Suite géométrique : le terme général : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices pour écrire uₙ en fonction de n, trouver le sens de variation d'une suite géométrique, placer ses points et dire ce que représente un terme. Un rappel de cours avant chaque niveau, et une correction écrite étape par étape, avec ses dessins.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. On applique, on écrit le résultat.

Rappel de cours

Suite géométrique de premier terme $u_{0}$ et de raison $q$ : $u_{n} = u_{0} \times$ $q^{n}$ .
On calcule d'abord la puissance $q^{n}$ , puis on multiplie par $u_{0}$ . Et $q^{0} =$ $1$ .
Termes strictement positifs : si $q >$ $1$ , la suite est croissante ; si $0 < q <$ $1$ , décroissante ; si $q =$ $1$ , constante.
Pour la représenter, on place les points $(n; u_{n})$ . On ne les relie pas.

1
Soit $(u_{n})$ la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 3$ et de raison $q =$ $2$ . Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_{5}$ .
Voir la correction
$u_{n} = u_{0} \times q^{n} = 3 \times$ $2^{n}$ . $u_{5} = 3 \times 2^{5} = 3 \times 32 =$ $96$ . ⚠️ $3 \times 2^{5}$ n'est pas $6^{5}$ : on calcule d'abord la puissance, puis on multiplie par $3$ . ⭐ La formule évite de calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ , $u_{4}$ : on saute directement au rang voulu.
n 0 1 2 5
uₙ 3 6 12 96
2
On donne $u_{0} = 5000$ et $q =$ $0, 8$ . Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_{3}$ .
Voir la correction
$u_{n} = 5000 \times$ $0, 8^{n}$ . $u_{3} = 5000 \times 0, 8^{3} = 5000 \times 0, 512 =$ $2560$ . ⚠️ $0, 8^{3}$ n'est pas $0, 8 \times 3 =$ $2, 4$ : c'est $0, 8 \times 0, 8 \times$ $0, 8$ . Sur le dessin, les termes en milliers : chaque point est à $0, 8$ fois la hauteur du précédent.
3
On donne $u_{n} = 7 \times$ $1, 5^{n}$ . Donner le premier terme $u_{0}$ et la raison, puis calculer $u_{2}$ .
Voir la correction
$u_{0} = 7 \times 1, 5^{0} = 7 \times 1 =$ $7$ . La raison est le nombre élevé à la puissance $n$ : $q =$ $1, 5$ . $u_{2} = 7 \times 1, 5^{2} = 7 \times 2, 25 =$ $15, 75$ . ⚠️ $1, 5^{0} =$ $1$ , et pas $0$ : un nombre non nul à la puissance $0$ vaut toujours $1$ .
n 0 1 2
uₙ 7 10,5 15,75
4
Donner le sens de variation de chaque suite géométrique. a) $u_{0} = 10$ et $q =$ $1, 3$ . b) $v_{0} = 50$ et $q =$ $0, 6$ . c) $w_{0} = 8$ et $q =$ $1$ .
Voir la correction
Les termes sont strictement positifs : c'est la raison, comparée à $1$ , qui décide. a) $1, 3 >$ $1$ : $(u_{n})$ est croissante. b) $0 < 0, 6 <$ $1$ : $(v_{n})$ est décroissante. c) $q =$ $1$ : on multiplie par $1$ , rien ne change. $(w_{n})$ est constante, égale à $8$ . ⚠️ Ce n'est pas le premier terme qui décide : $v_{0} = 50$ est grand, et pourtant la suite décroît. Sur le dessin, les trois suites divisées par $5$ : $(u_{n})$ en bleu monte, $(v_{n})$ en orange descend, $(w_{n})$ en vert reste plate.
5
On donne $u_{n} = 400 \times$ $0, 9^{n}$ . Quel est le sens de variation de $(u_{n})$ ? Le vérifier sur $u_{0}$ , $u_{1}$ et $u_{2}$ .
Voir la correction
$u_{0} = 400 > 0$ et la raison $q = 0, 9$ est entre $0$ et $1$ : la suite est décroissante. $u_{0} =$ $400$ ; $u_{1} = 400 \times 0, 9 =$ $360$ ; $u_{2} = 400 \times 0, 81 =$ $324$ : les termes baissent bien. ⭐ $q =$ $0, 9$ , c'est une baisse de $10$ % à chaque étape. Sur le dessin, les termes en centaines : ils descendent.
6
Une suite géométrique vérifie $u_{1} = 6$ et a pour raison $q =$ $3$ . Calculer $u_{0}$ , exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_{4}$ .
Voir la correction
On recule d'un rang en divisant par la raison : $u_{0} = \frac{6}{3} =$ $2$ . Donc $u_{n} = 2 \times$ $3^{n}$ . $u_{4} = 2 \times 3^{4} = 2 \times 81 =$ $162$ . ⚠️ Écrire $u_{n} = 6 \times 3^{n}$ serait faux : la formule part de $u_{0}$ , pas de $u_{1}$ . Elle donnerait $u_{1} =$ $18$ , au lieu de $6$ .
n 0 1 2 3 4
uₙ 2 6 18 54 162
7
On donne $u_{n} = 6 \times$ $0, 5^{n}$ . Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ , puis placer les points $(n; u_{n})$ dans un repère.
Voir la correction
$u_{0} =$ $6$ ; $u_{1} =$ $3$ ; $u_{2} =$ $1, 5$ ; $u_{3} =$ $0, 75$ ; $u_{4} =$ $0, 375$ . On place les points $(0; 6)$ , $(1; 3)$ , $(2; 1, 5)$ , $(3; 0, 75)$ et $(4; 0, 375)$ . ⭐ Les points ne sont pas alignés : ils descendent de moins en moins vite, et s'approchent de l'axe sans jamais le toucher. ⚠️ On ne relie pas les points : une suite n'a de valeurs qu'aux rangs entiers.
8
Le nombre d'habitants d'une ville, $n$ années après 2020, est modélisé par $u_{n} = 12000 \times$ $1, 0 5^{n}$ . a) Que représentent $12000$ et $1, 05$ ? b) Calculer $u_{2}$ . Que représente ce nombre ?
Voir la correction
a) $12000 =$ $u_{0}$ : la population en 2020. $1, 05$ est la raison : la population augmente de $5$ % par an. b) $u_{2} = 12000 \times 1, 0 5^{2} = 12000 \times 1, 1025 =$ $13230$ . C'est la population prévue en $2020 + 2 =$ $2022$ : $13230$ habitants. ⚠️ Le rang $n$ n'est pas l'année : $u_{2}$ parle de 2022, pas de l'an $2$ .

