Reconnaître une suite géométrique : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices pour reconnaître une suite géométrique, écrire sa relation de récurrence, relier sa raison à un taux d'évolution et calculer ses termes un par un. Un rappel de cours avant chaque niveau, et une correction écrite étape par étape, avec ses dessins.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. On applique, on écrit le résultat.

Rappel de cours

Une suite est GÉOMÉTRIQUE quand on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ , la RAISON : $u_{n + 1} = q \times$ $u_{n}$ .
Pour la reconnaître sur des valeurs : on calcule les QUOTIENTS $\frac{u _{1}}{u _{0}}$ , $\frac{u _{2}}{u _{1}}$ … Ils doivent être tous égaux.
Une hausse de $t$ % à chaque étape donne $q = 1 +$ $\frac{t}{100}$ ; une baisse de $t$ %, $q = 1 -$ $\frac{t}{100}$ .

1
Les premiers termes d'une suite sont $3$ ; $6$ ; $12$ ; $24$ . Cette suite semble-t-elle géométrique ? Si oui, donner sa raison.
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On calcule le quotient de chaque terme par le précédent. $\frac{6}{3} =$ $2$ , $\frac{12}{6} =$ $2$ , $\frac{24}{12} =$ $2$ . Le quotient est toujours le même : la suite semble géométrique, de raison $q =$ $2$ . ⭐ Géométrique : on passe d'un terme au suivant en MULTIPLIANT toujours par le même nombre. ⚠️ Les différences, $3$ puis $6$ puis $12$ , ne sont pas constantes : ce n'est pas une suite arithmétique.
terme 3 6 12 24
passage × 2 × 2 × 2
2
Les termes $5$ ; $10$ ; $15$ ; $20$ sont-ils ceux d'une suite géométrique ?
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Quotients : $\frac{10}{5} =$ $2$ , mais $\frac{15}{10} =$ $1, 5$ . Les quotients ne sont pas égaux : la suite n'est PAS géométrique. En revanche, on ajoute toujours $5$ : elle est arithmétique, de raison $5$ . ⚠️ Le piège : « $10$ est le double de $5$ », et on conclut trop vite. Il faut tester TOUS les passages, pas seulement le premier. Sur le tableau, les coefficients de passage changent : pas de raison unique.
terme 5 10 15 20
passage × 2 × 1,5 × 1,33
3
La suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = 4$ et $u_{n + 1} = 3 \times$ $u_{n}$ . Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
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La relation dit : pour avoir le terme suivant, on multiplie par $3$ . $u_{1} = 3 \times u_{0} = 3 \times 4 =$ $12$ . $u_{2} = 3 \times u_{1} = 3 \times 12 =$ $36$ . $u_{3} = 3 \times u_{2} = 3 \times 36 =$ $108$ . ⚠️ Entre $u_{0}$ et $u_{3}$ , il y a TROIS multiplications par $3$ , pas une seule.
uₙ 4 12 36 108
passage × 3 × 3 × 3
4
Une quantité augmente de $20$ % à chaque étape. On la modélise par une suite géométrique. Quelle est sa raison ?
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Augmenter de $20$ %, c'est multiplier par $1 + \frac{20}{100} =$ $1, 2$ . La raison est $q =$ $1, 2$ . ⚠️ Pas $q =$ $0, 2$ : multiplier par $0, 2$ ferait FONDRE la quantité. Et pas $q = 20$ non plus. ⭐ La raison d'une suite géométrique, c'est le coefficient multiplicateur de l'évolution. Sur le dessin, pour $100$ au départ : $120$ , puis $144$ .
5
a) Une quantité baisse de $15$ % à chaque étape. Quelle est la raison de la suite géométrique associée ? b) Deux suites géométriques ont pour raisons $1, 07$ et $0, 96$ . À quelles évolutions correspondent-elles ?
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a) Baisser de $15$ %, c'est multiplier par $1 - \frac{15}{100} =$ $0, 85$ : $q =$ $0, 85$ . b) $1, 07 = 1 +$ $0, 07$ : une hausse de $7$ % à chaque étape. $0, 96 = 1 -$ $0, 04$ : une baisse de $4$ % à chaque étape. ⭐ $q >$ $1$ : hausse. $0 < q <$ $1$ : baisse. ⚠️ $0, 96$ n'est pas « une baisse de $96$ % » : on regarde l'écart à $1$ . Sur le dessin, pour $100$ au départ, avec $q =$ $0, 85$ : $85$ , puis $72, 25$ .
6
On donne $u_{0} =$ $800$ , et chaque terme est la moitié du précédent. Écrire la relation de récurrence, puis calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ .
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« La moitié », c'est multiplier par $0, 5$ : $u_{n + 1} = 0, 5 \times$ $u_{n}$ . $u_{1} = 0, 5 \times 800 =$ $400$ ; $u_{2} = 0, 5 \times 400 =$ $200$ ; $u_{3} = 0, 5 \times 200 =$ $100$ ; $u_{4} = 0, 5 \times 100 =$ $50$ . ⭐ Les termes diminuent, mais restent strictement positifs : diviser par $2$ n'atteint jamais $0$ . ⚠️ Diviser par $2$ , ce n'est pas « enlever $2$ » : $u_{1}$ ne vaut pas $798$ . Sur le dessin, les termes sont en centaines.
7
Les termes $1000$ ; $1100$ ; $1210$ ; $1331$ forment-ils une suite géométrique ? Donner la raison et le taux d'évolution correspondant.
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Quotients : $\frac{1 100}{1 000} =$ $1, 1$ ; $\frac{1 210}{1 100} =$ $1, 1$ ; $\frac{1 331}{1 210} =$ $1, 1$ . Le quotient est constant : la suite est géométrique, de raison $q =$ $1, 1$ . $1, 1 = 1 +$ $0, 1$ : chaque terme est $10$ % plus grand que le précédent. ⚠️ Les écarts grandissent ( $100$ , puis $110$ , puis $121$ ) : ce n'est pas une suite arithmétique, même si elle « monte régulièrement ».
terme 1 000 1 100 1 210 1 331
passage × 1,1 × 1,1 × 1,1
8
Une suite géométrique vérifie $u_{2} = 45$ et $u_{3} =$ $54$ . Calculer sa raison, puis $u_{4}$ et $u_{1}$ .
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La raison est le quotient de deux termes CONSÉCUTIFS : $q = \frac{u _{3}}{u _{2}} = \frac{54}{45} =$ $1, 2$ . $u_{4} = 1, 2 \times 54 =$ $64, 8$ . Pour reculer d'un rang, on DIVISE par la raison : $u_{1} = \frac{45}{1 , 2} =$ $37, 5$ . ✔️ Vérification : $1, 2 \times 37, 5 =$ $45$ . ⚠️ $54 - 45 = 9$ n'est pas la raison : dans une suite géométrique, on divise, on ne soustrait pas. Sur le dessin, les termes $u_{1}$ à $u_{4}$ , en dizaines : chaque point est $1, 2$ fois plus haut que le précédent.

