Résolution graphique : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : résolution graphique, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. On trace l'horizontale d'ordonnée $k$, et on lit les abscisses des points d'intersection. $f(x)=$$0$ : la courbe coupe l'axe des abscisses en $-1$ et en $3$. $S=$$\{-1;3\}$. $f(x)=$$-3$ : $S=$$\{0;2\}$. $f(x)=$$-5$ : l'horizontale passe sous le point le plus bas, d'ordonnée $-4$. Aucune solution : $S=$$\varnothing$. ⚠️ Les solutions sont des ABSCISSES : répondre « $-3$ », c'est recopier la question. Sur le dessin, les deux points rouges de l'axe des abscisses sont en $-1$ et en $3$.
2. 2. $f(x)<$$0$ : la courbe est SOUS l'axe des abscisses entre $-1$ et $3$. $S=]-$$1;3[$, crochets ouverts car l'inégalité est stricte. $f(x)⩾$$5$ : la courbe est au-dessus de l'horizontale d'ordonnée $5$ pour $x⩽-2$ et pour $x⩾$$4$. Sur $[-3;5]$ : $S=[-3;-2]\cup$$[4;5]$. ⚠️ En $-1$ et en $3$, $f(x)=$$0$ : ce n'est pas « $<$$0$ », d'où les crochets ouverts.
3. 3. On repère où la courbe coupe l'axe des abscisses : en $-2$ et en $3$. Avant $-2$, la courbe est au-dessus de l'axe : $f(x)>$$0$. Entre $-2$ et $3$, elle est en dessous : $f(x)<$$0$. Après $3$, elle est de nouveau au-dessus : $f(x)>$$0$. ⚠️ Le signe de $f(x)$ se lit par rapport à l'axe HORIZONTAL, pas selon que la courbe monte ou descend.
   x

   −4

   −2

   3

   5

   $f(x)$

   +

   0

   −

   0

   +
4. 4. On parcourt la courbe de gauche à droite. De $x=-2$ à $x=$$-1$, elle MONTE de $-2$ à $2$. De $-1$ à $1$, elle DESCEND de $2$ à $-2$. De $1$ à $2$, elle remonte de $-2$ à $2$. ⭐ La première ligne du tableau porte les abscisses où la courbe change de sens ; la seconde, les ordonnées de ces points. ⚠️ Une flèche qui monte veut dire « croissante » : on n'y écrit pas de signe.
5. 5. a) Bleue : de $1$ à $3$, puis de $5$ à $7$ : $+2$ à chaque fois. Orange : de $1$ à $2$ ($+1$), puis de $5$ à $10$ ($+5$). b) La bleue augmente à vitesse constante : c'est une droite, une croissance linéaire. L'orange augmente de plus en plus vite : la courbe se redresse, la croissance accélère. ⚠️ « Croissante » ne dit pas COMMENT on monte : les deux sont croissantes, mais pas de la même façon.
6. 6. La courbe coupe l'axe des abscisses en $-1$ et en $3$ : ce sont les valeurs où $f(x)=$$0$. Au-dessus de l'axe avant $-1$ : $+$. En dessous entre $-1$ et $3$ : $-$. Au-dessus après $3$ : $+$. ⭐ C'est la même lecture que « $f(x)<$$0$ » à l'exercice 2 : le tableau de signes range toutes ces réponses d'un coup.
   x

   −3

   −1

   3

   5

   $f(x)$

   +

   0

   −

   0

   +
7. 7. La courbe descend jusqu'à son point le plus bas, $(1;-4)$, puis remonte. $f(-3)=9+6-3=12$ et $f(5)=25-10-3=$$12$ : ces valeurs sortent du dessin, on les calcule. $f$ est décroissante sur $[-3;1]$ et croissante sur $[1;5]$. Son minimum est $-4$, atteint en $x=$$1$. ⚠️ Le minimum est $-4$, une ordonnée ; il est atteint EN $1$, une abscisse. Deux nombres, deux rôles.
8. 8. $f(x)=$$2$ : l'horizontale d'ordonnée $2$ touche la courbe en $x=-1$ (la bosse) et en $x=2$ (le bout). $S=$$\{-1;2\}$. $f(x)⩽$$-2$ : la courbe ne descend jamais sous $-2$ ; elle y est en $x=-2$ et en $x=$$1$. $S=$$\{-2;1\}$. $f(x)>$$2$ : la courbe ne monte jamais au-dessus de $2$. $S=$$\varnothing$. ⚠️ Une inéquation peut avoir pour solutions quelques points isolés, ou rien du tout : ce n'est pas toujours un intervalle.
9. 9. Une journée d'hiver en montagne a) La courbe coupe l'axe des abscisses en $x=3$ et en $x=$$7$. Elle est en dessous avant $3$, au-dessus entre $3$ et $7$, en dessous après $7$. b) $T(x)<0$ pour $x$ dans $[0;3[$ et dans $]7;8]$. En heures : de minuit à $9$ h, puis de $21$ h à minuit. c) L'horizontale d'ordonnée $3$ coupe la courbe en $x=4$ et en $x=$$5,5$, au milieu de $5$ et $6$. $S=$$[4;5,5]$ : de $12$ h à $16$ h $30$. ⚠️ On convertit : $x=$$3$, ce n'est pas $3$ h, c'est $3\times 3=9$ h.
   x

