Les formules de base de la dérivée : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : les formules de base de la dérivée, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. Une fonction constante ne varie pas : sa courbe est une droite horizontale, de pente nulle. Donc $f^{\prime }(x)=$$0$, $g^{\prime }(x)=$$0$, $h^{\prime }(x)=0$ et $k^{\prime }(x)=$$0$. ⚠️ $\sqrt{2}$ est un NOMBRE, pas une expression en $x$ : sa dérivée est $0$. ⚠️ La dérivée de $-2$ n'est pas $-2$ : c'est $0$. ⭐ Sur le dessin, les courbes de $f$ et de $g$ : deux droites horizontales.
2. 2. Une fonction affine $mx+p$ a pour dérivée $m$ : son coefficient directeur, sa pente. $f^{\prime }(x)=$$1$. $g^{\prime }(x)=$$4$. $h^{\prime }(x)=$$-1$. $k^{\prime }(x)=$$0,5$. ⚠️ Le nombre seul ($-1$ dans $g$, $5$ dans $h$) disparaît : c'est une constante. ⭐ Sur le dessin, la droite de $g$ (bleue) monte de $4$ à chaque pas ; celle de $h$ (orange) descend de $1$.
3. 3. $f^{\prime }(x)=$$2x$. On remplace : $f^{\prime }(3)=2\times 3=$$6$ ; $f^{\prime }(-1)=2\times (-1)=$$-2$ ; $f^{\prime }(0)=2\times 0=$$0$. Sur le dessin : en $-1$, la tangente descend de $2$ à chaque pas ; en $1$, elle monte de $2$ ; en $0$, au fond de la parabole, elle est horizontale. ⚠️ $(x^2{)}^{\prime }=$$2x$, et non $x^2$ ni $2x^2$ : l'exposant $2$ passe devant, et il reste $x^1=$$x$.
4. 4. $f^{\prime }(x)=$$3x^2$. $f^{\prime }(2)=3\times 2^2=3\times 4=$$12$. $f^{\prime }(-2)=3\times (-2{)}^2=3\times 4=$$12$. $f^{\prime }(0)=3\times 0^2=$$0$. ⚠️ $(-2{)}^2=$$4$ : $f^{\prime }(-2)$ est POSITIF. La courbe du cube monte partout, même à gauche de $0$. ⭐ Sur le dessin, les tangentes en $-1$ et en $1$ ont la même pente, $3\times 1^2=$$3$ : elles sont parallèles.
5. 5. $f_1$ va avec (D) : $(x^2{)}^{\prime }=$$2x$. $f_2$ va avec (B) : $(x^3{)}^{\prime }=$$3x^2$. $f_3$ va avec (A) : $x^{\prime }=$$1$. $f_4$ va avec (C) : $5$ est une constante, sa dérivée est $0$. ⚠️ Le piège : associer $f_4(x)=5$ à la dérivée $1$. Une constante ne « compte » pas pour $1$, elle ne varie pas du tout.

   f(x)	x²	x³	x	5
   f′(x)	2x	3x²	1	0

6. 6. a) $(x^2{)}^{\prime }=$$2x$, qui s'annule pour $x=$$0$ : la tangente est horizontale à l'origine. b) $(x^3{)}^{\prime }=$$3x^2$, qui s'annule aussi pour $x=$$0$ : tangente horizontale à l'origine. c) Pour le carré, l'origine est le CREUX de la parabole : un minimum. Pour le cube, la courbe monte avant $0$ ET après $0$ : l'origine n'est ni un sommet ni un creux, c'est un palier. ⭐ Une tangente horizontale n'annonce pas toujours un sommet ou un creux : il faut regarder si la courbe change de sens.
7. 7. $f(x)=3-2x$ s'écrit aussi $f(x)=-2x+$$3$ : c'est une fonction affine de pente $-2$. Donc $f^{\prime }(x)=$$-2$, et $f^{\prime }(100)=$$-2$. ⚠️ La dérivée d'une fonction affine ne dépend pas de $x$ : elle vaut $-2$ en $100$ comme partout. ⚠️ Le signe moins se garde : $f^{\prime }(x)=$$-2$, pas $2$. ⭐ Sur le dessin, l'escalier vert : on avance de $1$, la droite descend de $2$, partout pareil.
8. 8. La pente de la tangente est le nombre dérivé. Avec $f(x)=$$x^2$, on a $f^{\prime }(x)=$$2x$. En $1,5$ : $f^{\prime }(1,5)=2\times 1,5=$$3$. Le point de contact a pour ordonnée $1,5^2=$$2,25$ : c'est le point $(1,5;2,25)$. ⚠️ Ne pas confondre $f(1,5)=$$2,25$, la HAUTEUR du point, et $f^{\prime }(1,5)=$$3$, la PENTE de la tangente. ⭐ Sur le dessin, l'escalier vert : à partir du point de contact, on avance de $1$, la tangente monte de $3$.
9. 9. Le train régional a) $x(t)=80t+12$ est affine : $x^{\prime }(t)=$$80$. b) $x^{\prime }(t)$ est une vitesse, en km PAR heure : le train roule à $80$ km/h, à tout instant. c) $12$ est la position du train au départ ($t=$$0$), le point kilométrique $12$. Il disparaît à la dérivation : la vitesse ne dépend pas de l'endroit d'où l'on part. ⭐ Dérivée constante, vitesse constante : les physiciens parlent de mouvement uniforme. ⭐ Le tableau : chaque heure, la position augmente de $80$ km, quel que soit le départ.