terme	3	6	12	24
passage		× 2	× 2	× 2

terme	5	10	15	20
passage		× 2	× 1,5	× 1,33

uₙ	4	12	36	108
passage		× 3	× 3	× 3

terme	1 000	1 100	1 210	1 331
passage		× 1,1	× 1,1	× 1,1

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Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Traduire la situation en suite, écrire la relation, calculer, conclure par une phrase.

Rappel de cours

« Augmente de $t$ % par an » : chaque année, on multiplie par $1 +$ $\frac{t}{100}$ . C'est une suite géométrique.
« Augmente de $50$ € par an » : on AJOUTE toujours la même quantité. C'est une suite arithmétique, pas géométrique.
On calcule les termes un par un : $u_{1} = q \times$ $u_{0}$ , puis $u_{2} = q \times$ $u_{1}$ …
Perdre $t$ % à chaque étape, c'est perdre $t$ % de ce qui RESTE : la perte diminue d'une étape à l'autre.

9Un livret d'épargne
Léa place $2500$ € sur un livret qui rapporte $2$ % par an, les intérêts restant sur le livret (modèle). On note $u_{n}$ le capital au bout de $n$ années ; $u_{0} =$ $2500$ . a) Justifier que la suite $(u_{n})$ est géométrique ; donner sa raison. b) Écrire la relation de récurrence. c) Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ , au centime près.
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a) Chaque année, le capital augmente de $2$ % : il est multiplié par $1, 02$ . La suite est géométrique, de raison $q =$ $1, 02$ . b) $u_{n + 1} = 1, 02 \times$ $u_{n}$ . c) $u_{1} = 1, 02 \times 2500 = 2550$ €. $u_{2} = 1, 02 \times 2550 = 2601$ €. $u_{3} = 1, 02 \times 2601 = 2653, 02$ €. ⭐ La deuxième année rapporte $51$ €, plus que la première ( $50$ €) : les intérêts rapportent à leur tour des intérêts.
année capital (€)
0 2500
1 2550
2 2601
3 2653,02
année 0 1 2 3
capital (€) 2500 2550 2601 2653,02
10La lumière sous l'eau
Dans l'eau d'un lac, chaque mètre de profondeur absorbe $20$ % de la lumière qui l'atteint (modèle). À la surface, l'intensité vaut $100$ (en pourcentage de la lumière du jour). On note $u_{n}$ l'intensité à $n$ mètres de profondeur. a) Quelle est la raison de la suite géométrique $(u_{n})$ ? b) Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ . c) Une plante aquatique a besoin d'au moins $50$ % de la lumière du jour (modèle). Peut-elle vivre à $3$ m ? à $4$ m ?
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a) Perdre $20$ %, c'est garder $80$ % : on multiplie par $0, 8$ à chaque mètre. La raison est $q =$ $0, 8$ , avec $u_{0} =$ $100$ . b) $u_{1} = 0, 8 \times 100 =$ $80$ ; $u_{2} = 0, 8 \times 80 =$ $64$ ; $u_{3} = 0, 8 \times 64 =$ $51, 2$ ; $u_{4} = 0, 8 \times 51, 2 =$ $40, 96$ . c) À $3$ m : $51, 2 >$ $50$ , oui, de justesse. À $4$ m : $40, 96 <$ $50$ , non. ⚠️ On ne perd pas $20$ points par mètre : sinon, à $5$ m, il ne resterait plus rien. On perd $20$ % de ce qui RESTE. Sur le dessin, l'intensité est en dizaines ; la ligne en pointillés marque les $50$ %.
11La légende de l'échiquier
Une légende raconte que l'inventeur du jeu d'échecs demanda au roi un grain de blé sur la première case de l'échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite en doublant à chaque case. On note $u_{1} = 1$ le nombre de grains de la case $1$ , $u_{2}$ celui de la case $2$ , etc. a) Quelle est la nature de la suite ? Sa relation de récurrence ? b) Combien de grains sur la case $6$ ? sur la case $11$ ? c) Le roi pensait : « Case $11$ , c'est à peu près $2 \times 11 = 22$ grains. » Qu'en dire ?
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a) On double à chaque case, c'est-à-dire qu'on multiplie par $2$ : suite géométrique de raison $q =$ $2$ , et $u_{n + 1} = 2 \times$ $u_{n}$ . b) $u_{1} =$ $1$ , $u_{2} =$ $2$ , $u_{3} =$ $4$ , $u_{4} =$ $8$ , $u_{5} =$ $16$ , $u_{6} = 32$ grains. On continue : $u_{7} =$ $64$ , $u_{8} =$ $128$ , $u_{9} =$ $256$ , $u_{10} =$ $512$ , $u_{11} = 1024$ grains. c) Le roi raisonne comme si l'on AJOUTAIT à chaque case. Mais on MULTIPLIE par $2$ : $1024$ grains, pas $22$ . ⭐ Sur la dernière case, la $64$ e, le nombre dépasse de très loin les récoltes de blé du monde entier en une année : c'est la morale de la légende.
12Préparer un semi-marathon
Pour préparer un semi-marathon, Hugo court $20$ km la semaine $0$ , puis augmente sa distance chaque semaine. Le tableau donne ses distances. a) Ces distances forment-elles une suite arithmétique ? géométrique ? b) Quel est le taux d'augmentation chaque semaine ? c) Si la règle continue, quelle distance courra-t-il la semaine $4$ ? (au dixième de km)
