Problème de seuil : croissance exponentielle : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : problème de seuil : croissance exponentielle, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. On calcule les valeurs une à une : $100$ ; $200$ ; $400$ ; $800$ ; $1600$. À l'étape $3$, $800<$$1000$ ; à l'étape $4$, $1600>$$1000$. Le seuil est franchi à partir de l'étape $4$. ⚠️ La réponse est un RANG, $4$, et pas la valeur $1600$. Sur le dessin, la barre mise en évidence est la première au-dessus de $1000$.
2. 2. $u_0=$$500$ ; $u_1=$$400$ ; $u_2=$$320$ ; $u_3=$$256$ ; $u_4=$$204,8$ ; $u_5=$$163,84$. $u_4=204,8$ est encore au-dessus de $200$ ; $u_5=163,84$ est en dessous. Le plus petit entier est $n=$$5$. ⭐ La suite est décroissante : une fois passée sous $200$, elle y reste. Sur le dessin, en centaines : le premier point sous la ligne des $200$ est celui de rang $5$.
3. 3. On parcourt la ligne jusqu'à la première valeur au-dessus de $1500$ : $1418,52$ pour $n=$$6$, puis $1503,63$ pour $n=$$7$. Le capital dépasse $1500$ € au bout de $7$ ans. ⚠️ Pas « $8$ ans » en comptant les colonnes : la première, $n=$$0$, est le jour du dépôt.
4. 4. $900$ papillons, ce sont $9$ centaines : c'est la hauteur de la ligne en pointillés. À l'étape $3$, le point est encore en dessous, vers $6,75$ centaines. Le premier point au-dessus de la ligne est celui de l'étape $4$, vers $10$ centaines. La population dépasse $900$ papillons à partir de l'étape $4$.
5. 5. $30$ ans, c'est $\frac{30}{10}=3$ demi-vies. À chaque demi-vie, la masse est divisée par $2$ : $80$, puis $40$, puis $20$, puis $10$. Il reste $10$ g. ⚠️ Il ne reste pas $0$ g au bout de deux demi-vies : on prend la moitié, puis la moitié de la moitié… il en reste toujours.
6. 6. $60$ ans, ce sont $3$ temps de doublement : $5000\times 2^3=5000\times 8=40000$ habitants. ⚠️ Pas $5000\times 3=$$15000$ : on double trois fois, on ne triple pas.
7. 7. À chaque demi-vie, on multiplie par $\frac{1}{2}$ : au bout de $4$ demi-vies, par ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4=$$\frac{1}{16}$. $\frac{1}{16}=$$0,0625$ : il reste $6,25$ %. ⭐ C'est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ : $100$ %, $50$ %, $25$ %, $12,5$ %, $6,25$ %. Sur le dessin, le pourcentage restant après $0$, $1$, $2$, $3$ et $4$ demi-vies.
8. 8. On teste : $1,05^{14}\approx$$1,980$, encore sous $2$ ; $1,05^{15}\approx$$2,079$, au-dessus. Le plus petit entier est $n=$$15$. Un capital placé à $5$ % par an a doublé au bout de $15$ ans. ⚠️ Pas $20$ ans, le résultat de $100÷$$5$ : les intérêts composés font doubler plus vite. Sur le dessin, le bâton mis en évidence est le premier au-dessus de $2$.
9. 9. Un livret d'épargne a) $u_n=2000\times$$1,03^n$. b) $u_7=2000\times 1,03^7\approx 2459,75$ €, sous $2500$ € ; $u_8=2000\times 1,03^8\approx 2533,54$ €, au-dessus. Le capital dépasse $2500$ € au bout de $8$ ans. c) Dans le tableau, la première valeur au-dessus de $2500$ est dans la colonne $8$. ⭐ Avec des intérêts simples de $60$ € par an, il faudrait $500÷60\approx$$8,3$, donc $9$ ans : les intérêts composés vont plus vite.

