Fonction exponentielle : variations et courbe : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices pour lire la courbe d'une fonction x ↦ aˣ, trouver son sens de variation d'après sa base, et voir comment elle prolonge une suite géométrique. Des courbes à lire dans presque chaque énoncé, un rappel de cours avant chaque niveau, et une correction écrite étape par étape.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. On applique, on écrit le résultat.

Rappel de cours

$f (x) =$ $a^{x}$ , avec $a > 0$ et $x \geq$ $0$ . Si $a >$ $1$ , $f$ est croissante ; si $0 < a <$ $1$ , $f$ est décroissante ; si $a =$ $1$ , $f$ est constante.
Toutes ces courbes passent par le point $(0; 1)$ , car $a^{0} =$ $1$ . Et $a^{x} >$ $0$ : la courbe reste au-dessus de l'axe des abscisses.
La fonction $x \mapsto a^{x}$ PROLONGE la suite géométrique $u_{n} =$ $a^{n}$ : mêmes valeurs aux entiers, et des valeurs entre eux.

1
Donner le sens de variation, pour $x \geq$ $0$ , de $f (x) =$ $1, 8^{x}$ , de $g (x) = 0, 7^{x}$ et de $h (x) =$ $1^{x}$ .
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On compare la base à $1$ . $1, 8 >$ $1$ : $f$ est croissante. $0 < 0, 7 <$ $1$ : $g$ est décroissante. $1^{x} = 1$ pour tout $x$ : $h$ est constante. ⚠️ $g$ décroît, mais reste strictement positive : $0, 7^{x}$ n'atteint jamais $0$ . Sur le dessin : $f$ en bleu monte, $g$ en orange descend, $h$ en vert reste à $1$ .
2
Dresser le tableau de variations de $f (x) = 2^{x}$ sur l'intervalle $[0; 3]$ .
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$2 >$ $1$ : $f$ est croissante sur $[0; 3]$ . Aux bornes : $f (0) = 2^{0} = 1$ et $f (3) = 2^{3} =$ $8$ . Le tableau a une seule flèche, qui monte de $1$ à $8$ . ⚠️ $f (0) =$ $1$ , pas $0$ .
3
La courbe ci-dessous est celle de $f (x) = 2^{x}$ sur $[0; 3]$ . a) Lire $f (2)$ . b) Lire une valeur approchée de $f (1, 5)$ , puis la calculer au centième. c) Lire l'antécédent de $4$ par $f$ .
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a) Le point d'abscisse $2$ a pour ordonnée $4$ : $f (2) =$ $4$ . b) Au-dessus de $1, 5$ , la courbe est un peu en dessous de $3$ : on lit environ $2, 8$ . Le calcul donne $2^{1, 5} \approx$ $2, 83$ . c) On part de $4$ sur l'axe vertical, on rejoint la courbe, on descend : l'antécédent est $2$ . ⭐ Une lecture graphique donne une VALEUR APPROCHÉE ; le calcul la précise.
4
Le repère montre les courbes de $f (x) = 1, 5^{x}$ et de $g (x) = 0, 5^{x}$ sur $[0; 4]$ . Laquelle est la bleue ? Justifier sans calcul.
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$1, 5 >$ $1$ : $f$ est croissante. $0 < 0, 5 <$ $1$ : $g$ est décroissante. La courbe bleue monte : c'est celle de $f$ . L'orange descend : c'est celle de $g$ . ⭐ Les deux se croisent en $(0; 1)$ : $1, 5^{0} = 0, 5^{0} =$ $1$ . ⚠️ L'orange s'approche de l'axe des abscisses sans jamais le toucher.
5
a) Justifier que les courbes de toutes les fonctions $x \mapsto a^{x}$ passent par un même point. b) Pour $x >$ $0$ , lequel est le plus grand : $2^{x}$ ou $3^{x}$ ? Vérifier pour $x =$ $2$ .
Voir la correction
a) $a^{0} = 1$ pour tout $a >$ $0$ : toutes les courbes passent par le point $(0; 1)$ . b) Pour $x >$ $0$ , plus la base est grande, plus $a^{x}$ est grand : $3^{x} >$ $2^{x}$ . Pour $x =$ $2$ : $3^{2} = 9$ et $2^{2} =$ $4$ . ⚠️ En $x =$ $0$ , les deux valent $1$ : l'écart n'apparaît qu'ensuite. Sur le dessin, $3^{x}$ en bleu, $2^{x}$ en orange.
6
On considère la suite $u_{n} = 2^{n}$ et la fonction $f (x) =$ $2^{x}$ . a) Comparer $u_{3}$ et $f (3)$ . b) Calculer $f (2, 5)$ au centième. Entre quels termes de la suite se trouve-t-il ? c) Que sait calculer la fonction, que la suite ne sait pas calculer ?
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a) $u_{3} = 2^{3} = 8$ et $f (3) = 2^{3} =$ $8$ : les mêmes. Aux entiers, la fonction et la suite coïncident. b) $f (2, 5) = 2^{2, 5} \approx$ $5, 66$ : entre $u_{2} = 4$ et $u_{3} =$ $8$ . c) La suite n'a de valeur qu'aux rangs entiers ; la fonction en a une pour tout $x \geq$ $0$ : elle PROLONGE la suite. ⚠️ $f (2, 5)$ n'est pas la moyenne de $4$ et $8$ , soit $6$ : entre deux points, la courbe n'est pas une droite. Sur le dessin, les points rouges des rangs entiers sont ceux de la suite ; le point d'abscisse $2, 5$ n'existe que pour la fonction.
