Dériver un polynôme : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices pour dériver un polynôme de degré 2 ou 3 et calculer un nombre dérivé : un nombre qui multiplie, une somme, terme à terme. La chute libre, un four, un sentier de montagne, des cigognes, une épidémie, une ville nouvelle. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : elle est écrite étape par étape.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. On dérive terme à terme, on écrit le résultat.

Rappel de cours

Un nombre qui multiplie reste devant : $(k \times u)^{'} = k \times$ $u^{'}$ . Par exemple, $(5 x^{2})^{'} = 5 \times 2 x =$ $10 x$ .
Une somme se dérive terme à terme : $(u + v)^{'} = u^{'} +$ $v^{'}$ .
Les formules de base : $k^{'} =$ $0$ ; $x^{'} =$ $1$ ; $(x^{2})^{'} =$ $2 x$ ; $(x^{3})^{'} =$ $3 x^{2}$ .
Pour $f^{'} (a)$ : on écrit d'abord $f^{'} (x)$ , puis on remplace $x$ par $a$ .

1
Dériver : $f (x) =$ $5 x^{2}$ ; $g (x) =$ $- 2 x^{3}$ ; $h (x) =$ $0, 5 x^{2}$ ; $k (x) =$ $- 7 x$ .
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Un nombre qui multiplie reste devant : $(k \times u)^{'} = k \times$ $u^{'}$ . $f^{'} (x) = 5 \times 2 x =$ $10 x$ . $g^{'} (x) = - 2 \times 3 x^{2} =$ $- 6 x^{2}$ . $h^{'} (x) = 0, 5 \times 2 x =$ $x$ . $k^{'} (x) = - 7 \times 1 =$ $- 7$ . ⚠️ Le signe moins de $- 2 x^{3}$ se garde : $g^{'} (x) =$ $- 6 x^{2}$ , pas $6 x^{2}$ .
f(x) 5x² −2x³ 0,5x² −7x
f′(x) 10x −6x² x −7
2
Dériver : $f (x) = x^{2} +$ $x^{3}$ ; $g (x) = x^{3} - x +$ $4$ .
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Une somme se dérive terme à terme. $f^{'} (x) = 2 x +$ $3 x^{2}$ . $g^{'} (x) = 3 x^{2} - 1 + 0 = 3 x^{2} -$ $1$ . ⚠️ $- x$ se dérive en $- 1$ , et le $4$ disparaît : il ne reste pas « $+ 4$ » dans la dérivée.
terme de g x³ −x 4
sa dérivée 3x² −1 0
3
Dériver : $f (x) = 4 x^{2} - 3 x +$ $8$ ; $g (x) = - x^{2} + 6 x -$ $5$ ; $h (x) = 0, 5 x^{2} +$ $2 x$ .
Voir la correction
On dérive terme à terme. $f^{'} (x) = 4 \times 2 x - 3 = 8 x -$ $3$ . $g^{'} (x) = - 2 x +$ $6$ . $h^{'} (x) = 0, 5 \times 2 x + 2 = x +$ $2$ . ⚠️ Le terme constant ( $8$ , $- 5$ ) disparaît ; le terme en $x$ ( $- 3 x$ , $6 x$ , $2 x$ ) laisse son coefficient. ⭐ Sur le dessin, la parabole de $g$ et sa tangente au point $(1; 0)$ : $g^{'} (1) = - 2 + 6 =$ $4$ , elle monte bien de $4$ par pas.
4
Dériver $f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + x -$ $4$ .
Voir la correction
On dérive terme à terme. $(2 x^{3})^{'} = 2 \times 3 x^{2} =$ $6 x^{2}$ . $(- 6 x^{2})^{'} = - 6 \times 2 x =$ $- 12 x$ . $(x)^{'} = 1$ et $(- 4)^{'} =$ $0$ . Donc $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 12 x +$ $1$ . ⭐ La dérivée d'un polynôme de degré $3$ est un polynôme de degré $2$ : chaque exposant baisse de $1$ . Sur le dessin : $f^{'} (0) =$ $1$ , et la tangente au point $(0; - 4)$ monte bien de $1$ à chaque pas de $1$ .
5
Soit $f (x) = x^{3} - 4 x +$ $1$ . Calculer $f^{'} (2)$ , $f^{'} (0)$ et $f^{'} (- 1)$ .
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D'abord la dérivée : $f^{'} (x) = 3 x^{2} -$ $4$ . Puis on remplace $x$ : $f^{'} (2) = 3 \times 4 - 4 =$ $8$ ; $f^{'} (0) =$ $- 4$ ; $f^{'} (- 1) = 3 \times 1 - 4 =$ $- 1$ . En $0$ et en $- 1$ , le nombre dérivé est négatif : la courbe y descend. En $2$ , elle monte fort. ⛔ On remplace dans $f^{'}$ , pas dans $f$ : $f (2) = 8 - 8 + 1 =$ $1$ , ce n'est pas la réponse. ⚠️ $(- 1)^{2} =$ $1$ : $3 \times (- 1)^{2} =$ $3$ , et non $- 3$ .
6
Dériver $f (x) = 7 - 2 x +$ $3 x^{2}$ .
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Les termes ne sont pas rangés : ce n'est pas grave, on dérive chacun à sa place. $(7)^{'} =$ $0$ ; $(- 2 x)^{'} =$ $- 2$ ; $(3 x^{2})^{'} = 3 \times 2 x =$ $6 x$ . Donc $f^{'} (x) = - 2 +$ $6 x$ , que l'on range : $f^{'} (x) = 6 x -$ $2$ . ⚠️ Le piège : croire que le premier terme est le « plus grand ». Ici, c'est $3 x^{2}$ qui est de degré $2$ , même s'il est écrit en dernier.
terme 7 −2x 3x²
sa dérivée 0 −2 6x
7
Dériver $g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} +$ $5$ .
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$\frac{1}{3}$ est un nombre qui multiplie : il reste devant. $(\frac{1}{3} x^{3})^{'} = \frac{1}{3} \times 3 x^{2} =$ $x^{2}$ . $(- 2 x^{2})^{'} = - 4 x$ et $(5)^{'} =$ $0$ . Donc $g^{'} (x) = x^{2} -$ $4 x$ . ⭐ Le $\frac{1}{3}$ a été choisi pour « manger » le $3$ qui descend : c'est un classique des sujets.
terme (1/3)x³ −2x² 5
sa dérivée x² −4x 0
8
Soit $f (x) = - x^{2} +$ $4 x$ . Calculer $f^{'} (1)$ , $f^{'} (2)$ et $f^{'} (3)$ , puis vérifier sur le dessin, où les tangentes en $1$ et en $3$ sont tracées.
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$f^{'} (x) = - 2 x +$ $4$ . $f^{'} (1) = - 2 + 4 =$ $2$ ; $f^{'} (2) = - 4 + 4 =$ $0$ ; $f^{'} (3) = - 6 + 4 =$ $- 2$ . Sur le dessin : en $1$ , la tangente monte de $2$ par pas ; en $3$ , elle descend de $2$ ; en $2$ , au sommet de la parabole, la tangente est horizontale. ⭐ Le calcul et la lecture disent la même chose : c'est la meilleure des vérifications.

