)$ . A obtient-il la majorité ? c) Parmi les électeurs de A, la part de ceux qui l'avaient annoncé dépasse-t-elle $90$ % ?
Voir la correction
a) $P (D) =$ $0, 55$ , $P_{D} (V) =$ $0, 8$ ; $P (\overline{D}) =$ $0, 45$ , $P_{\overline{D}} (V) =$ $0, 1$ . Sur $1000$ : $550$ l'annoncent, dont $0, 8 \times 550 = 440$ votent A et $110$ non. $450$ ne l'annoncent pas, dont $45$ votent A et $405$ non. Votes pour A : $485$ . b) $P (D \cap V) = \frac{440}{1 000} = 0, 44$ et $P (V) = \frac{485}{1 000} =$ $0, 485$ . Non : $48, 5$ % $< 50$ %, alors que $55$ % l'annonçaient. c) $P_{V} (D) =$ $\frac{440}{485}$ . Or $90$ % de $485$ font $436, 5$ , et $440 >$ $436, 5$ : oui, un peu plus de $90$ %. ⭐ $P_{D} (V) = 0, 8$ et $P_{V} (D) >$ $0, 9$ : les électeurs de A l'avaient presque tous annoncé, mais tous ceux qui l'annonçaient ne l'ont pas voté.
Sur 1000 Vote A Autre vote Total
Annonce A 440 110 550
N'annonce pas 45 405 450
Total 485 515 1000

	Favorable	Défavorable	Total
Seconde	240	110	350
Première	200	150	350
Terminale	160	140	300
Total	600	400	1000

	Renvoyée	Gardée	Total
Vêtements	100	300	400
Autres	30	570	600
Total	130	870	1000

Sur 1000	Vote A	Autre vote	Total
Annonce A	440	110	550
N'annonce pas	45	405	450
Total	485	515	1000

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : lire une probabilité dans un tableau ou un arbre, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. « Judo ET élite » : c'est UNE case, au croisement de la ligne Judo et de la colonne Élite. Elle contient $12$ sportifs. On divise par le TOTAL, puisqu'on choisit parmi tous les sportifs : $P (J \cap E) = \frac{12}{120} =$ $\frac{1}{10}$ . ⚠️ Le piège : diviser par $48$ (les judokas) ou par $36$ (les élites). Ce seraient des probabilités « sachant », pas « et ».
2. « Parmi les judokas » : on se place sur la ligne Judo, qui compte $48$ sportifs. Parmi eux, $12$ sont élites : $P_{J} (E) = \frac{12}{48} =$ $\frac{1}{4}$ . ⭐ Le dénominateur est le total de la LIGNE, pas le total général.
Espoir Élite Total
Judo 36 12 48
Natation 48 24 72
Total 84 36 120
3. « Parmi les élites » : on se place dans la colonne Élite, qui compte $36$ sportifs. Parmi eux, $12$ font du judo : $P_{E} (J) = \frac{12}{36} =$ $\frac{1}{3}$ . À l'exercice 2, $P_{J} (E) =$ $\frac{1}{4}$ . ⛔ Même case, $12$ sportifs, mais deux questions et deux réponses : $P_{E} (J) \neq =$ $P_{J} (E)$ . Ce qui est APRÈS « sachant » donne le dénominateur.
Espoir Élite Total
Judo 36 12 48
Natation 48 24 72
Total 84 36 120
4. a) $P (A \cap B)$ est la case au croisement de $A$ et de $B$ : $0, 12$ . $P (A)$ est le total de la ligne $A$ : $0, 4$ . b) $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{0 , 12}{0 , 4} =$ $0, 3$ . $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{0 , 12}{0 , 36} =$ $\frac{1}{3}$ . ⭐ Dans un tableau de probabilités, le total général vaut $1$ : la case se lit donc directement comme $P (A \cap$ $B)$ .
5. Le premier niveau porte $P (A) = 0, 6$ et $P (\overline{A}) =$ $0, 4$ . La branche qui part de $A$ vers $B$ porte $P_{A} (B) =$ $0, 3$ : c'est une probabilité SACHANT $A$ . La branche qui part de $\overline{A}$ vers $\overline{B}$ porte $P_{\overline{A}} (\overline{B}) =$ $0, 5$ . ⚠️ Le piège : lire $0, 3$ comme $P (B)$ . Une branche du deuxième niveau dépend toujours du nœud d'où elle part.