7
Sans calculatrice, comparer : a) $0, 8^{2, 5}$ et $0, 8^{3}$ ; b) $1, 2^{1, 5}$ et $1, 2^{2}$ .
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a) $x \mapsto 0, 8^{x}$ est décroissante, car $0, 8 <$ $1$ . Comme $2, 5 <$ $3$ , les images sont rangées dans l'ordre CONTRAIRE : $0, 8^{2, 5} >$ $0, 8^{3}$ . b) $x \mapsto 1, 2^{x}$ est croissante, car $1, 2 >$ $1$ . Comme $1, 5 <$ $2$ : $1, 2^{1, 5} <$ $1, 2^{2}$ . ✔️ À la calculatrice : $0, 8^{2, 5} \approx 0, 572$ et $0, 8^{3} =$ $0, 512$ ; $1, 2^{1, 5} \approx 1, 315$ et $1, 2^{2} =$ $1, 44$ . Sur le dessin : $0, 8^{x}$ en orange descend, donc le point en $2, 5$ est plus haut que celui en $3$ ; $1, 2^{x}$ en bleu monte, donc le point en $1, 5$ est plus bas que celui en $2$ .
8
On considère la suite géométrique $v_{n} = 3 \times$ $0, 5^{n}$ . a) Quelle fonction prolonge cette suite ? b) Calculer $f (1, 5)$ au centième. Où se trouve ce point par rapport aux points de la suite ? c) Cette fonction est-elle croissante ou décroissante ?
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a) $f (x) = 3 \times$ $0, 5^{x}$ , pour $x \geq$ $0$ : elle prend les mêmes valeurs que la suite aux entiers. b) $f (1, 5) = 3 \times 0, 5^{1, 5} \approx$ $1, 06$ : le point $(1, 5; 1, 06)$ est sur la courbe, entre les points de rangs $1$ et $2$ . c) $0 < 0, 5 < 1$ et $3 >$ $0$ : $f$ est décroissante, comme la suite. Sur le dessin, les points rouges sont ceux de la suite, et la courbe les relie.

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Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Lire sur la courbe, puis vérifier par le calcul, et conclure par une phrase.

Rappel de cours

Lire $f (a)$ : on part de $a$ sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe, on lit l'ordonnée.
Résoudre $f (x) =$ $k$ : on part de $k$ sur l'axe vertical, on va jusqu'à la courbe, on lit l'abscisse. C'est une valeur approchée.
Base plus grande que $1$ : la courbe monte de plus en plus vite. Base entre $0$ et $1$ : elle descend de moins en moins vite, sans toucher l'axe.

9La valeur d'une voiture
Une voiture neuve vaut $12000$ €. Sa valeur, en milliers d'euros, au bout de $x$ années, est $V (x) = 12 \times 0, 8^{x}$ (modèle), représentée ci-dessous. a) Quel est le sens de variation de $V$ ? Justifier avec la base. b) Lire $V (2)$ , puis le calculer. c) Au bout de combien de temps la voiture a-t-elle perdu la moitié de sa valeur ? Lire une valeur approchée. d) Vaudra-t-elle un jour $0$ € selon ce modèle ?
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a) $0 < 0, 8 <$ $1$ : $V$ est décroissante. La voiture perd de la valeur chaque année. b) On lit environ $7, 7$ . Le calcul : $V (2) = 12 \times 0, 64 =$ $7, 68$ , soit $7680$ €. c) La moitié, c'est $6$ milliers d'euros. On part de $6$ sur l'axe vertical : la courbe atteint cette hauteur pour $x$ un peu plus grand que $3$ . Environ $3$ ans et un mois. ✔️ $V (3) = 12 \times 0, 512 \approx$ $6, 14$ : encore un peu au-dessus de $6$ . d) Non : $0, 8^{x}$ reste strictement positif. La valeur s'approche de $0$ sans l'atteindre. ⚠️ Elle ne perd pas $20$ % de $12000$ €, soit $2400$ €, chaque année : elle perd $20$ % de sa valeur DU MOMENT.
10Le cœur après un sprint
Après un sprint, on mesure l'écart entre la fréquence cardiaque d'une sportive et sa fréquence au repos. Cet écart, en dizaines de battements par minute, vaut $E (x) = 8 \times 0, 7^{x}$ au bout de $x$ minutes (modèle). a) L'écart augmente-t-il ou diminue-t-il ? Justifier avec la base. b) Lire $E (1)$ et $E (3)$ , puis les calculer. c) Au bout de combien de minutes l'écart passe-t-il sous $20$ battements par minute ?
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a) $0 < 0, 7 <$ $1$ : $E$ est décroissante. Le cœur ralentit, et revient vers son rythme de repos. b) $E (1) = 8 \times 0, 7 = 5, 6$ dizaines, soit $56$ battements par minute d'écart. $E (3) = 8 \times 0, 343 \approx 2, 74$ dizaines, soit environ $27$ battements. c) $20$ battements, c'est $2$ dizaines. La courbe passe sous la hauteur $2$ un peu avant $x =$ $4$ : $E (4) \approx$ $1, 92$ . Réponse : un peu moins de $4$ minutes. ⭐ Plus l'écart est petit, plus il diminue lentement : la courbe s'aplatit.
