Le taux d'évolution moyen : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : le taux d'évolution moyen, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. On cherche $c$ tel que $c^2=$$1,21$ : $c=1,21^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1,21}=$$1,1$. Taux moyen : $1,1-1=$$0,1$, soit $+10$ % par an. ✔️ $1,1\times 1,1=$$1,21$. ⭐ Deux hausses de $10$ % font $+21$ % : le taux moyen, lui, retrouve les $10$ %.
2. 2. $c^3=$$8$, donc $c=8^{\frac{1}{3}}=$$2$, car $2^3=$$8$. Taux moyen : $2-1=$$1$, soit $+100$ % par an : la quantité double, en moyenne, chaque année. ⚠️ Pas « multipliée par $\frac{8}{3}$ chaque année » : ${\left(\frac{8}{3}\right)}^3$ ferait bien plus que $8$. Sur le tableau, avec $1$ au départ : $\times 2$ chaque année donne bien $8$.

   année	0	1	2	3
   quantité	1	2	4	8

3. 3. Avec $+22$ % deux fois : $1,22\times 1,22=$$1,4884$, soit $+48,84$ %, et non $+44$ %. Le bon coefficient moyen : $c^2=$$1,44$, donc $c=\sqrt{1,44}=$$1,2$, soit $+20$ % par an. ⭐ Pour des hausses, le taux moyen est toujours un peu plus PETIT que le taux global divisé par $n$ : les hausses se composent.
4. 4. Le coefficient moyen est $1,05$. Sur $4$ ans : $1,05^4=$$1,21550625$. Taux global : environ $+21,55$ %. ⚠️ Pas $+20$ % ($4\times$$5$) : chaque hausse porte sur une quantité déjà augmentée.
5. 5. Coefficient global : $1,2\times 0,8=$$0,96$ : une baisse de $4$ % au total. Coefficient moyen : $c=\sqrt{0,96}\approx$$0,9798$, soit un taux moyen d'environ $-2,02$ % par période. ⚠️ La moyenne des taux, $\frac{20+(-20)}{2}=$$0$, fait croire que rien n'a changé. Le taux moyen dit la vérité : l'ensemble est une baisse.
6. 6. $c^2=$$0,64$, donc $c=\sqrt{0,64}=$$0,8$. Taux moyen : $0,8-1=$$-0,2$, soit $-20$ % par an. ⭐ Pour une baisse, le coefficient moyen est entre $0$ et $1$, et le taux moyen est négatif.
7. 7. a) Non : le taux moyen résume l'ensemble. Certaines années ont pu monter de $5$ %, d'autres baisser. b) Coefficient global : $1,02^{10}\approx$$1,219$, soit environ $+21,9$ %. ⚠️ Pas $+20$ % : les hausses se composent, elles ne s'additionnent pas.

   année	0	5	10
   population (base 100)	100	110,41	121,9

8. 8. Coefficient global : $1,3$. Coefficient moyen : $c=1,3^{\frac{1}{5}}\approx 1,0539$ (à la calculatrice, $1,3$ puissance $0,2$). Taux moyen : environ $+5,39$ % par an, et non $6$ %. ✔️ $1,0539^5\approx$$1,30$. Sur le tableau, au taux moyen de $5,39$ % chaque année, on arrive bien à $130$.

   année	prix (base 100)
   0	100
   1	105,39
   2	111,07
   3	117,05
   4	123,36
   5	130

