Nombre dérivé et tangente : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices sur le nombre dérivé : coefficient directeur d'une tangente, équation réduite par deux points, vitesse instantanée, valeur approchée, coût marginal. Une pierre qui tombe, un TGV, un glacier, le CO₂, une cuve d'eau de pluie. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : elle est écrite étape par étape.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. On applique, on écrit le résultat.

Rappel de cours

$f^{'} (a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$ . Si elle passe par $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ : $f^{'} (a) =$ $\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ .
L'équation réduite de la tangente s'écrit $y = m x +$ $p$ , avec $m =$ $f^{'} (a)$ ; on trouve $p$ grâce au point de contact.
$f^{'} (a)$ est aussi une VITESSE : près de $a$ , quand $x$ augmente de $h$ , $f (x)$ varie d'environ $f^{'} (a) \times$ $h$ .

1
La tangente à la courbe de $f$ au point $A (0; 1)$ passe aussi par le point $B (2; 7)$ . Calculer $f^{'} (0)$ .
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$f^{'} (0)$ est le coefficient directeur de la tangente $(A B)$ : $f^{'} (0) = \frac{7 - 1}{2 - 0} = \frac{6}{2} =$ $3$ . Sur le dessin, l'escalier vert : on avance de $2$ , on monte de $6$ . Pour un pas de $1$ , on monte donc de $3$ . ⚠️ En haut les ordonnées, en bas les abscisses, et DANS LE MÊME ORDRE : $B$ moins $A$ en haut comme en bas.
2
La tangente à la courbe de $g$ au point $A (1; 5)$ passe aussi par le point $B (4; - 1)$ . a) Calculer $g^{'} (1)$ . b) Donner l'équation réduite de cette tangente.
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a) $g^{'} (1) = \frac{- 1 - 5}{4 - 1} = \frac{- 6}{3} =$ $- 2$ . b) La tangente a une équation de la forme $y = - 2 x +$ $p$ . Elle passe par $A (1; 5)$ : $5 = - 2 \times 1 +$ $p$ , donc $p =$ $7$ . C'est la droite $y = - 2 x +$ $7$ . ✔️ Avec $B$ : $- 2 \times 4 + 7 =$ $- 1$ . ⚠️ $- 1 - 5 =$ $- 6$ : on garde le signe moins. Sur l'escalier, on avance de $3$ et on DESCEND de $6$ .
3
La distance parcourue par une cycliste, en kilomètres, est $d (t)$ , où $t$ est le temps en heures. On sait que $d^{'} (2) =$ $25$ . Que signifie ce nombre ?
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$d^{'} (2)$ est une vitesse : l'unité de $d$ (le kilomètre) PAR unité de $t$ (l'heure). $d^{'} (2) = 25$ signifie : au bout de $2$ heures, la cycliste roule à $25$ km/h. C'est ce qu'affiche son compteur à cet instant. ⚠️ Ce n'est ni la distance parcourue, ni sa vitesse moyenne depuis le départ : c'est sa vitesse À CET INSTANT, dite instantanée. ⭐ Le tableau : à $25$ km/h, en $6$ minutes ( $0, 1$ h), elle parcourt environ $25 \times 0, 1 = 2, 5$ km.
temps 2 h 2 h 06 2 h 12
distance en plus (km) 0 2,5 5
4
On sait que $f (3) = 10$ et $f^{'} (3) =$ $4$ . Donner une valeur approchée de $f (3, 1)$ , puis de $f (2, 9)$ .
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Près de $3$ , la courbe se confond presque avec sa tangente : quand $x$ varie de $h$ , $f (x)$ varie d'environ $f^{'} (3) \times$ $h$ . $f (3, 1) \approx 10 + 4 \times 0, 1 =$ $10, 4$ . Pour $2, 9$ , on RECULE de $0, 1$ : $h =$ $- 0, 1$ , et $f (2, 9) \approx 10 + 4 \times (- 0, 1) =$ $9, 6$ . ⚠️ Ce sont des valeurs APPROCHÉES : on écrit $\approx$ , pas $=$ .
x 2,9 3 3,1
f(x) environ 9,6 10 10,4
5
La droite orange est la tangente à la courbe de $f$ au point $A$ . a) Lire les coordonnées de $A$ et de $B$ . b) Calculer $f^{'} (2)$ . c) Donner l'équation réduite de la tangente.
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a) $A (2; 2)$ et $B (3; 4)$ . b) $f^{'} (2) = \frac{4 - 2}{3 - 2} =$ $2$ . c) $y = 2 x +$ $p$ , et $A$ est sur la tangente : $2 = 2 \times 2 +$ $p$ , donc $p =$ $- 2$ . La tangente a pour équation $y = 2 x -$ $2$ . ✔️ Avec $B$ : $2 \times 3 - 2 =$ $4$ . ⭐ On choisit des points sur des NŒUDS du quadrillage : là, la lecture est exacte.
6
La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $4$ a pour équation $y = - 0, 5 x +$ $3$ . Que valent $f^{'} (4)$ et $f (4)$ ?
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Le coefficient directeur de la tangente est $- 0, 5$ : $f^{'} (4) =$ $- 0, 5$ . Le point de contact est à la fois sur la courbe et sur la tangente : $f (4) = - 0, 5 \times 4 + 3 = - 2 + 3 =$ $1$ . ⚠️ $f^{'} (4)$ n'est pas $3$ : $3$ est l'ordonnée à l'origine de la tangente, pas sa pente.
7
Une boulangerie fabrique $q$ baguettes par jour, pour un coût total de $C (q)$ euros. On a $C^{'} (200) =$ $0, 3$ . Que signifie ce nombre ?
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$C^{'} (200)$ est en euros PAR baguette. Quand on fabrique déjà $200$ baguettes, en fabriquer une de plus coûte environ $0, 30$ €. C'est le COÛT MARGINAL. ⚠️ Ce n'est ni le coût total, ni le coût moyen d'une baguette : c'est le coût de la baguette SUPPLÉMENTAIRE. ⭐ Le tableau : $10$ baguettes de plus coûtent environ $10 \times 0, 3 = 3$ €.
baguettes 200 201 210
coût en plus (€) 0 0,3 3
8
La masse d'un bébé, en kilogrammes, est $m (t)$ , où $t$ est son âge en semaines. On sait que $m (6) = 5$ et $m^{'} (6) =$ $0, 2$ . a) Que signifie $m^{'} (6)$ ? b) Estimer sa masse à $7$ semaines.
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a) $m^{'} (6)$ est en kg PAR semaine : à $6$ semaines, le bébé prend environ $0, 2$ kg, soit $200$ g, par semaine. b) Une semaine plus tard : $m (7) \approx 5 + 0, 2 \times 1 = 5, 2$ kg. ⚠️ $m^{'} (6)$ n'est pas une masse : $0, 2$ kg, c'est ce que le bébé GAGNE par semaine, pas ce qu'il pèse.
âge (semaines) 6 7 8
masse environ (kg) 5 5,2 5,4