   année	6	7	8
   capital (€)	2388,1	2459,75	2533,54

10. 10. L'iode 131 à l'hôpital a) $8$ jours : une demi-vie, il reste $200$ unités. $16$ jours : deux demi-vies, $100$. $24$ jours : trois demi-vies, $50$. b) $10$ % de $400$, c'est $40$. Après $3$ demi-vies : $50$, encore au-dessus. Après $4$ demi-vies : $25$, en dessous. Il faut $4$ demi-vies, soit $4\times 8=32$ jours. ⭐ En comptant les demi-vies, on trouve le seuil de tête : le premier $k$ tel que $2^k>10$ est $4$, car $2^4=$$16$. Sur le dessin, en centaines d'unités : un point par demi-vie, et la ligne des $40$ unités.
11. 11. Dix milliards d'humains ? a) $p_n=8\times$$1,01^n$. b) $p_{22}\approx 9,96$ et $p_{23}\approx$$10,06$ : on dépasse $10$ milliards pour $n=$$23$, soit en $2022+23=$$2045$. c) $1,01^{69}\approx 1,987$ et $1,01^{70}\approx$$2,007$ : la population doublerait en $70$ ans environ. ⭐ Ce modèle suppose un taux constant. Or le taux de croissance de la population mondiale baisse depuis les années 1960 : on s'attend à une croissance plus lente.

    année	2044	2045
    population (milliards)	9,96	10,06

12. 12. La puissance d'un cycliste a) $200\times 1,02^{10}\approx 243,80$ W. ✔️ b) Au mois $11$ : $248,67$ W, encore sous $250$. Au mois $12$ : $253,65$ W. Il dépasse $250$ W à partir du mois $12$. c) Le coéquipier divise : $25÷2=$$12,5$. Mais les hausses se composent : $1,02^{12}\approx$$1,268$, soit environ $+26,8$ % en $12$ mois. ⚠️ Et une progression de $2$ % par mois ne dure pas indéfiniment : le modèle ne vaut que quelques mois.
13. 13. Des amphibiens en danger a) $250$ individus, ce sont $2,5$ centaines. La courbe passe sous la ligne entre $x=6$ et $x=$$7$ : au bout de $7$ ans, la population est sous le seuil. b) $P(6)=5\times 0,9^6\approx$$2,66$ : encore au-dessus. $P(7)\approx$$2,39$ : en dessous. ✔️ c) La population est divisée par $2$, de $500$ à $250$, en un peu plus de $6$ ans : sa demi-vie vaut environ $6,6$ ans. Au bout de deux demi-vies, environ $13$ ans, il en reste le quart : environ $125$ individus. ⚠️ La population ne perd pas $10$ % de $500$, soit $50$ individus, chaque année : elle perd $10$ % de ce qui RESTE.
14. 14. Un plat oublié sur la table a) Une heure, ce sont $3$ temps de doublement : $1000\times 2^3=8000$ bactéries. b) Pour passer de $1000$ à $1$ million, il faut multiplier par $1000$. Or $2^9=512$ ne suffit pas, et $2^{10}=1024$ suffit : il faut $10$ doublements. $10\times 20=200$ minutes, soit $3$ h $20$ min. c) En quelques heures, le nombre de bactéries est multiplié par des milliers : c'est la croissance exponentielle qui rend l'aliment dangereux. ⚠️ Doubler $10$ fois, ce n'est pas multiplier par $20$ : c'est multiplier par $1024$.