semaine 0 1 2 3
distance (km) 20 22 24,2 26,62
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a) Différences : $22 - 20 =$ $2$ , puis $24, 2 - 22 =$ $2, 2$ . Elles changent : pas arithmétique. Quotients : $\frac{22}{20} =$ $1, 1$ ; $\frac{24 , 2}{22} =$ $1, 1$ ; $\frac{26 , 62}{24 , 2} =$ $1, 1$ . Ils sont égaux : suite géométrique de raison $1, 1$ . b) $1, 1 = 1 +$ $0, 1$ : $+ 10$ % chaque semaine. c) $26, 62 \times 1, 1 =$ $29, 282$ , soit environ $29, 3$ km. ⚠️ $+ 2$ km la première semaine ne veut pas dire $+ 2$ km chaque semaine : c'est $10$ % de la distance DU MOMENT.
13Moins de déchets
Dans une commune, chaque habitant produisait $500$ kg de déchets en 2024. Grâce au tri et au compost, la commune vise une baisse de $4$ % par an (modèle). On note $d_{n}$ la masse de déchets par habitant, en kg, en l'année $2024 +$ $n$ . a) Quelle est la raison de la suite $(d_{n})$ ? Écrire la relation de récurrence. b) Calculer $d_{1}$ , $d_{2}$ et $d_{3}$ (au dixième). c) À quelle année correspond $d_{3}$ ? La baisse sur trois ans est-elle de $12$ % ?
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a) Baisser de $4$ %, c'est multiplier par $0, 96$ : $q = 0, 96$ et $d_{n + 1} = 0, 96 \times$ $d_{n}$ . b) $d_{1} = 0, 96 \times 500 = 480$ kg ; $d_{2} = 0, 96 \times 480 = 460, 8$ kg ; $d_{3} = 0, 96 \times 460, 8 =$ $442, 368$ , soit environ $442, 4$ kg. c) $d_{3}$ correspond à $2024 + 3 =$ $2027$ . ⚠️ Une baisse de $12$ % donnerait $500 \times 0, 88 = 440$ kg. On trouve un peu plus : chaque baisse de $4$ % porte sur une masse déjà réduite.
14Des algues sur le lac
Sur un lac, des algues envahissantes s'étendent. Le graphique donne la surface qu'elles couvrent, en hectares : le point d'abscisse $n$ correspond à la semaine $n$ (modèle). a) Lire $u_{0}$ , $u_{1}$ et $u_{2}$ . b) Montrer que ces trois valeurs sont celles d'une suite géométrique ; donner sa raison et le taux d'évolution par semaine. c) Calculer $u_{3}$ et le vérifier sur le graphique, puis calculer $u_{4}$ .
Voir la correction
a) $u_{0} =$ $2$ ; $u_{1} =$ $3$ ; $u_{2} = 4, 5$ hectares. b) $\frac{3}{2} = 1, 5$ et $\frac{4 , 5}{3} =$ $1, 5$ : le même quotient. Raison $q =$ $1, 5$ , soit $+ 50$ % par semaine. c) $u_{3} = 1, 5 \times 4, 5 =$ $6, 75$ : sur le graphique, le point d'abscisse $3$ est bien entre $6$ et $7$ , aux trois quarts. $u_{4} = 1, 5 \times 6, 75 = 10, 125$ hectares. ⭐ Les points ne sont pas alignés : ils montent de plus en plus vite. C'est l'allure d'une suite géométrique de raison plus grande que $1$ .
15Un médicament dans le sang
Un patient reçoit une dose de $200$ mg d'un médicament. Chaque heure, son organisme en élimine $30$ % (modèle). On note $m_{n}$ la masse restante, en mg, au bout de $n$ heures. a) Écrire la relation entre $m_{n + 1}$ et $m_{n}$ . b) Calculer $m_{1}$ , $m_{2}$ et $m_{3}$ . c) Au bout de $3$ heures, a-t-il éliminé $90$ % du médicament ?
Voir la correction
a) Éliminer $30$ %, c'est en garder $70$ % : $m_{n + 1} = 0, 7 \times$ $m_{n}$ , avec $m_{0} =$ $200$ . b) $m_{1} = 0, 7 \times 200 = 140$ mg ; $m_{2} = 0, 7 \times 140 = 98$ mg ; $m_{3} = 0, 7 \times 98 = 68, 6$ mg. c) Il reste $68, 6$ mg sur $200$ : $\frac{68 , 6}{200} =$ $0, 343$ , soit $34, 3$ %. Il en a éliminé $65, 7$ %, pas $90$ %. ⚠️ Trois fois $30$ %, ce n'est pas $90$ % : chaque heure, on élimine $30$ % de ce qui RESTE.
16Deux promesses de salaire
Deux entreprises proposent le même salaire de départ, $1800$ € par mois. Dans l'entreprise $A$ , il augmente de $45$ € chaque année ; dans l'entreprise $B$ , de $2, 5$ % chaque année. a) Pour chaque entreprise, la suite des salaires est-elle arithmétique ou géométrique ? Donner sa raison. b) Calculer les salaires des années $1$ et $2$ dans chaque entreprise (au centime). c) Laquelle paie le mieux la deuxième année ?
Voir la correction
a) $A$ : on AJOUTE $45$ € chaque année. Suite arithmétique de raison $45$ . $B$ : on MULTIPLIE par $1, 025$ chaque année. Suite géométrique de raison $1, 025$ . b) $A$ : $1845$ €, puis $1890$ €. $B$ : $1, 025 \times 1800 = 1845$ €, puis $1, 025 \times 1845 =$ $1891, 125$ , soit environ $1891, 13$ €. c) La première année, c'est pareil : $2, 5$ % de $1800$ €, ce sont justement $45$ €. La deuxième, $B$ paie un peu plus : $2, 5$ % de $1845$ €, c'est plus que $45$ €. ⭐ L'écart est petit au début, mais il grandit chaque année.
année 0 1 2
salaire B (€) 1800 1845 1891,13