temps	2 h	2 h 06	2 h 12
distance en plus (km)	0	2,5	5

x	2,9	3	3,1
f(x) environ	9,6	10	10,4

baguettes	200	201	210
coût en plus (€)	0	0,3	3

âge (semaines)	6	7	8
masse environ (kg)	5	5,2	5,4

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs gestes à enchaîner, comme dans un contrôle. On répond avec les unités.

Rappel de cours

L'unité de $f^{'} (a)$ : l'unité de $f$ PAR unité de $x$ (kilomètres par heure, habitants par an, euros par objet).
En économie, $C^{'} (q)$ est le COÛT MARGINAL : le coût, à peu près, d'une unité de plus. De même, $R^{'} (q)$ est la recette marginale.
Approximation : $f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) \times$ $h$ , d'autant meilleure que $h$ est petit.

9Un village pendant l'exode rural
Pendant l'exode rural, les campagnes françaises se vident au profit des villes. La population d'un village de montagne, en centaines d'habitants, est $P (t)$ , où $t$ est le nombre de décennies écoulées depuis 1940. On sait que $P (2) = 5$ et $P^{'} (2) =$ $- 3$ . a) En quelle année est-on quand $t =$ $2$ ? Combien le village a-t-il d'habitants ? b) Que vaut le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $2$ ? La population augmente-t-elle ou diminue-t-elle ? c) Entre $t = 2$ et $t =$ $2, 1$ , c'est-à-dire en un an, de combien d'habitants environ la population varie-t-elle ?
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a) $t =$ $2$ : deux décennies après 1940, soit en 1960. $P (2) = 5$ centaines : le village a $500$ habitants. b) Le coefficient directeur de la tangente, c'est le nombre dérivé : $- 3$ . Il est négatif : la population DIMINUE. c) Près de $2$ , la courbe se confond presque avec sa tangente : quand $t$ augmente de $0, 1$ , $P (t)$ varie d'environ $- 3 \times 0, 1 = - 0, 3$ centaine. Le village perd donc environ $30$ habitants en un an : ils partent pour la ville. ⭐ C'est le sens du nombre dérivé : une VITESSE. $P^{'} (2) = - 3$ se lit « moins $300$ habitants par décennie », au rythme de 1960. ⚠️ Ce n'est qu'une approximation : plus on s'éloigne de 1960, moins la tangente colle à la courbe.
10La recette d'une entreprise
Une entreprise vend $x$ centaines de sacs à dos. Sa recette, en milliers d'euros, est $R (x)$ . Sur la courbe de $R$ , la tangente au point $A (1; 3)$ passe aussi par le point $B (3; 7)$ . a) Calculer $R^{'} (1)$ . b) Donner l'équation réduite de cette tangente. c) Les économistes appellent $R^{'} (1)$ la « recette marginale ». Que rapporte, à peu près, une centaine de sacs de plus quand on en vend déjà cent ?
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a) $R^{'} (1)$ est le coefficient directeur de la tangente, qui passe par $A$ et $B$ : $R^{'} (1) = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} =$ $2$ . b) La tangente a une équation de la forme $y = 2 x +$ $p$ . Elle passe par $A (1; 3)$ : $3 = 2 \times 1 +$ $p$ , donc $p =$ $1$ . C'est la droite $y = 2 x +$ $1$ . ✔️ Avec $B$ : $2 \times 3 + 1 =$ $7$ . c) $R^{'} (1) = 2$ milliers d'euros par centaine de sacs : une centaine de sacs de plus rapporte environ $2000$ euros, soit $20$ euros par sac. ⚠️ Dans le quotient, les ordonnées en haut, les abscisses en bas, DANS LE MÊME ORDRE : $\frac{7 - 3}{3 - 1}$ , pas $\frac{7 - 3}{1 - 3}$ .
11Une pierre qui tombe
On lâche une pierre du haut d'une falaise. La distance parcourue, en dizaines de mètres, est $d (t)$ , où $t$ est le temps en secondes. Sur le dessin : la courbe de $d$ , la tangente en $A$ (orange) et la corde qui joint l'origine à $A$ (verte). a) Calculer $d^{'} (2)$ avec les points $A$ et $B$ : c'est la vitesse INSTANTANÉE de la pierre à $2$ s. La donner en m/s, puis en km/h. b) Calculer le coefficient directeur de la corde verte : c'est la vitesse MOYENNE entre $0$ et $2$ s. Comparer.
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a) $A (2; 2)$ et $B (3; 4)$ : $d^{'} (2) = \frac{4 - 2}{3 - 2} = 2$ dizaines de mètres par seconde, soit $20$ m/s. En km/h : $20 \times 3, 6 = 72$ km/h. b) La corde va de $(0; 0)$ à $A (2; 2)$ : son coefficient directeur vaut $\frac{2 - 0}{2 - 0} = 1$ dizaine de mètres par seconde, soit $10$ m/s. À $2$ s, la pierre va DEUX fois plus vite que sa vitesse moyenne depuis le départ : elle accélère. ⭐ Vitesse moyenne : la pente de la corde. Vitesse instantanée : la pente de la tangente. ⚠️ La pierre a parcouru $20$ m en $2$ s, mais elle ne va pas à $10$ m/s à l'instant $2$ : elle va déjà à $20$ m/s.
12Le coût marginal