n	0	1	2	5
uₙ	3	6	12	96

n	0	1	2
uₙ	7	10,5	15,75

n	0	1	2	3	4
uₙ	2	6	18	54	162

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Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Écrire la formule, calculer le terme demandé, dire ce qu'il représente.

Rappel de cours

$u_{n} = u_{0} \times$ $q^{n}$ : $u_{0}$ est la valeur de DÉPART (rang $0$ ), $q$ le coefficient multiplicateur d'une étape.
Si $n$ compte les années depuis 2020, le rang $n$ correspond à l'année $2020 +$ $n$ .
$n$ hausses de $t$ % ne font pas $n \times t$ % : on calcule $q^{n}$ .
Croissante si $q >$ $1$ , décroissante si $0 < q <$ $1$ . Les points $(n; u_{n})$ ne sont pas alignés.

9Un capital qui dort
Samir place $5000$ € à intérêts composés, au taux de $3$ % par an (modèle). On note $u_{n}$ le capital au bout de $n$ années. a) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ . b) Calculer le capital au bout de $5$ ans, puis de $10$ ans (au centime). c) Le capital a-t-il augmenté de $30$ % en $10$ ans ?
Voir la correction
a) $+ 3$ % par an : raison $1, 03$ , et $u_{0} =$ $5000$ . Donc $u_{n} = 5000 \times$ $1, 0 3^{n}$ . b) $u_{5} = 5000 \times 1, 0 3^{5} \approx 5796, 37$ €. $u_{10} = 5000 \times 1, 0 3^{10} \approx 6719, 58$ €. c) $\frac{6 719 , 58}{5 000} \approx$ $1, 344$ : une hausse d'environ $34, 4$ %, plus que $30$ %. ⭐ Chaque année, les $3$ % portent sur un capital plus gros : dix hausses de $3$ % font plus que $30$ %.
année 0 5 10
capital (€) 5000 5796,37 6719,58
10Un condensateur qui se décharge
Un condensateur chargé sous $12$ V se décharge dans une résistance. Chaque seconde, sa tension baisse de $10$ % (modèle). On note $U_{n}$ la tension, en volts, au bout de $n$ secondes. a) Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$ . b) Donner le sens de variation de la suite $(U_{n})$ . c) Calculer $U_{3}$ et $U_{5}$ (au centième). Que représente $U_{5}$ ?
Voir la correction
a) Baisser de $10$ %, c'est multiplier par $0, 9$ : $U_{n} = 12 \times$ $0, 9^{n}$ . b) $U_{0} = 12 > 0$ et $0 < 0, 9 <$ $1$ : la suite est décroissante. La tension baisse à chaque seconde. c) $U_{3} = 12 \times 0, 9^{3} = 12 \times 0, 729 =$ $8, 748$ , soit environ $8, 75$ V. $U_{5} = 12 \times 0, 9^{5} \approx 7, 09$ V : c'est la tension au bout de $5$ secondes. ⚠️ En $5$ secondes, la tension n'a pas perdu $50$ % : il reste plus de la moitié des $12$ V. Sur le dessin, les points descendent de moins en moins vite.
11La population mondiale
En 1960, la Terre comptait environ $3$ milliards d'habitants. Un modèle simple suppose une hausse de $2$ % par an. On note $p_{n}$ la population, en milliards, en l'année $1960 +$ $n$ . Le graphique place les points du modèle tous les dix ans : l'abscisse compte les décennies. a) Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$ . b) Calculer $p_{10}$ et $p_{40}$ (au centième). À quelles années correspondent-ils ? c) En 2000, la population réelle était d'environ $6, 1$ milliards. Le modèle en prévoit-il trop, ou pas assez ?
Voir la correction
a) $p_{n} = 3 \times$ $1, 0 2^{n}$ . b) $p_{10} = 3 \times 1, 0 2^{10} \approx 3, 66$ milliards : c'est 1970. $p_{40} = 3 \times 1, 0 2^{40} \approx 6, 62$ milliards : c'est 2000. Sur le graphique, l'abscisse compte les DÉCENNIES : le point d'abscisse $4$ est $p_{40}$ , pas $p_{4}$ . c) Le modèle donne $6, 62$ milliards, la réalité environ $6, 1$ : le modèle en prévoit trop. La croissance réelle a ralenti : le taux annuel n'est pas resté à $2$ %. ⭐ Un modèle géométrique suppose un taux CONSTANT. Quand le taux change, le modèle s'éloigne de la réalité.
12Un club d'escalade
Le diagramme donne le nombre d'adhérents d'un club d'escalade (modèle). a) Montrer que ces nombres sont les premiers termes d'une suite géométrique $(a_{n})$ , où $a_{n}$ est le nombre d'adhérents en l'année $2022 +$ $n$ . b) Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$ . c) Si l'évolution continue, combien d'adhérents le club aura-t-il en 2028 ?
Voir la correction