année	capital (€)
0	2500
1	2550
2	2601
3	2653,02

année	0	1	2	3
capital (€)	2500	2550	2601	2653,02

semaine	0	1	2	3
distance (km)	20	22	24,2	26,62

année	0	1	2
salaire B (€)	1800	1845	1891,13

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Un problème complet, avec ses questions qui s'enchaînent. Calculatrice autorisée.

Rappel de cours

On nomme la suite, on donne son premier terme et sa raison, on écrit la relation de récurrence.
On calcule les termes un par un, et on dit ce que chacun représente : quelle année, quelle unité.
Pour reconnaître le modèle : on AJOUTE toujours la même quantité, suite arithmétique ; on MULTIPLIE toujours par le même nombre, suite géométrique.

17La population d'un pays
Un pays compte $40$ millions d'habitants en 2000. On fait l'hypothèse (modèle) que sa population augmente de $2$ % par an. On note $p_{n}$ la population, en millions, en l'année $2000 +$ $n$ . a) Justifier que $(p_{n})$ est une suite géométrique ; donner $p_{0}$ et la raison. b) Calculer $p_{1}$ , $p_{2}$ et $p_{3}$ (au centième). c) Un autre modèle ajoute $0, 8$ million d'habitants par an. Donner ses valeurs pour 2001, 2002 et 2003. d) Lequel des deux modèles est géométrique ? Pourquoi l'écart entre eux grandit-il ?
Voir la correction
a) $+ 2$ % par an : on multiplie par $1, 02$ chaque année. Suite géométrique, $p_{0} = 40$ et $q =$ $1, 02$ . b) $p_{1} = 1, 02 \times 40 =$ $40, 8$ ; $p_{2} = 1, 02 \times 40, 8 =$ $41, 616$ , soit environ $41, 62$ ; $p_{3} = 1, 02 \times 41, 616 \approx 42, 45$ millions. c) $40, 8$ ; $41, 6$ ; $42, 4$ millions : on ajoute $0, 8$ à chaque fois. d) Le premier est géométrique : il multiplie. Le second est arithmétique : il ajoute. Les deux gagnent $0, 8$ million la première année, car $2$ % de $40$ , c'est $0, 8$ . Ensuite, le modèle géométrique gagne $2$ % d'une population PLUS grande : $0, 816$ million, puis davantage. L'écart grandit d'année en année.
année modèle à 2 % (millions)
2000 40
2001 40,8
2002 41,62
2003 42,45
année 2000 2001 2002 2003
modèle à 2 % (millions) 40 40,8 41,62 42,45
18La balle qui rebondit
On lâche une balle de $5$ m de haut. Le graphique donne la hauteur atteinte, en mètres : l'abscisse $0$ est la hauteur de départ, l'abscisse $n$ la hauteur après le $n$ -ième rebond (modèle). a) Lire $h_{0}$ et $h_{1}$ . On admet que chaque rebond fait perdre le même pourcentage de hauteur. Quelle est la raison de la suite $(h_{n})$ ? Quel pourcentage perd-on à chaque rebond ? b) Calculer $h_{2}$ , $h_{3}$ et $h_{4}$ , et les comparer au graphique. c) Un joueur affirme : « À chaque rebond, la balle perd $1$ m, donc elle s'arrête après $5$ rebonds. » Qu'en penser ?
Voir la correction
