Fréquences marginales et conditionnelles : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : fréquences marginales et conditionnelles, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) Les abonnés en tout : la marge de la ligne, $300$. On divise par le total général : $\frac{300}{500}=$$0,6$. La fréquence des abonnés est $0,6$, soit $60$ %. b) Marge de la colonne « Tribune nord » : $\frac{250}{500}=$$0,5$, soit $50$ %. ⭐ Une fréquence marginale se lit dans la MARGE, et se divise par le total général.
2. 2. a) $\frac{300}{1200}=$$0,25$ : un quart des élèves sont internes. b) « Parmi les internes » : on divise par $300$, pas par $1200$. $\frac{120}{300}=$$0,4$, soit $40$ %. c) Cette fois, parmi TOUS les élèves : $\frac{120}{1200}=$$0,1$, soit $10$ %. ⚠️ Même numérateur au b) et au c), $120$ : seul le dénominateur change, et la réponse aussi.

   	Plus de 50 km	50 km ou moins	Total
   Internes	120	180	300
   Externes	?	?	900
   Total	?	?	1200

3. 3. a) « Parmi les maisons » : on divise par le total de la ligne « Maison ». $\frac{90}{150}=$$0,6$, soit $60$ %. b) $\frac{10}{100}=$$0,1$, soit $10$ %. c) « Parmi les foyers qui ont un composteur » : on divise par le total de la COLONNE. $\frac{90}{100}=$$0,9$, soit $90$ %. ⚠️ Le a) et le c) utilisent la même case, $90$, mais pas le même « parmi » : $60$ % des maisons ont un composteur, et $90$ % des composteurs sont dans des maisons.
4. 4. a) $\frac{40}{200}=$$0,2$, soit $20$ %. b) $\frac{240}{800}=$$0,3$, soit $30$ %. c) Dans ce modèle, un accident sur piste cyclable est moins souvent grave : $20$ % contre $30$ %. ⚠️ Comparer $40$ et $240$ n'aurait aucun sens : il y a quatre fois plus d'accidents hors des pistes. On compare des fréquences.

   	Blessé grave	Pas de blessé grave	Total
   Piste cyclable	40	160	200
   Autre voie	240	560	800
   Total	280	720	1000

5. 5. a) « ET », sans « parmi » : la case sur le total général. $\frac{60}{400}=$$0,15$, soit $15$ %. b) « Parmi ceux qui prennent un petit-déjeuner » : sur la ligne. $\frac{60}{300}=$$0,2$, soit $20$ %. c) $\frac{50}{100}=$$0,5$, soit $50$ %. ⚠️ Le a) et le b) partent de la même case : $15$ % n'est pas $20$ %. Le dénominateur fait la question.
6. 6. a) Marge de la colonne « Malade » : $\frac{110}{360}\approx$$0,31$, soit environ $31$ %. b) $\frac{120}{360}=\frac{1}{3}\approx$$0,33$ : un arbre sur trois est un sapin. c) « Parmi les sapins » : $\frac{60}{120}=$$0,5$. La moitié des sapins sont malades. ⭐ On arrondit à la FIN : $\frac{110}{360}$ se tape d'un coup à la calculatrice.
7. 7. Club $A$ : $\frac{45}{150}=$$0,3$, soit $30$ %. Club $B$ : $\frac{60}{240}=$$0,25$, soit $25$ %. La part des filles est plus grande dans le club $A$. ⚠️ Le club $B$ a PLUS de filles ($60$ contre $45$), mais une plus petite PART : il est plus grand.
8. 8. a) Sur la colonne « Temps partiel » : $\frac{90}{180}=$$0,5$, soit $50$ %. b) Sur la ligne « CDD » : $\frac{90}{150}=$$0,6$, soit $60$ %. c) Marge sur le total : $\frac{150}{600}=$$0,25$, soit $25$ %. ⭐ Trois questions, trois dénominateurs : $180$, $150$, $600$.
9. 9. Le plan d'entraînement a) Parmi les $180$ qui ont réussi, $100$ étaient sans plan : $\frac{100}{180}\approx$$0,56$. Oui, c'est une majorité. b) Avec un plan : $\frac{80}{100}=$$0,8$, soit $80$ %. Sans plan : $\frac{100}{200}=$$0,5$, soit $50$ %. c) La conclusion est fausse. Si beaucoup de réussites sont « sans plan », c'est que les coureurs sans plan sont deux fois plus nombreux. Parmi les coureurs avec un plan, $80$ % réussissent, contre $50$ % sans plan. ⚠️ Le piège : diviser par les RÉUSSITES au lieu de diviser par chaque groupe de coureurs.
10. 10. D'où viennent les habitants ? a) $35$ ans et plus : $800-320=$$480$. Moins de $35$ ans nés dans la région : $320-240=$$80$. $35$ ans et plus nés ailleurs : $400-240=$$160$ ; nés dans la région : $480-160=$$320$. b) $\frac{320}{800}=0,4$ et $\frac{400}{800}=$$0,5$. c) Moins de $35$ ans : $\frac{240}{320}=$$0,75$. $35$ ans et plus : $\frac{160}{480}\approx$$0,33$. d) Dans ce modèle, les jeunes habitants sont bien plus souvent venus d'ailleurs : $75$ % contre $33$ %. C'est le signe d'une ville qui attire des jeunes (études, premier emploi). ⭐ Les migrations se lisent dans les fréquences conditionnelles : chaque âge a sa propre part de nouveaux venus.