a) $\frac{150}{125} =$ $1, 2$ ; $\frac{180}{150} =$ $1, 2$ ; $\frac{216}{180} =$ $1, 2$ : quotient constant, suite géométrique de raison $1, 2$ . b) $a_{n} = 125 \times$ $1, 2^{n}$ . c) 2028, c'est le rang $n = 2028 - 2022 =$ $6$ . $a_{6} = 125 \times 1, 2^{6} \approx$ $373, 2$ : environ $373$ adhérents. ⚠️ Le rang de 2028 est $6$ : ni $2028$ , ni $4$ . La quatrième barre, 2025, est le rang $3$ .
13Réduire ses émissions de CO₂
Une entreprise émettait $800$ tonnes de CO₂ en 2025. Elle s'engage à réduire ses émissions de $5$ % par an (modèle). On note $E_{n}$ ses émissions, en tonnes, en l'année $2025 +$ $n$ . a) Exprimer $E_{n}$ en fonction de $n$ ; donner le sens de variation de la suite. b) Calculer $E_{10}$ à la tonne près. Que représente-t-il ? c) L'entreprise annonce : « En dix ans, nous aurons divisé nos émissions par deux. » Est-ce vrai ?
Voir la correction
a) $E_{n} = 800 \times$ $0, 9 5^{n}$ . La raison est entre $0$ et $1$ , le premier terme est positif : la suite est décroissante. b) $E_{10} = 800 \times 0, 9 5^{10} \approx 479$ tonnes : les émissions prévues en 2035. c) La moitié de $800$ , c'est $400$ . Or $479 >$ $400$ : non. La baisse est d'environ $40$ %, pas de $50$ %. ⚠️ Dix baisses de $5$ % ne font pas $- 50$ % : on perd $5$ % d'une quantité de plus en plus petite.
année 2025 2030 2035
émissions (t) 800 619,02 478,99
14Les nénuphars de l'étang
Sur un étang, des nénuphars s'étendent. Le graphique donne la surface couverte, en m², jour après jour (modèle). a) Parmi $u_{n} = 1 +$ $n$ , $u_{n} = 2 n$ et $u_{n} =$ $2^{n}$ , quelle formule correspond aux points ? b) Calculer $u_{10}$ . Que représente-t-il ? c) L'étang est entièrement couvert le jour $20$ . Quel jour était-il à moitié couvert ?
Voir la correction
a) On lit $1$ ; $2$ ; $4$ ; $8$ : la surface double chaque jour. $u_{n} = 2^{n}$ convient : $2^{0} =$ $1$ , $2^{1} =$ $2$ , $2^{2} =$ $4$ , $2^{3} =$ $8$ . $1 + n$ donne $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ : non. $2 n$ donne $0$ au rang $0$ : non. b) $u_{10} = 2^{10} = 1024$ m² : la surface couverte le jour $10$ . c) La surface double chaque jour : la veille du jour $20$ , elle valait la moitié. C'est le jour $19$ . ⚠️ Pas le jour $10$ ! Le jour $10$ , les nénuphars couvrent à peine un millième de l'étang : $\frac{2 ^{10}}{2 ^{20}} =$ $\frac{1}{1 024}$ .
15Avec ou sans traitement
Dans une culture, on compte $1000$ bactéries. Sans traitement, leur nombre augmente de $10$ % par heure ; avec un traitement, il baisse de $30$ % par heure (modèles). On note $v_{n}$ et $u_{n}$ le nombre de bactéries au bout de $n$ heures, sans et avec traitement. a) Exprimer $v_{n}$ et $u_{n}$ en fonction de $n$ . b) Donner le sens de variation de chaque suite. c) Calculer $v_{3}$ et $u_{3}$ . Représenter les termes de $n = 0$ à $n =$ $4$ , en centaines.
Voir la correction
a) $v_{n} = 1000 \times 1, 1^{n}$ et $u_{n} = 1000 \times$ $0, 7^{n}$ . b) $1, 1 >$ $1$ : $(v_{n})$ est croissante. $0 < 0, 7 <$ $1$ : $(u_{n})$ est décroissante. c) $v_{3} = 1000 \times 1, 331 = 1331$ bactéries ; $u_{3} = 1000 \times 0, 343 = 343$ bactéries. Sur le dessin, en centaines : les points rouges sont ceux de $v_{n}$ , les points reliés en orange ceux de $u_{n}$ . Les deux partent de $10$ centaines, puis s'écartent. ⭐ Même départ, deux raisons : c'est la raison, et elle seule, qui décide du sens.
16Une forêt qui recule
La surface boisée d'une région, en milliers d'hectares, est modélisée par $f_{n} = 250 \times$ $0, 9 8^{n}$ , où $n$ est le nombre d'années après 2020. a) Que représentent $250$ et $0, 98$ ? b) Quel est le sens de variation de $(f_{n})$ ? Que traduit-il ? c) Calculer $f_{10}$ au dixième. Quelle surface la région aura-t-elle perdue en dix ans ?
Voir la correction
a) $250$ : la surface en 2020, $250$ milliers d'hectares, soit $250000$ ha. $0, 98 = 1 -$ $0, 02$ : la forêt perd $2$ % de sa surface par an. b) $0 < 0, 98 <$ $1$ : suite décroissante. La forêt recule chaque année. c) $f_{10} = 250 \times 0, 9 8^{10} \approx 204, 3$ milliers d'hectares. Perte : $250 - 204, 3 = 45, 7$ milliers d'hectares. ⚠️ Pas $20$ % de $250$ , soit $50$ : chaque année, on perd $2$ % d'une forêt déjà réduite.
année 2020 2025 2030
forêt (milliers d'ha) 250 225,98 204,27