6. On multiplie le long de chaque chemin. $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) = 0, 6 \times 0, 3 =$ $0, 18$ . $P (\overline{A} \cap B) = 0, 4 \times 0, 5 =$ $0, 2$ . ⛔ Le piège : répondre $P (A \cap B) =$ $0, 3$ . $0, 3$ est la probabilité de $B$ PARMI $A$ ; il faut encore tomber dans $A$ .
7. a) « Parmi les malades » : on SAIT que la personne est malade. $P_{M} (T) =$ $0, 95$ . b) « Malades ET positives », parmi toutes les personnes : $P (M \cap T) =$ $0, 02$ . c) « Parmi les tests positifs » : on SAIT que le test est positif. $P_{T} (M) =$ $0, 4$ . ⭐ Le mot « parmi » annonce le « sachant » : ce qui le suit va en INDICE. ⚠️ a) et c) parlent des mêmes personnes, malades et positives, mais pas vues du même côté : $0, 95$ et $0, 4$ .
8. On range les effectifs dans un tableau : latinistes $9$ filles et $3$ garçons ; non-latinistes $9$ filles et $9$ garçons. $P (L \cap F) = \frac{9}{30} =$ $0, 3$ : on divise par TOUTE la classe. $P_{L} (F) = \frac{9}{12} =$ $\frac{3}{4}$ : parmi les $12$ latinistes. $P_{F} (L) = \frac{9}{18} =$ $\frac{1}{2}$ : parmi les $18$ filles. ⭐ Trois quarts des latinistes sont des filles, mais seule une fille sur deux fait du latin.
Filles Garçons Total
Latin 9 3 12
Pas latin 9 9 18
Total 18 12 30
9. La compagnie aérienne a) La case Internet × Satisfait : $\frac{560}{1 000} =$ $0, 56$ . b) Internet : $\frac{560}{800} =$ $0, 7$ . Agence : $\frac{160}{200} =$ $0, 8$ . c) L'agence : $80$ % de satisfaits contre $70$ %. ⚠️ Pourtant il y a bien plus de satisfaits sur internet ( $560$ contre $160$ ) : c'est un NOMBRE, pas une proportion. Internet a quatre fois plus de clients. d) Parmi les $720$ satisfaits : $P_{S} (I) = \frac{560}{720} = \frac{7}{9} \approx$ $0, 78$ . ⭐ b) et d) utilisent la même case, $560$ , avec deux dénominateurs : $800$ et $720$ .
10. Le vote par âge a) Moins de $35$ ans : $110$ votent, $200 - 110 = 90$ non. $35$ ans et plus : $240$ votent, $60$ non. Votants : $350$ ; abstentionnistes : $150$ . b) $P (J \cap V) = \frac{110}{500} =$ $0, 22$ . $P_{J} (V) = \frac{110}{200} = 0, 55$ et $P_{\overline{J}} (V) = \frac{240}{300} =$ $0, 8$ . Les moins de $35$ ans déclarent moins souvent aller voter : $55$ % contre $80$ %. c) Parmi les $350$ votants : $P_{V} (J) = \frac{110}{350} = \frac{11}{35} \approx$ $0, 31$ . ⛔ Le piège : confondre $P_{J} (V) = 0, 55$ (la participation des jeunes) et $P_{V} (J) \approx 0, 31$ (la part des jeunes parmi les votants).
Vote Ne vote pas Total
Moins de 35 ans 110 90 200
35 ans et plus 240 60 300
Total 350 150 500
11. L'emploi des diplômés a) Premier niveau : $P (S) =$ $0, 6$ , $P (\overline{S}) =$ $0, 4$ . Deuxième niveau : $P_{S} (E) =$ $0, 9$ , $P_{S} (\overline{E}) =$ $0, 1$ ; $P_{\overline{S}} (E) =$ $0, 7$ , $P_{\overline{S}} (\overline{E}) =$ $0, 3$ . b) $P_{S} (E) =$ $0, 9$ , lu sur la branche $S \to$ $E$ . $P (S \cap E) = 0, 6 \times 0, 9 = 0, 54$ et $P (\overline{S} \cap E) = 0, 4 \times 0, 7 =$ $0, 28$ . ⭐ « Parmi eux, $90$ % » va sur la branche derrière $S$ : c'est une probabilité sachant $S$ . ⚠️ $0, 9$ n'est pas la part des jeunes qui ont un emploi : c'est la part PARMI les diplômés du supérieur.
