La fonction exponentielle x ↦ aˣ : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices sur les fonctions x ↦ aˣ : les reconnaître, calculer une image même pour un x non entier, utiliser les propriétés des puissances et l'exposant 1/n. Un rappel de cours avant chaque niveau, et une correction écrite étape par étape, avec ses courbes et ses tableaux.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. On applique, on écrit le résultat.

Rappel de cours

Une fonction exponentielle s'écrit $f (x) =$ $a^{x}$ , avec $a >$ $0$ : la base est FIXE, et c'est la variable $x$ qui est en exposant.
Pour un entier : $a^{3} = a \times a \times$ $a$ , et $a^{0} =$ $1$ . Pour $x$ non entier, $a^{x}$ se calcule à la calculatrice.
Propriétés (admises) : $a^{x + y} = a^{x} \times a^{y}$ et $a^{x - y} =$ $\frac{a ^{x}}{a ^{y}}$ .
$a^{\frac{1}{n}}$ est le nombre positif dont la puissance $n$ vaut $a$ . Par exemple $a^{\frac{1}{2}} =$ $a$ .

1
Parmi les fonctions suivantes, définies pour $x \geq$ $0$ , lesquelles sont des fonctions exponentielles ? $f (x) =$ $3^{x}$ ; $g (x) =$ $x^{3}$ ; $h (x) =$ $3 x$ ; $k (x) =$ $0, 5^{x}$ .
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Dans une fonction exponentielle, la base est un nombre fixe positif, et $x$ est en EXPOSANT. $f (x) =$ $3^{x}$ : oui, de base $3$ . $k (x) =$ $0, 5^{x}$ : oui, de base $0, 5$ . Une base entre $0$ et $1$ est permise. $g (x) =$ $x^{3}$ : non, c'est une fonction puissance. La variable est en BAS. $h (x) =$ $3 x$ : non, c'est une fonction linéaire. ⚠️ $3^{x}$ et $x^{3}$ se ressemblent, mais pour $x =$ $4$ : $3^{4} = 81$ et $4^{3} =$ $64$ . Sur le dessin, $3^{x}$ en bleu part de $1$ , $x^{3}$ en orange part de $0$ : deux fonctions différentes.
2
Soit $f (x) =$ $2^{x}$ . Calculer $f (0)$ , $f (3)$ et $f (5)$ .
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$f (0) = 2^{0} =$ $1$ . $f (3) = 2^{3} = 2 \times 2 \times 2 =$ $8$ . $f (5) = 2^{5} =$ $32$ . ⚠️ $f (0)$ ne vaut pas $0$ : toute fonction exponentielle vaut $1$ en $0$ . ⚠️ $2^{5}$ n'est pas $2 \times 5 =$ $10$ .
x 2ˣ
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
x 0 1 2 3 4 5
2ˣ 1 2 4 8 16 32
3
Soit $f (x) =$ $0, 5^{x}$ . Calculer $f (0)$ , $f (1)$ , $f (2)$ et $f (3)$ .
Voir la correction
$f (0) =$ $1$ ; $f (1) =$ $0, 5$ ; $f (2) = 0, 5 \times 0, 5 =$ $0, 25$ ; $f (3) =$ $0, 125$ . ⭐ Avec une base entre $0$ et $1$ , les valeurs DIMINUENT : chaque fois que $x$ augmente de $1$ , on prend la moitié. ⚠️ Elles restent strictement positives : $0, 5^{x}$ n'est jamais nul. Sur le dessin, la courbe de $0, 5^{x}$ descend vers l'axe sans le toucher.
4
Écrire $2^{3} \times 2^{4}$ sous la forme d'une seule puissance de $2$ , puis calculer.
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Même base : on ADDITIONNE les exposants. $2^{3} \times 2^{4} = 2^{3 + 4} =$ $2^{7}$ . $2^{7} =$ $128$ . ✔️ Vérification : $2^{3} \times 2^{4} = 8 \times 16 =$ $128$ . ⚠️ Pas $2^{12}$ : on n'additionne pas en multipliant les exposants. Et pas $4^{7}$ : la base ne change pas.
exposant 3 4 3 + 4 = 7
2 puissance 8 16 128
5
Sans calculatrice, calculer $5^{1, 5} \times$ $5^{0, 5}$ .
Voir la correction
Les exposants ne sont pas entiers, mais la propriété reste vraie : $5^{1, 5} \times 5^{0, 5} = 5^{1, 5 + 0, 5} = 5^{2} =$ $25$ . ⭐ Aucun des deux facteurs n'est « simple » ; leur produit, si. ✔️ À la calculatrice : $5^{1, 5} \approx 11, 18$ et $5^{0, 5} \approx$ $2, 236$ . Leur produit fait bien environ $25$ .
facteur 5 puissance 1,5 5 puissance 0,5 produit
valeur 11,18 2,236 25
6
Calculer, sans calculatrice : $9^{\frac{1}{2}}$ , $8^{\frac{1}{3}}$ et $1 6^{\frac{1}{4}}$ .
Voir la correction
$9^{\frac{1}{2}}$ est le nombre positif dont le carré vaut $9$ : c'est $3$ , car $3^{2} =$ $9$ . $8^{\frac{1}{3}}$ est le nombre positif dont le cube vaut $8$ : c'est $2$ , car $2^{3} =$ $8$ . $1 6^{\frac{1}{4}}$ est le nombre positif dont la puissance $4$ vaut $16$ : c'est $2$ , car $2^{4} =$ $16$ . ⚠️ $9^{\frac{1}{2}}$ n'est pas $\frac{9}{2} =$ $4, 5$ : l'exposant $\frac{1}{2}$ veut dire « racine carrée », pas « moitié ».
nombre 9 puissance 1/2 8 puissance 1/3 16 puissance 1/4
valeur 3 2 2
7
Soit $f (x) =$ $1, 5^{x}$ . Calculer $f (2)$ , puis, à la calculatrice, $f (2, 5)$ au centième.
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$f (2) = 1, 5^{2} =$ $2, 25$ . $f (2, 5) = 1, 5^{2, 5} \approx$ $2, 76$ . ⭐ $2, 5$ n'est pas un entier : on ne peut pas « multiplier $2, 5$ fois ». C'est la fonction exponentielle qui donne un sens à $1, 5^{2, 5}$ , entre $f (2) = 2, 25$ et $f (3) =$ $3, 375$ .
8
a) Calculer $2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{2}}$ avec la propriété $a^{x} \times a^{y} =$ $a^{x + y}$ . En déduire une autre écriture de $2^{\frac{1}{2}}$ . b) Calculer $4^{1, 5}$ sans calculatrice.
Voir la correction
a) $2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 2^{1} =$ $2$ . $2^{\frac{1}{2}}$ est donc le nombre positif dont le carré vaut $2$ : $2^{\frac{1}{2}} = 2 \approx$ $1, 414$ . b) $1, 5 = 1 +$ $0, 5$ , donc $4^{1, 5} = 4^{1} \times 4^{0, 5} = 4 \times 4 = 4 \times 2 =$ $8$ . ⚠️ $4^{1, 5}$ n'est pas $4 \times 1, 5 =$ $6$ .