année	0	5	10
capital (€)	5000	5796,37	6719,58

année	2025	2030	2035
émissions (t)	800	619,02	478,99

année	2020	2025	2030
forêt (milliers d'ha)	250	225,98	204,27

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Un problème complet, avec ses questions qui s'enchaînent. Calculatrice autorisée.

Rappel de cours

On identifie $u_{0}$ et $q$ , on écrit $u_{n} = u_{0} \times$ $q^{n}$ , on vérifie sur $u_{1}$ .
On traduit l'année en rang (ou l'inverse) avant de calculer.
On conclut par une phrase, avec l'unité, et on dit si le modèle est raisonnable.

17Une ville de l'ère industrielle
Au XIXe siècle, l'exode rural fait grandir les villes industrielles. Une ville compte $20000$ habitants en 1850 ; on suppose (modèle) que sa population augmente de $3$ % par an. On note $u_{n}$ la population en l'année $1850 +$ $n$ . a) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ et donner son sens de variation. b) Calculer la population tous les dix ans, de 1860 à 1900, à la centaine près, puis représenter ces valeurs. c) Par combien la population a-t-elle été multipliée entre 1850 et 1900 ? d) Dans ce modèle d'exercice, on suppose que les archives donnent $80000$ habitants en 1900. Que dire du modèle ?
Voir la correction
a) $u_{n} = 20000 \times$ $1, 0 3^{n}$ . Raison $1, 03 >$ $1$ : la suite est croissante. b) 1860 : $u_{10} \approx$ $26900$ ; 1870 : $u_{20} \approx$ $36100$ ; 1880 : $u_{30} \approx$ $48500$ ; 1890 : $u_{40} \approx$ $65200$ ; 1900 : $u_{50} \approx 87700$ habitants. Sur le dessin, l'abscisse compte les décennies et la population est en dizaines de milliers. c) $1, 0 3^{50} \approx$ $4, 38$ : la population a été multipliée par plus de $4$ . d) Le modèle donne environ $87700$ , les archives $80000$ : il surestime d'environ $10$ %. La croissance a sans doute ralenti en fin de siècle. ⭐ Chaque décennie, la population est multipliée par le même nombre, $1, 0 3^{10} \approx$ $1, 34$ : les points montent de plus en plus vite.
18Le café qui refroidit
Un café à $80$ °C est posé dans une pièce à $20$ °C. L'écart de température entre le café et la pièce diminue de $20$ % chaque minute (modèle). On note $E_{n}$ cet écart, en °C, au bout de $n$ minutes, et $T_{n}$ la température du café. a) Calculer $E_{0}$ . Exprimer $E_{n}$ en fonction de $n$ . b) En déduire $T_{n}$ en fonction de $n$ , puis la température du café au bout de $5$ minutes (au dixième). c) La suite $(T_{n})$ est-elle géométrique ? Quel est son sens de variation ? d) Représenter $E_{0}$ à $E_{5}$ . Selon le modèle, le café atteindra-t-il $20$ °C ?
Voir la correction