   année	0	1	2	3	4	5
   prix (base 100)	100	105,39	111,07	117,05	123,36	130

9. 9. Le chiffre d'affaires a) 2020 → 2021 : $\frac{250}{200}=$$1,25$, soit $+25$ %. 2021 → 2022 : $\frac{242}{250}=$$0,968$, soit $-3,2$ %. 2022 → 2023 : $\frac{266,2}{242}=$$1,1$, soit $+10$ %. b) $C=\frac{266,2}{200}=$$1,331$, sur $3$ ans : on compte les passages, pas les barres. $c=1,331^{\frac{1}{3}}=$$1,1$, car $1,1^3=$$1,331$. Taux moyen : $+10$ % par an. c) Seul le passage 2022 → 2023 a connu $+10$ %. Les autres : $+25$ % et $-3,2$ %. ⭐ Le taux moyen est le taux RÉGULIER qui mènerait au même résultat. Il lisse les à-coups.
10. 10. Quatre filtres a) $C=\frac{40,96}{100}=$$0,4096$. b) $c^4=$$0,4096$, donc $c=0,4096^{\frac{1}{4}}=$$0,8$, car $0,8^4=$$0,4096$. Chaque filtre laisse passer $80$ % de la lumière : il en absorbe $20$ %. c) L'élève divise le taux global par $4$ : $59,04÷4=$$14,76$. Avec $-14,76$ % quatre fois, il resterait $0,8524^4\approx$$0,528$, soit environ $52,8$ % de la lumière, et non $40,96$ %. ⚠️ Chaque filtre absorbe $20$ % de ce qui lui ARRIVE, pas de la lumière de départ.
11. 11. La population mondiale a) Coefficient global $2$ en $1927-1800=127$ ans. $c=2^{\frac{1}{127}}\approx$$1,00547$ : environ $+0,55$ % par an. b) Coefficient global $\frac{8}{2}=4$ en $2022-1927=95$ ans. $c=4^{\frac{1}{95}}\approx$$1,0147$ : environ $+1,47$ % par an. c) Le taux moyen a presque triplé : la croissance s'est fortement accélérée au XXe siècle, avec la baisse de la mortalité. ⭐ De $1$ à $2$ milliards : $127$ ans. De $2$ à $8$ milliards : $95$ ans seulement. ⚠️ Ces taux moyens lissent de fortes variations : le taux annuel a atteint environ $2$ % dans les années 1960, puis il a baissé.
12. 12. Le 10 km d'une coureuse a) $\frac{44}{50}=$$0,88$ : $-12$ %. $\frac{40,5}{44}\approx$$0,9205$ : environ $-7,95$ %. b) $C=\frac{40,5}{50}=$$0,81$, sur $2$ ans. $c=\sqrt{0,81}=$$0,9$ : $-10$ % par an en moyenne. c) $40,5\times 0,9=36,45$ minutes. Mais on ne peut pas progresser de $10$ % par an indéfiniment : le modèle ne vaut que sur une courte période. ⭐ Ni $-12$ %, ni $-7,95$ % : le taux moyen, $-10$ %, est le rythme régulier qui mène au même temps final.
13. 13. Réduire les émissions a) Coefficient global $0,8$ en $5$ ans. $c=0,8^{\frac{1}{5}}\approx$$0,9564$ : environ $-4,36$ % par an. b) En tout, il faut multiplier par $1-0,55=$$0,45$. Il reste à multiplier par $\frac{0,45}{0,8}=0,5625$ en $5$ ans. $c=0,5625^{\frac{1}{5}}\approx$$0,8913$ : environ $-10,87$ % par an. c) Il faudra baisser environ $2,5$ fois plus vite chaque année : un effort bien plus grand. ⚠️ Il ne reste pas « $55-$$20=35$ % à faire » : les baisses se multiplient, et elles partent d'émissions déjà réduites.
14. 14. Le retour des castors a) $20$ castors au départ, $45$ au bout de $4$ ans. $C=\frac{45}{20}=$$2,25$. b) $c=2,25^{\frac{1}{4}}\approx$$1,2247$ : environ $+22,5$ % par an. c) $\frac{26}{20}=$$1,3$, soit $+30$ % ; $\frac{30}{26}\approx$$1,1538$, soit environ $+15,4$ % ; $\frac{38}{30}\approx$$1,2667$, soit environ $+26,7$ % ; $\frac{45}{38}\approx$$1,1842$, soit environ $+18,4$ %. Leur moyenne vaut environ $22,6$ % : proche du taux moyen, $22,5$ %, mais différente. ⚠️ Le taux moyen n'est PAS la moyenne des taux : c'est le taux constant qui mène au même résultat. ⭐ Astuce : $2,25=$$1,5^2$, donc $c=$$\sqrt{1,5}$.
15. 15. Quatre ans d'inflation a) $C=1,02\times 1,05\times 1,06\times 1,03\approx$$1,1693$ : environ $+16,93$ % en quatre ans. b) $c=1,1693^{\frac{1}{4}}\approx$$1,0399$ : environ $+3,99$ % par an. c) $100\times 1,1693\approx 116,93$ €. ⭐ Ici, la moyenne des taux, $4$ %, est proche du taux moyen, car les taux sont petits et proches. Ce n'est pourtant pas la même chose. ⚠️ Pas $2+5+6+3=16$ % : les hausses se composent.
16. 16. Un médicament éliminé a) Diviser par $4$, c'est multiplier par $0,25$ : $C=$$0,25$. $c=0,25^{\frac{1}{6}}\approx$$0,794$. b) $1-0,794=$$0,206$ : environ $20,6$ % éliminés chaque heure, en moyenne. c) $-12,5$ %, c'est $\frac{75}{6}$ : le taux global divisé par $6$. Avec $0,875^6\approx$$0,449$, il resterait environ $45$ % du médicament au bout de $6$ heures, et non $25$ %. ⭐ Au bout de $3$ heures, il en reste la moitié : $0,25^{\frac{1}{2}}=$$0,5$.