11Les recensements d'une ville
Une ville est recensée tous les dix ans. On modélise sa population, en dizaines de milliers d'habitants, par $P (x) = 5 \times$ $1, 2^{x}$ , où $x$ compte les DÉCENNIES depuis 1900. Les points rouges sont les recensements ; la courbe bleue, la fonction $P$ . a) Donner les populations recensées en 1900, 1910 et 1920. Quelle suite forment-elles ? b) Quelle population le modèle donne-t-il en 1925 ? c) À quoi sert la fonction, puisque les recensements n'ont lieu que tous les dix ans ?
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a) $P (0) =$ $5$ , $P (1) =$ $6$ , $P (2) =$ $7, 2$ : $50000$ , $60000$ et $72000$ habitants. Une suite géométrique de raison $1, 2$ : on multiplie par $1, 2$ à chaque décennie. b) 1925, c'est $x = 2, 5$ décennies. $P (2, 5) = 5 \times 1, 2^{2, 5} \approx 7, 89$ dizaines de milliers, soit environ $79000$ habitants. c) La fonction PROLONGE la suite : sa courbe passe par tous les points des recensements, et donne une estimation entre deux recensements. ⚠️ 1925 n'est pas $x =$ $25$ : ici, $x$ compte les décennies, pas les années.
12La sortie longue
Une coureuse augmente la distance de sa sortie longue de $10$ % par semaine (modèle). La courbe donne $D (x) = 6 \times$ $1, 1^{x}$ , la distance en km, $x$ semaines après le début de sa préparation. a) Quel est le sens de variation de $D$ ? b) Lire à partir de quelle semaine sa sortie dépasse $9$ km. Le vérifier par le calcul. c) Son entraîneur veut qu'elle ne dépasse pas $10$ km avant la semaine $6$ . Le plan est-il respecté ?
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a) $1, 1 >$ $1$ : $D$ est croissante. b) On part de $9$ sur l'axe vertical : la courbe atteint cette hauteur entre $x = 4$ et $x =$ $5$ . Les sorties ont lieu aux semaines entières : c'est à partir de la semaine $5$ . Calcul : $D (4) = 6 \times 1, 1^{4} \approx 8, 78$ et $D (5) \approx$ $9, 66$ . ✔️ c) $D (5) \approx$ $9, 66$ , sous $10$ , et $D (6) \approx$ $10, 63$ , au-dessus : elle dépasse $10$ km à la semaine $6$ , pas avant. Le plan est respecté. ⭐ Chaque semaine, elle ajoute un peu plus que la précédente : $+ 0, 6$ km, puis $+ 0, 66$ km…
13Deux scénarios pour le climat
Deux scénarios de baisse des émissions de CO₂ d'une région, en indice (base $10$ en 2025) : scénario $A$ , $- 5$ % par an, $f (x) = 10 \times 0, 9 5^{x}$ (en bleu) ; scénario $B$ , $- 10$ % par an, $g (x) = 10 \times 0, 9^{x}$ (en orange). $x$ compte les années depuis 2025. a) Justifier que les deux fonctions sont décroissantes. Laquelle décroît le plus vite ? b) Lire en quelle année le scénario $B$ divise les émissions par deux. La ligne en pointillés marque la moitié. c) Le scénario $A$ y parvient-il en 2035 ?
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a) $0, 95$ et $0, 9$ sont entre $0$ et $1$ : les deux fonctions sont décroissantes. La base la plus petite, $0, 9$ , fait baisser le plus vite : la courbe orange passe en dessous. b) La courbe orange passe sous la hauteur $5$ entre $x = 6$ et $x =$ $7$ : $g (6) \approx 5, 31$ et $g (7) \approx$ $4, 78$ . C'est en 2032, pour $x =$ $7$ . c) En 2035, $x =$ $10$ : $f (10) = 10 \times 0, 9 5^{10} \approx$ $5, 99$ . Encore au-dessus de $5$ : non. ⚠️ Dix baisses de $5$ % ne font pas $- 50$ % : il reste environ $60$ % des émissions.
14Une tache de moisissure
On mesure la surface d'une tache de moisissure, en cm², sur une tranche de pain. On la modélise par $f (x) =$ $a^{x}$ , où $x$ est le temps en jours et $a >$ $0$ . La courbe passe par le point $A$ . a) Lire $f (0)$ et $f (1)$ . En déduire $a$ . b) La fonction est-elle croissante ? Calculer $f (2)$ et $f (3)$ , et les comparer à la courbe. c) Selon ce modèle, quelle surface au bout de $6$ jours ? Est-ce réaliste sur des semaines ?