    temps	0	1 h	2 h	3 h 20
    bactéries	1 000	8 000	64 000	1 024 000

15. 15. Jusqu'où descend la lumière ? a) $100\times 0,8^{20}\approx 1,15$ %. ✔️ b) À $20$ m : environ $1,15$ %, encore au-dessus de $1$ %. À $21$ m : environ $0,92$ %, en dessous. On passe sous $1$ % à partir de $21$ m. c) Avec $30$ % absorbés : $100\times 0,7^{12}\approx 1,38$ % et $100\times 0,7^{13}\approx 0,97$ %. Le seuil est atteint dès $13$ m : moins profond. ⭐ Plus l'eau est trouble, plus la vie végétale reste près de la surface.
16. 16. Quand reprendre le médicament ? a) $20$ mg, ce sont $2$ dizaines. La courbe passe sous la ligne pour $x\approx$$4,5$ : au bout d'environ $4$ h $30$. b) $100\times 0,7^4=24,01$ mg, encore au-dessus ; $100\times 0,7^5\approx 16,81$ mg, en dessous. ✔️ Le seuil est franchi entre $4$ h et $5$ h. c) Chaque heure, l'organisme élimine $30$ % de ce qui RESTE : $30$ mg la première heure, puis $21$ mg, puis $14,7$ mg… de moins en moins.
17. 17. Dater avec le carbone 14 a) $100$ %, puis $50$ %, puis $25$ % : deux demi-vies. Âge : environ $2\times 5730=11460$ ans. b) $12,5$ % : trois demi-vies, soit environ $3\times 5730=17190$ ans. c) Après $k$ demi-vies, il reste $\frac{100}{2^k}$ %. Avec $2^6=$$64$ : $1,5625$ %, encore au-dessus de $1$ %. Avec $2^7=$$128$ : environ $0,78$ %. Il faut $7$ demi-vies, soit $7\times 5730=40110$ ans. d) Les dinosaures ont disparu il y a environ $66$ millions d'années : plus de $11000$ demi-vies. Il ne reste pratiquement plus de carbone 14 à mesurer. ⭐ Au-delà de quelques dizaines de milliers d'années, il faut d'autres méthodes de datation.

    demi-vies	0	1	2	3	7
    carbone 14 (%)	100	50	25	12,5	0,78

18. 18. Un village et l'exode rural a) $p_n=800\times$$0,97^n$. b) La courbe passe sous la hauteur $4$ entre les abscisses $2$ et $2,5$ : entre $20$ et $25$ ans après 1950, donc entre 1970 et 1975. c) $p_{22}\approx 409,3$ et $p_{23}\approx$$397,0$ : la population passe sous $400$ habitants en $1950+23=$$1973$. d) La population a été divisée par $2$ en environ $23$ ans : c'est sa demi-vie. Pour passer de $400$ à $200$, il faut une nouvelle demi-vie : environ $46$ ans en tout, vers 1996. $p_{45}\approx 203,2$ et $p_{46}\approx$$197,1$. ✔️ En 1996. ⭐ La demi-vie ne dépend pas du point de départ : de $800$ à $400$, puis de $400$ à $200$, c'est la même durée.
19. 19. La règle de 72 a) $1,04^{17}\approx$$1,948$, sous $2$ ; $1,04^{18}\approx$$2,026$, au-dessus. Le capital a doublé au bout de $18$ ans. b) $1,06^{11}\approx 1,898$ et $1,06^{12}\approx$$2,012$ : au bout de $12$ ans. c) La règle donne $\frac{72}{4}=18$ ans et $\frac{72}{6}=12$ ans : exactement nos résultats. d) Multiplier par $4$, c'est doubler deux fois : $2\times 18=36$ ans. En effet, $1,04^{36}=1,04^{18}\times 1,04^{18}\approx$$4,10$, alors que $1,04^{35}\approx$$3,95$. ⚠️ La règle de $72$ est une approximation, pratique pour des taux de quelques pour cent.

    années	16	17	18
    1,04 puissance n	1,873	1,948	2,026

20. 20. Un glacier qui fond a) $s_n=10\times$$0,98^n$. b) La courbe passe sous la hauteur $5$ entre les abscisses $3$ et $3,5$ : entre $30$ et $35$ ans. c) $s_{34}\approx 5,03$ km², encore au-dessus ; $s_{35}\approx 4,93$ km², en dessous. C'est en $2025+35=$$2060$. d) 2095, c'est $70$ ans après 2025 : environ deux demi-vies de $35$ ans. Il resterait environ le quart : $2,5$ km². ✔️ $s_{70}=10\times 0,98^{70}\approx 2,43$ km². ⚠️ Dans le modèle, la surface ne s'annule jamais. En réalité, un glacier devenu trop petit peut disparaître : le modèle ne dit pas tout.