Interpoler et extrapoler : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices pour se servir d'une droite d'ajustement : estimer une valeur entre les relevés, prévoir au-delà, et savoir quand la prévision devient absurde. Montagne, glacier, ville, casserole d'eau, vendanges : un rappel de cours avant chaque niveau, et une correction écrite étape par étape.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Situer la valeur cherchée, puis calculer avec l'équation.

Rappel de cours

INTERPOLER : estimer une valeur À L'INTÉRIEUR de la plage des données, entre la plus petite et la plus grande valeur de $x$ observée.
EXTRAPOLER : estimer une valeur EN DEHORS de cette plage, après la dernière donnée, ou avant la première.
Le calcul est le même : on remplace $x$ dans $y = a x +$ $b$ , ou on résout $a x + b =$ $k$ . Ce qui change, c'est la CONFIANCE : plus on s'éloigne des données, moins l'estimation est sûre.

1
La population d'une ville, en milliers d'habitants, relevée de $x = 0$ à $x =$ $8$ , est ajustée par $y = 3 x +$ $20$ . Estimer la population pour $x =$ $5$ . Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?
Voir la correction
On situe d'abord : $5$ est entre $0$ et $8$ , à l'intérieur de la plage des relevés. C'est une interpolation. On calcule : $y = 3 \times 5 + 20 = 15 + 20 =$ $35$ . La population est estimée à $35000$ habitants. ⭐ Entre deux relevés, la tendance a très peu de chances de faire un écart : on peut avoir confiance. Sur la droite graduée : la valeur cherchée tombe DANS la zone des données.
2
Même ville, même modèle $y = 3 x +$ $20$ , relevés de $x = 0$ à $x =$ $8$ . Que prévoit le modèle pour $x =$ $12$ ? Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?
Voir la correction
$12$ est plus grand que $8$ : on sort de la plage des relevés. C'est une extrapolation. $y = 3 \times 12 + 20 = 36 + 20 =$ $56$ . Le modèle prévoit $56000$ habitants. ⚠️ Le calcul est aussi simple qu'à l'exercice 1, mais c'est une PRÉVISION : elle suppose que la ville continue de grandir au même rythme. Sur la droite graduée : la valeur cherchée tombe HORS de la zone des données.
3
Des relevés vont de $2015$ à $2023$ . On veut une estimation pour trois années : $A$ : $2019$ ; $B$ : $2028$ ; $C$ : $2012$ . Pour chacune, dire s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation.
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La plage des données va de $2015$ à $2023$ . $A$ : $2019$ est entre $2015$ et $2023$ : interpolation. $B$ : $2028$ est après $2023$ : extrapolation (vers l'avenir). $C$ : $2012$ est avant $2015$ : extrapolation aussi, vers le passé. ⚠️ Extrapoler ne veut pas dire seulement « prévoir le futur » : c'est sortir de la plage, d'un côté ou de l'autre.
4
Sur un sentier, on compte les randonneurs, en centaines, tous les deux ans ( $x$ : les années depuis le premier comptage). L'année $x = 3$ n'a pas été comptée. Lire sur la droite d'ajustement une estimation pour cette année-là.
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$3$ est entre $0$ et $6$ : c'est une interpolation. On part de $x = 3$ sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la DROITE (pas jusqu'à un point), puis on lit l'ordonnée : $5$ . L'estimation est de $5$ centaines, soit $500$ randonneurs. ✔️ Avec l'équation de la droite, $y = x +$ $2$ : $3 + 2 =$ $5$ . ⚠️ On lit sur la droite, qui résume tous les relevés, et non en « recopiant » un point voisin.
5
Un modèle $y = 2 x + 10$ a été construit sur des relevés allant de $x = 0$ à $x =$ $10$ . Pour quelle valeur de $x$ donne-t-il $y =$ $40$ ? Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?
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On résout $2 x + 10 =$ $40$ : $2 x =$ $30$ , donc $x =$ $15$ . $15$ est au-delà de $10$ , la dernière valeur relevée : c'est une extrapolation. ⭐ On situe la RÉPONSE, pas seulement la question : ici, c'est le $x$ trouvé qui sort de la plage. Sur la droite graduée : $x = 15$ est à droite de la zone des données.
6
La taille d'un enfant, en cm, relevée de $2$ à $10$ ans, est ajustée par $y = 6 x +$ $76$ . Que prévoit ce modèle à $40$ ans ? Qu'en penser ?
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$y = 6 \times 40 + 76 = 240 + 76 =$ $316$ : le modèle prévoit $316$ cm, soit plus de $3$ mètres ! C'est absurde : on arrête de grandir à la fin de l'adolescence. Le modèle n'est valable que sur la plage de ses relevés, de $2$ à $10$ ans. ⚠️ Le calcul est juste ; c'est le MODÈLE qui ne s'applique plus. Sur la droite graduée : $40$ ans est quatre fois plus loin que le dernier relevé.
7
Une nageuse s'entraîne pendant $10$ semaines. Son temps au $100$ m, en secondes, est ajusté par $y = - 0, 5 x + 70$ ( $x$ : la semaine). a) Que prévoit le modèle pour la semaine $12$ ? b) Et pour la semaine $140$ ? Commenter.
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a) $y = - 0, 5 \times 12 + 70 = - 6 + 70 = 64$ secondes. C'est une extrapolation proche : la prévision reste crédible. b) $y = - 0, 5 \times 140 + 70 = - 70 + 70 = 0$ seconde : nager $100$ m en zéro seconde, c'est impossible. Les progrès d'un sportif RALENTISSENT avec le temps : une droite ne le voit pas. ⚠️ Plus on extrapole loin, plus le modèle affine devient faux. Sur la droite graduée : $a$ touche presque la zone des données, $b$ en est très loin.
8
Un modèle $y = 1, 2 x + 4$ est construit sur des relevés allant de $x = 0$ à $x =$ $10$ . Pour quelle valeur de $x$ donne-t-il $y =$ $10$ ? Interpolation ou extrapolation ?
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On résout $1, 2 x + 4 =$ $10$ : $1, 2 x =$ $6$ , donc $x = \frac{6}{1 , 2} =$ $5$ . $5$ est entre $0$ et $10$ : c'est une interpolation. ✔️ Vérification : $1, 2 \times 5 + 4 = 6 + 4 =$ $10$ . Sur la droite graduée : $x = 5$ est au milieu de la zone des données.