f(x)	5x²	−2x³	0,5x²	−7x
f′(x)	10x	−6x²	x	−7

terme de g	x³	−x	4
sa dérivée	3x²	−1	0

terme	7	−2x	3x²
sa dérivée	0	−2	6x

terme	(1/3)x³	−2x²	5
sa dérivée	x²	−4x	0

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

On dérive, on calcule le nombre dérivé demandé, puis on dit ce qu'il signifie, avec son unité.

Rappel de cours

Dans un problème, $f^{'} (a)$ est une VITESSE : l'unité de $f$ par unité de $x$ (mètres par seconde, couples par an, euros par objet).
On remplace dans $f^{'}$ , jamais dans $f$ : $f (a)$ est une valeur, $f^{'} (a)$ une vitesse.
Un nombre dérivé négatif : la grandeur diminue. Nul : elle est à un sommet ou dans un creux.

9La chute libre
On lâche une balle du haut d'une tour. Sans frottement de l'air, la distance parcourue, en mètres, est $d (t) =$ $4, 9 t^{2}$ , où $t$ est le temps en secondes. a) Calculer $v (t) =$ $d^{'} (t)$ , la vitesse de la balle. b) Calculer sa vitesse à $1$ , $2$ et $3$ secondes. c) Convertir la vitesse à $2$ s en km/h.
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a) $v (t) = 4, 9 \times 2 t =$ $9, 8 t$ . b) $v (1) = 9, 8$ m/s ; $v (2) = 19, 6$ m/s ; $v (3) = 29, 4$ m/s. Chaque seconde, la vitesse augmente de $9, 8$ m/s. c) $19, 6 \times 3, 6 =$ $70, 56$ : environ $70, 6$ km/h. ⭐ Ce $9, 8$ est l'intensité de la pesanteur terrestre, en m/s² : c'est la dérivée de la vitesse. ⚠️ À $2$ s, la balle a parcouru $d (2) = 19, 6$ m et va à $19, 6$ m/s : même nombre, mais pas la même grandeur ni la même unité.
t (s) 1 2 3
v(t) (m/s) 9,8 19,6 29,4
10Le coût marginal
Un artisan fabrique $q$ objets par semaine. Son coût, en euros, est $C (q) = 0, 5 q^{2} + 10 q +$ $200$ . a) Calculer $C^{'} (q)$ , puis $C^{'} (20)$ . b) Que signifie $C^{'} (20)$ ? c) Calculer $C (21) - C (20)$ et comparer.
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a) $C^{'} (q) = 0, 5 \times 2 q + 10 = q +$ $10$ , donc $C^{'} (20) =$ $30$ . b) Quand l'artisan fabrique déjà $20$ objets, en fabriquer un de plus coûte environ $30$ € : c'est le coût marginal. c) $C (20) = 200 + 200 + 200 = 600$ et $C (21) = 220, 5 + 210 + 200 =$ $630, 5$ , donc $C (21) - C (20) =$ $30, 5$ . Le coût du $21$ ᵉ objet est $30, 50$ € : le coût marginal en donne une très bonne valeur approchée. ⚠️ Les $200$ € de frais fixes disparaissent à la dérivation : ils se paient quel que soit le nombre d'objets. ⭐ Le tableau : d'une ligne à l'autre, le coût augmente de $30, 5$ puis de $31, 5$ € ; le coût marginal suit $q +$ $10$ .
q (objets) 20 21 22
C(q) (€) 600 630,5 662
11Le sentier de montagne
L'altitude d'un sentier, en centaines de mètres, est $h (x) = - 0, 25 x^{3} + 1, 5 x^{2} +$ $2$ , où $x$ est la distance parcourue en kilomètres ( $0 ⩽$ $x ⩽$ $6$ ). Les tangentes en $A$ et en $S$ sont tracées. a) Calculer $h^{'} (x)$ . b) Calculer $h^{'} (2)$ et $h^{'} (4)$ , et vérifier sur les tangentes. c) Calculer $h^{'} (5)$ . La descente après le sommet est-elle plus raide que la montée en $A$ ?
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a) $h^{'} (x) = - 0, 25 \times 3 x^{2} + 1, 5 \times 2 x = - 0, 75 x^{2} +$ $3 x$ . b) $h^{'} (2) = - 0, 75 \times 4 + 6 =$ $3$ : la tangente en $A$ monte bien de $3$ par pas. ✔️ $h^{'} (4) = - 0, 75 \times 16 + 12 =$ $0$ : la tangente en $S$ est bien horizontale. ✔️ c) $h^{'} (5) = - 0, 75 \times 25 + 15 =$ $- 3, 75$ . En valeur absolue, $3, 75 >$ $3$ : la descente au kilomètre $5$ est plus raide que la montée en $A$ . Elle descend de $375$ m par kilomètre, une pente de $37, 5$ %. ⚠️ $- 0, 75 \times 25 =$ $- 18, 75$ : on calcule $x^{2}$ d'abord, puis on multiplie.
12Le retour des cigognes
Dans un modèle, le nombre de couples de cigognes d'une région est $N (t) = - 0, 5 t^{3} + 6 t^{2} +$ $40$ , où $t$ est le nombre d'années depuis la création d'une réserve ( $0 ⩽$ $t ⩽$ $10$ ). a) Calculer $N^{'} (t)$ . b) Calculer $N^{'} (2)$ , $N^{'} (8)$ et $N^{'} (10)$ . c) Que racontent ces trois nombres ?
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a) $N^{'} (t) = - 0, 5 \times 3 t^{2} + 6 \times 2 t = - 1, 5 t^{2} +$ $12 t$ . b) $N^{'} (2) = - 1, 5 \times 4 + 24 =$ $18$ ; $N^{'} (8) = - 1, 5 \times 64 + 96 =$ $0$ ; $N^{'} (10) = - 1, 5 \times 100 + 120 =$ $- 30$ . c) La deuxième année, la population gagne environ $18$ couples par an. La huitième année, elle ne varie plus : elle a atteint son maximum. La dixième année, elle perd environ $30$ couples par an : la réserve est peut-être trop petite pour tous. ⚠️ $N^{'} (8) = 0$ ne veut pas dire qu'il n'y a plus de cigognes : $N (8) = - 256 + 384 + 40 = 168$ couples.