a) $h_{0} = 5$ et $h_{1} =$ $4$ . $q = \frac{4}{5} =$ $0, 8$ : chaque rebond garde $80$ % de la hauteur, il en fait perdre $20$ %. b) $h_{2} = 0, 8 \times 4 = 3, 2$ m ; $h_{3} = 0, 8 \times 3, 2 = 2, 56$ m ; $h_{4} = 0, 8 \times 2, 56 = 2, 048$ m. Les points du graphique sont bien à ces hauteurs. c) La perte n'est pas de $1$ m à chaque fois : $1$ m au premier rebond, puis $4 - 3, 2 = 0, 8$ m, puis $3, 2 - 2, 56 = 0, 64$ m. Elle diminue, car elle vaut $20$ % d'une hauteur de plus en plus petite. Dans le modèle, la hauteur reste strictement positive : elle n'atteint jamais $0$ . ⭐ En vrai, la balle finit par s'arrêter : le modèle est bon pour les premiers rebonds. Sur le dessin, la droite orange est l'idée du joueur : elle touche $0$ au $5$ e rebond.
19Un smartphone d'occasion
Un smartphone neuf coûte $800$ €. On estime (modèle) qu'il perd $25$ % de sa valeur chaque année. On note $v_{n}$ sa valeur, en euros, au bout de $n$ années. a) Donner $v_{0}$ , la raison de la suite $(v_{n})$ et la relation de récurrence. b) Calculer $v_{1}$ , $v_{2}$ et $v_{3}$ . c) Un vendeur dit : « Au bout de $4$ ans, il ne vaut plus rien, puisque $4 \times 25 = 100$ %. » Calculer $v_{4}$ au centime et conclure. d) Au bout de combien d'années vaut-il moins de la moitié de son prix neuf ?
Voir la correction
a) $v_{0} =$ $800$ . Perdre $25$ %, c'est garder $75$ % : $q = 0, 75$ et $v_{n + 1} = 0, 75 \times$ $v_{n}$ . b) $v_{1} = 0, 75 \times 800 = 600$ € ; $v_{2} = 0, 75 \times 600 = 450$ € ; $v_{3} = 0, 75 \times 450 = 337, 5$ €. c) $v_{4} = 0, 75 \times 337, 5 =$ $253, 125$ , soit environ $253, 13$ €. Il vaut encore quelque chose. ⚠️ Les pourcentages de baisse ne s'additionnent pas : chaque année, on perd $25$ % de ce qui RESTE. d) La moitié de $800$ €, c'est $400$ €. $v_{2} = 450 >$ $400$ , mais $v_{3} = 337, 5 <$ $400$ : au bout de $3$ ans.
20Des oiseaux protégés
Dans une réserve naturelle, on compte $40$ couples d'une espèce d'oiseaux protégée en 2025. Les naturalistes estiment (modèle) que le nombre de couples augmentera de $25$ % par an. On note $c_{n}$ le nombre de couples en l'année $2025 +$ $n$ . a) Donner la nature de la suite, sa raison et sa relation de récurrence. b) Calculer $c_{1}$ , $c_{2}$ , $c_{3}$ et $c_{4}$ . Que signifie « $62, 5$ couples » ? c) Le nombre de couples aura-t-il doublé en 2028 ? en 2029 ?
Voir la correction
a) $+ 25$ % par an : on multiplie par $1, 25$ . Suite géométrique de raison $q =$ $1, 25$ , avec $c_{0} = 40$ et $c_{n + 1} = 1, 25 \times$ $c_{n}$ . b) $c_{1} = 1, 25 \times 40 =$ $50$ ; $c_{2} = 1, 25 \times 50 =$ $62, 5$ ; $c_{3} = 1, 25 \times 62, 5 =$ $78, 125$ ; $c_{4} = 1, 25 \times 78, 125 =$ $97, 65625$ . « $62, 5$ couples » n'existe pas : le modèle donne un ordre de grandeur. On dira environ $62$ ou $63$ couples. c) Le double de $40$ , c'est $80$ . En 2028, $n =$ $3$ : $c_{3} \approx$ $78$ , pas encore. En 2029, $n =$ $4$ : $c_{4} \approx$ $98$ , oui. ⚠️ Trois hausses de $25$ % ne font pas $+ 75$ % : $1, 25 \times 1, 25 \times 1, 25 \approx$ $1, 95$ , soit environ $+ 95$ %. Presque le double, mais pas encore. Sur le dessin, les couples sont en dizaines ; la ligne en pointillés marque le double, $80$ couples.