x	2ˣ
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32

x	0	1	2	3	4	5
2ˣ	1	2	4	8	16	32

exposant	3	4	3 + 4 = 7
2 puissance	8	16	128

facteur	5 puissance 1,5	5 puissance 0,5	produit
valeur	11,18	2,236	25

nombre	9 puissance 1/2	8 puissance 1/3	16 puissance 1/4
valeur	3	2	2

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Écrire la fonction, calculer à la calculatrice, justifier avec les propriétés.

Rappel de cours

Une quantité qui augmente de $t$ % par an vaut, au bout de $x$ années, départ $\times (1 + \frac{t}{100})^{x}$ : même pour $x$ non entier.
$f (x + 1) = a \times$ $f (x)$ : quand $x$ augmente de $1$ , on multiplie par la base $a$ .
Un coefficient $C$ obtenu en $n$ périodes correspond à $C^{\frac{1}{n}}$ par période.
À la calculatrice, un exposant fraction s'écrit entre parenthèses.

9Des levures qui triplent
Dans une cuve, une population de levures est multipliée par $3$ toutes les heures (modèle). Au départ, on compte $1$ million de levures. Au bout de $x$ heures, il y en a $f (x) = 3^{x}$ millions. a) Compléter le tableau (au centième). b) Que signifie $f (1, 5)$ ? Tracer l'allure de la courbe de $f$ . c) Montrer, sans calculatrice, que $f (0, 5) =$ $3$ .
x (heures) 0 0,5 1 1,5 2
f(x) 1 ? 3 ? 9
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a) $f (0, 5) = 3^{0, 5} \approx 1, 73$ et $f (1, 5) = 3^{1, 5} \approx$ $5, 20$ . b) $f (1, 5) \approx$ $5, 20$ : au bout d'une heure et demie, il y a environ $5, 2$ millions de levures. On place les points du tableau et on les relie par une courbe : la fonction est définie pour tous les $x \geq$ $0$ , pas seulement pour les heures entières. c) $f (0, 5) \times f (0, 5) = 3^{0, 5 + 0, 5} = 3^{1} =$ $3$ : $f (0, 5)$ est le nombre positif dont le carré vaut $3$ , soit $3$ . ⚠️ En une demi-heure, les levures ne sont pas multipliées par $1, 5$ , la moitié de $3$ , mais par $3 \approx$ $1, 73$ .
10Le prix d'un abonnement
Un abonnement de transport coûte $600$ € par an aujourd'hui. On prévoit une hausse de $3$ % par an (modèle). a) Parmi $P (x) = 600 +$ $3 x$ , $P (x) = 600 \times 1, 0 3^{x}$ et $P (x) = 600 \times$ $3^{x}$ , quelle fonction donne le prix au bout de $x$ années ? b) Calculer $P (4)$ et $P (2, 5)$ au centime. Que représente $P (2, 5)$ ?
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a) $+ 3$ % par an, c'est multiplier par $1, 03$ chaque année : $P (x) = 600 \times$ $1, 0 3^{x}$ . $600 + 3 x$ ajoute $3$ €, pas $3$ %. $600 \times 3^{x}$ triplerait le prix chaque année. b) $P (4) = 600 \times 1, 0 3^{4} \approx 675, 31$ €. $P (2, 5) = 600 \times 1, 0 3^{2, 5} \approx 646, 02$ € : le prix au bout de deux ans et demi, si la hausse se fait progressivement au fil des mois. ⭐ Une suite ne donnait le prix qu'aux années entières ; la fonction le donne à tout moment.
année 0 1 2 2,5 3
prix (€) 600 618 636,54 646,02 655,64
11Un médicament dans le sang
Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang, en mg/L, est $C (x) = 20 \times$ $0, 7 5^{x}$ , où $x$ est le temps en heures (modèle). a) Calculer $C (0)$ , $C (1)$ et $C (2)$ . Interpréter $C (0)$ . b) Montrer que $C (x + 1) = 0, 75 \times$ $C (x)$ . Que signifie cette égalité ? c) Calculer $C (0, 5)$ au centième.
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a) $C (0) =$ $20$ : la concentration juste après l'injection, $20$ mg/L. $C (1) = 20 \times 0, 75 =$ $15$ ; $C (2) = 20 \times 0, 5625 =$ $11, 25$ . b) $C (x + 1) = 20 \times 0, 7 5^{x + 1} = 20 \times 0, 7 5^{x} \times 0, 75 = 0, 75 \times$ $C (x)$ . Chaque heure, la concentration est multipliée par $0, 75$ : elle baisse de $25$ % par heure. c) $C (0, 5) = 20 \times 0, 7 5^{0, 5} \approx 17, 32$ mg/L. ⚠️ En une demi-heure, elle ne baisse pas de $12, 5$ %, la moitié de $25$ % : $\frac{17 , 32}{20} \approx$ $0, 866$ , soit une baisse d'environ $13, 4$ %.
heures 0 0,5 1 2
C (mg/L) 20 17,32 15 11,25
12Une population qui double
En 1950, un pays compte $10$ millions d'habitants ; sa population augmente de $2$ % par an (modèle). Au bout de $x$ années, elle vaut $P (x) = 10 \times 1, 0 2^{x}$ millions. a) Calculer $P (35)$ au dixième. Que remarque-t-on ? b) Sans calculatrice, en écrivant $1, 0 2^{70} = 1, 0 2^{35} \times$ $1, 0 2^{35}$ , estimer $P (70)$ . En quelle année est-on ? c) Vérifier à la calculatrice.