t (années) 2 8 10
N′(t) (couples par an) 18 0 −30
13Le lancer du poids
La hauteur d'un poids lancé par une athlète, en mètres, est $h (x) = - 0, 05 x^{2} + 0, 75 x +$ $2$ , où $x$ est la distance horizontale parcourue, en mètres. a) Calculer $h^{'} (x)$ . b) Calculer $h^{'} (0)$ et $h^{'} (10)$ . Que disent leurs signes ? c) Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $h^{'} (x) =$ $0$ ? Que se passe-t-il en ce point ?
Voir la correction
a) $h^{'} (x) = - 0, 05 \times 2 x + 0, 75 = - 0, 1 x +$ $0, 75$ . b) $h^{'} (0) =$ $0, 75$ : au départ, la trajectoire monte, avec une pente de $0, 75$ . $h^{'} (10) = - 1 + 0, 75 =$ $- 0, 25$ : à $10$ m, le poids redescend. c) $- 0, 1 x + 0, 75 = 0$ donne $x =$ $7, 5$ : à $7, 5$ m, la trajectoire est horizontale. Le poids est au plus haut, à $h (7, 5) = 4, 8125$ m, soit environ $4, 8$ m. ⚠️ $x$ est une DISTANCE, pas un temps : $h^{'} (x)$ est la pente de la trajectoire, pas une vitesse. ⭐ Le tableau de signes de $h^{'} (x)$ : la trajectoire monte jusqu'à $7, 5$ m, puis redescend.
x
0
$7, 5$
15
$h^{'} (x)$
+
0
−
14Un canton pendant l'exode rural
Dans un modèle, la population d'un canton rural, en milliers d'habitants, est $R (t) = 0, 5 t^{2} - 6 t +$ $20$ , où $t$ est le nombre de décennies depuis 1900. a) Calculer $R^{'} (t)$ . b) Calculer $R^{'} (2)$ , $R^{'} (6)$ et $R^{'} (8)$ . c) Raconter l'histoire du canton en 1920, en 1960 et en 1980.
Voir la correction
a) $R^{'} (t) = 0, 5 \times 2 t - 6 = t -$ $6$ . b) $R^{'} (2) =$ $- 4$ ; $R^{'} (6) =$ $0$ ; $R^{'} (8) =$ $2$ . c) En 1920, le canton perd environ $4000$ habitants par décennie : c'est l'exode rural, les jeunes partent vers les villes. En 1960, la population ne varie plus : c'est le creux, avec $R (6) = 18 - 36 + 20 = 2$ milliers d'habitants. En 1980, elle regagne environ $2000$ habitants par décennie : des citadins s'installent à la campagne. ⚠️ $R^{'} (t)$ est en milliers d'habitants PAR DÉCENNIE : $R^{'} (2) = - 4$ ne veut pas dire « $4$ habitants par an ».
année 1920 1960 1980
R′(t) (milliers) −4 0 2
15Le four qui chauffe
On allume un four. Sa température, en °C, est $T (t) = - 0, 5 t^{2} + 20 t +$ $20$ , où $t$ est le temps en minutes ( $0 ⩽$ $t ⩽$ $20$ ). a) Calculer $T^{'} (t)$ . b) Calculer $T^{'} (0)$ , $T^{'} (10)$ et $T^{'} (20)$ . Que représentent ces nombres ? c) Quelle est la température du four au bout de $20$ minutes ?
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a) $T^{'} (t) = - 0, 5 \times 2 t + 20 = - t +$ $20$ . b) $T^{'} (0) =$ $20$ ; $T^{'} (10) =$ $10$ ; $T^{'} (20) =$ $0$ . Ce sont des vitesses de chauffe, en °C par minute : au départ, le four gagne $20$ °C par minute ; à $10$ min, $10$ °C par minute ; à $20$ min, il ne chauffe plus. c) $T (20) = - 0, 5 \times 400 + 400 + 20 = 220$ °C : la température demandée est atteinte, le thermostat la maintient. ⚠️ $T^{'} (20) = 0$ ne veut pas dire que le four est froid : il est à $220$ °C, mais sa température ne CHANGE plus.
t (min) 0 10 20
T′(t) (°C/min) 20 10 0
16La rampe de skate
Le profil d'une rampe de skate, en mètres, est $h (x) = 0, 5 x^{3} - 1, 5 x^{2} +$ $2$ , où $x$ est la distance horizontale en mètres. Le skateur part du point $D$ . a) Calculer $h^{'} (x)$ . b) Calculer $h^{'} (0)$ , $h^{'} (1)$ et $h^{'} (2)$ , et les retrouver sur le dessin. c) Calculer $h^{'} (3)$ . Que fait la rampe après $B$ ?
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a) $h^{'} (x) = 0, 5 \times 3 x^{2} - 1, 5 \times 2 x = 1, 5 x^{2} -$ $3 x$ . b) $h^{'} (0) =$ $0$ : le skateur part à plat, en haut de la rampe, en $D$ . $h^{'} (1) = 1, 5 - 3 =$ $- 1, 5$ : en $A$ , la rampe descend ; la tangente orange descend de $1, 5$ par pas. $h^{'} (2) = 6 - 6 =$ $0$ : en $B$ , c'est le creux de la rampe, à plat, au niveau du sol. c) $h^{'} (3) = 13, 5 - 9 =$ $4, 5$ : après $B$ , la rampe remonte, et de plus en plus raide. ⚠️ $1, 5 \times 2^{2} =$ $6$ , et non $1, 5 \times 2 \times 2 \times$ $2$ : le carré porte sur $x$ , pas sur le coefficient.