    heures	0	3	6
    concentration (%)	100	50	25

17. 17. Deux métropoles a) $A$ : $\frac{5}{1}=$$5$. $B$ : $\frac{12}{6}=$$2$. Les deux sur $60$ ans. b) $A$ : $c=5^{\frac{1}{60}}\approx$$1,02719$, soit environ $+2,72$ % par an. $B$ : $c=2^{\frac{1}{60}}\approx$$1,01162$, soit environ $+1,16$ % par an. c) $A$ a grandi le plus vite : son taux moyen est plus du double de celui de $B$. Mais $B$ a gagné le plus d'habitants : $6$ millions, contre $4$ pour $A$. ⭐ Deux questions, deux outils : le taux moyen mesure la VITESSE, la différence mesure le GAIN. d) $1,02719^{25}\approx 1,96$ et $1,02719^{26}\approx$$2,01$ : la population de $A$ double en environ $26$ ans.
18. 18. Le four du potier a) $C=\frac{50}{200}=$$0,25$. En $2$ heures : $c=\sqrt{0,25}=0,5$ par heure. L'écart est divisé par $2$ chaque heure. b) Il y a $4$ demi-heures en $2$ heures : $c=0,25^{\frac{1}{4}}=\sqrt{0,5}\approx$$0,7071$. Au bout de $30$ minutes : $200\times 0,7071\approx 141,4$ °C. Au bout d'une heure et demie : $100\times 0,7071\approx 70,7$ °C. c) Il y a $8$ quarts d'heure : $c=0,25^{\frac{1}{8}}\approx$$0,8409$. Environ $15,9$ % de l'écart disparaît chaque quart d'heure. ⚠️ En une demi-heure, l'écart ne perd pas $25$ %, la moitié des $50$ % d'une heure : il en perd environ $29,3$ %.

    temps (h)	0	0,5	1	1,5	2
    écart (°C)	200	141,4	100	70,7	50

19. 19. Deux placements a) $A$ : $1,08\times 1,02=$$1,1016$. $B$ : $1,05\times 1,05=$$1,1025$. b) $c=\sqrt{1,1016}\approx$$1,0496$ : environ $+4,96$ % par an, un peu moins que $5$ %. c) $A$ donne $11016$ €, $B$ donne $11025$ € : $B$ rapporte $9$ € de plus. d) La moyenne des taux, $\frac{8+2}{2}=5$ %, ne tient pas compte de la composition. Le taux moyen, lui, vient du coefficient global. ⭐ Le calcul le montre : $1,08\times 1,02=(1,05+0,03)(1,05-0,03)=1,05^2-$$0,03^2$. Pour la même moyenne des taux, des taux irréguliers rapportent un peu moins.
20. 20. La vidéo d'un but a) $C=\frac{1000000}{1000}=$$1000$, en $10$ jours. $c=1000^{\frac{1}{10}}\approx$$1,995$. b) $1,995$, c'est presque $2$ : en moyenne, les vues doublent presque chaque jour. Et doubler $10$ fois, c'est multiplier par $2^{10}=$$1024$, à peine plus que $1000$. c) Dix jours de plus : encore multiplié par $1000$, soit $1000000000$ de vues, un milliard. Très peu de vidéos y parviennent : le rythme ralentit forcément. ⭐ C'est l'ordre de grandeur à retenir : doubler dix fois, c'est multiplier par environ mille. Sur le tableau, au jour $5$, la moitié du chemin en temps : $1000\times 1000^{\frac{1}{2}}\approx 31623$ vues seulement.

    jour	0	5	10
    vues	1 000	31 623	1 000 000