Un fabricant produit $q$ centaines de vélos. Son coût, en milliers d'euros, est $C (q)$ . La tangente à la courbe de $C$ en $A$ passe par $B$ . a) Calculer $C^{'} (2)$ . b) Quand on fabrique déjà $200$ vélos, combien coûte, à peu près, une centaine de vélos de plus ? Et un vélo ? c) En réalité, $C (3) =$ $9, 5$ . Calculer $C (3) - C (2)$ et comparer avec la réponse b).
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a) $A (2; 6)$ et $B (3; 9)$ : $C^{'} (2) = \frac{9 - 6}{3 - 2} =$ $3$ . b) $C^{'} (2) = 3$ milliers d'euros par centaine de vélos : une centaine de plus coûte environ $3000$ €, soit $30$ € par vélo. c) $C (3) - C (2) = 9, 5 - 6 =$ $3, 5$ : la centaine supplémentaire coûte en réalité $3500$ €. Le coût marginal en est une APPROXIMATION : sur le dessin, en $x =$ $3$ , la courbe passe un peu au-dessus de sa tangente. ⭐ Plus l'écart est petit, meilleure est l'approximation : pour un seul vélo de plus, elle est excellente.
13Le marathonien
La distance parcourue par un marathonien, en km, est $d (t)$ , où $t$ est le temps en heures. On sait que $d (1) = 12$ et $d^{'} (1) =$ $12$ . a) Que signifie $d^{'} (1)$ ? b) Estimer la distance parcourue au bout d' $1$ h $15$ min. c) Donner l'équation réduite de la tangente au point $(1; 12)$ . Que remarque-t-on ?
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a) $d^{'} (1) = 12$ km/h : au bout d'une heure, le coureur court à $12$ km/h. b) $1$ h $15$ min $= 1, 25$ h : on avance de $0, 25$ . $d (1, 25) \approx 12 + 12 \times 0, 25 = 15$ km. c) La tangente a pour équation $y = 12 t + p$ et passe par $(1; 12)$ : $12 = 12 \times 1 +$ $p$ , donc $p =$ $0$ . C'est la droite $y =$ $12 t$ : elle passe par l'ORIGINE. C'est la course d'un coureur qui aurait tenu $12$ km/h depuis le départ. ⚠️ $1$ h $15$ min ne fait pas $1, 15$ h : un quart d'heure, c'est $0, 25$ h.
t (h) 1 1,25 1,5
d(t) environ (km) 12 15 18
14Le CO₂ de l'atmosphère
Dans un modèle arrondi, la concentration de CO₂ dans l'air est $C (t)$ ppm (parties par million), où $t$ est l'année. On prend $C (2020) = 415$ et $C^{'} (2020) =$ $2, 5$ . a) Quelle est l'unité de $C^{'} (2020)$ ? Que signifie ce nombre ? b) Estimer $C (2024)$ . c) Un article affirme : « en 2020, la concentration augmente de $2, 5$ % par an ». Qu'en penser ?
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a) $C^{'} (2020)$ est en ppm PAR AN : en 2020, la concentration augmente d'environ $2, 5$ ppm chaque année. b) Quatre ans plus tard : $C (2024) \approx 415 + 2, 5 \times 4 = 425$ ppm. c) L'article confond deux choses : $2, 5$ ppm n'est pas $2, 5$ %. En pourcentage : $\frac{2 , 5}{415} \approx$ $0, 006$ , soit environ $0, 6$ % par an. ⚠️ Le nombre dérivé a l'unité de la grandeur (des ppm) par unité de temps : ce n'est pas un pourcentage.
année 2020 2022 2024
C environ (ppm) 415 420 425
15Le recul d'un glacier
Dans un modèle, la longueur d'un glacier des Alpes, en centaines de mètres, est $L (t)$ , où $t$ est le nombre de décennies depuis 1950. a) La tangente en $A$ passe par $(3; 6)$ , celle en $B$ par $(5; 2)$ . Calculer $L^{'} (2)$ et $L^{'} (4)$ . b) Traduire ces deux nombres en mètres par an. c) Que dire du recul du glacier entre 1970 et 1990 ?
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a) $L^{'} (2) = \frac{6 - 7}{3 - 2} = - 1$ et $L^{'} (4) = \frac{2 - 4}{5 - 4} =$ $- 2$ . b) $L^{'} (2) = - 1$ centaine de mètres par décennie : en 1970, le glacier recule de $100$ m en dix ans, soit $10$ m par an. $L^{'} (4) =$ $- 2$ : en 1990, il recule de $200$ m par décennie, soit $20$ m par an. c) Le recul s'ACCÉLÈRE : en vingt ans, sa vitesse a doublé. ⚠️ Les deux nombres dérivés sont négatifs : le glacier RACCOURCIT. Plus le nombre est négatif, plus il recule vite.
16La puissance d'un radiateur
L'énergie consommée par un radiateur électrique, en kWh, est $E (t)$ au bout de $t$ heures. La tangente à la courbe de $E$ au point $A (2; 3)$ passe par $B (4; 6)$ . a) Calculer $E^{'} (2)$ . En physique, $E^{'} (t)$ est la PUISSANCE du radiateur, en kilowatts (kW). b) Dans ce modèle, le kWh coûte $0, 20$ €. Combien coûte, environ, une heure de chauffage de plus à ce moment-là ?
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a) $E^{'} (2) = \frac{6 - 3}{4 - 2} = \frac{3}{2} =$ $1, 5$ . $E^{'} (2)$ est en kWh PAR heure, c'est-à-dire en kilowatts : à cet instant, la puissance du radiateur est $1, 5$ kW. b) En une heure, il consomme environ $1, 5$ kWh, qui coûtent $1, 5 \times 0, 20 = 0, 30$ €. ⭐ La puissance est la vitesse à laquelle l'énergie est consommée : c'est le nombre dérivé de l'énergie. ⚠️ Le kW mesure une puissance, le kWh une énergie : ce sont deux grandeurs différentes.