a) $E_{0} = 80 - 20 = 60$ °C. Baisse de $20$ % par minute : $E_{n} = 60 \times$ $0, 8^{n}$ . b) La température du café, c'est celle de la pièce plus l'écart : $T_{n} = 20 + 60 \times$ $0, 8^{n}$ . $T_{5} = 20 + 60 \times 0, 8^{5} = 20 + 60 \times 0, 32768 \approx 39, 7$ °C. c) $T_{0} =$ $80$ , $T_{1} =$ $68$ , $T_{2} =$ $58, 4$ . $\frac{68}{80} = 0, 85$ mais $\frac{58 , 4}{68} \approx$ $0, 86$ : les quotients changent, $(T_{n})$ n'est PAS géométrique. C'est l'écart $(E_{n})$ qui l'est. $(E_{n})$ est décroissante, donc $(T_{n})$ aussi : le café refroidit. d) Sur le dessin, les écarts sont en dizaines de degrés. $E_{n}$ reste strictement positif : selon le modèle, le café s'approche de $20$ °C sans jamais l'atteindre. ⚠️ Écrire $T_{n} = 80 \times 0, 8^{n}$ serait faux : le café descendrait vers $0$ °C, plus froid que la pièce !
19Le salaire et les prix
Un salarié gagne $2000$ € par mois en 2025. Son salaire augmente de $1, 5$ % par an ; les prix, eux, augmentent de $2$ % par an (modèles). On note $s_{n}$ son salaire en l'année $2025 +$ $n$ , et $p_{n}$ le prix d'un « panier » de dépenses qui coûte $2000$ € en 2025. a) Exprimer $s_{n}$ et $p_{n}$ en fonction de $n$ . Quel est le sens de variation de chaque suite ? b) Calculer $s_{20}$ et $p_{20}$ à l'euro près. À quelle année correspondent-ils ? c) En 2045, son salaire lui permettra-t-il d'acheter le panier ? Que dire de son pouvoir d'achat ?
Voir la correction
a) $s_{n} = 2000 \times 1, 01 5^{n}$ et $p_{n} = 2000 \times$ $1, 0 2^{n}$ . Les deux raisons sont plus grandes que $1$ : les deux suites sont croissantes. b) $s_{20} = 2000 \times 1, 01 5^{20} \approx 2694$ € et $p_{20} = 2000 \times 1, 0 2^{20} \approx 2972$ €. C'est l'année $2025 + 20 =$ $2045$ . c) Non : il lui manque environ $278$ € par mois. $\frac{2 694}{2 972} \approx$ $0, 906$ : avec son salaire, il n'achète plus qu'environ $90, 6$ % du panier. Son pouvoir d'achat a baissé d'environ $9$ %. ⚠️ Un écart de « seulement » $0, 5$ point par an finit par peser lourd : sur vingt ans, les puissances creusent l'écart.
20Une colonie d'abeilles
Au printemps, une colonie compte $5000$ abeilles. Pendant quelques semaines, sa population augmente de $20$ % par semaine (modèle). On note $a_{n}$ le nombre d'abeilles au bout de $n$ semaines. a) Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$ ; donner son sens de variation. b) Calculer $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ et $a_{5}$ (à l'unité), et représenter les points $(n; a_{n})$ en milliers. c) Au bout de combien de semaines la colonie a-t-elle doublé ? d) Pourquoi ce modèle ne peut-il pas durer toute l'année ?
Voir la correction
a) $a_{n} = 5000 \times$ $1, 2^{n}$ . Raison $1, 2 >$ $1$ : suite croissante. b) $a_{1} =$ $6000$ ; $a_{2} =$ $7200$ ; $a_{3} =$ $8640$ ; $a_{4} =$ $10368$ ; $a_{5} =$ $12441, 6$ , soit environ $12442$ abeilles. c) Doubler, c'est atteindre $10000$ . $a_{3} = 8640 < 10000$ et $a_{4} = 10368 >$ $10000$ : au bout de $4$ semaines. Sur le dessin, c'est le premier point au-dessus de la ligne en pointillés. d) Au bout de $52$ semaines, le modèle donnerait $5000 \times$ $1, 2^{52}$ : plus de $60$ millions d'abeilles dans une seule ruche ! La place et la nourriture manquent bien avant. ⭐ Une croissance géométrique ne dure jamais indéfiniment dans la nature : le modèle ne vaut que sur une courte période.