t (s)	1	2	3
v(t) (m/s)	9,8	19,6	29,4

q (objets)	20	21	22
C(q) (€)	600	630,5	662

t (années)	2	8	10
N′(t) (couples par an)	18	0	−30

année	1920	1960	1980
R′(t) (milliers)	−4	0	2

t (min)	0	10	20
T′(t) (°C/min)	20	10	0

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Un exercice complet de contrôle, avec ses questions qui s'enchaînent. Le nombre dérivé y devient une vitesse.

Rappel de cours

Les questions s'enchaînent : $f^{'} (x)$ d'abord, puis les nombres dérivés, puis leur sens.
Une grandeur peut être grande et croître lentement : on ne confond pas $f (a)$ et $f^{'} (a)$ .
On répond à la question posée, avec son unité : des malades par jour, des euros par millier de pots.

17Une épidémie de grippe
Pendant une épidémie de grippe, le nombre de malades dans une ville, $t$ jours après le premier cas, est modélisé par $N (t) = - t^{3} + 15 t^{2} +$ $100$ , pour $t$ entre $0$ et $14$ . La courbe donne ce nombre en centaines. a) Calculer $N^{'} (t)$ . b) Calculer $N^{'} (2)$ , $N^{'} (5)$ et $N^{'} (8)$ . Que représentent ces nombres ? c) Calculer $N^{'} (10)$ . Que se passe-t-il le jour $10$ ? Lire le nombre de malades ce jour-là. d) Le jour $8$ , il y a plus de malades que le jour $5$ . L'épidémie progresse-t-elle plus vite pour autant ?
Voir la correction
a) $N^{'} (t) = - 3 t^{2} + 15 \times 2 t = - 3 t^{2} +$ $30 t$ . b) $N^{'} (2) = - 12 + 60 =$ $48$ ; $N^{'} (5) = - 75 + 150 =$ $75$ ; $N^{'} (8) = - 192 + 240 =$ $48$ . Ce sont des vitesses, en malades PAR JOUR : le jour $5$ , l'épidémie gagne environ $75$ malades par jour. c) $N^{'} (10) = - 300 + 300 =$ $0$ : l'épidémie ne progresse plus. C'est le pic $P$ , avec $600$ malades. d) Non : $N (8) = 548$ et $N (5) =$ $350$ , mais $N^{'} (8) = 48 < N^{'} (5) =$ $75$ . L'épidémie ralentit déjà, c'est le signe que le pic approche. ⚠️ Au pic, $N^{'} (10) = 0$ et pourtant il n'y a jamais eu autant de malades : la vitesse est nulle, pas le nombre.
18La coopérative de confitures
Une coopérative fabrique $x$ milliers de pots de confiture par mois, avec $0 ⩽ x ⩽$ $10$ . Son bénéfice mensuel, en centaines d'euros, est $B (x) = - x^{3} + 12 x^{2} - 21 x -$ $10$ . a) Calculer $B^{'} (x)$ . b) Calculer $B^{'} (1)$ , $B^{'} (4)$ , $B^{'} (7)$ et $B^{'} (9)$ . c) Quand la coopérative fabrique $4000$ pots, que rapporte, environ, un millier de pots de plus ? Et quand elle en fabrique $9000$ ? d) Vérifier la réponse c) en calculant $B (5) -$ $B (4)$ .
Voir la correction