t (h)	1	1,25	1,5
d(t) environ (km)	12	15	18

année	2020	2022	2024
C environ (ppm)	415	420	425

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Un exercice complet de contrôle, avec ses questions qui s'enchaînent. Le nombre dérivé y devient une vitesse.

Rappel de cours

Vitesse MOYENNE entre deux instants : le coefficient directeur de la corde. Vitesse INSTANTANÉE : celui de la tangente.
Une tangente prolonge la vitesse d'un instant : elle prévoit bien tout près du point de contact, mal au loin.
On répond avec l'unité, et on écrit $\approx$ quand la valeur est approchée.

17Le départ d'un TGV
Un TGV quitte une gare. La distance parcourue, en km, est $x (t)$ , où $t$ est le temps en minutes. Les tangentes en $A$ et en $B$ sont tracées. a) Lire $x^{'} (2)$ et $x^{'} (4)$ , en km par minute, puis les convertir en km/h. b) Calculer la vitesse moyenne du train entre $t = 0$ et $t =$ $4$ . La comparer à $x^{'} (2)$ . c) Donner l'équation réduite de la tangente en $B$ . d) En déduire une valeur approchée de la distance parcourue à $t =$ $4, 5$ .
Voir la correction
a) En $A (2; 1)$ , la tangente passe par $(3; 2)$ : $x^{'} (2) = 1$ km par minute. En une heure : $1 \times 60 = 60$ km/h. En $B (4; 4)$ , elle passe par $(5; 6)$ : $x^{'} (4) = 2$ km par minute, soit $2 \times 60 = 120$ km/h. b) Entre $0$ et $4$ min, le train parcourt $4$ km : sa vitesse moyenne est $\frac{4}{4} = 1$ km par minute, soit $60$ km/h. C'est exactement $x^{'} (2)$ : ici, la vitesse moyenne sur $[0; 4]$ est la vitesse instantanée au milieu. c) $y = 2 t + p$ passe par $B (4; 4)$ : $4 = 2 \times 4 +$ $p$ , donc $p =$ $- 4$ . La tangente a pour équation $y = 2 t -$ $4$ . d) Près de $4$ , la courbe colle à sa tangente : $x (4, 5) \approx 2 \times 4, 5 - 4 = 5$ km. ⚠️ La vitesse moyenne ( $60$ km/h) cache l'accélération : à $t =$ $4$ , le train roule déjà deux fois plus vite. ⭐ Pour passer des km par minute aux km/h, on multiplie par $60$ .
18L'atelier de vélos
Un atelier fabrique et vend $q$ vélos par mois. Chaque vélo est vendu $500$ € : la recette marginale vaut $R^{'} (q) = 500$ euros. Le coût marginal est $C^{'} (q) = 4 q + 400$ euros. a) Calculer $C^{'} (20)$ et $C^{'} (40)$ . Que signifient ces nombres ? b) Pour $q =$ $20$ , puis pour $q =$ $40$ , fabriquer un vélo de plus fait-il gagner ou perdre de l'argent ? Combien, environ ? c) Pour quelle production le coût marginal est-il égal à la recette marginale ? Les économistes disent que le bénéfice y est maximal.
Voir la correction
a) $C^{'} (20) = 4 \times 20 + 400 = 480$ et $C^{'} (40) = 4 \times 40 + 400 =$ $560$ . Quand l'atelier fabrique $20$ vélos, un vélo de plus coûte environ $480$ € ; à $40$ vélos, environ $560$ €. b) À $20$ vélos : le vélo de plus rapporte $500$ € et coûte environ $480$ € : on GAGNE environ $500 - 480 = 20$ €. À $40$ vélos : il rapporte $500$ € et coûte environ $560$ € : $500 - 560 =$ $- 60$ , on PERD environ $60$ €. c) $4 q + 400 = 500$ donne $4 q =$ $100$ , donc $q =$ $25$ . À $25$ vélos par mois, le vélo suivant ne rapporte plus rien : c'est la production qui rend le bénéfice maximal. ⚠️ Le coût marginal AUGMENTE avec la production (heures supplémentaires, machines usées) : c'est lui qui finit par manger le gain. ⭐ Le tableau le résume : le gain d'un vélo de plus passe de positif à négatif, et il s'annule à $25$ .