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a) $f (0) =$ $1$ : normal, puisque $a^{0} =$ $1$ . Au point $A$ , $f (1) =$ $1, 5$ . Or $f (1) = a^{1} =$ $a$ : donc $a =$ $1, 5$ . b) $1, 5 >$ $1$ : $f$ est croissante. $f (2) = 1, 5^{2} = 2, 25$ et $f (3) = 1, 5^{3} =$ $3, 375$ : ce sont bien les hauteurs de la courbe en $2$ et en $3$ . c) $f (6) = 1, 5^{6} \approx 11, 4$ cm². Possible sur quelques jours ; sur des semaines, la tache deviendrait plus grande que le pain : le modèle ne vaut qu'un temps. ⭐ Sur la courbe de $x \mapsto$ $a^{x}$ , le point d'abscisse $1$ donne directement la base : $f (1) =$ $a$ .
15La lumière entre deux profondeurs
Sous l'eau d'un lac, l'intensité lumineuse (en % de celle de la surface) est donnée, mètre par mètre, par la suite $u_{n} = 100 \times 0, 8^{n}$ (modèle). a) Quelle fonction $f$ prolonge cette suite à toutes les profondeurs $x \geq$ $0$ ? b) Calculer l'intensité à $2, 5$ m de profondeur, au dixième. c) Quel est le sens de variation de $f$ ? Sans calcul, entre quelles valeurs se trouve l'intensité entre $2$ m et $3$ m ?
Voir la correction
a) $f (x) = 100 \times$ $0, 8^{x}$ : aux entiers, $f (n) =$ $u_{n}$ . b) $f (2, 5) = 100 \times 0, 8^{2, 5} \approx 57, 2$ %. c) $0 < 0, 8 <$ $1$ : $f$ est décroissante. Entre $2$ m et $3$ m, l'intensité est donc comprise entre $u_{3} = 51, 2$ % et $u_{2} = 64$ %. ✔️ $57, 2$ est bien entre les deux. ⚠️ À $2, 5$ m, l'intensité n'est pas la moyenne de $64$ et $51, 2$ , soit $57, 6$ : la courbe n'est pas une droite. Sur le dessin, l'intensité est en dizaines de %.
16Un placement sur dix ans
Un capital de $5000$ € est placé à $4$ % par an. Au bout de $x$ années, il vaut $C (x) = 5000 \times 1, 0 4^{x}$ euros. Voici son tableau de variations sur $[0; 10]$ . a) Quel est le sens de variation de $C$ ? Le justifier avec la base. b) Quel est le capital minimal sur $[0; 10]$ ? le maximal ? c) Le capital dépasse-t-il $6000$ € avant $10$ ans ? Justifier, puis trouver l'année à la calculatrice.
Voir la correction
a) $1, 04 >$ $1$ : $C$ est croissante. La flèche monte. b) Le minimum est au départ : $C (0) = 5000$ €. Le maximum est à la fin : $C (10) \approx 7401, 22$ €. c) $C$ est croissante et passe de $5000$ à environ $7401$ : elle franchit $6000$ en chemin. À la calculatrice : $C (4) \approx 5849, 29$ et $C (5) \approx$ $6083, 26$ . Le capital dépasse $6000$ € au bout de $5$ ans. ⭐ Le tableau ne donne pas les valeurs intermédiaires, mais il garantit que la fonction passe par toutes les valeurs entre ses bornes.

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Un problème complet, avec ses questions qui s'enchaînent. Calculatrice autorisée.

Rappel de cours

On lit, puis on vérifie par le calcul : une lecture donne une valeur approchée.
Le sens de variation se déduit de la base : $a >$ $1$ , croissante ; $0 < a <$ $1$ , décroissante.
Une suite géométrique ne donne que les valeurs aux entiers ; la fonction qui la prolonge donne aussi toutes les valeurs entre eux.

17L'air en montagne
La pression de l'air diminue avec l'altitude. Dans un modèle simple, elle vaut $P (x) = 1013 \times 0, 8 8^{x}$ hectopascals (hPa) à $x$ km d'altitude. La courbe la donne en centaines de hPa. a) Que vaut $P (0)$ ? Quel est le sens de variation de $P$ ? Pourquoi ? b) Le sommet du mont Blanc est à environ $4, 8$ km d'altitude. Lire, puis calculer, la pression à ce sommet (à l'unité). c) À quelle altitude la pression est-elle la moitié de celle du niveau de la mer ? Lire une valeur approchée. d) Le sommet de l'Everest est à environ $8, 8$ km. Quelle fraction de la pression du niveau de la mer y reste-t-il ?
Voir la correction
a) $P (0) = 1013$ hPa : la pression au niveau de la mer. $0 < 0, 88 <$ $1$ : $P$ est décroissante. La pression baisse quand on monte. b) En $x =$ $4, 8$ , on lit un peu plus de $5$ centaines. Calcul : $P (4, 8) = 1013 \times 0, 8 8^{4, 8} \approx 548$ hPa. c) La moitié, c'est $506, 5$ hPa, soit environ $5, 1$ centaines. La courbe atteint cette hauteur pour $x \approx$ $5, 4$ : vers $5, 4$ km d'altitude. ✔️ $P (5, 4) \approx 508$ hPa, tout près de la moitié. d) $0, 8 8^{8, 8} \approx$ $0, 325$ : il reste environ un tiers de la pression du niveau de la mer. ⭐ C'est pourquoi on respire mal en haute montagne : chaque inspiration apporte moins d'air. ⚠️ La pression ne baisse pas de $12$ % de $1013$ hPa à chaque kilomètre : elle baisse de $12$ % de sa valeur à l'altitude où l'on est.