a) $B^{'} (x) = - 3 x^{2} + 12 \times 2 x - 21 = - 3 x^{2} + 24 x -$ $21$ . b) $B^{'} (1) = - 3 + 24 - 21 =$ $0$ ; $B^{'} (4) = - 48 + 96 - 21 =$ $27$ ; $B^{'} (7) = - 147 + 168 - 21 =$ $0$ ; $B^{'} (9) = - 243 + 216 - 21 =$ $- 48$ . c) À $4000$ pots, un millier de plus rapporte environ $27$ centaines d'euros, soit $2700$ €. À $9000$ pots, un millier de plus fait PERDRE environ $4800$ € : il faut payer des heures supplémentaires, et les pots se vendent mal. d) $B (4) = - 64 + 192 - 84 - 10 = 34$ et $B (5) = - 125 + 300 - 105 - 10 =$ $60$ : $B (5) - B (4) =$ $26$ , tout près de $27$ . ✔️ ⭐ $B^{'} (1) = 0$ et $B^{'} (7) =$ $0$ : ce sont les deux productions où le bénéfice cesse de baisser ou de monter. On les retrouvera dans la feuille des variations.
x (milliers) 1 4 7 9
B′(x) 0 27 0 −48
19Une ville nouvelle
À partir des années 1960, des villes nouvelles sont créées autour de Paris. Dans un modèle, la population de l'une d'elles, en dizaines de milliers d'habitants, est $P (t) = - 0, 1 t^{3} + 1, 5 t^{2} +$ $2$ , où $t$ est le nombre de décennies depuis 1960. a) Calculer $P^{'} (t)$ . b) Calculer $P^{'} (1)$ , $P^{'} (5)$ et $P^{'} (10)$ , et les traduire en habitants par décennie. c) Laquelle de ces trois décennies connaît la croissance la plus rapide ? d) Que prévoit le modèle pour 2060 ?
Voir la correction
a) $P^{'} (t) = - 0, 1 \times 3 t^{2} + 1, 5 \times 2 t = - 0, 3 t^{2} +$ $3 t$ . b) $P^{'} (1) = - 0, 3 + 3 =$ $2, 7$ : en 1970, la ville gagne environ $27000$ habitants par décennie. $P^{'} (5) = - 0, 3 \times 25 + 15 =$ $7, 5$ : en 2010, environ $75000$ habitants par décennie. $P^{'} (10) = - 0, 3 \times 100 + 30 =$ $0$ . c) C'est autour de 2010 ( $t =$ $5$ ) que la ville grandit le plus vite parmi les trois. d) En 2060, $P^{'} (10) =$ $0$ : la population ne grandirait plus. Elle serait de $P (10) = - 100 + 150 + 2 = 52$ dizaines de milliers, soit $520000$ habitants. ⚠️ Ce n'est qu'un modèle : prévoir 2060 à partir de lui suppose que rien ne change.
année 1970 2010 2060
P′(t) 2,7 7,5 0
20La balle lancée vers le haut
On lance une balle verticalement vers le haut, depuis une hauteur de $1, 5$ m. Sa hauteur, en mètres, est $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t +$ $1, 5$ , où $t$ est le temps en secondes. a) Calculer $v (t) =$ $h^{'} (t)$ , la vitesse de la balle. b) Calculer $v (0)$ , $v (1)$ , $v (2)$ et $v (3)$ . Que signifie le signe de $v (t)$ ? c) À quel instant la balle est-elle au plus haut ? À quelle hauteur ? d) Calculer $v^{'} (t)$ . Que représente ce nombre en physique ?
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a) $v (t) = - 5 \times 2 t + 20 = - 10 t +$ $20$ . b) $v (0) = 20$ m/s ; $v (1) = 10$ m/s ; $v (2) =$ $0$ ; $v (3) = - 10$ m/s. $v (t) >$ $0$ : la balle monte. $v (t) <$ $0$ : elle redescend. c) Au plus haut, la balle s'arrête un instant : $v (2) =$ $0$ . Elle y est à $h (2) = - 20 + 40 + 1, 5 = 21, 5$ m. d) $v^{'} (t) =$ $- 10$ : la vitesse perd $10$ m/s chaque seconde. C'est l'effet de la pesanteur, qui freine la montée puis accélère la chute. ⚠️ À $t =$ $2$ , la vitesse est nulle, mais la balle est à $21, 5$ m : ne pas confondre la hauteur et la vitesse.
t (s) 0 1 2 3
v(t) (m/s) 20 10 0 −10