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a) $P (35) = 10 \times 1, 0 2^{35} \approx 20, 0$ millions : la population a doublé en $35$ ans. b) $1, 0 2^{35} \approx$ $2$ , donc $1, 0 2^{70} = 1, 0 2^{35} \times 1, 0 2^{35} \approx 2 \times 2 =$ $4$ . $P (70) \approx 10 \times 4 = 40$ millions, en $1950 + 70 =$ $2020$ . c) $10 \times 1, 0 2^{70} \approx$ $40, 0$ . ✔️ ⭐ Doubler en $35$ ans, puis encore doubler en $35$ ans : on a multiplié par $4$ , pas par $3$ . ⚠️ $2$ % par an pendant $70$ ans ne font pas $140$ % : c'est environ $300$ % de hausse.
13Une chaîne vidéo de trail
Les abonnés d'une chaîne vidéo consacrée au trail doublent tous les $4$ mois (modèle). On cherche le coefficient multiplicateur MENSUEL $a$ , supposé constant. a) Expliquer pourquoi $a^{4} =$ $2$ . En déduire $a =$ $2^{\frac{1}{4}}$ , et en donner une valeur approchée au millième. b) Quel est le taux d'évolution mensuel ? c) Un fan pense : « Ils doublent en $4$ mois, donc c'est $+ 25$ % par mois. » Qu'en penser ?
Voir la correction
a) En $4$ mois, on multiplie $4$ fois par $a$ : $a \times a \times a \times a =$ $a^{4}$ . Ce coefficient vaut $2$ : $a^{4} =$ $2$ . $a$ est le nombre positif dont la puissance $4$ vaut $2$ : $a = 2^{\frac{1}{4}} \approx$ $1, 189$ . b) $1, 189 = 1 +$ $0, 189$ : environ $+ 18, 9$ % par mois. c) $1, 2 5^{4} \approx$ $2, 44$ : avec $+ 25$ % par mois, on ferait bien plus que doubler. ⚠️ Diviser $100$ % par $4$ ne donne pas le taux mensuel : les hausses se multiplient. Sur le tableau, avec $1000$ abonnés au départ : ils doublent tous les $4$ mois.
mois 0 4 8 12
abonnés 1000 2000 4000 8000
14Des pucerons sur un rosier
Le tableau donne le nombre de pucerons sur un rosier, en milliers, en fonction du temps $x$ en semaines (modèle). a) Montrer qu'on peut modéliser ce nombre par $f (x) = 5 \times$ $3^{x}$ . b) Calculer $f (0, 5)$ au dixième. Interpréter. c) Que vaudrait $f (4)$ ? Pourquoi le jardinier a-t-il intérêt à agir vite ?
x (semaines) 0 1 2 3
pucerons (milliers) 5 15 45 135
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a) $f (0) = 5 \times 3^{0} =$ $5$ ; $f (1) =$ $15$ ; $f (2) = 5 \times 9 =$ $45$ ; $f (3) = 5 \times 27 =$ $135$ : ce sont les valeurs du tableau. On passe d'une semaine à la suivante en multipliant par $3$ : c'est bien une exponentielle de base $3$ . b) $f (0, 5) = 5 \times 3^{0, 5} = 53 \approx 8, 7$ milliers, soit environ $8660$ pucerons au bout d'une demi-semaine. ⚠️ À la demi-semaine, on n'est pas « à mi-chemin » entre $5$ et $15$ , soit $10$ : on a multiplié par $3 \approx$ $1, 73$ . c) $f (4) = 5 \times 81 = 405$ milliers de pucerons. Chaque semaine d'attente TRIPLE le problème.
15Un lac qui se dépollue
Après la fermeture d'une usine, la concentration d'un polluant dans un lac diminue de $10$ % par an (modèle). Elle vaut $C (x) = 80 \times 0, 9^{x}$ microgrammes par litre au bout de $x$ années. a) Calculer $C (2)$ et $C (5)$ au dixième. b) Montrer que $C (x + 2) = 0, 81 \times$ $C (x)$ . Que signifie cette égalité ? c) Calculer $C (0, 5)$ au dixième. La concentration a-t-elle baissé de $5$ % en six mois ?
Voir la correction
a) $C (2) = 80 \times 0, 81 =$ $64, 8$ ; $C (5) = 80 \times 0, 9^{5} \approx 47, 2$ µg/L. b) $C (x + 2) = 80 \times 0, 9^{x + 2} = 80 \times 0, 9^{x} \times 0, 9^{2} = 0, 81 \times$ $C (x)$ . En deux ans, quelle que soit la date de départ, la concentration baisse de $19$ %. ⚠️ Pas de $20$ % : $0, 9 \times 0, 9 =$ $0, 81$ . c) $C (0, 5) = 80 \times 0, 9^{0, 5} \approx 75, 9$ µg/L. $\frac{75 , 9}{80} \approx$ $0, 949$ : une baisse d'environ $5, 1$ %, un peu plus que $5$ %. Sur le dessin, la concentration est en dizaines de µg/L.
16Un loyer sur vingt ans
Un loyer augmente de $3$ % par an (modèle) : au bout de $x$ années, il est multiplié par $1, 0 3^{x}$ . On donne $1, 0 3^{10} \approx$ $1, 344$ . a) Sans calculer $1, 0 3^{20}$ directement, l'estimer grâce à une propriété. b) Un loyer vaut $700$ € en 2025. L'estimer en 2045. c) Vérifier à la calculatrice.
Voir la correction
a) $1, 0 3^{20} = 1, 0 3^{10 + 10} = 1, 0 3^{10} \times 1, 0 3^{10} \approx 1, 344 \times 1, 344 \approx$ $1, 806$ . b) 2045, c'est $20$ ans plus tard : $700 \times 1, 806 \approx 1264$ €. c) $1, 0 3^{20} \approx$ $1, 806$ . ✔️ ⚠️ Doubler l'exposant ne double pas le coefficient : $1, 806$ n'est pas $2 \times 1, 344 =$ $2, 688$ .