18Deux villes, deux rythmes
Avec l'exode rural, deux villes grandissent. La ville $A$ compte $30000$ habitants en 1950 et gagne $3$ % par an ; la ville $B$ en compte $20000$ et gagne $5$ % par an (modèles). Le graphique donne leurs populations en dizaines de milliers ; l'abscisse compte les DÉCENNIES depuis 1950 ( $A$ en bleu, $B$ en orange). a) Exprimer les deux populations, en dizaines de milliers, en fonction du nombre $t$ d'années depuis 1950. Donner leur sens de variation. b) Lire vers quelle année $B$ dépasse $A$ . c) Vérifier par le calcul pour 1970, puis pour 1975. d) La ville $B$ était plus petite au départ. Pourquoi finit-elle devant ?
Voir la correction
a) $A (t) = 3 \times 1, 0 3^{t}$ et $B (t) = 2 \times$ $1, 0 5^{t}$ . Les bases $1, 03$ et $1, 05$ sont plus grandes que $1$ : les deux fonctions sont croissantes. b) Les courbes se croisent un peu après l'abscisse $2$ , soit un peu plus de $20$ ans après 1950 : vers 1971. c) En 1970, $t =$ $20$ : $A (20) \approx 5, 42$ et $B (20) \approx$ $5, 31$ : $A$ est encore devant. En 1975, $t =$ $25$ : $A (25) \approx 6, 28$ et $B (25) \approx$ $6, 77$ : $B$ est passée devant. d) $B$ a la plus grande base : sa courbe monte plus vite, et finit par rattraper $A$ , quel que soit l'écart de départ. ⭐ À long terme, c'est le TAUX qui décide, pas la taille de départ. ⚠️ Sur le graphique, l'abscisse $2$ veut dire $20$ ans, pas $2$ ans.
19Un vélo électrique d'occasion
Un vélo électrique neuf coûte $1000$ €. On estime qu'il perd $30$ % de sa valeur par an (modèle). Sa valeur au bout de $n$ années entières est $v_{n} = 1000 \times$ $0, 7^{n}$ ; la courbe représente, en centaines d'euros, la fonction $V (x) = 1000 \times$ $0, 7^{x}$ . a) Quelle différence y a-t-il entre $v_{n}$ et $V (x)$ ? Comparer $v_{2}$ et $V (2)$ . b) Quel est le sens de variation de $V$ ? c) Lire au bout de combien de temps le vélo a perdu la moitié de sa valeur. Le vérifier avec $V (1, 5)$ et $V (2)$ . d) Un acheteur en propose $600$ € au bout de $18$ mois. Est-ce plus ou moins que la valeur du modèle ?
Voir la correction
a) La suite ne donne la valeur qu'au bout d'années ENTIÈRES ; la fonction la donne à tout moment : elle prolonge la suite. $v_{2} = V (2) = 1000 \times 0, 49 = 490$ €. b) $0 < 0, 7 <$ $1$ : $V$ est décroissante. c) La moitié, c'est $5$ centaines. La courbe passe sous $5$ un peu avant $x =$ $2$ : un peu moins de deux ans. ✔️ $V (1, 5) \approx 585, 66$ €, au-dessus de $500$ ; $V (2) = 490$ €, en dessous. d) $18$ mois, c'est $x =$ $1, 5$ : le modèle donne environ $586$ €. Les $600$ € proposés sont un peu PLUS que la valeur du modèle : bonne affaire pour le vendeur. ⚠️ $18$ mois ne s'écrit pas $x =$ $18$ : $x$ compte les années.
20Des truites et des quotas
Dans un lac, on compte $8000$ truites. Deux scénarios (modèles) : avec des quotas de pêche, la population augmente de $10$ % par an (courbe bleue) ; sans quotas, elle baisse de $15$ % par an (courbe orange). Les populations sont en milliers, et $x$ compte les années. a) Écrire les deux fonctions. Associer chacune à sa courbe, en justifiant par la base. b) Lire l'écart entre les deux scénarios au bout de $3$ ans, puis le calculer. c) Sans quotas, au bout de combien de temps la population passe-t-elle sous $4000$ truites ? d) Si l'on compte les truites une fois par an, quelles suites obtient-on ? Quel lien avec les fonctions ?
Voir la correction
a) Avec quotas : $f (x) = 8 \times$ $1, 1^{x}$ . Base $1, 1 >$ $1$ , fonction croissante : c'est la courbe bleue, qui monte. Sans quotas : $g (x) = 8 \times$ $0, 8 5^{x}$ . Base $0, 85 <$ $1$ , fonction décroissante : c'est la courbe orange. b) En $x =$ $3$ , on lit environ $10, 6$ et environ $4, 9$ . Calcul : $f (3) = 8 \times 1, 331 \approx 10, 65$ et $g (3) = 8 \times 0, 614125 \approx$ $4, 91$ . L'écart est d'environ $5, 7$ milliers de truites. c) $4000$ truites, c'est $4$ milliers. La courbe orange passe sous $4$ un peu après $x =$ $4$ : $g (4) \approx 4, 18$ et $g (5) \approx$ $3, 55$ . Un peu plus de $4$ ans. d) Les suites $u_{n} = 8 \times 1, 1^{n}$ et $v_{n} = 8 \times$ $0, 8 5^{n}$ : des suites géométriques. Les fonctions les PROLONGENT entre deux comptages. ⭐ Même départ, deux destins : c'est la base, au-dessus ou en dessous de $1$ , qui décide.