année	modèle à 2 % (millions)
2000	40
2001	40,8
2002	41,62
2003	42,45

année	2000	2001	2002	2003
modèle à 2 % (millions)	40	40,8	41,62	42,45

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : reconnaître une suite géométrique, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. On calcule le quotient de chaque terme par le précédent. $\frac{6}{3} =$ $2$ , $\frac{12}{6} =$ $2$ , $\frac{24}{12} =$ $2$ . Le quotient est toujours le même : la suite semble géométrique, de raison $q =$ $2$ . ⭐ Géométrique : on passe d'un terme au suivant en MULTIPLIANT toujours par le même nombre. ⚠️ Les différences, $3$ puis $6$ puis $12$ , ne sont pas constantes : ce n'est pas une suite arithmétique.
terme 3 6 12 24
passage × 2 × 2 × 2
2. Quotients : $\frac{10}{5} =$ $2$ , mais $\frac{15}{10} =$ $1, 5$ . Les quotients ne sont pas égaux : la suite n'est PAS géométrique. En revanche, on ajoute toujours $5$ : elle est arithmétique, de raison $5$ . ⚠️ Le piège : « $10$ est le double de $5$ », et on conclut trop vite. Il faut tester TOUS les passages, pas seulement le premier. Sur le tableau, les coefficients de passage changent : pas de raison unique.
terme 5 10 15 20
passage × 2 × 1,5 × 1,33
3. La relation dit : pour avoir le terme suivant, on multiplie par $3$ . $u_{1} = 3 \times u_{0} = 3 \times 4 =$ $12$ . $u_{2} = 3 \times u_{1} = 3 \times 12 =$ $36$ . $u_{3} = 3 \times u_{2} = 3 \times 36 =$ $108$ . ⚠️ Entre $u_{0}$ et $u_{3}$ , il y a TROIS multiplications par $3$ , pas une seule.
uₙ 4 12 36 108
passage × 3 × 3 × 3
4. Augmenter de $20$ %, c'est multiplier par $1 + \frac{20}{100} =$ $1, 2$ . La raison est $q =$ $1, 2$ . ⚠️ Pas $q =$ $0, 2$ : multiplier par $0, 2$ ferait FONDRE la quantité. Et pas $q = 20$ non plus. ⭐ La raison d'une suite géométrique, c'est le coefficient multiplicateur de l'évolution. Sur le dessin, pour $100$ au départ : $120$ , puis $144$ .
5. a) Baisser de $15$ %, c'est multiplier par $1 - \frac{15}{100} =$ $0, 85$ : $q =$ $0, 85$ . b) $1, 07 = 1 +$ $0, 07$ : une hausse de $7$ % à chaque étape. $0, 96 = 1 -$ $0, 04$ : une baisse de $4$ % à chaque étape. ⭐ $q >$ $1$ : hausse. $0 < q <$ $1$ : baisse. ⚠️ $0, 96$ n'est pas « une baisse de $96$ % » : on regarde l'écart à $1$ . Sur le dessin, pour $100$ au départ, avec $q =$ $0, 85$ : $85$ , puis $72, 25$ .
6. « La moitié », c'est multiplier par $0, 5$ : $u_{n + 1} = 0, 5 \times$ $u_{n}$ . $u_{1} = 0, 5 \times 800 =$ $400$ ; $u_{2} = 0, 5 \times 400 =$ $200$ ; $u_{3} = 0, 5 \times 200 =$ $100$ ; $u_{4} = 0, 5 \times 100 =$ $50$ . ⭐ Les termes diminuent, mais restent strictement positifs : diviser par $2$ n'atteint jamais $0$ . ⚠️ Diviser par $2$ , ce n'est pas « enlever $2$ » : $u_{1}$ ne vaut pas $798$ . Sur le dessin, les termes sont en centaines.
7. Quotients : $\frac{1 100}{1 000} =$ $1, 1$ ; $\frac{1 210}{1 100} =$ $1, 1$ ; $\frac{1 331}{1 210} =$ $1, 1$ . Le quotient est constant : la suite est géométrique, de raison $q =$ $1, 1$ . $1, 1 = 1 +$ $0, 1$ : chaque terme est $10$ % plus grand que le précédent. ⚠️ Les écarts grandissent ( $100$ , puis $110$ , puis $121$ ) : ce n'est pas une suite arithmétique, même si elle « monte régulièrement ».
terme 1 000 1 100 1 210 1 331
passage × 1,1 × 1,1 × 1,1
8. La raison est le quotient de deux termes CONSÉCUTIFS : $q = \frac{u _{3}}{u _{2}} = \frac{54}{45} =$ $1, 2$ . $u_{4} = 1, 2 \times 54 =$ $64, 8$ . Pour reculer d'un rang, on DIVISE par la raison : $u_{1} = \frac{45}{1 , 2} =$ $37, 5$ . ✔️ Vérification : $1, 2 \times 37, 5 =$ $45$ . ⚠️ $54 - 45 = 9$ n'est pas la raison : dans une suite géométrique, on divise, on ne soustrait pas. Sur le dessin, les termes $u_{1}$ à $u_{4}$ , en dizaines : chaque point est $1, 2$ fois plus haut que le précédent.