vélos par mois 20 25 40
gain d'un vélo de plus (€) 20 0 −60
19La température en montagne
En montagne, la température baisse quand on monte. Un ballon-sonde mesure la température $T (z)$ , en °C, à l'altitude $z$ , en km. La tangente à la courbe de $T$ au point $A (2; 7)$ passe par $B (4; - 6)$ . a) Calculer $T^{'} (2)$ . Quelle est son unité ? b) Donner l'équation réduite de cette tangente. c) En déduire une estimation de la température à $2, 4$ km d'altitude. d) Les météorologues retiennent une baisse moyenne d'environ $6, 5$ °C par kilomètre d'altitude. La mesure est-elle cohérente ?
Voir la correction
a) $T^{'} (2) = \frac{- 6 - 7}{4 - 2} = \frac{- 13}{2} = - 6, 5$ °C par km. À $2$ km d'altitude, la température baisse d'environ $6, 5$ °C par kilomètre de montée. b) $y = - 6, 5 z + p$ passe par $A (2; 7)$ : $7 = - 6, 5 \times 2 +$ $p$ , soit $7 = - 13 +$ $p$ , donc $p =$ $20$ . La tangente a pour équation $y = - 6, 5 z +$ $20$ . c) $T (2, 4) \approx - 6, 5 \times 2, 4 + 20 = 4, 4$ °C. d) Oui : $- 6, 5$ °C par km, c'est exactement la baisse moyenne retenue. ⚠️ $- 6 - 7 =$ $- 13$ , pas $- 1$ : les deux ordonnées sont de part et d'autre de $0$ . ⭐ C'est pourquoi il peut neiger au sommet quand il pleut dans la vallée. ⭐ Sur le dessin, l'escalier vert : on avance de $2$ km, on DESCEND de $13$ °C.
20La cuve d'eau de pluie
Une cuve récupère l'eau de pluie pour arroser un jardin. On ouvre le robinet : le volume d'eau restant, en hectolitres ( $1$ hL $= 100$ L), est $V (t)$ , où $t$ est le temps en minutes. Les tangentes en $A$ et en $B$ sont tracées. a) Lire $V^{'} (2)$ et $V^{'} (4)$ . Les traduire en litres par minute. b) Pourquoi ces nombres sont-ils négatifs ? Que devient le débit ? c) Un jardinier raisonne ainsi : « à $t =$ $2$ , il reste $400$ L, et l'eau s'écoule à $200$ L par minute ; la cuve sera donc vide à $t =$ $4$ ». Où lit-on son raisonnement sur le dessin ? Pourquoi a-t-il tort ?
Voir la correction
a) En $A (2; 4)$ , la tangente passe par $(3; 2)$ : $V^{'} (2) = - 2$ hL par minute, soit $- 200$ L par minute. En $B (4; 1)$ , elle passe par $(5; 0)$ : $V^{'} (4) = - 1$ hL par minute, soit $- 100$ L par minute. b) Ils sont négatifs parce que la cuve se VIDE : le volume diminue. Le débit, lui, baisse : $200$ L par minute à $t =$ $2$ , puis $100$ L par minute à $t =$ $4$ . Moins il reste d'eau, moins elle pousse. c) Le jardinier suit la TANGENTE en $A$ : elle coupe l'axe des abscisses en $t =$ $4$ . Mais la courbe s'aplatit : l'eau coule de moins en moins vite, et la cuve n'est vide qu'à $t =$ $6$ . ⚠️ Une tangente prolonge la vitesse d'un instant : elle ne prévoit bien que tout près du point de contact.