x (heures)	0	0,5	1	1,5	2
f(x)	1	?	3	?	9

année	0	1	2	2,5	3
prix (€)	600	618	636,54	646,02	655,64

heures	0	0,5	1	2
C (mg/L)	20	17,32	15	11,25

mois	0	4	8	12
abonnés	1000	2000	4000	8000

x (semaines)	0	1	2	3
pucerons (milliers)	5	15	45	135

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Un problème complet, avec ses questions qui s'enchaînent. Calculatrice autorisée.

Rappel de cours

On écrit la fonction : valeur de départ $\times$ base $^{x}$ .
Pour $x$ non entier, la calculatrice ; pour relier deux dates, la propriété $a^{x + y} = a^{x} \times$ $a^{y}$ .
Un coefficient $C$ obtenu en $n$ périodes correspond à $C^{\frac{1}{n}}$ par période : on ne divise pas le taux par $n$ .

17Un taux par mois
Une banque affiche un placement à $4$ % par an. On cherche le taux MENSUEL équivalent : celui qui, appliqué $12$ fois, donne $+ 4$ %. a) Soit $a$ le coefficient mensuel. Justifier que $a^{12} =$ $1, 04$ , puis que $a =$ $1, 0 4^{\frac{1}{12}}$ . b) Calculer $a$ à $0, 00001$ près. Quel est le taux mensuel, en % ? c) Un client pense que le taux mensuel est de $\frac{4}{12}$ %. Que donneraient $12$ mois à ce taux ? d) Pour $10000$ € placés, quel capital au bout de $18$ mois ?
Voir la correction
a) Douze mois de suite, on multiplie par $a$ : $a^{12}$ . Ce coefficient doit être celui de l'année, $1, 04$ . $a$ est le nombre positif dont la puissance $12$ vaut $1, 04$ : $a =$ $1, 0 4^{\frac{1}{12}}$ . b) $a \approx$ $1, 00327$ : un taux mensuel d'environ $0, 327$ %. c) $\frac{4}{12} \approx 0, 333$ % par mois : $1, 0033 3^{12} \approx$ $1, 0407$ , soit environ $+ 4, 07$ % sur l'année. C'est un peu trop. ⚠️ Diviser le taux annuel par $12$ surestime : les hausses mensuelles se multiplient, elles ne s'additionnent pas. d) $18$ mois, c'est $1, 5$ an : $10000 \times 1, 0 4^{1, 5} \approx 10605, 96$ €. ⭐ Avec les mois, on trouve la même chose : $a^{18} = a^{12} \times$ $a^{6}$ , soit $1, 04 \times$ $1, 0 4^{0, 5}$ .
mois 0 6 12 18
capital (€) 10000 10198,04 10400 10605,96
18Un écran de plomb
Un rayonnement traverse une plaque de plomb. On admet (modèle) que chaque centimètre de plomb laisse passer la moitié du rayonnement qui l'atteint : la fraction qui traverse une épaisseur de $x$ cm est $f (x) =$ $0, 5^{x}$ . a) De quel type de fonction s'agit-il ? Calculer $f (1)$ , $f (2)$ et $f (3)$ . b) En utilisant $f (0, 5) \times f (0, 5) =$ $f (1)$ , calculer $f (0, 5)$ au millième. Un demi-centimètre arrête-t-il un quart du rayonnement ? c) En déduire $f (1, 5)$ sans calculatrice, puis vérifier. d) Tracer l'allure de la courbe de $f$ sur l'intervalle $[0; 4]$ .
Voir la correction