9. Un livret d'épargne a) Chaque année, le capital augmente de $2$ % : il est multiplié par $1, 02$ . La suite est géométrique, de raison $q =$ $1, 02$ . b) $u_{n + 1} = 1, 02 \times$ $u_{n}$ . c) $u_{1} = 1, 02 \times 2500 = 2550$ €. $u_{2} = 1, 02 \times 2550 = 2601$ €. $u_{3} = 1, 02 \times 2601 = 2653, 02$ €. ⭐ La deuxième année rapporte $51$ €, plus que la première ( $50$ €) : les intérêts rapportent à leur tour des intérêts.
année capital (€)
0 2500
1 2550
2 2601
3 2653,02
année 0 1 2 3
capital (€) 2500 2550 2601 2653,02
10. La lumière sous l'eau a) Perdre $20$ %, c'est garder $80$ % : on multiplie par $0, 8$ à chaque mètre. La raison est $q =$ $0, 8$ , avec $u_{0} =$ $100$ . b) $u_{1} = 0, 8 \times 100 =$ $80$ ; $u_{2} = 0, 8 \times 80 =$ $64$ ; $u_{3} = 0, 8 \times 64 =$ $51, 2$ ; $u_{4} = 0, 8 \times 51, 2 =$ $40, 96$ . c) À $3$ m : $51, 2 >$ $50$ , oui, de justesse. À $4$ m : $40, 96 <$ $50$ , non. ⚠️ On ne perd pas $20$ points par mètre : sinon, à $5$ m, il ne resterait plus rien. On perd $20$ % de ce qui RESTE. Sur le dessin, l'intensité est en dizaines ; la ligne en pointillés marque les $50$ %.
11. La légende de l'échiquier a) On double à chaque case, c'est-à-dire qu'on multiplie par $2$ : suite géométrique de raison $q =$ $2$ , et $u_{n + 1} = 2 \times$ $u_{n}$ . b) $u_{1} =$ $1$ , $u_{2} =$ $2$ , $u_{3} =$ $4$ , $u_{4} =$ $8$ , $u_{5} =$ $16$ , $u_{6} = 32$ grains. On continue : $u_{7} =$ $64$ , $u_{8} =$ $128$ , $u_{9} =$ $256$ , $u_{10} =$ $512$ , $u_{11} = 1024$ grains. c) Le roi raisonne comme si l'on AJOUTAIT à chaque case. Mais on MULTIPLIE par $2$ : $1024$ grains, pas $22$ . ⭐ Sur la dernière case, la $64$ e, le nombre dépasse de très loin les récoltes de blé du monde entier en une année : c'est la morale de la légende.
12. Préparer un semi-marathon a) Différences : $22 - 20 =$ $2$ , puis $24, 2 - 22 =$ $2, 2$ . Elles changent : pas arithmétique. Quotients : $\frac{22}{20} =$ $1, 1$ ; $\frac{24 , 2}{22} =$ $1, 1$ ; $\frac{26 , 62}{24 , 2} =$ $1, 1$ . Ils sont égaux : suite géométrique de raison $1, 1$ . b) $1, 1 = 1 +$ $0, 1$ : $+ 10$ % chaque semaine. c) $26, 62 \times 1, 1 =$ $29, 282$ , soit environ $29, 3$ km. ⚠️ $+ 2$ km la première semaine ne veut pas dire $+ 2$ km chaque semaine : c'est $10$ % de la distance DU MOMENT.
13. Moins de déchets a) Baisser de $4$ %, c'est multiplier par $0, 96$ : $q = 0, 96$ et $d_{n + 1} = 0, 96 \times$ $d_{n}$ . b) $d_{1} = 0, 96 \times 500 = 480$ kg ; $d_{2} = 0, 96 \times 480 = 460, 8$ kg ; $d_{3} = 0, 96 \times 460, 8 =$ $442, 368$ , soit environ $442, 4$ kg. c) $d_{3}$ correspond à $2024 + 3 =$ $2027$ . ⚠️ Une baisse de $12$ % donnerait $500 \times 0, 88 = 440$ kg. On trouve un peu plus : chaque baisse de $4$ % porte sur une masse déjà réduite.
14. Des algues sur le lac a) $u_{0} =$ $2$ ; $u_{1} =$ $3$ ; $u_{2} = 4, 5$ hectares. b) $\frac{3}{2} = 1, 5$ et $\frac{4 , 5}{3} =$ $1, 5$ : le même quotient. Raison $q =$ $1, 5$ , soit $+ 50$ % par semaine. c) $u_{3} = 1, 5 \times 4, 5 =$ $6, 75$ : sur le graphique, le point d'abscisse $3$ est bien entre $6$ et $7$ , aux trois quarts. $u_{4} = 1, 5 \times 6, 75 = 10, 125$ hectares. ⭐ Les points ne sont pas alignés : ils montent de plus en plus vite. C'est l'allure d'une suite géométrique de raison plus grande que $1$ .
15. Un médicament dans le sang a) Éliminer $30$ %, c'est en garder $70$ % : $m_{n + 1} = 0, 7 \times$ $m_{n}$ , avec $m_{0} =$ $200$ . b) $m_{1} = 0, 7 \times 200 = 140$ mg ; $m_{2} = 0, 7 \times 140 = 98$ mg ; $m_{3} = 0, 7 \times 98 = 68, 6$ mg. c) Il reste $68, 6$ mg sur $200$ : $\frac{68 , 6}{200} =$ $0, 343$ , soit $34, 3$ %. Il en a éliminé $65, 7$ %, pas $90$ %. ⚠️ Trois fois $30$ %, ce n'est pas $90$ % : chaque heure, on élimine $30$ % de ce qui RESTE.