   0

   3

   7

   8

   $T(x)$

   −

   0

   +

   0

   −
10. 10. Le bénéfice d'un atelier a) La courbe est au-dessus de l'axe entre $1$ et $5$ : $S=$$]1;5[$. Entre $100$ et $500$ objets, bornes exclues. b) $B(x)⩾$$3$ : la courbe est au-dessus de l'horizontale d'ordonnée $3$ entre $2$ et $4$. $S=$$[2;4]$ : de $200$ à $400$ objets. c) $B$ est négatif sur $[0;1[$, nul en $1$, positif sur $]1;5[$, nul en $5$, négatif sur $]5;6]$. ⚠️ En $x=1$ et en $x=$$5$, le bénéfice est nul : l'atelier ne perd rien, mais ne gagne rien non plus. D'où les crochets ouverts en a).
11. 11. Une ville industrielle a) La courbe monte de 1900 à 1960, descend de 1960 à 2000, puis remonte jusqu'en 2020. b) Au sommet, en 1960 ($x=$$6$) : $8$ dizaines de milliers, soit $80000$ habitants. c) $50000$ habitants, c'est $5$. L'horizontale d'ordonnée $5$ coupe la courbe trois fois : en $x=$$3$, $x=9$ et $x=$$12$, soit en 1930, 1990 et 2020. ⭐ Ce modèle raconte une ville qui grandit avec ses usines, décline quand elles ferment, puis repart un peu. ⚠️ Une équation lue sur une courbe peut avoir trois solutions : on suit l'horizontale jusqu'au bout.
12. 12. Deux jeunes entreprises a) $A$ : $2$, $3$, $4$, $5$ : $+1$ million par an. $B$ : $1$, $2$, $4$, $8$ : il DOUBLE chaque année. b) $A$ croît à vitesse constante : une droite. $B$ croît de plus en plus vite : chaque hausse est le double de la précédente ($+1$, $+2$, $+4$). c) En année $2$, les deux valent $4$ millions ; en année $3$, $B$ fait $8$ contre $5$. $B$ fait au moins autant que $A$ à partir de l'année $2$. ⚠️ Au début, $B$ est derrière : une croissance qui double finit par dépasser une croissance constante, mais pas tout de suite.
13. 13. La balance commerciale a) La courbe touche l'axe en $x=2$ et en $x=$$5$. Le solde est positif avant $2$, négatif entre $2$ et $5$, positif après $5$. b) Déficit pour $x$ dans $]2;5[$ : entre l'année $2$ et l'année $5$, le pays importe plus qu'il n'exporte. ⭐ Solde positif : un excédent, le pays vend plus qu'il n'achète. Solde négatif : un déficit. ⚠️ En $x=$$4$, le solde remonte, mais il reste négatif : monter n'est pas être positif.
    x