a) C'est une fonction exponentielle, de base $0, 5$ . $f (1) =$ $0, 5$ ; $f (2) =$ $0, 25$ ; $f (3) =$ $0, 125$ . b) $f (0, 5) \times f (0, 5) =$ $0, 5$ : $f (0, 5) = 0, 5 \approx$ $0, 707$ . Un demi-centimètre laisse passer environ $70, 7$ % du rayonnement : il en arrête environ $29, 3$ %, plus qu'un quart. ⚠️ Le « bon sens » dirait : un demi-centimètre fait la moitié de l'effet, donc $75$ % passent. C'est faux : l'effet se MULTIPLIE, il ne se partage pas. c) $f (1, 5) = f (1) \times f (0, 5) \approx 0, 5 \times 0, 707 \approx$ $0, 354$ . La calculatrice donne $0, 5^{1, 5} \approx$ $0, 354$ . ✔️ d) Sur le dessin, les fractions sont en dixièmes : la courbe part de $10$ , passe par $5$ en $x =$ $1$ , et descend de moins en moins vite.
19Le yaourt maison
Pour faire du yaourt, on ajoute des bactéries au lait. Dans ce modèle, leur nombre est multiplié par $8$ en $3$ heures, toujours au même rythme. Au départ, on en compte $1$ million par mL. a) Soit $a$ le coefficient multiplicateur horaire. Justifier que $a^{3} = 8$ et en déduire $a$ . b) On note $N (x) = a^{x}$ le nombre de bactéries, en millions par mL, au bout de $x$ heures. Calculer $N (0, 5)$ et $N (2, 5)$ au centième. c) Montrer que $N (x + 1) = 2 \times N (x)$ et interpréter. d) Au bout de combien de temps y a-t-il $4$ millions de bactéries par mL ? $32$ millions ?
Voir la correction
a) En $3$ heures, on multiplie trois fois par $a$ : $a^{3} =$ $8$ . Donc $a = 8^{\frac{1}{3}} =$ $2$ , car $2^{3} =$ $8$ . b) $N (x) =$ $2^{x}$ . $N (0, 5) = 2 \approx 1, 41$ et $N (2, 5) = 2^{2} \times 2^{0, 5} = 42 \approx 5, 66$ millions par mL. c) $N (x + 1) = 2^{x + 1} = 2^{x} \times 2 = 2 \times$ $N (x)$ : le nombre de bactéries double chaque heure. d) $2^{2} =$ $4$ : au bout de $2$ heures. $2^{5} =$ $32$ : au bout de $5$ heures. ⚠️ En $3$ heures, on multiplie par $8$ , mais pas par $\frac{8}{3}$ chaque heure : $(\frac{8}{3})^{3} \approx$ $19$ , bien trop.
20Un village qui se vide
Au XXe siècle, l'exode rural vide de nombreux villages. Un village compte $1200$ habitants en 1950 ; on modélise sa population, $x$ années après 1950, par $P (x) = 1200 \times$ $0, 9 8^{x}$ . a) Quelle évolution annuelle ce modèle traduit-il ? b) Calculer $P (10)$ , $P (30)$ et $P (50)$ à l'unité. À quelles années correspondent-ils ? c) Montrer que $P (x + 10) \approx 0, 817 \times$ $P (x)$ . Que perd le village à chaque décennie ? d) Le maire dit : « Nous perdons $2$ % par an : en $50$ ans, cela fait $100$ %, il ne restera personne. » A-t-il raison ?
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a) $0, 98 = 1 -$ $0, 02$ : la population baisse de $2$ % par an. b) $P (10) \approx 980$ (en 1960) ; $P (30) \approx 655$ (en 1980) ; $P (50) \approx 437$ habitants (en 2000). c) $P (x + 10) = 1200 \times 0, 9 8^{x} \times 0, 9 8^{10} = 0, 9 8^{10} \times$ $P (x)$ , et $0, 9 8^{10} \approx$ $0, 817$ . À chaque décennie, le village perd environ $18, 3$ % de ses habitants. d) Non. $\frac{P ( 50 )}{1 200} = 0, 9 8^{50} \approx$ $0, 364$ : il reste environ $36$ % des habitants. ⚠️ Les pourcentages de baisse ne s'additionnent pas : chaque année, on perd $2$ % de ce qui RESTE. Dans le modèle, la population ne tombe jamais à $0$ .