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Corrigés : suite géométrique : le terme général, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. $u_{n} = u_{0} \times q^{n} = 3 \times$ $2^{n}$ . $u_{5} = 3 \times 2^{5} = 3 \times 32 =$ $96$ . ⚠️ $3 \times 2^{5}$ n'est pas $6^{5}$ : on calcule d'abord la puissance, puis on multiplie par $3$ . ⭐ La formule évite de calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ , $u_{4}$ : on saute directement au rang voulu.
n 0 1 2 5
uₙ 3 6 12 96
2. $u_{n} = 5000 \times$ $0, 8^{n}$ . $u_{3} = 5000 \times 0, 8^{3} = 5000 \times 0, 512 =$ $2560$ . ⚠️ $0, 8^{3}$ n'est pas $0, 8 \times 3 =$ $2, 4$ : c'est $0, 8 \times 0, 8 \times$ $0, 8$ . Sur le dessin, les termes en milliers : chaque point est à $0, 8$ fois la hauteur du précédent.
3. $u_{0} = 7 \times 1, 5^{0} = 7 \times 1 =$ $7$ . La raison est le nombre élevé à la puissance $n$ : $q =$ $1, 5$ . $u_{2} = 7 \times 1, 5^{2} = 7 \times 2, 25 =$ $15, 75$ . ⚠️ $1, 5^{0} =$ $1$ , et pas $0$ : un nombre non nul à la puissance $0$ vaut toujours $1$ .
n 0 1 2
uₙ 7 10,5 15,75
4. Les termes sont strictement positifs : c'est la raison, comparée à $1$ , qui décide. a) $1, 3 >$ $1$ : $(u_{n})$ est croissante. b) $0 < 0, 6 <$ $1$ : $(v_{n})$ est décroissante. c) $q =$ $1$ : on multiplie par $1$ , rien ne change. $(w_{n})$ est constante, égale à $8$ . ⚠️ Ce n'est pas le premier terme qui décide : $v_{0} = 50$ est grand, et pourtant la suite décroît. Sur le dessin, les trois suites divisées par $5$ : $(u_{n})$ en bleu monte, $(v_{n})$ en orange descend, $(w_{n})$ en vert reste plate.
5. $u_{0} = 400 > 0$ et la raison $q = 0, 9$ est entre $0$ et $1$ : la suite est décroissante. $u_{0} =$ $400$ ; $u_{1} = 400 \times 0, 9 =$ $360$ ; $u_{2} = 400 \times 0, 81 =$ $324$ : les termes baissent bien. ⭐ $q =$ $0, 9$ , c'est une baisse de $10$ % à chaque étape. Sur le dessin, les termes en centaines : ils descendent.
6. On recule d'un rang en divisant par la raison : $u_{0} = \frac{6}{3} =$ $2$ . Donc $u_{n} = 2 \times$ $3^{n}$ . $u_{4} = 2 \times 3^{4} = 2 \times 81 =$ $162$ . ⚠️ Écrire $u_{n} = 6 \times 3^{n}$ serait faux : la formule part de $u_{0}$ , pas de $u_{1}$ . Elle donnerait $u_{1} =$ $18$ , au lieu de $6$ .
n 0 1 2 3 4
uₙ 2 6 18 54 162
7. $u_{0} =$ $6$ ; $u_{1} =$ $3$ ; $u_{2} =$ $1, 5$ ; $u_{3} =$ $0, 75$ ; $u_{4} =$ $0, 375$ . On place les points $(0; 6)$ , $(1; 3)$ , $(2; 1, 5)$ , $(3; 0, 75)$ et $(4; 0, 375)$ . ⭐ Les points ne sont pas alignés : ils descendent de moins en moins vite, et s'approchent de l'axe sans jamais le toucher. ⚠️ On ne relie pas les points : une suite n'a de valeurs qu'aux rangs entiers.
8. a) $12000 =$ $u_{0}$ : la population en 2020. $1, 05$ est la raison : la population augmente de $5$ % par an. b) $u_{2} = 12000 \times 1, 0 5^{2} = 12000 \times 1, 1025 =$ $13230$ . C'est la population prévue en $2020 + 2 =$ $2022$ : $13230$ habitants. ⚠️ Le rang $n$ n'est pas l'année : $u_{2}$ parle de 2022, pas de l'an $2$ .
9. Un capital qui dort a) $+ 3$ % par an : raison $1, 03$ , et $u_{0} =$ $5000$ . Donc $u_{n} = 5000 \times$ $1, 0 3^{n}$ . b) $u_{5} = 5000 \times 1, 0 3^{5} \approx 5796, 37$ €. $u_{10} = 5000 \times 1, 0 3^{10} \approx 6719, 58$ €. c) $\frac{6 719 , 58}{5 000} \approx$ $1, 344$ : une hausse d'environ $34, 4$ %, plus que $30$ %. ⭐ Chaque année, les $3$ % portent sur un capital plus gros : dix hausses de $3$ % font plus que $30$ %.
année 0 5 10
capital (€) 5000 5796,37 6719,58