16. Deux promesses de salaire a) $A$ : on AJOUTE $45$ € chaque année. Suite arithmétique de raison $45$ . $B$ : on MULTIPLIE par $1, 025$ chaque année. Suite géométrique de raison $1, 025$ . b) $A$ : $1845$ €, puis $1890$ €. $B$ : $1, 025 \times 1800 = 1845$ €, puis $1, 025 \times 1845 =$ $1891, 125$ , soit environ $1891, 13$ €. c) La première année, c'est pareil : $2, 5$ % de $1800$ €, ce sont justement $45$ €. La deuxième, $B$ paie un peu plus : $2, 5$ % de $1845$ €, c'est plus que $45$ €. ⭐ L'écart est petit au début, mais il grandit chaque année.
année 0 1 2
salaire B (€) 1800 1845 1891,13
17. La population d'un pays a) $+ 2$ % par an : on multiplie par $1, 02$ chaque année. Suite géométrique, $p_{0} = 40$ et $q =$ $1, 02$ . b) $p_{1} = 1, 02 \times 40 =$ $40, 8$ ; $p_{2} = 1, 02 \times 40, 8 =$ $41, 616$ , soit environ $41, 62$ ; $p_{3} = 1, 02 \times 41, 616 \approx 42, 45$ millions. c) $40, 8$ ; $41, 6$ ; $42, 4$ millions : on ajoute $0, 8$ à chaque fois. d) Le premier est géométrique : il multiplie. Le second est arithmétique : il ajoute. Les deux gagnent $0, 8$ million la première année, car $2$ % de $40$ , c'est $0, 8$ . Ensuite, le modèle géométrique gagne $2$ % d'une population PLUS grande : $0, 816$ million, puis davantage. L'écart grandit d'année en année.
année modèle à 2 % (millions)
2000 40
2001 40,8
2002 41,62
2003 42,45
année 2000 2001 2002 2003
modèle à 2 % (millions) 40 40,8 41,62 42,45
18. La balle qui rebondit a) $h_{0} = 5$ et $h_{1} =$ $4$ . $q = \frac{4}{5} =$ $0, 8$ : chaque rebond garde $80$ % de la hauteur, il en fait perdre $20$ %. b) $h_{2} = 0, 8 \times 4 = 3, 2$ m ; $h_{3} = 0, 8 \times 3, 2 = 2, 56$ m ; $h_{4} = 0, 8 \times 2, 56 = 2, 048$ m. Les points du graphique sont bien à ces hauteurs. c) La perte n'est pas de $1$ m à chaque fois : $1$ m au premier rebond, puis $4 - 3, 2 = 0, 8$ m, puis $3, 2 - 2, 56 = 0, 64$ m. Elle diminue, car elle vaut $20$ % d'une hauteur de plus en plus petite. Dans le modèle, la hauteur reste strictement positive : elle n'atteint jamais $0$ . ⭐ En vrai, la balle finit par s'arrêter : le modèle est bon pour les premiers rebonds. Sur le dessin, la droite orange est l'idée du joueur : elle touche $0$ au $5$ e rebond.
19. Un smartphone d'occasion a) $v_{0} =$ $800$ . Perdre $25$ %, c'est garder $75$ % : $q = 0, 75$ et $v_{n + 1} = 0, 75 \times$ $v_{n}$ . b) $v_{1} = 0, 75 \times 800 = 600$ € ; $v_{2} = 0, 75 \times 600 = 450$ € ; $v_{3} = 0, 75 \times 450 = 337, 5$ €. c) $v_{4} = 0, 75 \times 337, 5 =$ $253, 125$ , soit environ $253, 13$ €. Il vaut encore quelque chose. ⚠️ Les pourcentages de baisse ne s'additionnent pas : chaque année, on perd $25$ % de ce qui RESTE. d) La moitié de $800$ €, c'est $400$ €. $v_{2} = 450 >$ $400$ , mais $v_{3} = 337, 5 <$ $400$ : au bout de $3$ ans.
20. Des oiseaux protégés a) $+ 25$ % par an : on multiplie par $1, 25$ . Suite géométrique de raison $q =$ $1, 25$ , avec $c_{0} = 40$ et $c_{n + 1} = 1, 25 \times$ $c_{n}$ . b) $c_{1} = 1, 25 \times 40 =$ $50$ ; $c_{2} = 1, 25 \times 50 =$ $62, 5$ ; $c_{3} = 1, 25 \times 62, 5 =$ $78, 125$ ; $c_{4} = 1, 25 \times 78, 125 =$ $97, 65625$ . « $62, 5$ couples » n'existe pas : le modèle donne un ordre de grandeur. On dira environ $62$ ou $63$ couples. c) Le double de $40$ , c'est $80$ . En 2028, $n =$ $3$ : $c_{3} \approx$ $78$ , pas encore. En 2029, $n =$ $4$ : $c_{4} \approx$ $98$ , oui. ⚠️ Trois hausses de $25$ % ne font pas $+ 75$ % : $1, 25 \times 1, 25 \times 1, 25 \approx$ $1, 95$ , soit environ $+ 95$ %. Presque le double, mais pas encore. Sur le dessin, les couples sont en dizaines ; la ligne en pointillés marque le double, $80$ couples.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : reconnaître une suite géométrique, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3