12. De l'arbre au tableau a) Supérieur : $600$ jeunes, dont $0, 9 \times 600 = 540$ en emploi et $60$ sans. Autres : $400$ , dont $0, 7 \times 400 = 280$ en emploi et $120$ sans. En emploi : $540 + 280 =$ $820$ ; sans emploi : $180$ . b) La case Supérieur × Emploi, sur le total : $\frac{540}{1 000} =$ $0, 54$ . C'est bien le résultat de l'arbre. c) Parmi les $820$ jeunes en emploi, $540$ sont diplômés du supérieur : $P_{E} (S) =$ $\frac{540}{820}$ . Les deux tiers de $820$ font environ $547$ : $P_{E} (S)$ vaut environ $\frac{2}{3}$ . ⭐ L'arbre donnait $P_{S} (E) =$ $0, 9$ ; le tableau donne l'autre sens, $P_{E} (S) \approx$ $0, 66$ .
Sur 1000 Emploi Sans emploi Total
Supérieur 540 60 600
Autres 280 120 400
Total 820 180 1000
13. Le soir de l'élection a) $P (J) =$ $0, 3$ ; « parmi les moins de $35$ ans » : $P_{J} (A) =$ $0, 4$ ; « des électeurs de A » : $P_{A} (J) =$ $0, 25$ . b) $P (J \cap A) = P (J) \times P_{J} (A) = 0, 3 \times 0, 4 =$ $0, 12$ . Or $P_{A} (J) =$ $\frac{P ( J \cap A )}{P ( A )}$ , donc $P (A) = \frac{0 , 12}{0 , 25} =$ $0, 48$ . La candidate A a obtenu environ $48$ % des voix. ⭐ Les deux phrases conditionnelles ont servi DANS LES DEUX SENS : l'une pour trouver $P (J \cap$ $A)$ , l'autre pour remonter à $P (A)$ .
14. Le chômage et le diplôme a) $8$ actifs sont diplômés ET au chômage : $P (D \cap C) = \frac{8}{400} =$ $0, 02$ . b) Parmi les $160$ diplômés : $P_{D} (C) = \frac{8}{160} =$ $0, 05$ . Parmi les $240$ autres : $\frac{24}{240} =$ $0, 1$ . Le taux de chômage est deux fois plus faible chez les diplômés du supérieur. c) Chômeurs : $8 + 24 =$ $32$ . Parmi eux, $8$ diplômés : $P_{C} (D) = \frac{8}{32} =$ $0, 25$ . ⛔ Le piège : $0, 02$ , $0, 05$ et $0, 25$ ont tous le même numérateur, $8$ . Seul le dénominateur dit de qui on parle.
En emploi Chômage Total
Diplômés 152 8 160
Autres 216 24 240
Total 368 32 400
15. Les trajets domicile-travail Premier niveau : $P (V) =$ $0, 7$ . Branche $V \to$ $L$ : $P_{V} (L) =$ $0, 8$ , « parmi les trajets en voiture, $80$ % dépassent $10$ km ». $P (V \cap L) = 0, 7 \times 0, 8 =$ $0, 56$ . $P (\overline{V} \cap L) = 0, 3 \times 0, 25 =$ $0, 075$ . ⚠️ $0, 8$ n'est pas la part des trajets longs : c'est leur part PARMI les trajets en voiture. ⭐ Les longs trajets se font presque tous en voiture : $0, 56$ contre $0, 075$ . C'est là que se jouent les politiques de transport.
16. Le détecteur de fraude a) Fraudes : $18$ signalées, $2$ non. Paiements honnêtes : $9980$ , dont $180$ signalés et $9800$ non. Signalés : $18 + 180 =$ $198$ . b) Parmi les $20$ fraudes : $P_{F} (S) = \frac{18}{20} =$ $0, 9$ . Le détecteur attrape $90$ % des fraudes. c) Parmi les $198$ paiements signalés : $P_{S} (F) = \frac{18}{198} = \frac{1}{11} \approx$ $0, 09$ . Une alerte sur onze seulement est une vraie fraude. ⛔ Le piège : répondre $0, 9$ au c). Les paiements honnêtes sont si NOMBREUX que leurs fausses alertes noient les vraies.