mois	0	6	12	18
capital (€)	10000	10198,04	10400	10605,96

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : la fonction exponentielle x ↦ aˣ, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. Dans une fonction exponentielle, la base est un nombre fixe positif, et $x$ est en EXPOSANT. $f (x) =$ $3^{x}$ : oui, de base $3$ . $k (x) =$ $0, 5^{x}$ : oui, de base $0, 5$ . Une base entre $0$ et $1$ est permise. $g (x) =$ $x^{3}$ : non, c'est une fonction puissance. La variable est en BAS. $h (x) =$ $3 x$ : non, c'est une fonction linéaire. ⚠️ $3^{x}$ et $x^{3}$ se ressemblent, mais pour $x =$ $4$ : $3^{4} = 81$ et $4^{3} =$ $64$ . Sur le dessin, $3^{x}$ en bleu part de $1$ , $x^{3}$ en orange part de $0$ : deux fonctions différentes.
2. $f (0) = 2^{0} =$ $1$ . $f (3) = 2^{3} = 2 \times 2 \times 2 =$ $8$ . $f (5) = 2^{5} =$ $32$ . ⚠️ $f (0)$ ne vaut pas $0$ : toute fonction exponentielle vaut $1$ en $0$ . ⚠️ $2^{5}$ n'est pas $2 \times 5 =$ $10$ .
x 2ˣ
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
x 0 1 2 3 4 5
2ˣ 1 2 4 8 16 32
3. $f (0) =$ $1$ ; $f (1) =$ $0, 5$ ; $f (2) = 0, 5 \times 0, 5 =$ $0, 25$ ; $f (3) =$ $0, 125$ . ⭐ Avec une base entre $0$ et $1$ , les valeurs DIMINUENT : chaque fois que $x$ augmente de $1$ , on prend la moitié. ⚠️ Elles restent strictement positives : $0, 5^{x}$ n'est jamais nul. Sur le dessin, la courbe de $0, 5^{x}$ descend vers l'axe sans le toucher.
4. Même base : on ADDITIONNE les exposants. $2^{3} \times 2^{4} = 2^{3 + 4} =$ $2^{7}$ . $2^{7} =$ $128$ . ✔️ Vérification : $2^{3} \times 2^{4} = 8 \times 16 =$ $128$ . ⚠️ Pas $2^{12}$ : on n'additionne pas en multipliant les exposants. Et pas $4^{7}$ : la base ne change pas.
exposant 3 4 3 + 4 = 7
2 puissance 8 16 128
5. Les exposants ne sont pas entiers, mais la propriété reste vraie : $5^{1, 5} \times 5^{0, 5} = 5^{1, 5 + 0, 5} = 5^{2} =$ $25$ . ⭐ Aucun des deux facteurs n'est « simple » ; leur produit, si. ✔️ À la calculatrice : $5^{1, 5} \approx 11, 18$ et $5^{0, 5} \approx$ $2, 236$ . Leur produit fait bien environ $25$ .
facteur 5 puissance 1,5 5 puissance 0,5 produit
valeur 11,18 2,236 25
6. $9^{\frac{1}{2}}$ est le nombre positif dont le carré vaut $9$ : c'est $3$ , car $3^{2} =$ $9$ . $8^{\frac{1}{3}}$ est le nombre positif dont le cube vaut $8$ : c'est $2$ , car $2^{3} =$ $8$ . $1 6^{\frac{1}{4}}$ est le nombre positif dont la puissance $4$ vaut $16$ : c'est $2$ , car $2^{4} =$ $16$ . ⚠️ $9^{\frac{1}{2}}$ n'est pas $\frac{9}{2} =$ $4, 5$ : l'exposant $\frac{1}{2}$ veut dire « racine carrée », pas « moitié ».
nombre 9 puissance 1/2 8 puissance 1/3 16 puissance 1/4
valeur 3 2 2
7. $f (2) = 1, 5^{2} =$ $2, 25$ . $f (2, 5) = 1, 5^{2, 5} \approx$ $2, 76$ . ⭐ $2, 5$ n'est pas un entier : on ne peut pas « multiplier $2, 5$ fois ». C'est la fonction exponentielle qui donne un sens à $1, 5^{2, 5}$ , entre $f (2) = 2, 25$ et $f (3) =$ $3, 375$ .
8. a) $2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 2^{1} =$ $2$ . $2^{\frac{1}{2}}$ est donc le nombre positif dont le carré vaut $2$ : $2^{\frac{1}{2}} = 2 \approx$ $1, 414$ . b) $1, 5 = 1 +$ $0, 5$ , donc $4^{1, 5} = 4^{1} \times 4^{0, 5} = 4 \times 4 = 4 \times 2 =$ $8$ . ⚠️ $4^{1, 5}$ n'est pas $4 \times 1, 5 =$ $6$ .
9. Des levures qui triplent a) $f (0, 5) = 3^{0, 5} \approx 1, 73$ et $f (1, 5) = 3^{1, 5} \approx$ $5, 20$ . b) $f (1, 5) \approx$ $5, 20$ : au bout d'une heure et demie, il y a environ $5, 2$ millions de levures. On place les points du tableau et on les relie par une courbe : la fonction est définie pour tous les $x \geq$ $0$ , pas seulement pour les heures entières. c) $f (0, 5) \times f (0, 5) = 3^{0, 5 + 0, 5} = 3^{1} =$ $3$ : $f (0, 5)$ est le nombre positif dont le carré vaut $3$ , soit $3$ . ⚠️ En une demi-heure, les levures ne sont pas multipliées par $1, 5$ , la moitié de $3$ , mais par $3 \approx$ $1, 73$ .