vélos par mois	20	25	40
gain d'un vélo de plus (€)	20	0	−60

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : nombre dérivé et tangente, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. $f^{'} (0)$ est le coefficient directeur de la tangente $(A B)$ : $f^{'} (0) = \frac{7 - 1}{2 - 0} = \frac{6}{2} =$ $3$ . Sur le dessin, l'escalier vert : on avance de $2$ , on monte de $6$ . Pour un pas de $1$ , on monte donc de $3$ . ⚠️ En haut les ordonnées, en bas les abscisses, et DANS LE MÊME ORDRE : $B$ moins $A$ en haut comme en bas.
2. a) $g^{'} (1) = \frac{- 1 - 5}{4 - 1} = \frac{- 6}{3} =$ $- 2$ . b) La tangente a une équation de la forme $y = - 2 x +$ $p$ . Elle passe par $A (1; 5)$ : $5 = - 2 \times 1 +$ $p$ , donc $p =$ $7$ . C'est la droite $y = - 2 x +$ $7$ . ✔️ Avec $B$ : $- 2 \times 4 + 7 =$ $- 1$ . ⚠️ $- 1 - 5 =$ $- 6$ : on garde le signe moins. Sur l'escalier, on avance de $3$ et on DESCEND de $6$ .
3. $d^{'} (2)$ est une vitesse : l'unité de $d$ (le kilomètre) PAR unité de $t$ (l'heure). $d^{'} (2) = 25$ signifie : au bout de $2$ heures, la cycliste roule à $25$ km/h. C'est ce qu'affiche son compteur à cet instant. ⚠️ Ce n'est ni la distance parcourue, ni sa vitesse moyenne depuis le départ : c'est sa vitesse À CET INSTANT, dite instantanée. ⭐ Le tableau : à $25$ km/h, en $6$ minutes ( $0, 1$ h), elle parcourt environ $25 \times 0, 1 = 2, 5$ km.
temps 2 h 2 h 06 2 h 12
distance en plus (km) 0 2,5 5
4. Près de $3$ , la courbe se confond presque avec sa tangente : quand $x$ varie de $h$ , $f (x)$ varie d'environ $f^{'} (3) \times$ $h$ . $f (3, 1) \approx 10 + 4 \times 0, 1 =$ $10, 4$ . Pour $2, 9$ , on RECULE de $0, 1$ : $h =$ $- 0, 1$ , et $f (2, 9) \approx 10 + 4 \times (- 0, 1) =$ $9, 6$ . ⚠️ Ce sont des valeurs APPROCHÉES : on écrit $\approx$ , pas $=$ .
x 2,9 3 3,1
f(x) environ 9,6 10 10,4
5. a) $A (2; 2)$ et $B (3; 4)$ . b) $f^{'} (2) = \frac{4 - 2}{3 - 2} =$ $2$ . c) $y = 2 x +$ $p$ , et $A$ est sur la tangente : $2 = 2 \times 2 +$ $p$ , donc $p =$ $- 2$ . La tangente a pour équation $y = 2 x -$ $2$ . ✔️ Avec $B$ : $2 \times 3 - 2 =$ $4$ . ⭐ On choisit des points sur des NŒUDS du quadrillage : là, la lecture est exacte.
6. Le coefficient directeur de la tangente est $- 0, 5$ : $f^{'} (4) =$ $- 0, 5$ . Le point de contact est à la fois sur la courbe et sur la tangente : $f (4) = - 0, 5 \times 4 + 3 = - 2 + 3 =$ $1$ . ⚠️ $f^{'} (4)$ n'est pas $3$ : $3$ est l'ordonnée à l'origine de la tangente, pas sa pente.
7. $C^{'} (200)$ est en euros PAR baguette. Quand on fabrique déjà $200$ baguettes, en fabriquer une de plus coûte environ $0, 30$ €. C'est le COÛT MARGINAL. ⚠️ Ce n'est ni le coût total, ni le coût moyen d'une baguette : c'est le coût de la baguette SUPPLÉMENTAIRE. ⭐ Le tableau : $10$ baguettes de plus coûtent environ $10 \times 0, 3 = 3$ €.
baguettes 200 201 210
coût en plus (€) 0 0,3 3
8. a) $m^{'} (6)$ est en kg PAR semaine : à $6$ semaines, le bébé prend environ $0, 2$ kg, soit $200$ g, par semaine. b) Une semaine plus tard : $m (7) \approx 5 + 0, 2 \times 1 = 5, 2$ kg. ⚠️ $m^{'} (6)$ n'est pas une masse : $0, 2$ kg, c'est ce que le bébé GAGNE par semaine, pas ce qu'il pèse.
âge (semaines) 6 7 8
masse environ (kg) 5 5,2 5,4
9. Un village pendant l'exode rural a) $t =$ $2$ : deux décennies après 1940, soit en 1960. $P (2) = 5$ centaines : le village a $500$ habitants. b) Le coefficient directeur de la tangente, c'est le nombre dérivé : $- 3$ . Il est négatif : la population DIMINUE. c) Près de $2$ , la courbe se confond presque avec sa tangente : quand $t$ augmente de $0, 1$ , $P (t)$ varie d'environ $- 3 \times 0, 1 = - 0, 3$ centaine. Le village perd donc environ $30$ habitants en un an : ils partent pour la ville. ⭐ C'est le sens du nombre dérivé : une VITESSE. $P^{'} (2) = - 3$ se lit « moins $300$ habitants par décennie », au rythme de 1960. ⚠️ Ce n'est qu'une approximation : plus on s'éloigne de 1960, moins la tangente colle à la courbe.