   t (h)	0	1	2
   x(t) (km)	12	92	172

10. 10. Deux abonnements a) $C$ est constante : $C^{\prime }(x)=$$0$. $D$ est affine : $D^{\prime }(x)=$$0,5$. b) $C^{\prime }(x)=$$0$ : avec l'illimité, un film de plus ne coûte rien. $D^{\prime }(x)=$$0,5$ : avec l'autre formule, chaque film de plus coûte $0,50$ €. c) L'illimité est plus avantageux quand $0,5x+4>$$8$, soit $0,5x>$$4$, donc $x>$$8$ : au-delà de $8$ films par mois. Sur le dessin, les deux droites se croisent au point $(8;8)$. ⚠️ Les $4$ € fixes de la seconde formule disparaissent à la dérivation : ils ne dépendent pas du nombre de films.
11. 11. La plaque qui se dilate a) $A^{\prime }(x)=$$2x$, donc $A^{\prime }(5)=2\times 5=10$ cm² par cm. b) $A(5,1)-A(5)=26,01-25=1,01$ cm². Et $A^{\prime }(5)\times 0,1=10\times 0,1=1$ cm² : c'est presque la même chose. ⭐ Le carré grandit de deux bandes de $5$ cm sur $0,1$ cm, soit $1$ cm², plus un tout petit carré dans le coin, $0,1\times 0,1=0,01$ cm². ⚠️ $5,1^2=$$26,01$, pas $25,1$ ni $25,01$.

    côté x (cm)	5	5,1	5,2
    aire x² (cm²)	25	26,01	27,04

12. 12. Le glaçon qui fond a) $V^{\prime }(x)=$$3x^2$, donc $V^{\prime }(2)=3\times 2^2=$$12$. b) Le côté diminue de $0,1$ : le volume diminue d'environ $12\times 0,1=1,2$ cm³. Exactement : $V(2)-V(1,9)=8-6,859=1,141$ cm³. L'estimation est bonne, à $0,06$ cm³ près. ⭐ Sur le dessin, la tangente en $A(2;8)$ monte de $12$ pour un pas de $1$ : le volume d'un cube réagit fort à son côté. ⚠️ $3\times 2^2=$$12$, et non $(3\times 2{)}^2=$$36$ : on élève au carré AVANT de multiplier.
13. 13. La skieuse a) $d^{\prime }(t)=$$2t$. b) $d^{\prime }(5)=10$ m/s, soit $10\times 3,6=36$ km/h. $d^{\prime }(10)=20$ m/s, soit $20\times 3,6=72$ km/h. c) De $5$ à $10$ s, la vitesse DOUBLE : $10$ puis $20$ m/s. La distance, elle, est multipliée par QUATRE : $d(5)=25$ m et $d(10)=100$ m. ⭐ La distance suit $t^2$, la vitesse suit $2t$ : dériver fait descendre l'exposant.

    t (s)	0	5	10
    vitesse d′(t) (m/s)	0	10	20

14. 14. La route du plateau a) Sur le plateau, $a$ est constante : $a^{\prime }(x)=$$0$. La route est plate. Dans la montée, $a$ est affine : la dérivée vaut $0,08$. b) La route monte de $0,08$ m par mètre parcouru, soit $8$ m pour $100$ m : c'est bien une pente de $8$ %. ⚠️ Dans la montée, les $350$ m de départ disparaissent à la dérivation : la pente ne dépend pas de l'altitude, seulement de la façon dont elle change.