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Corrigés : fonction exponentielle : variations et courbe, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. On compare la base à $1$ . $1, 8 >$ $1$ : $f$ est croissante. $0 < 0, 7 <$ $1$ : $g$ est décroissante. $1^{x} = 1$ pour tout $x$ : $h$ est constante. ⚠️ $g$ décroît, mais reste strictement positive : $0, 7^{x}$ n'atteint jamais $0$ . Sur le dessin : $f$ en bleu monte, $g$ en orange descend, $h$ en vert reste à $1$ .
2. $2 >$ $1$ : $f$ est croissante sur $[0; 3]$ . Aux bornes : $f (0) = 2^{0} = 1$ et $f (3) = 2^{3} =$ $8$ . Le tableau a une seule flèche, qui monte de $1$ à $8$ . ⚠️ $f (0) =$ $1$ , pas $0$ .
3. a) Le point d'abscisse $2$ a pour ordonnée $4$ : $f (2) =$ $4$ . b) Au-dessus de $1, 5$ , la courbe est un peu en dessous de $3$ : on lit environ $2, 8$ . Le calcul donne $2^{1, 5} \approx$ $2, 83$ . c) On part de $4$ sur l'axe vertical, on rejoint la courbe, on descend : l'antécédent est $2$ . ⭐ Une lecture graphique donne une VALEUR APPROCHÉE ; le calcul la précise.
4. $1, 5 >$ $1$ : $f$ est croissante. $0 < 0, 5 <$ $1$ : $g$ est décroissante. La courbe bleue monte : c'est celle de $f$ . L'orange descend : c'est celle de $g$ . ⭐ Les deux se croisent en $(0; 1)$ : $1, 5^{0} = 0, 5^{0} =$ $1$ . ⚠️ L'orange s'approche de l'axe des abscisses sans jamais le toucher.
5. a) $a^{0} = 1$ pour tout $a >$ $0$ : toutes les courbes passent par le point $(0; 1)$ . b) Pour $x >$ $0$ , plus la base est grande, plus $a^{x}$ est grand : $3^{x} >$ $2^{x}$ . Pour $x =$ $2$ : $3^{2} = 9$ et $2^{2} =$ $4$ . ⚠️ En $x =$ $0$ , les deux valent $1$ : l'écart n'apparaît qu'ensuite. Sur le dessin, $3^{x}$ en bleu, $2^{x}$ en orange.
6. a) $u_{3} = 2^{3} = 8$ et $f (3) = 2^{3} =$ $8$ : les mêmes. Aux entiers, la fonction et la suite coïncident. b) $f (2, 5) = 2^{2, 5} \approx$ $5, 66$ : entre $u_{2} = 4$ et $u_{3} =$ $8$ . c) La suite n'a de valeur qu'aux rangs entiers ; la fonction en a une pour tout $x \geq$ $0$ : elle PROLONGE la suite. ⚠️ $f (2, 5)$ n'est pas la moyenne de $4$ et $8$ , soit $6$ : entre deux points, la courbe n'est pas une droite. Sur le dessin, les points rouges des rangs entiers sont ceux de la suite ; le point d'abscisse $2, 5$ n'existe que pour la fonction.
7. a) $x \mapsto 0, 8^{x}$ est décroissante, car $0, 8 <$ $1$ . Comme $2, 5 <$ $3$ , les images sont rangées dans l'ordre CONTRAIRE : $0, 8^{2, 5} >$ $0, 8^{3}$ . b) $x \mapsto 1, 2^{x}$ est croissante, car $1, 2 >$ $1$ . Comme $1, 5 <$ $2$ : $1, 2^{1, 5} <$ $1, 2^{2}$ . ✔️ À la calculatrice : $0, 8^{2, 5} \approx 0, 572$ et $0, 8^{3} =$ $0, 512$ ; $1, 2^{1, 5} \approx 1, 315$ et $1, 2^{2} =$ $1, 44$ . Sur le dessin : $0, 8^{x}$ en orange descend, donc le point en $2, 5$ est plus haut que celui en $3$ ; $1, 2^{x}$ en bleu monte, donc le point en $1, 5$ est plus bas que celui en $2$ .
8. a) $f (x) = 3 \times$ $0, 5^{x}$ , pour $x \geq$ $0$ : elle prend les mêmes valeurs que la suite aux entiers. b) $f (1, 5) = 3 \times 0, 5^{1, 5} \approx$ $1, 06$ : le point $(1, 5; 1, 06)$ est sur la courbe, entre les points de rangs $1$ et $2$ . c) $0 < 0, 5 < 1$ et $3 >$ $0$ : $f$ est décroissante, comme la suite. Sur le dessin, les points rouges sont ceux de la suite, et la courbe les relie.