    	Nés ailleurs	Nés dans la région	Total
    Moins de 35 ans	240	80	320
    35 ans et plus	160	320	480
    Total	400	400	800

11. 11. Ville ou campagne a) Ligne « Ville » : on divise par $300$. Voiture $\frac{120}{300}=$$0,4$ ; autre mode $\frac{180}{300}=$$0,6$. Ligne « Campagne » : on divise par $200$. Voiture $\frac{160}{200}=$$0,8$ ; autre mode $\frac{40}{200}=$$0,2$. ✔️ Sur chaque ligne, les fréquences font $1$ : c'est le contrôle. b) À la campagne, $80$ % des habitants utilisent surtout la voiture, contre $40$ % en ville : deux fois plus. ⚠️ En effectifs, l'écart paraît faible ($160$ contre $120$) : les deux groupes n'ont pas la même taille.

    	Voiture	Autre mode	Total
    Ville	0,4	0,6	1
    Campagne	0,8	0,2	1

12. 12. Les capteurs de température a) Capteurs $A$ : $0,3\times 1000=$$300$ ; capteurs $B$ : $700$. Décalés $A$ : $0,4\times 300=$$120$ ; décalés $B$ : $0,1\times 700=$$70$. b) $120+70=190$ décalés : $\frac{190}{1000}=$$0,19$, soit $19$ %. c) « Parmi les décalés » : $\frac{120}{190}\approx$$0,63$. d) Les capteurs $A$ ne font que $30$ % du réseau, mais $63$ % des mesures décalées : c'est eux qu'il faut vérifier en priorité. ⚠️ Les $40$ % et les $10$ % ne s'additionnent pas : ils ne portent pas sur les mêmes capteurs.

    	Décalé	Juste	Total
    Type A	120	180	300
    Type B	70	630	700
    Total	190	810	1000

13. 13. La moyenne qui trompe a) Ce sont les fréquences conditionnelles : $\frac{15}{20}=0,75$ dans le groupe $A$, $\frac{12}{30}=0,4$ dans le groupe $B$. b) C'est une fréquence marginale : $\frac{27}{50}=$$0,54$, soit $54$ %. c) Les deux groupes n'ont pas le même effectif : le groupe $B$ ($30$ élèves) pèse plus que le groupe $A$ ($20$ élèves). La simple moyenne donne le même poids aux deux groupes. ⛔ On ne fait pas la moyenne de deux fréquences qui ne portent pas sur le même nombre d'individus.
14. 14. Le télétravail a) $270-120=150$ salariés satisfaits sans télétravail. b) Salariés sans télétravail : $400-150=$$250$. En télétravail : $\frac{120}{150}=$$0,8$. Sans : $\frac{150}{250}=$$0,6$. c) La première phrase est vraie ($150>$$120$) mais ne prouve rien : les salariés sans télétravail sont plus nombreux. Parmi les salariés en télétravail, $80$ % sont satisfaits, contre $60$ % parmi les autres. ⚠️ Comparer des effectifs de groupes inégaux, c'est le piège classique.