    mètres de montée	0	100	200
    altitude (m)	350	358	366

15. 15. La course de taxi a) $P^{\prime }(x)=$$2$ : chaque kilomètre de plus coûte $2$ €. b) La prise en charge est une constante : sa dérivée est $0$. Elle se paie une fois, au départ, et ne dépend pas de la distance. c) $2$ € dans les deux cas : la dérivée d'une fonction affine est la même partout. ⚠️ Le prix d'une course de $10$ km est $P(10)=24$ € ; le prix d'un kilomètre de PLUS est $2$ €. Ce ne sont pas les mêmes questions. ⭐ Sur le dessin, la droite du prix part de $4$ (la prise en charge) ; l'escalier vert : un kilomètre de plus, $2$ € de plus.
16. 16. L'algue invasive a) $A_1^{\prime }(t)=2t$ et $A_2^{\prime }(t)=$$3t^2$. b) À $t=$$0,5$ : $A_1^{\prime }(0,5)=2\times 0,5=1$ et $A_2^{\prime }(0,5)=3\times 0,5^2=$$0,75$. Le modèle $A_1$ grandit le plus vite. À $t=$$2$ : $A_1^{\prime }(2)=2\times 2=4$ et $A_2^{\prime }(2)=3\times 2^2=$$12$. Le modèle $A_2$ grandit trois fois plus vite. c) À $t=$$2$ : $4$ m² avec $A_1$, $8$ m² avec $A_2$. ⚠️ $0,5^2=$$0,25$ : pour un nombre entre $0$ et $1$, le carré est plus PETIT que le nombre. C'est pourquoi le cube démarre plus lentement. ⭐ Au début, le cube est en retard ; ensuite, il explose. C'est ce qui rend une invasion difficile à repérer à temps.
17. 17. Les billes de Galilée a) $d^{\prime }(t)=$$2t$. b) $d^{\prime }(1)=2$ dm/s ; $d^{\prime }(2)=4$ dm/s ; $d^{\prime }(3)=6$ dm/s. La vitesse augmente de $2$ dm/s chaque seconde : la bille accélère régulièrement. c) Entre $0$ et $2$ s, elle parcourt $4$ dm : sa vitesse moyenne est $\frac{4}{2}=2$ dm/s. C'est exactement $d^{\prime }(1)$, la vitesse au milieu du trajet. d) $2t=10$ donne $t=5$ s. ⭐ Sur le dessin, la corde verte (de $0$ à $2$ s) est parallèle à la tangente orange en $1$ s : même pente, $2$. ⚠️ À $t=$$3$, la bille a parcouru $9$ dm, mais sa vitesse est $6$ dm/s : ne pas confondre $d(3)$ et $d^{\prime }(3)$.
18. 18. Le cycliste et le scooter a) $c^{\prime }(t)=$$2$ : le cycliste roule toujours à $2$ hm par minute. $s^{\prime }(t)=$$2t$ : la vitesse du scooter augmente avec le temps. b) $2t=2$ donne $t=$$1$ : au bout d'une minute, ils roulent à la même vitesse. $2$ hm par minute, c'est $200$ m par minute, soit $200\times 60=12000$ m par heure : $12$ km/h. c) $c(3)=7$ et $s(3)=$$9$ : le scooter est devant, à $900$ m contre $700$ m. Sa vitesse : $s^{\prime }(3)=6$ hm par minute, soit $36$ km/h, contre $12$ km/h pour le cycliste. Le scooter va le plus vite. d) Deux droites de même coefficient directeur sont parallèles. La droite du cycliste a pour pente $2$ ; la tangente au scooter en $1$ a pour pente $s^{\prime }(1)=2\times 1=$$2$. ⚠️ À $t=$$1$, ils vont aussi vite, mais ils ne sont pas au même endroit : $c(1)=3$ et $s(1)=$$1$. Même vitesse ne veut pas dire même position.
19. 19. Le geste de Fermat, Newton et Leibniz a) La pente de la sécante vaut $\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$. $h=$$1$ : $\frac{16-9}{1}=$$7$. $h=$$0,1$ : $\frac{9,61-9}{0,1}=$$6,1$. $h=$$0,01$ : $\frac{9,0601-9}{0,01}=$$6,01$. b) Les pentes s'approchent de $6$. La formule donne $f^{\prime }(x)=$$2x$, donc $f^{\prime }(3)=$$6$ : c'est le même nombre. c) $\frac{1,331-1}{0,1}=$$3,31$ : c'est proche de $g^{\prime }(1)=3\times 1^2=$$3$. ⭐ La tangente est la position limite des sécantes : c'est la définition du nombre dérivé, et l'origine des formules. ⚠️ On ne peut pas prendre $h=$$0$ : on diviserait par zéro. On s'approche, sans jamais y arriver.

    h	1	0,1	0,01
    pente de la sécante	7	6,1	6,01

20. 20. L'enclos des moutons a) $A^{\prime }(x)=$$2x$ ; $L^{\prime }(x)=$$4$ ; $P^{\prime }(x)=$$0$. b) $A^{\prime }(10)=$$20$ : environ $20$ m² d'herbe en plus (exactement $A(11)-A(10)=121-100=$$21$). $L^{\prime }(10)=$$4$ : $4$ m de clôture en plus, un mètre par côté. Le portail ne coûte rien de plus : sa dérivée est nulle. c) $2x=4$ donne $x=$$2$. d) Oui : pour $x>$$2$, on a $2x>$$4$. Chaque mètre de côté ajoute plus de m² d'herbe que de mètres de clôture, et l'écart grandit avec l'enclos. ⭐ Sur le dessin, la tangente orange à la parabole en $x=2$ est parallèle à la droite verte de la clôture : même pente, $4$. ⚠️ On ne compare pas $A(x)$ et $L(x)$, des m² et des m : on compare ce que rapporte un mètre DE PLUS.