Lire un nombre dérivé sur un graphique : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : lire un nombre dérivé sur un graphique, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. $f(2)$ est l'ordonnée de $A$ : $f(2)=$$0$. $f^{\prime }(2)$ est le coefficient directeur de la tangente. On part de $A(2;0)$ et on avance de $1$ : la tangente passe par $(3;2)$. Elle est montée de $2$. Donc $f^{\prime }(2)=$$2$. ⛔ Ne pas confondre les deux : $f(2)$ se lit sur l'axe vertical, $f^{\prime }(2)$ est une PENTE, elle se lit sur la tangente. ⚠️ $f(2)=0$ n'empêche pas $f^{\prime }(2)$ d'être positif : la courbe traverse l'axe en montant.
2. 2. On regarde si la courbe MONTE ou DESCEND quand on la parcourt de gauche à droite. En $A$ (abscisse $-2$), la courbe monte : $f^{\prime }(-2)>$$0$. En $B$ (abscisse $0$), elle descend : $f^{\prime }(0)<$$0$. En $C$ (abscisse $1$), elle est au fond d'un creux : la tangente est horizontale, $f^{\prime }(1)=$$0$. ⚠️ Le signe de $f^{\prime }(a)$ ne dépend pas du signe de $f(a)$ : en $A$, la courbe est sous l'axe, et pourtant elle monte.
3. 3. La tangente est horizontale au sommet d'une bosse et au fond d'un creux. En $x=$$1$, la courbe atteint un sommet : $f^{\prime }(1)=0$ et $f(1)=$$4$. C'est un MAXIMUM local. En $x=$$3$, elle touche le fond d'un creux : $f^{\prime }(3)=0$ et $f(3)=$$0$. C'est un MINIMUM local. ⚠️ En $x=$$3$, $f(3)=0$ ET $f^{\prime }(3)=$$0$ : ces deux zéros n'ont pas le même sens. Le premier dit où est le point, le second dit que la tangente est plate.
4. 4. On part de $A(2;2)$ et on avance de $1$ : on arrive en $B(3;0)$. La tangente est DESCENDUE de $2$. Donc $f^{\prime }(2)=$$-2$. Le nombre dérivé est négatif : la courbe descend en $A$. ⚠️ Une descente se compte en NÉGATIF : on écrit $f^{\prime }(2)=$$-2$, pas $2$. ⭐ Sur le dessin, une courbe possible : elle passe par $A$ et colle à la droite $(AB)$ tout près de $A$.
5. 5. Quand on avance de $1$ à partir de $A$, la tangente monte d'un demi-carreau : difficile à lire. On avance donc de $2$ : la tangente passe par $(3;2)$. Elle est montée de $1$. Monter de $1$ pour $2$ pas, c'est monter de $0,5$ pour $1$ pas : $f^{\prime }(1)=\frac{1}{2}=$$0,5$. ⭐ Quand le point d'arrivée tombe entre deux carreaux, on avance de $2$, de $3$ ou de $4$, jusqu'à tomber sur un nœud du quadrillage, puis on divise.
6. 6. a) Au sommet d'une bosse, la tangente est horizontale : $f^{\prime }(3)=$$0$. b) $S$ est sur la courbe : $f(3)=$$5$. c) La tangente est horizontale et passe par $S$ : c'est la droite $y=$$5$. ⚠️ $f^{\prime }(3)=0$ ne veut pas dire que la courbe passe par $0$ : c'est sa PENTE qui est nulle, pas sa hauteur.
7. 7. Sur $[0;4]$, la courbe monte : $f^{\prime }(2)>$$0$. En $4$, elle passe d'une montée à une descente : c'est un sommet, la tangente y est horizontale, $f^{\prime }(4)=$$0$. Sur $[4;7]$, elle descend : $f^{\prime }(6)<$$0$. ⭐ On n'a pas besoin de la courbe : le sens de variation suffit pour connaître le signe du nombre dérivé.