10. Un condensateur qui se décharge a) Baisser de $10$ %, c'est multiplier par $0, 9$ : $U_{n} = 12 \times$ $0, 9^{n}$ . b) $U_{0} = 12 > 0$ et $0 < 0, 9 <$ $1$ : la suite est décroissante. La tension baisse à chaque seconde. c) $U_{3} = 12 \times 0, 9^{3} = 12 \times 0, 729 =$ $8, 748$ , soit environ $8, 75$ V. $U_{5} = 12 \times 0, 9^{5} \approx 7, 09$ V : c'est la tension au bout de $5$ secondes. ⚠️ En $5$ secondes, la tension n'a pas perdu $50$ % : il reste plus de la moitié des $12$ V. Sur le dessin, les points descendent de moins en moins vite.
11. La population mondiale a) $p_{n} = 3 \times$ $1, 0 2^{n}$ . b) $p_{10} = 3 \times 1, 0 2^{10} \approx 3, 66$ milliards : c'est 1970. $p_{40} = 3 \times 1, 0 2^{40} \approx 6, 62$ milliards : c'est 2000. Sur le graphique, l'abscisse compte les DÉCENNIES : le point d'abscisse $4$ est $p_{40}$ , pas $p_{4}$ . c) Le modèle donne $6, 62$ milliards, la réalité environ $6, 1$ : le modèle en prévoit trop. La croissance réelle a ralenti : le taux annuel n'est pas resté à $2$ %. ⭐ Un modèle géométrique suppose un taux CONSTANT. Quand le taux change, le modèle s'éloigne de la réalité.
12. Un club d'escalade a) $\frac{150}{125} =$ $1, 2$ ; $\frac{180}{150} =$ $1, 2$ ; $\frac{216}{180} =$ $1, 2$ : quotient constant, suite géométrique de raison $1, 2$ . b) $a_{n} = 125 \times$ $1, 2^{n}$ . c) 2028, c'est le rang $n = 2028 - 2022 =$ $6$ . $a_{6} = 125 \times 1, 2^{6} \approx$ $373, 2$ : environ $373$ adhérents. ⚠️ Le rang de 2028 est $6$ : ni $2028$ , ni $4$ . La quatrième barre, 2025, est le rang $3$ .
13. Réduire ses émissions de CO₂ a) $E_{n} = 800 \times$ $0, 9 5^{n}$ . La raison est entre $0$ et $1$ , le premier terme est positif : la suite est décroissante. b) $E_{10} = 800 \times 0, 9 5^{10} \approx 479$ tonnes : les émissions prévues en 2035. c) La moitié de $800$ , c'est $400$ . Or $479 >$ $400$ : non. La baisse est d'environ $40$ %, pas de $50$ %. ⚠️ Dix baisses de $5$ % ne font pas $- 50$ % : on perd $5$ % d'une quantité de plus en plus petite.
année 2025 2030 2035
émissions (t) 800 619,02 478,99
14. Les nénuphars de l'étang a) On lit $1$ ; $2$ ; $4$ ; $8$ : la surface double chaque jour. $u_{n} = 2^{n}$ convient : $2^{0} =$ $1$ , $2^{1} =$ $2$ , $2^{2} =$ $4$ , $2^{3} =$ $8$ . $1 + n$ donne $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ : non. $2 n$ donne $0$ au rang $0$ : non. b) $u_{10} = 2^{10} = 1024$ m² : la surface couverte le jour $10$ . c) La surface double chaque jour : la veille du jour $20$ , elle valait la moitié. C'est le jour $19$ . ⚠️ Pas le jour $10$ ! Le jour $10$ , les nénuphars couvrent à peine un millième de l'étang : $\frac{2 ^{10}}{2 ^{20}} =$ $\frac{1}{1 024}$ .
15. Avec ou sans traitement a) $v_{n} = 1000 \times 1, 1^{n}$ et $u_{n} = 1000 \times$ $0, 7^{n}$ . b) $1, 1 >$ $1$ : $(v_{n})$ est croissante. $0 < 0, 7 <$ $1$ : $(u_{n})$ est décroissante. c) $v_{3} = 1000 \times 1, 331 = 1331$ bactéries ; $u_{3} = 1000 \times 0, 343 = 343$ bactéries. Sur le dessin, en centaines : les points rouges sont ceux de $v_{n}$ , les points reliés en orange ceux de $u_{n}$ . Les deux partent de $10$ centaines, puis s'écartent. ⭐ Même départ, deux raisons : c'est la raison, et elle seule, qui décide du sens.