x (milliers)	1	4	7	9
B′(x)	0	27	0	−48

année	1970	2010	2060
P′(t)	2,7	7,5	0

t (s)	0	1	2	3
v(t) (m/s)	20	10	0	−10

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : dériver un polynôme, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. Un nombre qui multiplie reste devant : $(k \times u)^{'} = k \times$ $u^{'}$ . $f^{'} (x) = 5 \times 2 x =$ $10 x$ . $g^{'} (x) = - 2 \times 3 x^{2} =$ $- 6 x^{2}$ . $h^{'} (x) = 0, 5 \times 2 x =$ $x$ . $k^{'} (x) = - 7 \times 1 =$ $- 7$ . ⚠️ Le signe moins de $- 2 x^{3}$ se garde : $g^{'} (x) =$ $- 6 x^{2}$ , pas $6 x^{2}$ .
f(x) 5x² −2x³ 0,5x² −7x
f′(x) 10x −6x² x −7
2. Une somme se dérive terme à terme. $f^{'} (x) = 2 x +$ $3 x^{2}$ . $g^{'} (x) = 3 x^{2} - 1 + 0 = 3 x^{2} -$ $1$ . ⚠️ $- x$ se dérive en $- 1$ , et le $4$ disparaît : il ne reste pas « $+ 4$ » dans la dérivée.
terme de g x³ −x 4
sa dérivée 3x² −1 0
3. On dérive terme à terme. $f^{'} (x) = 4 \times 2 x - 3 = 8 x -$ $3$ . $g^{'} (x) = - 2 x +$ $6$ . $h^{'} (x) = 0, 5 \times 2 x + 2 = x +$ $2$ . ⚠️ Le terme constant ( $8$ , $- 5$ ) disparaît ; le terme en $x$ ( $- 3 x$ , $6 x$ , $2 x$ ) laisse son coefficient. ⭐ Sur le dessin, la parabole de $g$ et sa tangente au point $(1; 0)$ : $g^{'} (1) = - 2 + 6 =$ $4$ , elle monte bien de $4$ par pas.
4. On dérive terme à terme. $(2 x^{3})^{'} = 2 \times 3 x^{2} =$ $6 x^{2}$ . $(- 6 x^{2})^{'} = - 6 \times 2 x =$ $- 12 x$ . $(x)^{'} = 1$ et $(- 4)^{'} =$ $0$ . Donc $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 12 x +$ $1$ . ⭐ La dérivée d'un polynôme de degré $3$ est un polynôme de degré $2$ : chaque exposant baisse de $1$ . Sur le dessin : $f^{'} (0) =$ $1$ , et la tangente au point $(0; - 4)$ monte bien de $1$ à chaque pas de $1$ .
5. D'abord la dérivée : $f^{'} (x) = 3 x^{2} -$ $4$ . Puis on remplace $x$ : $f^{'} (2) = 3 \times 4 - 4 =$ $8$ ; $f^{'} (0) =$ $- 4$ ; $f^{'} (- 1) = 3 \times 1 - 4 =$ $- 1$ . En $0$ et en $- 1$ , le nombre dérivé est négatif : la courbe y descend. En $2$ , elle monte fort. ⛔ On remplace dans $f^{'}$ , pas dans $f$ : $f (2) = 8 - 8 + 1 =$ $1$ , ce n'est pas la réponse. ⚠️ $(- 1)^{2} =$ $1$ : $3 \times (- 1)^{2} =$ $3$ , et non $- 3$ .
6. Les termes ne sont pas rangés : ce n'est pas grave, on dérive chacun à sa place. $(7)^{'} =$ $0$ ; $(- 2 x)^{'} =$ $- 2$ ; $(3 x^{2})^{'} = 3 \times 2 x =$ $6 x$ . Donc $f^{'} (x) = - 2 +$ $6 x$ , que l'on range : $f^{'} (x) = 6 x -$ $2$ . ⚠️ Le piège : croire que le premier terme est le « plus grand ». Ici, c'est $3 x^{2}$ qui est de degré $2$ , même s'il est écrit en dernier.
terme 7 −2x 3x²
sa dérivée 0 −2 6x
7. $\frac{1}{3}$ est un nombre qui multiplie : il reste devant. $(\frac{1}{3} x^{3})^{'} = \frac{1}{3} \times 3 x^{2} =$ $x^{2}$ . $(- 2 x^{2})^{'} = - 4 x$ et $(5)^{'} =$ $0$ . Donc $g^{'} (x) = x^{2} -$ $4 x$ . ⭐ Le $\frac{1}{3}$ a été choisi pour « manger » le $3$ qui descend : c'est un classique des sujets.
terme (1/3)x³ −2x² 5
sa dérivée x² −4x 0
8. $f^{'} (x) = - 2 x +$ $4$ . $f^{'} (1) = - 2 + 4 =$ $2$ ; $f^{'} (2) = - 4 + 4 =$ $0$ ; $f^{'} (3) = - 6 + 4 =$ $- 2$ . Sur le dessin : en $1$ , la tangente monte de $2$ par pas ; en $3$ , elle descend de $2$ ; en $2$ , au sommet de la parabole, la tangente est horizontale. ⭐ Le calcul et la lecture disent la même chose : c'est la meilleure des vérifications.
9. La chute libre a) $v (t) = 4, 9 \times 2 t =$ $9, 8 t$ . b) $v (1) = 9, 8$ m/s ; $v (2) = 19, 6$ m/s ; $v (3) = 29, 4$ m/s. Chaque seconde, la vitesse augmente de $9, 8$ m/s. c) $19, 6 \times 3, 6 =$ $70, 56$ : environ $70, 6$ km/h. ⭐ Ce $9, 8$ est l'intensité de la pesanteur terrestre, en m/s² : c'est la dérivée de la vitesse. ⚠️ À $2$ s, la balle a parcouru $d (2) = 19, 6$ m et va à $19, 6$ m/s : même nombre, mais pas la même grandeur ni la même unité.