8. 8. a) En $A(-2;2)$, on avance de $1$ : la tangente passe par $(-1;0)$, elle descend de $2$. Donc $f^{\prime }(-2)=$$-2$. En $B$, la tangente est horizontale : $f^{\prime }(0)=$$0$. En $C(2;2)$, la tangente passe par $(3;4)$ : elle monte de $2$. Donc $f^{\prime }(2)=$$2$. Dans l'ordre croissant : $f^{\prime }(-2)<f^{\prime }(0)<$$f^{\prime }(2)$. b) La courbe est aussi raide en $A$ qu'en $C$ : les deux tangentes font $2$ carreaux de montée ou de descente par pas. ⚠️ Le plus petit nombre dérivé n'est pas la courbe la « moins raide » : $-2$ est plus petit que $0$, et pourtant la courbe est bien plus raide en $A$ qu'en $B$. La raideur, c'est le nombre dérivé sans son signe.
9. 9. La crue d'une rivière a) En $A(1;5)$, on avance d'un jour sur la tangente : elle passe par $(2;9)$. Elle monte de $4$, donc $h^{\prime }(1)=$$4$. En $B(2;8)$, la tangente passe par $(3;10)$ : elle monte de $2$, donc $h^{\prime }(2)=$$2$. b) $h^{\prime }(1)=4>h^{\prime }(2)=$$2$ : la rivière monte plus vite le jour $1$, à $4$ mètres par jour, contre $2$ mètres par jour le jour $2$. ⚠️ Le jour $2$, l'eau est plus HAUTE ($8$ m contre $5$ m), mais elle monte moins VITE. La hauteur, c'est $h$ ; la vitesse, c'est $h^{\prime }$.
10. 10. Une voiture qui démarre a) On part de $A(2;2)$ et on avance d'une seconde : la tangente passe par $(3;4)$. Elle monte de $2$. Donc $d^{\prime }(2)=2$ dizaines de mètres par seconde, soit $20$ m/s. Pour passer en km/h, on multiplie par $3,6$ : $20\times 3,6=72$ km/h. b) En $B$, la courbe est bien plus raide qu'en $A$ : la voiture roule plus vite. ⭐ En physique, la vitesse instantanée est le nombre dérivé de la distance : c'est ce qu'affiche le compteur. ⚠️ L'unité de $d^{\prime }(2)$ est celle de $d$ divisée par celle de $t$ : des dizaines de mètres PAR seconde.
11. 11. La route d'un col a) On part de $A(2;6)$ et on avance d'un kilomètre : la tangente passe par $(3;7)$. Elle monte de $1$. Donc $a^{\prime }(2)=1$ centaine de mètres par kilomètre : la route monte de $100$ m par kilomètre. Pour $1000$ m à l'horizontale, elle monte de $100$ m : c'est une pente de $10$ %. b) En $S$, la tangente est horizontale : $a^{\prime }(4)=$$0$. C'est le col, le point le plus haut de la route, à $700$ m d'altitude. c) Après le col, la route redescend : $a^{\prime }(6)<$$0$. ⚠️ Les deux unités ne sont pas les mêmes : l'altitude est en centaines de mètres, la distance en kilomètres. On convertit tout en mètres avant de parler de pourcentage.