16. Une forêt qui recule a) $250$ : la surface en 2020, $250$ milliers d'hectares, soit $250000$ ha. $0, 98 = 1 -$ $0, 02$ : la forêt perd $2$ % de sa surface par an. b) $0 < 0, 98 <$ $1$ : suite décroissante. La forêt recule chaque année. c) $f_{10} = 250 \times 0, 9 8^{10} \approx 204, 3$ milliers d'hectares. Perte : $250 - 204, 3 = 45, 7$ milliers d'hectares. ⚠️ Pas $20$ % de $250$ , soit $50$ : chaque année, on perd $2$ % d'une forêt déjà réduite.
année 2020 2025 2030
forêt (milliers d'ha) 250 225,98 204,27
17. Une ville de l'ère industrielle a) $u_{n} = 20000 \times$ $1, 0 3^{n}$ . Raison $1, 03 >$ $1$ : la suite est croissante. b) 1860 : $u_{10} \approx$ $26900$ ; 1870 : $u_{20} \approx$ $36100$ ; 1880 : $u_{30} \approx$ $48500$ ; 1890 : $u_{40} \approx$ $65200$ ; 1900 : $u_{50} \approx 87700$ habitants. Sur le dessin, l'abscisse compte les décennies et la population est en dizaines de milliers. c) $1, 0 3^{50} \approx$ $4, 38$ : la population a été multipliée par plus de $4$ . d) Le modèle donne environ $87700$ , les archives $80000$ : il surestime d'environ $10$ %. La croissance a sans doute ralenti en fin de siècle. ⭐ Chaque décennie, la population est multipliée par le même nombre, $1, 0 3^{10} \approx$ $1, 34$ : les points montent de plus en plus vite.
18. Le café qui refroidit a) $E_{0} = 80 - 20 = 60$ °C. Baisse de $20$ % par minute : $E_{n} = 60 \times$ $0, 8^{n}$ . b) La température du café, c'est celle de la pièce plus l'écart : $T_{n} = 20 + 60 \times$ $0, 8^{n}$ . $T_{5} = 20 + 60 \times 0, 8^{5} = 20 + 60 \times 0, 32768 \approx 39, 7$ °C. c) $T_{0} =$ $80$ , $T_{1} =$ $68$ , $T_{2} =$ $58, 4$ . $\frac{68}{80} = 0, 85$ mais $\frac{58 , 4}{68} \approx$ $0, 86$ : les quotients changent, $(T_{n})$ n'est PAS géométrique. C'est l'écart $(E_{n})$ qui l'est. $(E_{n})$ est décroissante, donc $(T_{n})$ aussi : le café refroidit. d) Sur le dessin, les écarts sont en dizaines de degrés. $E_{n}$ reste strictement positif : selon le modèle, le café s'approche de $20$ °C sans jamais l'atteindre. ⚠️ Écrire $T_{n} = 80 \times 0, 8^{n}$ serait faux : le café descendrait vers $0$ °C, plus froid que la pièce !
19. Le salaire et les prix a) $s_{n} = 2000 \times 1, 01 5^{n}$ et $p_{n} = 2000 \times$ $1, 0 2^{n}$ . Les deux raisons sont plus grandes que $1$ : les deux suites sont croissantes. b) $s_{20} = 2000 \times 1, 01 5^{20} \approx 2694$ € et $p_{20} = 2000 \times 1, 0 2^{20} \approx 2972$ €. C'est l'année $2025 + 20 =$ $2045$ . c) Non : il lui manque environ $278$ € par mois. $\frac{2 694}{2 972} \approx$ $0, 906$ : avec son salaire, il n'achète plus qu'environ $90, 6$ % du panier. Son pouvoir d'achat a baissé d'environ $9$ %. ⚠️ Un écart de « seulement » $0, 5$ point par an finit par peser lourd : sur vingt ans, les puissances creusent l'écart.
20. Une colonie d'abeilles a) $a_{n} = 5000 \times$ $1, 2^{n}$ . Raison $1, 2 >$ $1$ : suite croissante. b) $a_{1} =$ $6000$ ; $a_{2} =$ $7200$ ; $a_{3} =$ $8640$ ; $a_{4} =$ $10368$ ; $a_{5} =$ $12441, 6$ , soit environ $12442$ abeilles. c) Doubler, c'est atteindre $10000$ . $a_{3} = 8640 < 10000$ et $a_{4} = 10368 >$ $10000$ : au bout de $4$ semaines. Sur le dessin, c'est le premier point au-dessus de la ligne en pointillés. d) Au bout de $52$ semaines, le modèle donnerait $5000 \times$ $1, 2^{52}$ : plus de $60$ millions d'abeilles dans une seule ruche ! La place et la nourriture manquent bien avant. ⭐ Une croissance géométrique ne dure jamais indéfiniment dans la nature : le modèle ne vaut que sur une courte période.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : suite géométrique : le terme général, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3