9. La valeur d'une voiture a) $0 < 0, 8 <$ $1$ : $V$ est décroissante. La voiture perd de la valeur chaque année. b) On lit environ $7, 7$ . Le calcul : $V (2) = 12 \times 0, 64 =$ $7, 68$ , soit $7680$ €. c) La moitié, c'est $6$ milliers d'euros. On part de $6$ sur l'axe vertical : la courbe atteint cette hauteur pour $x$ un peu plus grand que $3$ . Environ $3$ ans et un mois. ✔️ $V (3) = 12 \times 0, 512 \approx$ $6, 14$ : encore un peu au-dessus de $6$ . d) Non : $0, 8^{x}$ reste strictement positif. La valeur s'approche de $0$ sans l'atteindre. ⚠️ Elle ne perd pas $20$ % de $12000$ €, soit $2400$ €, chaque année : elle perd $20$ % de sa valeur DU MOMENT.
10. Le cœur après un sprint a) $0 < 0, 7 <$ $1$ : $E$ est décroissante. Le cœur ralentit, et revient vers son rythme de repos. b) $E (1) = 8 \times 0, 7 = 5, 6$ dizaines, soit $56$ battements par minute d'écart. $E (3) = 8 \times 0, 343 \approx 2, 74$ dizaines, soit environ $27$ battements. c) $20$ battements, c'est $2$ dizaines. La courbe passe sous la hauteur $2$ un peu avant $x =$ $4$ : $E (4) \approx$ $1, 92$ . Réponse : un peu moins de $4$ minutes. ⭐ Plus l'écart est petit, plus il diminue lentement : la courbe s'aplatit.
11. Les recensements d'une ville a) $P (0) =$ $5$ , $P (1) =$ $6$ , $P (2) =$ $7, 2$ : $50000$ , $60000$ et $72000$ habitants. Une suite géométrique de raison $1, 2$ : on multiplie par $1, 2$ à chaque décennie. b) 1925, c'est $x = 2, 5$ décennies. $P (2, 5) = 5 \times 1, 2^{2, 5} \approx 7, 89$ dizaines de milliers, soit environ $79000$ habitants. c) La fonction PROLONGE la suite : sa courbe passe par tous les points des recensements, et donne une estimation entre deux recensements. ⚠️ 1925 n'est pas $x =$ $25$ : ici, $x$ compte les décennies, pas les années.
12. La sortie longue a) $1, 1 >$ $1$ : $D$ est croissante. b) On part de $9$ sur l'axe vertical : la courbe atteint cette hauteur entre $x = 4$ et $x =$ $5$ . Les sorties ont lieu aux semaines entières : c'est à partir de la semaine $5$ . Calcul : $D (4) = 6 \times 1, 1^{4} \approx 8, 78$ et $D (5) \approx$ $9, 66$ . ✔️ c) $D (5) \approx$ $9, 66$ , sous $10$ , et $D (6) \approx$ $10, 63$ , au-dessus : elle dépasse $10$ km à la semaine $6$ , pas avant. Le plan est respecté. ⭐ Chaque semaine, elle ajoute un peu plus que la précédente : $+ 0, 6$ km, puis $+ 0, 66$ km…
13. Deux scénarios pour le climat a) $0, 95$ et $0, 9$ sont entre $0$ et $1$ : les deux fonctions sont décroissantes. La base la plus petite, $0, 9$ , fait baisser le plus vite : la courbe orange passe en dessous. b) La courbe orange passe sous la hauteur $5$ entre $x = 6$ et $x =$ $7$ : $g (6) \approx 5, 31$ et $g (7) \approx$ $4, 78$ . C'est en 2032, pour $x =$ $7$ . c) En 2035, $x =$ $10$ : $f (10) = 10 \times 0, 9 5^{10} \approx$ $5, 99$ . Encore au-dessus de $5$ : non. ⚠️ Dix baisses de $5$ % ne font pas $- 50$ % : il reste environ $60$ % des émissions.
14. Une tache de moisissure a) $f (0) =$ $1$ : normal, puisque $a^{0} =$ $1$ . Au point $A$ , $f (1) =$ $1, 5$ . Or $f (1) = a^{1} =$ $a$ : donc $a =$ $1, 5$ . b) $1, 5 >$ $1$ : $f$ est croissante. $f (2) = 1, 5^{2} = 2, 25$ et $f (3) = 1, 5^{3} =$ $3, 375$ : ce sont bien les hauteurs de la courbe en $2$ et en $3$ . c) $f (6) = 1, 5^{6} \approx 11, 4$ cm². Possible sur quelques jours ; sur des semaines, la tache deviendrait plus grande que le pain : le modèle ne vaut qu'un temps. ⭐ Sur la courbe de $x \mapsto$ $a^{x}$ , le point d'abscisse $1$ donne directement la base : $f (1) =$ $a$ .
15. La lumière entre deux profondeurs a) $f (x) = 100 \times$ $0, 8^{x}$ : aux entiers, $f (n) =$ $u_{n}$ . b) $f (2, 5) = 100 \times 0, 8^{2, 5} \approx 57, 2$ %. c) $0 < 0, 8 <$ $1$ : $f$ est décroissante. Entre $2$ m et $3$ m, l'intensité est donc comprise entre $u_{3} = 51, 2$ % et $u_{2} = 64$ %. ✔️ $57, 2$ est bien entre les deux. ⚠️ À $2, 5$ m, l'intensité n'est pas la moyenne de $64$ et $51, 2$ , soit $57, 6$ : la courbe n'est pas une droite. Sur le dessin, l'intensité est en dizaines de %.