12. 12. Le prix du pot de miel a) En $x=$$3$, la tangente avance de $1$ et monte de $6-4=$$2$ : $B^{\prime }(3)=$$2$. En $x=$$5$, elle est horizontale : $B^{\prime }(5)=$$0$. En $x=$$7$, elle avance de $1$ et descend de $4-2=$$2$ : $B^{\prime }(7)=$$-2$. b) La courbe monte en $3$, est plate en $5$, descend en $7$ : le sommet est en $x=$$5$. Le bénéfice le plus grand est obtenu pour un pot à $5$ euros, et il vaut $6$ centaines d'euros, soit $600$ euros. c) $B^{\prime }(3)=2>$$0$ : à $3$ euros, la courbe monte. Augmenter un peu le prix fait augmenter le bénéfice. ⚠️ Un prix plus élevé ne rapporte pas toujours plus : au-delà de $5$ euros, $B^{\prime }$ est négatif, les clients achètent moins et le bénéfice baisse.
13. 13. Le tir au basket a) En $D(0;2)$, on avance de $1$ : la tangente passe par $(1;4)$, elle monte de $2$. Donc $h^{\prime }(0)=$$2$. En $P(4;2)$, la tangente passe par $(5;0)$ : elle descend de $2$. Donc $h^{\prime }(4)=$$-2$. $h^{\prime }(0)>$$0$ : au départ, le ballon monte. $h^{\prime }(4)<$$0$ : en $P$, il redescend. b) Au sommet $S$, la tangente est horizontale : $h^{\prime }(2)=$$0$. Le ballon est au plus haut, à $4$ m. c) Oui : en $D$ et en $P$, les tangentes sont aussi raides l'une que l'autre, $2$ carreaux par pas. Seul le signe change. ⭐ Ici, $h^{\prime }(x)$ n'est pas une vitesse : c'est la PENTE de la trajectoire, car $x$ est une distance et non un temps.
14. 14. Un village de montagne a) On part de $A(2;6)$ et on avance d'une décennie : la tangente passe par $(3;4)$. Elle descend de $2$. Donc $P^{\prime }(2)=$$-2$ : en 1920, le village perd environ $200$ habitants par décennie. Ce sont les départs de l'exode rural. b) Le point le plus bas est $M(6;2)$ : $t=$$6$, soit en 1960, avec $200$ habitants. La tangente y est horizontale : $P^{\prime }(6)=$$0$. c) Après $M$, la courbe remonte : $P^{\prime }(9)>$$0$. Dans les années 1990, le village regagne des habitants. ⚠️ En 1960, $P^{\prime }(6)=0$ ne veut pas dire que le village est vide : c'est la VITESSE qui est nulle, la population, elle, vaut $200$ habitants.
15. 15. Deux forêts replantées a) Forêt $A$ : la tangente passe par $(4;6)$ et $(6;7)$. Elle monte de $1$ quand on avance de $2$ : son coefficient directeur vaut $\frac{7-6}{6-4}=$$0,5$. Forêt $B$ : elle passe par $(4;3)$ et $(5;4)$. Elle monte de $1$ quand on avance de $1$ : son coefficient directeur vaut $1$. b) À $4$ ans, les arbres de $A$ sont les plus hauts : $6$ m contre $3$ m. Mais ceux de $B$ poussent le plus vite : $1$ m par an, contre $0,5$ m par an pour $A$. ⚠️ Être en avance ne veut pas dire aller plus vite : la hauteur se lit sur la courbe, la vitesse sur la tangente.
16. 16. Une journée d'été a) $T^{\prime }(9)=2,4>$$0$ : à $9$ h, la température monte, d'environ $2,4$ °C par heure. $T^{\prime }(19)=-1,6<$$0$ : à $19$ h, elle baisse. b) À $15$ h, la tangente est horizontale, entre une montée et une descente : c'est le maximum de la journée, l'heure la plus chaude. c) On compare les vitesses SANS leur signe : $2,4$ à $9$ h, $0$ à $15$ h, $1,6$ à $19$ h. C'est à $9$ h que la température change le plus vite. ⚠️ $-1,6$ est plus petit que $0$, mais la température bouge davantage à $19$ h qu'à $15$ h : pour comparer des vitesses, on oublie le signe.
    t