Sur 10000 Signalé Non signalé Total
Fraude 18 2 20
Honnête 180 9800 9980
Total 198 9802 10000
17. Le projet du lycée a) La case Première × Favorable, sur le total : $\frac{200}{1 000} =$ $0, 2$ . b) Parmi les $300$ terminales : $P_{T} (F) = \frac{160}{300} = \frac{8}{15} \approx$ $0, 53$ . Parmi les $600$ favorables : $P_{F} (T) = \frac{160}{600} = \frac{4}{15} \approx$ $0, 27$ . c) Non : $P (F) = \frac{600}{1 000} = 0, 6$ pour tout le lycée, mais $P_{T} (F) \approx 0, 53$ chez les terminales. La moyenne du lycée ne s'applique pas à chaque niveau. d) Seconde : $\frac{240}{350} = \frac{24}{35} \approx$ $0, 69$ . Première : $\frac{200}{350} = \frac{4}{7} \approx$ $0, 57$ . Terminale : $\approx$ $0, 53$ . C'est en seconde. ⭐ Pour comparer des groupes de tailles différentes, on compare des probabilités « sachant », jamais des cases brutes.
18. Le chômage des jeunes a) Premier niveau : $P (J) =$ $0, 2$ , $P (\overline{J}) =$ $0, 8$ . Deuxième niveau : $P_{J} (C) =$ $0, 2$ , $P_{\overline{J}} (C) =$ $0, 05$ , et leurs contraires $0, 8$ et $0, 95$ . b) $P (J \cap C) = 0, 2 \times 0, 2 = 0, 04$ et $P (\overline{J} \cap C) = 0, 8 \times 0, 05 =$ $0, 04$ . c) Deux chemins mènent à $C$ : $P (C) = 0, 04 + 0, 04 =$ $0, 08$ . Le taux de chômage global est de $8$ %. d) $P_{C} (J) = \frac{P ( J \cap C )}{P ( C )} = \frac{0 , 04}{0 , 08} =$ $0, 5$ . Les moins de $25$ ans sont $20$ % des actifs, mais la MOITIÉ des chômeurs. ⛔ Le piège : lire $0, 2$ sur la branche et dire « $20$ % des chômeurs sont jeunes ». $0, 2$ est $P_{J} (C)$ , le taux de chômage des jeunes.
19. Les retours d'une boutique en ligne a) Vêtements : $400$ commandes, dont $0, 25 \times 400 = 100$ renvoyées et $300$ gardées. Autres : $600$ , dont $0, 05 \times 600 = 30$ renvoyées et $570$ gardées. Retours : $130$ . b) $P (V \cap R) = \frac{100}{1 000} = 0, 1$ et $P_{V} (R) = \frac{100}{400} =$ $0, 25$ . c) Parmi les $130$ retours : $P_{R} (V) = \frac{100}{130} = \frac{10}{13} \approx$ $0, 77$ . d) Il a confondu $P_{V} (R) = 0, 25$ (« un vêtement sur quatre est renvoyé ») et $P_{R} (V) \approx 0, 77$ (« plus de trois retours sur quatre sont des vêtements »). ⭐ Pour la boutique, c'est la seconde qui compte : c'est sur les vêtements qu'il faut agir pour réduire les retours.
Renvoyée Gardée Total
Vêtements 100 300 400
Autres 30 570 600
Total 130 870 1000
20. Ce qu'on dit, ce qu'on vote a) $P (D) =$ $0, 55$ , $P_{D} (V) =$ $0, 8$ ; $P (\overline{D}) =$ $0, 45$ , $P_{\overline{D}} (V) =$ $0, 1$ . Sur $1000$ : $550$ l'annoncent, dont $0, 8 \times 550 = 440$ votent A et $110$ non. $450$ ne l'annoncent pas, dont $45$ votent A et $405$ non. Votes pour A : $485$ . b) $P (D \cap V) = \frac{440}{1 000} = 0, 44$ et $P (V) = \frac{485}{1 000} =$ $0, 485$ . Non : $48, 5$ % $< 50$ %, alors que $55$ % l'annonçaient. c) $P_{V} (D) =$ $\frac{440}{485}$ . Or $90$ % de $485$ font $436, 5$ , et $440 >$ $436, 5$ : oui, un peu plus de $90$ %. ⭐ $P_{D} (V) = 0, 8$ et $P_{V} (D) >$ $0, 9$ : les électeurs de A l'avaient presque tous annoncé, mais tous ceux qui l'annonçaient ne l'ont pas voté.
Sur 1000 Vote A Autre vote Total
Annonce A 440 110 550
N'annonce pas 45 405 450
Total 485 515 1000

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : lire une probabilité dans un tableau ou un arbre, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3