16. Un placement sur dix ans a) $1, 04 >$ $1$ : $C$ est croissante. La flèche monte. b) Le minimum est au départ : $C (0) = 5000$ €. Le maximum est à la fin : $C (10) \approx 7401, 22$ €. c) $C$ est croissante et passe de $5000$ à environ $7401$ : elle franchit $6000$ en chemin. À la calculatrice : $C (4) \approx 5849, 29$ et $C (5) \approx$ $6083, 26$ . Le capital dépasse $6000$ € au bout de $5$ ans. ⭐ Le tableau ne donne pas les valeurs intermédiaires, mais il garantit que la fonction passe par toutes les valeurs entre ses bornes.
17. L'air en montagne a) $P (0) = 1013$ hPa : la pression au niveau de la mer. $0 < 0, 88 <$ $1$ : $P$ est décroissante. La pression baisse quand on monte. b) En $x =$ $4, 8$ , on lit un peu plus de $5$ centaines. Calcul : $P (4, 8) = 1013 \times 0, 8 8^{4, 8} \approx 548$ hPa. c) La moitié, c'est $506, 5$ hPa, soit environ $5, 1$ centaines. La courbe atteint cette hauteur pour $x \approx$ $5, 4$ : vers $5, 4$ km d'altitude. ✔️ $P (5, 4) \approx 508$ hPa, tout près de la moitié. d) $0, 8 8^{8, 8} \approx$ $0, 325$ : il reste environ un tiers de la pression du niveau de la mer. ⭐ C'est pourquoi on respire mal en haute montagne : chaque inspiration apporte moins d'air. ⚠️ La pression ne baisse pas de $12$ % de $1013$ hPa à chaque kilomètre : elle baisse de $12$ % de sa valeur à l'altitude où l'on est.
18. Deux villes, deux rythmes a) $A (t) = 3 \times 1, 0 3^{t}$ et $B (t) = 2 \times$ $1, 0 5^{t}$ . Les bases $1, 03$ et $1, 05$ sont plus grandes que $1$ : les deux fonctions sont croissantes. b) Les courbes se croisent un peu après l'abscisse $2$ , soit un peu plus de $20$ ans après 1950 : vers 1971. c) En 1970, $t =$ $20$ : $A (20) \approx 5, 42$ et $B (20) \approx$ $5, 31$ : $A$ est encore devant. En 1975, $t =$ $25$ : $A (25) \approx 6, 28$ et $B (25) \approx$ $6, 77$ : $B$ est passée devant. d) $B$ a la plus grande base : sa courbe monte plus vite, et finit par rattraper $A$ , quel que soit l'écart de départ. ⭐ À long terme, c'est le TAUX qui décide, pas la taille de départ. ⚠️ Sur le graphique, l'abscisse $2$ veut dire $20$ ans, pas $2$ ans.
19. Un vélo électrique d'occasion a) La suite ne donne la valeur qu'au bout d'années ENTIÈRES ; la fonction la donne à tout moment : elle prolonge la suite. $v_{2} = V (2) = 1000 \times 0, 49 = 490$ €. b) $0 < 0, 7 <$ $1$ : $V$ est décroissante. c) La moitié, c'est $5$ centaines. La courbe passe sous $5$ un peu avant $x =$ $2$ : un peu moins de deux ans. ✔️ $V (1, 5) \approx 585, 66$ €, au-dessus de $500$ ; $V (2) = 490$ €, en dessous. d) $18$ mois, c'est $x =$ $1, 5$ : le modèle donne environ $586$ €. Les $600$ € proposés sont un peu PLUS que la valeur du modèle : bonne affaire pour le vendeur. ⚠️ $18$ mois ne s'écrit pas $x =$ $18$ : $x$ compte les années.
20. Des truites et des quotas a) Avec quotas : $f (x) = 8 \times$ $1, 1^{x}$ . Base $1, 1 >$ $1$ , fonction croissante : c'est la courbe bleue, qui monte. Sans quotas : $g (x) = 8 \times$ $0, 8 5^{x}$ . Base $0, 85 <$ $1$ , fonction décroissante : c'est la courbe orange. b) En $x =$ $3$ , on lit environ $10, 6$ et environ $4, 9$ . Calcul : $f (3) = 8 \times 1, 331 \approx 10, 65$ et $g (3) = 8 \times 0, 614125 \approx$ $4, 91$ . L'écart est d'environ $5, 7$ milliers de truites. c) $4000$ truites, c'est $4$ milliers. La courbe orange passe sous $4$ un peu après $x =$ $4$ : $g (4) \approx 4, 18$ et $g (5) \approx$ $3, 55$ . Un peu plus de $4$ ans. d) Les suites $u_{n} = 8 \times 1, 1^{n}$ et $v_{n} = 8 \times$ $0, 8 5^{n}$ : des suites géométriques. Les fonctions les PROLONGENT entre deux comptages. ⭐ Même départ, deux destins : c'est la base, au-dessus ou en dessous de $1$ , qui décide.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : fonction exponentielle : variations et courbe, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3