    	Satisfait	Pas satisfait	Total
    Télétravail	120	30	150
    Sur site	150	100	250
    Total	270	130	400

15. 15. Un ordinateur à soi a) Sur la ligne « Terminale » : $\frac{170}{200}=$$0,85$, soit $85$ %. b) Sur la colonne « Pas d'ordinateur » : $\frac{80}{170}\approx$$0,47$. c) Marge sur le total : $\frac{430}{600}\approx$$0,72$. d) Parmi les secondes : $\frac{120}{200}=$$0,6$ ; parmi les premières : $\frac{140}{200}=$$0,7$ ; parmi les terminales : $0,85$. L'équipement augmente d'une classe à l'autre. ⭐ Ici les trois classes ont le même effectif : comparer les cases revient au même. C'est l'exception, pas la règle.
16. 16. Un écran dans la chambre a) Avec écran : $\frac{105}{150}=$$0,7$, soit $70$ %. Sans écran : $\frac{30}{100}=$$0,3$, soit $30$ %. b) Les deux caractères sont LIÉS : on dort moins souvent $8$ h quand on a un écran dans sa chambre. Mais le tableau ne dit pas pourquoi. D'autres raisons peuvent jouer (l'âge, les horaires, le bruit…). ⛔ Un lien n'est pas une cause : un tableau croisé montre un lien, il ne prouve pas une cause.
17. 17. Avec ou sans maths a) $\frac{220}{1000}=$$0,22$, soit $22$ %. b) Avec maths : $\frac{180}{600}=$$0,3$. Sans maths : $\frac{40}{400}=$$0,1$. c) $\frac{40}{220}\approx$$0,18$ : environ $18$ % des admis n'ont pas suivi de maths en plus. d) Dans ce modèle, un candidat avec maths est admis trois fois plus souvent ($30$ % contre $10$ %). Mais être sans maths ne ferme pas la porte : près d'un admis sur cinq est dans ce cas. ⭐ Deux questions différentes : « mes chances » (b), et « qui sont les admis » (c).
18. 18. Les deux engrais a) Sol pauvre : bio $\frac{30}{100}=$$0,3$, chimique $\frac{10}{50}=$$0,2$. Sol riche : bio $\frac{45}{50}=$$0,9$, chimique $\frac{80}{100}=$$0,8$. Sur chaque sol, le bio fait mieux. b) Bio : $\frac{30+45}{100+50}=\frac{75}{150}=$$0,5$. Chimique : $\frac{10+80}{50+100}=\frac{90}{150}=$$0,6$. c) Le bio a surtout été essayé sur sol PAUVRE ($100$ plants sur $150$), où l'on récolte mal avec n'importe quel engrais. Le chimique, surtout sur sol riche. Le total mélange deux groupes très différents. d) Le bio : à sol égal, il fait toujours mieux. ⭐ C'est le paradoxe de Simpson : une comparaison globale peut s'inverser quand on regarde chaque sous-groupe.
19. 19. Les éoliennes et leurs voisins a) $60+156+168=384$ favorables : $\frac{384}{600}=$$0,64$, soit $64$ %. b) Moins de $2$ km : $\frac{60}{120}=$$0,5$. De $2$ à $10$ km : $\frac{156}{240}=$$0,65$. Plus de $10$ km : $\frac{168}{240}=$$0,7$. c) Trois barres : $50$ %, $65$ %, $70$ %. d) Plus on habite loin du parc, plus on y est favorable : de $50$ % à $70$ %. Et même tout près, la moitié des habitants sont favorables. ⚠️ La fréquence globale ($64$ %) cache ces écarts : elle est tirée vers le haut par les habitants éloignés, plus nombreux.
20. 20. L'échauffement a) Joueurs qui s'échauffent : $\frac{2}{3}\times 240=$$160$ ; les autres : $80$. Blessés parmi ceux qui s'échauffent : $0,1\times 160=$$16$. Blessés parmi les autres : $40-16=$$24$. Non blessés : $160-16=144$ et $80-24=$$56$. b) Avec échauffement : $\frac{16}{160}=$$0,1$. Sans : $\frac{24}{80}=$$0,3$. c) $\frac{24}{40}=$$0,6$ : $60$ % des blessés ne s'échauffaient pas, alors qu'ils ne sont qu'un tiers des joueurs. d) Oui : $\frac{0,3}{0,1}=$$3$. ⚠️ Ce chiffre vaut pour ce club et cette saison. Il montre un lien fort ; il ne suffit pas à lui seul à prouver la cause.

    	Blessé	Pas blessé	Total
    Échauffement	16	144	160
    Sans	24	56	80
    Total	40	200	240