10. Le prix d'un abonnement a) $+ 3$ % par an, c'est multiplier par $1, 03$ chaque année : $P (x) = 600 \times$ $1, 0 3^{x}$ . $600 + 3 x$ ajoute $3$ €, pas $3$ %. $600 \times 3^{x}$ triplerait le prix chaque année. b) $P (4) = 600 \times 1, 0 3^{4} \approx 675, 31$ €. $P (2, 5) = 600 \times 1, 0 3^{2, 5} \approx 646, 02$ € : le prix au bout de deux ans et demi, si la hausse se fait progressivement au fil des mois. ⭐ Une suite ne donnait le prix qu'aux années entières ; la fonction le donne à tout moment.
année 0 1 2 2,5 3
prix (€) 600 618 636,54 646,02 655,64
11. Un médicament dans le sang a) $C (0) =$ $20$ : la concentration juste après l'injection, $20$ mg/L. $C (1) = 20 \times 0, 75 =$ $15$ ; $C (2) = 20 \times 0, 5625 =$ $11, 25$ . b) $C (x + 1) = 20 \times 0, 7 5^{x + 1} = 20 \times 0, 7 5^{x} \times 0, 75 = 0, 75 \times$ $C (x)$ . Chaque heure, la concentration est multipliée par $0, 75$ : elle baisse de $25$ % par heure. c) $C (0, 5) = 20 \times 0, 7 5^{0, 5} \approx 17, 32$ mg/L. ⚠️ En une demi-heure, elle ne baisse pas de $12, 5$ %, la moitié de $25$ % : $\frac{17 , 32}{20} \approx$ $0, 866$ , soit une baisse d'environ $13, 4$ %.
heures 0 0,5 1 2
C (mg/L) 20 17,32 15 11,25
12. Une population qui double a) $P (35) = 10 \times 1, 0 2^{35} \approx 20, 0$ millions : la population a doublé en $35$ ans. b) $1, 0 2^{35} \approx$ $2$ , donc $1, 0 2^{70} = 1, 0 2^{35} \times 1, 0 2^{35} \approx 2 \times 2 =$ $4$ . $P (70) \approx 10 \times 4 = 40$ millions, en $1950 + 70 =$ $2020$ . c) $10 \times 1, 0 2^{70} \approx$ $40, 0$ . ✔️ ⭐ Doubler en $35$ ans, puis encore doubler en $35$ ans : on a multiplié par $4$ , pas par $3$ . ⚠️ $2$ % par an pendant $70$ ans ne font pas $140$ % : c'est environ $300$ % de hausse.
13. Une chaîne vidéo de trail a) En $4$ mois, on multiplie $4$ fois par $a$ : $a \times a \times a \times a =$ $a^{4}$ . Ce coefficient vaut $2$ : $a^{4} =$ $2$ . $a$ est le nombre positif dont la puissance $4$ vaut $2$ : $a = 2^{\frac{1}{4}} \approx$ $1, 189$ . b) $1, 189 = 1 +$ $0, 189$ : environ $+ 18, 9$ % par mois. c) $1, 2 5^{4} \approx$ $2, 44$ : avec $+ 25$ % par mois, on ferait bien plus que doubler. ⚠️ Diviser $100$ % par $4$ ne donne pas le taux mensuel : les hausses se multiplient. Sur le tableau, avec $1000$ abonnés au départ : ils doublent tous les $4$ mois.
mois 0 4 8 12
abonnés 1000 2000 4000 8000
14. Des pucerons sur un rosier a) $f (0) = 5 \times 3^{0} =$ $5$ ; $f (1) =$ $15$ ; $f (2) = 5 \times 9 =$ $45$ ; $f (3) = 5 \times 27 =$ $135$ : ce sont les valeurs du tableau. On passe d'une semaine à la suivante en multipliant par $3$ : c'est bien une exponentielle de base $3$ . b) $f (0, 5) = 5 \times 3^{0, 5} = 53 \approx 8, 7$ milliers, soit environ $8660$ pucerons au bout d'une demi-semaine. ⚠️ À la demi-semaine, on n'est pas « à mi-chemin » entre $5$ et $15$ , soit $10$ : on a multiplié par $3 \approx$ $1, 73$ . c) $f (4) = 5 \times 81 = 405$ milliers de pucerons. Chaque semaine d'attente TRIPLE le problème.
15. Un lac qui se dépollue a) $C (2) = 80 \times 0, 81 =$ $64, 8$ ; $C (5) = 80 \times 0, 9^{5} \approx 47, 2$ µg/L. b) $C (x + 2) = 80 \times 0, 9^{x + 2} = 80 \times 0, 9^{x} \times 0, 9^{2} = 0, 81 \times$ $C (x)$ . En deux ans, quelle que soit la date de départ, la concentration baisse de $19$ %. ⚠️ Pas de $20$ % : $0, 9 \times 0, 9 =$ $0, 81$ . c) $C (0, 5) = 80 \times 0, 9^{0, 5} \approx 75, 9$ µg/L. $\frac{75 , 9}{80} \approx$ $0, 949$ : une baisse d'environ $5, 1$ %, un peu plus que $5$ %. Sur le dessin, la concentration est en dizaines de µg/L.