t (s) 1 2 3
v(t) (m/s) 9,8 19,6 29,4
10. Le coût marginal a) $C^{'} (q) = 0, 5 \times 2 q + 10 = q +$ $10$ , donc $C^{'} (20) =$ $30$ . b) Quand l'artisan fabrique déjà $20$ objets, en fabriquer un de plus coûte environ $30$ € : c'est le coût marginal. c) $C (20) = 200 + 200 + 200 = 600$ et $C (21) = 220, 5 + 210 + 200 =$ $630, 5$ , donc $C (21) - C (20) =$ $30, 5$ . Le coût du $21$ ᵉ objet est $30, 50$ € : le coût marginal en donne une très bonne valeur approchée. ⚠️ Les $200$ € de frais fixes disparaissent à la dérivation : ils se paient quel que soit le nombre d'objets. ⭐ Le tableau : d'une ligne à l'autre, le coût augmente de $30, 5$ puis de $31, 5$ € ; le coût marginal suit $q +$ $10$ .
q (objets) 20 21 22
C(q) (€) 600 630,5 662
11. Le sentier de montagne a) $h^{'} (x) = - 0, 25 \times 3 x^{2} + 1, 5 \times 2 x = - 0, 75 x^{2} +$ $3 x$ . b) $h^{'} (2) = - 0, 75 \times 4 + 6 =$ $3$ : la tangente en $A$ monte bien de $3$ par pas. ✔️ $h^{'} (4) = - 0, 75 \times 16 + 12 =$ $0$ : la tangente en $S$ est bien horizontale. ✔️ c) $h^{'} (5) = - 0, 75 \times 25 + 15 =$ $- 3, 75$ . En valeur absolue, $3, 75 >$ $3$ : la descente au kilomètre $5$ est plus raide que la montée en $A$ . Elle descend de $375$ m par kilomètre, une pente de $37, 5$ %. ⚠️ $- 0, 75 \times 25 =$ $- 18, 75$ : on calcule $x^{2}$ d'abord, puis on multiplie.
12. Le retour des cigognes a) $N^{'} (t) = - 0, 5 \times 3 t^{2} + 6 \times 2 t = - 1, 5 t^{2} +$ $12 t$ . b) $N^{'} (2) = - 1, 5 \times 4 + 24 =$ $18$ ; $N^{'} (8) = - 1, 5 \times 64 + 96 =$ $0$ ; $N^{'} (10) = - 1, 5 \times 100 + 120 =$ $- 30$ . c) La deuxième année, la population gagne environ $18$ couples par an. La huitième année, elle ne varie plus : elle a atteint son maximum. La dixième année, elle perd environ $30$ couples par an : la réserve est peut-être trop petite pour tous. ⚠️ $N^{'} (8) = 0$ ne veut pas dire qu'il n'y a plus de cigognes : $N (8) = - 256 + 384 + 40 = 168$ couples.
t (années) 2 8 10
N′(t) (couples par an) 18 0 −30
13. Le lancer du poids a) $h^{'} (x) = - 0, 05 \times 2 x + 0, 75 = - 0, 1 x +$ $0, 75$ . b) $h^{'} (0) =$ $0, 75$ : au départ, la trajectoire monte, avec une pente de $0, 75$ . $h^{'} (10) = - 1 + 0, 75 =$ $- 0, 25$ : à $10$ m, le poids redescend. c) $- 0, 1 x + 0, 75 = 0$ donne $x =$ $7, 5$ : à $7, 5$ m, la trajectoire est horizontale. Le poids est au plus haut, à $h (7, 5) = 4, 8125$ m, soit environ $4, 8$ m. ⚠️ $x$ est une DISTANCE, pas un temps : $h^{'} (x)$ est la pente de la trajectoire, pas une vitesse. ⭐ Le tableau de signes de $h^{'} (x)$ : la trajectoire monte jusqu'à $7, 5$ m, puis redescend.
x
0
$7, 5$
15
$h^{'} (x)$
+
0
−
14. Un canton pendant l'exode rural a) $R^{'} (t) = 0, 5 \times 2 t - 6 = t -$ $6$ . b) $R^{'} (2) =$ $- 4$ ; $R^{'} (6) =$ $0$ ; $R^{'} (8) =$ $2$ . c) En 1920, le canton perd environ $4000$ habitants par décennie : c'est l'exode rural, les jeunes partent vers les villes. En 1960, la population ne varie plus : c'est le creux, avec $R (6) = 18 - 36 + 20 = 2$ milliers d'habitants. En 1980, elle regagne environ $2000$ habitants par décennie : des citadins s'installent à la campagne. ⚠️ $R^{'} (t)$ est en milliers d'habitants PAR DÉCENNIE : $R^{'} (2) = - 4$ ne veut pas dire « $4$ habitants par an ».
année 1920 1960 1980
R′(t) (milliers) −4 0 2
15. Le four qui chauffe a) $T^{'} (t) = - 0, 5 \times 2 t + 20 = - t +$ $20$ . b) $T^{'} (0) =$ $20$ ; $T^{'} (10) =$ $10$ ; $T^{'} (20) =$ $0$ . Ce sont des vitesses de chauffe, en °C par minute : au départ, le four gagne $20$ °C par minute ; à $10$ min, $10$ °C par minute ; à $20$ min, il ne chauffe plus. c) $T (20) = - 0, 5 \times 400 + 400 + 20 = 220$ °C : la température demandée est atteinte, le thermostat la maintient. ⚠️ $T^{'} (20) = 0$ ne veut pas dire que le four est froid : il est à $220$ °C, mais sa température ne CHANGE plus.