    9

    15

    19

    $T^{\prime }(t)$

    +

    0

    −
17. 17. Le sentier de montagne a) La tangente en $A(2;6)$ passe par $(3;9)$ : quand on avance de $1$, elle monte de $3$. Donc $h^{\prime }(2)=$$3$. L'unité de $h^{\prime }$ est celle de $h$ divisée par celle de $x$ : des centaines de mètres PAR kilomètre. Le sentier monte de $300$ m par kilomètre. Pour $1000$ m parcourus, il monte de $300$ m : c'est une pente de $30$ %. b) En $S$, la tangente est horizontale : $h^{\prime }(4)=$$0$. Le randonneur est au SOMMET, à $1000$ m d'altitude. c) Après $S$, la courbe descend : $h^{\prime }(x)<0$ entre $4$ et $6$. Le sentier redescend. d) De $A$ à $S$, les tangentes s'aplatissent : la pente passe de $3$ à $0$. Le sentier devient MOINS raide à l'approche du sommet. ⭐ Le plus raide n'est pas le plus haut : en $A$, on est à $600$ m et ça grimpe fort ; au sommet $S$, la pente est nulle.
18. 18. Le thé qui refroidit a) En $A(0;10)$, la tangente passe par $(1;8)$ : elle descend de $2$. Donc $T^{\prime }(0)=$$-2$. En $B(4;4)$, la tangente passe par $(5;3)$ : elle descend de $1$. Donc $T^{\prime }(4)=$$-1$. $T^{\prime }(0)=-2$ se lit « moins $2$ dizaines de degrés par dizaine de minutes » : $-20$ °C en $10$ minutes, soit $-2$ °C par minute. De même, $T^{\prime }(4)=-1$ donne $-1$ °C par minute. b) La tangente en $A$ est plus raide : le thé refroidit plus vite au début, $2$ °C par minute contre $1$ °C par minute. c) En $C$, la tangente est horizontale : $T^{\prime }(8)=$$0$. Le thé est à $20$ °C, la température de la pièce : il ne refroidit plus. d) Entre $0$ et $8$, la courbe descend : $T^{\prime }(t)<0$ (et $T^{\prime }(8)=0$ au bout). La température baisse de moins en moins vite. ⭐ En physique, un objet chaud refroidit d'autant plus vite qu'il est loin de la température de la pièce.
19. 19. Les visiteurs d'un parc naturel a) La tangente est horizontale en $M(2;10)$ et en $N(4;8)$. $M$ : $2$ h après l'ouverture, à $11$ h, il y a $1000$ visiteurs. C'est un maximum local : la matinée bat son plein. $N$ : à $13$ h, il y a $800$ visiteurs. C'est un minimum local : la pause de midi. b) Sur $[0;2]$, la courbe monte : $f^{\prime }(x)⩾$$0$. Sur $[2;4]$, elle descend : $f^{\prime }(x)⩽$$0$. Sur $[4;5]$, elle remonte : $f^{\prime }(x)⩾$$0$. c) En $C(3;9)$, on avance de $2$ : la tangente passe par $(5;6)$, elle descend de $3$. Donc $f^{\prime }(3)=\frac{-3}{2}=$$-1,5$. À midi, le parc perd environ $1,5$ centaine de visiteurs par heure, soit $150$ visiteurs par heure. ⚠️ Un minimum LOCAL n'est pas forcément le plus bas de la journée : à l'ouverture, il n'y avait personne.
20. 20. Deux marathoniennes a) À $t=$$60$, Nadia a couru $20$ km et Kenza $18$ km : Nadia est en tête, avec $2$ km d'avance. b) Nadia : $N^{\prime }(60)=\frac{26-20}{80-60}=\frac{6}{20}=0,3$ km par minute. En une heure : $0,3\times 60=18$ km/h. Kenza : $K^{\prime }(60)=\frac{25-18}{80-60}=\frac{7}{20}=0,35$ km par minute, soit $0,35\times 60=21$ km/h. Kenza court plus vite. c) Chaque minute, Kenza reprend $0,35-0,3=0,05$ km à Nadia. Pour reprendre $2$ km : $2÷0,05=40$ minutes. Elle la rattraperait vers $t=100$ minutes. ⚠️ Être devant ne veut pas dire aller plus vite : l'avance se lit sur les courbes, la vitesse sur les tangentes. ⭐ Ce n'est qu'une prévision : si Kenza se fatigue, sa tangente s'aplatit.

    t (min)	60	80	100
    avance de Nadia (km)	2	1	0