16. Un loyer sur vingt ans a) $1, 0 3^{20} = 1, 0 3^{10 + 10} = 1, 0 3^{10} \times 1, 0 3^{10} \approx 1, 344 \times 1, 344 \approx$ $1, 806$ . b) 2045, c'est $20$ ans plus tard : $700 \times 1, 806 \approx 1264$ €. c) $1, 0 3^{20} \approx$ $1, 806$ . ✔️ ⚠️ Doubler l'exposant ne double pas le coefficient : $1, 806$ n'est pas $2 \times 1, 344 =$ $2, 688$ .
17. Un taux par mois a) Douze mois de suite, on multiplie par $a$ : $a^{12}$ . Ce coefficient doit être celui de l'année, $1, 04$ . $a$ est le nombre positif dont la puissance $12$ vaut $1, 04$ : $a =$ $1, 0 4^{\frac{1}{12}}$ . b) $a \approx$ $1, 00327$ : un taux mensuel d'environ $0, 327$ %. c) $\frac{4}{12} \approx 0, 333$ % par mois : $1, 0033 3^{12} \approx$ $1, 0407$ , soit environ $+ 4, 07$ % sur l'année. C'est un peu trop. ⚠️ Diviser le taux annuel par $12$ surestime : les hausses mensuelles se multiplient, elles ne s'additionnent pas. d) $18$ mois, c'est $1, 5$ an : $10000 \times 1, 0 4^{1, 5} \approx 10605, 96$ €. ⭐ Avec les mois, on trouve la même chose : $a^{18} = a^{12} \times$ $a^{6}$ , soit $1, 04 \times$ $1, 0 4^{0, 5}$ .
mois 0 6 12 18
capital (€) 10000 10198,04 10400 10605,96
18. Un écran de plomb a) C'est une fonction exponentielle, de base $0, 5$ . $f (1) =$ $0, 5$ ; $f (2) =$ $0, 25$ ; $f (3) =$ $0, 125$ . b) $f (0, 5) \times f (0, 5) =$ $0, 5$ : $f (0, 5) = 0, 5 \approx$ $0, 707$ . Un demi-centimètre laisse passer environ $70, 7$ % du rayonnement : il en arrête environ $29, 3$ %, plus qu'un quart. ⚠️ Le « bon sens » dirait : un demi-centimètre fait la moitié de l'effet, donc $75$ % passent. C'est faux : l'effet se MULTIPLIE, il ne se partage pas. c) $f (1, 5) = f (1) \times f (0, 5) \approx 0, 5 \times 0, 707 \approx$ $0, 354$ . La calculatrice donne $0, 5^{1, 5} \approx$ $0, 354$ . ✔️ d) Sur le dessin, les fractions sont en dixièmes : la courbe part de $10$ , passe par $5$ en $x =$ $1$ , et descend de moins en moins vite.
19. Le yaourt maison a) En $3$ heures, on multiplie trois fois par $a$ : $a^{3} =$ $8$ . Donc $a = 8^{\frac{1}{3}} =$ $2$ , car $2^{3} =$ $8$ . b) $N (x) =$ $2^{x}$ . $N (0, 5) = 2 \approx 1, 41$ et $N (2, 5) = 2^{2} \times 2^{0, 5} = 42 \approx 5, 66$ millions par mL. c) $N (x + 1) = 2^{x + 1} = 2^{x} \times 2 = 2 \times$ $N (x)$ : le nombre de bactéries double chaque heure. d) $2^{2} =$ $4$ : au bout de $2$ heures. $2^{5} =$ $32$ : au bout de $5$ heures. ⚠️ En $3$ heures, on multiplie par $8$ , mais pas par $\frac{8}{3}$ chaque heure : $(\frac{8}{3})^{3} \approx$ $19$ , bien trop.
20. Un village qui se vide a) $0, 98 = 1 -$ $0, 02$ : la population baisse de $2$ % par an. b) $P (10) \approx 980$ (en 1960) ; $P (30) \approx 655$ (en 1980) ; $P (50) \approx 437$ habitants (en 2000). c) $P (x + 10) = 1200 \times 0, 9 8^{x} \times 0, 9 8^{10} = 0, 9 8^{10} \times$ $P (x)$ , et $0, 9 8^{10} \approx$ $0, 817$ . À chaque décennie, le village perd environ $18, 3$ % de ses habitants. d) Non. $\frac{P ( 50 )}{1 200} = 0, 9 8^{50} \approx$ $0, 364$ : il reste environ $36$ % des habitants. ⚠️ Les pourcentages de baisse ne s'additionnent pas : chaque année, on perd $2$ % de ce qui RESTE. Dans le modèle, la population ne tombe jamais à $0$ .

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : la fonction exponentielle x ↦ aˣ, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3