10. La recette d'une entreprise a) $R^{'} (1)$ est le coefficient directeur de la tangente, qui passe par $A$ et $B$ : $R^{'} (1) = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} =$ $2$ . b) La tangente a une équation de la forme $y = 2 x +$ $p$ . Elle passe par $A (1; 3)$ : $3 = 2 \times 1 +$ $p$ , donc $p =$ $1$ . C'est la droite $y = 2 x +$ $1$ . ✔️ Avec $B$ : $2 \times 3 + 1 =$ $7$ . c) $R^{'} (1) = 2$ milliers d'euros par centaine de sacs : une centaine de sacs de plus rapporte environ $2000$ euros, soit $20$ euros par sac. ⚠️ Dans le quotient, les ordonnées en haut, les abscisses en bas, DANS LE MÊME ORDRE : $\frac{7 - 3}{3 - 1}$ , pas $\frac{7 - 3}{1 - 3}$ .
11. Une pierre qui tombe a) $A (2; 2)$ et $B (3; 4)$ : $d^{'} (2) = \frac{4 - 2}{3 - 2} = 2$ dizaines de mètres par seconde, soit $20$ m/s. En km/h : $20 \times 3, 6 = 72$ km/h. b) La corde va de $(0; 0)$ à $A (2; 2)$ : son coefficient directeur vaut $\frac{2 - 0}{2 - 0} = 1$ dizaine de mètres par seconde, soit $10$ m/s. À $2$ s, la pierre va DEUX fois plus vite que sa vitesse moyenne depuis le départ : elle accélère. ⭐ Vitesse moyenne : la pente de la corde. Vitesse instantanée : la pente de la tangente. ⚠️ La pierre a parcouru $20$ m en $2$ s, mais elle ne va pas à $10$ m/s à l'instant $2$ : elle va déjà à $20$ m/s.
12. Le coût marginal a) $A (2; 6)$ et $B (3; 9)$ : $C^{'} (2) = \frac{9 - 6}{3 - 2} =$ $3$ . b) $C^{'} (2) = 3$ milliers d'euros par centaine de vélos : une centaine de plus coûte environ $3000$ €, soit $30$ € par vélo. c) $C (3) - C (2) = 9, 5 - 6 =$ $3, 5$ : la centaine supplémentaire coûte en réalité $3500$ €. Le coût marginal en est une APPROXIMATION : sur le dessin, en $x =$ $3$ , la courbe passe un peu au-dessus de sa tangente. ⭐ Plus l'écart est petit, meilleure est l'approximation : pour un seul vélo de plus, elle est excellente.
13. Le marathonien a) $d^{'} (1) = 12$ km/h : au bout d'une heure, le coureur court à $12$ km/h. b) $1$ h $15$ min $= 1, 25$ h : on avance de $0, 25$ . $d (1, 25) \approx 12 + 12 \times 0, 25 = 15$ km. c) La tangente a pour équation $y = 12 t + p$ et passe par $(1; 12)$ : $12 = 12 \times 1 +$ $p$ , donc $p =$ $0$ . C'est la droite $y =$ $12 t$ : elle passe par l'ORIGINE. C'est la course d'un coureur qui aurait tenu $12$ km/h depuis le départ. ⚠️ $1$ h $15$ min ne fait pas $1, 15$ h : un quart d'heure, c'est $0, 25$ h.
t (h) 1 1,25 1,5
d(t) environ (km) 12 15 18
14. Le CO₂ de l'atmosphère a) $C^{'} (2020)$ est en ppm PAR AN : en 2020, la concentration augmente d'environ $2, 5$ ppm chaque année. b) Quatre ans plus tard : $C (2024) \approx 415 + 2, 5 \times 4 = 425$ ppm. c) L'article confond deux choses : $2, 5$ ppm n'est pas $2, 5$ %. En pourcentage : $\frac{2 , 5}{415} \approx$ $0, 006$ , soit environ $0, 6$ % par an. ⚠️ Le nombre dérivé a l'unité de la grandeur (des ppm) par unité de temps : ce n'est pas un pourcentage.
année 2020 2022 2024
C environ (ppm) 415 420 425
15. Le recul d'un glacier a) $L^{'} (2) = \frac{6 - 7}{3 - 2} = - 1$ et $L^{'} (4) = \frac{2 - 4}{5 - 4} =$ $- 2$ . b) $L^{'} (2) = - 1$ centaine de mètres par décennie : en 1970, le glacier recule de $100$ m en dix ans, soit $10$ m par an. $L^{'} (4) =$ $- 2$ : en 1990, il recule de $200$ m par décennie, soit $20$ m par an. c) Le recul s'ACCÉLÈRE : en vingt ans, sa vitesse a doublé. ⚠️ Les deux nombres dérivés sont négatifs : le glacier RACCOURCIT. Plus le nombre est négatif, plus il recule vite.