t (min) 0 10 20
T′(t) (°C/min) 20 10 0
16. La rampe de skate a) $h^{'} (x) = 0, 5 \times 3 x^{2} - 1, 5 \times 2 x = 1, 5 x^{2} -$ $3 x$ . b) $h^{'} (0) =$ $0$ : le skateur part à plat, en haut de la rampe, en $D$ . $h^{'} (1) = 1, 5 - 3 =$ $- 1, 5$ : en $A$ , la rampe descend ; la tangente orange descend de $1, 5$ par pas. $h^{'} (2) = 6 - 6 =$ $0$ : en $B$ , c'est le creux de la rampe, à plat, au niveau du sol. c) $h^{'} (3) = 13, 5 - 9 =$ $4, 5$ : après $B$ , la rampe remonte, et de plus en plus raide. ⚠️ $1, 5 \times 2^{2} =$ $6$ , et non $1, 5 \times 2 \times 2 \times$ $2$ : le carré porte sur $x$ , pas sur le coefficient.
17. Une épidémie de grippe a) $N^{'} (t) = - 3 t^{2} + 15 \times 2 t = - 3 t^{2} +$ $30 t$ . b) $N^{'} (2) = - 12 + 60 =$ $48$ ; $N^{'} (5) = - 75 + 150 =$ $75$ ; $N^{'} (8) = - 192 + 240 =$ $48$ . Ce sont des vitesses, en malades PAR JOUR : le jour $5$ , l'épidémie gagne environ $75$ malades par jour. c) $N^{'} (10) = - 300 + 300 =$ $0$ : l'épidémie ne progresse plus. C'est le pic $P$ , avec $600$ malades. d) Non : $N (8) = 548$ et $N (5) =$ $350$ , mais $N^{'} (8) = 48 < N^{'} (5) =$ $75$ . L'épidémie ralentit déjà, c'est le signe que le pic approche. ⚠️ Au pic, $N^{'} (10) = 0$ et pourtant il n'y a jamais eu autant de malades : la vitesse est nulle, pas le nombre.
18. La coopérative de confitures a) $B^{'} (x) = - 3 x^{2} + 12 \times 2 x - 21 = - 3 x^{2} + 24 x -$ $21$ . b) $B^{'} (1) = - 3 + 24 - 21 =$ $0$ ; $B^{'} (4) = - 48 + 96 - 21 =$ $27$ ; $B^{'} (7) = - 147 + 168 - 21 =$ $0$ ; $B^{'} (9) = - 243 + 216 - 21 =$ $- 48$ . c) À $4000$ pots, un millier de plus rapporte environ $27$ centaines d'euros, soit $2700$ €. À $9000$ pots, un millier de plus fait PERDRE environ $4800$ € : il faut payer des heures supplémentaires, et les pots se vendent mal. d) $B (4) = - 64 + 192 - 84 - 10 = 34$ et $B (5) = - 125 + 300 - 105 - 10 =$ $60$ : $B (5) - B (4) =$ $26$ , tout près de $27$ . ✔️ ⭐ $B^{'} (1) = 0$ et $B^{'} (7) =$ $0$ : ce sont les deux productions où le bénéfice cesse de baisser ou de monter. On les retrouvera dans la feuille des variations.
x (milliers) 1 4 7 9
B′(x) 0 27 0 −48
19. Une ville nouvelle a) $P^{'} (t) = - 0, 1 \times 3 t^{2} + 1, 5 \times 2 t = - 0, 3 t^{2} +$ $3 t$ . b) $P^{'} (1) = - 0, 3 + 3 =$ $2, 7$ : en 1970, la ville gagne environ $27000$ habitants par décennie. $P^{'} (5) = - 0, 3 \times 25 + 15 =$ $7, 5$ : en 2010, environ $75000$ habitants par décennie. $P^{'} (10) = - 0, 3 \times 100 + 30 =$ $0$ . c) C'est autour de 2010 ( $t =$ $5$ ) que la ville grandit le plus vite parmi les trois. d) En 2060, $P^{'} (10) =$ $0$ : la population ne grandirait plus. Elle serait de $P (10) = - 100 + 150 + 2 = 52$ dizaines de milliers, soit $520000$ habitants. ⚠️ Ce n'est qu'un modèle : prévoir 2060 à partir de lui suppose que rien ne change.
année 1970 2010 2060
P′(t) 2,7 7,5 0
20. La balle lancée vers le haut a) $v (t) = - 5 \times 2 t + 20 = - 10 t +$ $20$ . b) $v (0) = 20$ m/s ; $v (1) = 10$ m/s ; $v (2) =$ $0$ ; $v (3) = - 10$ m/s. $v (t) >$ $0$ : la balle monte. $v (t) <$ $0$ : elle redescend. c) Au plus haut, la balle s'arrête un instant : $v (2) =$ $0$ . Elle y est à $h (2) = - 20 + 40 + 1, 5 = 21, 5$ m. d) $v^{'} (t) =$ $- 10$ : la vitesse perd $10$ m/s chaque seconde. C'est l'effet de la pesanteur, qui freine la montée puis accélère la chute. ⚠️ À $t =$ $2$ , la vitesse est nulle, mais la balle est à $21, 5$ m : ne pas confondre la hauteur et la vitesse.
t (s) 0 1 2 3
v(t) (m/s) 20 10 0 −10

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : dériver un polynôme, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3