    0

    2

    5

    6

    solde

    +

    0

    −

    0

    +
14. 14. Les ventes d'un jeu vidéo a) Le total est croissant sur $[0;4]$ : un total de ventes ne peut que monter. b) $4$, puis $3$, puis $2$, puis $1$ million : ce sont les hausses d'une année sur l'autre. c) Elle ralentit : chaque année, on vend moins que l'année d'avant. La courbe s'aplatit. d) Au bout de $2$ ans. ⚠️ Un total qui augmente de moins en moins vite reste croissant : ralentir n'est pas baisser.
15. 15. La qualité de l'air a) La courbe est strictement au-dessus de l'horizontale entre $2$ et $4$, puis entre $6$ et $7,5$ : de $7$ à $8$, elle descend de $7$ à $3$ et passe à $5$ au milieu. $S=$$]2;4[\cup ]6;7,5[$. b) $x=$$2$ : $6$ h ; $x=$$4$ : $12$ h ; $x=$$6$ : $18$ h ; $x=$$7,5$ : $22$ h $30$. Le seuil est dépassé de $6$ h à $12$ h, puis de $18$ h à $22$ h $30$. ⭐ Deux pics dans la journée, sans doute ceux des trajets du matin et du soir. ⚠️ Une réunion de deux intervalles s'écrit avec $\cup$ : « dans l'un, ou dans l'autre ».
16. 16. La marée a) La hauteur monte de $2$ à $8$ entre $0$ et $3$ h, descend de $8$ à $2$ entre $3$ h et $6$ h, remonte de $2$ à $8$ entre $6$ h et $9$ h. b) Pleine mer à $3$ h et à $9$ h ($8$ m) ; basse mer à $6$ h ($2$ m). c) La courbe est à $5$ m au milieu de chaque montée ou descente : en $1,5$, $4,5$ et $7,5$. $S=[1,5;4,5]\cup$$[7,5;9]$ : de $1$ h $30$ à $4$ h $30$, puis à partir de $7$ h $30$. ⭐ Environ six heures entre une pleine mer et une basse mer : c'est le rythme des marées sur les côtes de la Manche et de l'Atlantique. ⚠️ $1,5$ h, c'est $1$ h $30$ min, pas $1$ h $50$.
17. 17. Deux placements a) $L$ : $+2$ milliers par décennie, une croissance à vitesse constante (une droite). $E$ : $\times 2$ par décennie, une croissance qui accélère ($+1$, $+2$, $+4$). b) Les deux sont croissants sur $[0;3]$. c) La courbe orange est au-dessus de l'horizontale d'ordonnée $4$ à partir de $x=$$2$ : $S=$$[2;3]$, de la vingtième à la trentième année. d) Au bout de dix ans : $L=3$ milliers, $E=$$2$ : $L$ est meilleur. Au bout de trente ans : $L=$$7$, $E=$$8$ : $E$ est meilleur. ⭐ La croissance qui double finit par gagner : c'est la force des intérêts composés sur le long terme. ⚠️ Sur une courte durée, le placement qui double n'est pas forcément le meilleur.
18. 18. Le bénéfice d'une coopérative a) La courbe monte de $-6$ (en $0$) à $2$ (en $4$), puis redescend à $-6$ (en $8$). b) Elle coupe l'axe en $2$ et en $6$ : $B$ est négatif sur $[0;2[$, positif sur $]2;6[$, négatif sur $]6;8]$. c) La courbe est au-dessus de l'horizontale d'ordonnée $1,5$ entre $3$ et $5$ : $S=$$[3;5]$. Entre $3$ et $5$ tonnes, le bénéfice est d'au moins $1500$ €. d) $4$ tonnes par mois : c'est là que le bénéfice est le plus grand, $2000$ €. ⚠️ Sous $2$ tonnes, la coopérative perd de l'argent ; au-delà de $6$ tonnes aussi. ⭐ Le tableau de variations dit où est le maximum ; le tableau de signes dit où l'on gagne de l'argent. Ce sont deux questions différentes.
    x

    0

    2

    6

    8

    $B(x)$

    −

    0

    +

    0

    −
19. 19. Un bassin minier a) Croissante de 1900 à 1930, décroissante de 1930 à 1940, croissante de 1940 à 1960, puis décroissante jusqu'en 2000, où elle s'arrête. b) En 1960 ($x=$$6$) : $7$ dizaines de millions, soit $70$ millions de tonnes. c) L'horizontale d'ordonnée $5$ touche la courbe en $x=$$3$, puis la courbe est au-dessus de $x=5$ à $x=$$7$. $S=\{3\}\cup$$[5;7]$ : en 1930, puis de 1950 à 1970. ⚠️ En $x=$$3$, la courbe touche l'horizontale sans passer au-dessus : cette solution est un point isolé. ⭐ Le modèle raconte un creux autour de 1940, puis le déclin des mines.
20. 20. Le chômage et ses cycles a) La courbe descend sur $[0;2]$ et sur $[6;8]$ : de 2000 à 2004, puis de 2012 à 2016. b) L'horizontale d'ordonnée $8$ touche la courbe en $x=$$0$, puis la courbe est au-dessus de $x=3$ à $x=$$7$. $S=\{0\}\cup$$[3;7]$ : en 2000, puis de 2006 à 2014. c) De 2004 à 2008 ($x$ de $2$ à $4$), le taux passe de $6$ à $10$ : $+4$ points en quatre ans. De 2016 à 2020, de $6$ à $7$ : $+1$ point seulement. La première hausse est quatre fois plus rapide. ⚠️ $x=3$ correspond à $2000+3\times 2=$$2006$ : on convertit avec l'échelle. ⭐ Entre 2008 et 2012, le taux reste à $10$ % : la courbe est plate, le chômage ne varie pas.