16. La puissance d'un radiateur a) $E^{'} (2) = \frac{6 - 3}{4 - 2} = \frac{3}{2} =$ $1, 5$ . $E^{'} (2)$ est en kWh PAR heure, c'est-à-dire en kilowatts : à cet instant, la puissance du radiateur est $1, 5$ kW. b) En une heure, il consomme environ $1, 5$ kWh, qui coûtent $1, 5 \times 0, 20 = 0, 30$ €. ⭐ La puissance est la vitesse à laquelle l'énergie est consommée : c'est le nombre dérivé de l'énergie. ⚠️ Le kW mesure une puissance, le kWh une énergie : ce sont deux grandeurs différentes.
17. Le départ d'un TGV a) En $A (2; 1)$ , la tangente passe par $(3; 2)$ : $x^{'} (2) = 1$ km par minute. En une heure : $1 \times 60 = 60$ km/h. En $B (4; 4)$ , elle passe par $(5; 6)$ : $x^{'} (4) = 2$ km par minute, soit $2 \times 60 = 120$ km/h. b) Entre $0$ et $4$ min, le train parcourt $4$ km : sa vitesse moyenne est $\frac{4}{4} = 1$ km par minute, soit $60$ km/h. C'est exactement $x^{'} (2)$ : ici, la vitesse moyenne sur $[0; 4]$ est la vitesse instantanée au milieu. c) $y = 2 t + p$ passe par $B (4; 4)$ : $4 = 2 \times 4 +$ $p$ , donc $p =$ $- 4$ . La tangente a pour équation $y = 2 t -$ $4$ . d) Près de $4$ , la courbe colle à sa tangente : $x (4, 5) \approx 2 \times 4, 5 - 4 = 5$ km. ⚠️ La vitesse moyenne ( $60$ km/h) cache l'accélération : à $t =$ $4$ , le train roule déjà deux fois plus vite. ⭐ Pour passer des km par minute aux km/h, on multiplie par $60$ .
18. L'atelier de vélos a) $C^{'} (20) = 4 \times 20 + 400 = 480$ et $C^{'} (40) = 4 \times 40 + 400 =$ $560$ . Quand l'atelier fabrique $20$ vélos, un vélo de plus coûte environ $480$ € ; à $40$ vélos, environ $560$ €. b) À $20$ vélos : le vélo de plus rapporte $500$ € et coûte environ $480$ € : on GAGNE environ $500 - 480 = 20$ €. À $40$ vélos : il rapporte $500$ € et coûte environ $560$ € : $500 - 560 =$ $- 60$ , on PERD environ $60$ €. c) $4 q + 400 = 500$ donne $4 q =$ $100$ , donc $q =$ $25$ . À $25$ vélos par mois, le vélo suivant ne rapporte plus rien : c'est la production qui rend le bénéfice maximal. ⚠️ Le coût marginal AUGMENTE avec la production (heures supplémentaires, machines usées) : c'est lui qui finit par manger le gain. ⭐ Le tableau le résume : le gain d'un vélo de plus passe de positif à négatif, et il s'annule à $25$ .
vélos par mois 20 25 40
gain d'un vélo de plus (€) 20 0 −60
19. La température en montagne a) $T^{'} (2) = \frac{- 6 - 7}{4 - 2} = \frac{- 13}{2} = - 6, 5$ °C par km. À $2$ km d'altitude, la température baisse d'environ $6, 5$ °C par kilomètre de montée. b) $y = - 6, 5 z + p$ passe par $A (2; 7)$ : $7 = - 6, 5 \times 2 +$ $p$ , soit $7 = - 13 +$ $p$ , donc $p =$ $20$ . La tangente a pour équation $y = - 6, 5 z +$ $20$ . c) $T (2, 4) \approx - 6, 5 \times 2, 4 + 20 = 4, 4$ °C. d) Oui : $- 6, 5$ °C par km, c'est exactement la baisse moyenne retenue. ⚠️ $- 6 - 7 =$ $- 13$ , pas $- 1$ : les deux ordonnées sont de part et d'autre de $0$ . ⭐ C'est pourquoi il peut neiger au sommet quand il pleut dans la vallée. ⭐ Sur le dessin, l'escalier vert : on avance de $2$ km, on DESCEND de $13$ °C.
20. La cuve d'eau de pluie a) En $A (2; 4)$ , la tangente passe par $(3; 2)$ : $V^{'} (2) = - 2$ hL par minute, soit $- 200$ L par minute. En $B (4; 1)$ , elle passe par $(5; 0)$ : $V^{'} (4) = - 1$ hL par minute, soit $- 100$ L par minute. b) Ils sont négatifs parce que la cuve se VIDE : le volume diminue. Le débit, lui, baisse : $200$ L par minute à $t =$ $2$ , puis $100$ L par minute à $t =$ $4$ . Moins il reste d'eau, moins elle pousse. c) Le jardinier suit la TANGENTE en $A$ : elle coupe l'axe des abscisses en $t =$ $4$ . Mais la courbe s'aplatit : l'eau coule de moins en moins vite, et la cuve n'est vide qu'à $t =$ $6$ . ⚠️ Une tangente prolonge la vitesse d'un instant : elle ne prévoit bien que tout près du point de contact.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : nombre dérivé et tangente, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3