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Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Situer, calculer, puis dire quelle confiance accorder au résultat.

Rappel de cours

Avant de calculer, on situe la valeur : dans la plage des données (interpolation) ou dehors (extrapolation).
Une extrapolation PROCHE des données est souvent raisonnable. LOINTAINE, elle devient hasardeuse : rien ne dit que la tendance continue.
Une prévision impossible (une taille de $3$ m, un temps négatif, une part de plus de $100$ %) prouve que le modèle a dépassé ses limites.

9Monter en altitude
Le même matin, des stations météo situées de $0$ à $2$ km d'altitude relèvent la température. La droite d'ajustement a pour équation $y = - 6 x + 12$ ( $x$ en km, $y$ en °C). a) Estimer la température à un refuge situé à $1, 2$ km d'altitude. b) Estimer la température au sommet d'une montagne de $4, 8$ km. c) Quelle confiance accorder à chacun de ces deux résultats ?
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a) $1, 2$ km est entre $0$ et $2$ km : interpolation. $y = - 6 \times 1, 2 + 12 = - 7, 2 + 12 = 4, 8$ °C. b) $4, 8$ km est bien au-delà de $2$ km : extrapolation. $y = - 6 \times 4, 8 + 12 = - 28, 8 + 12 = - 16, 8$ °C. c) Le refuge est entre deux stations : on peut avoir confiance. Le sommet est $2, 8$ km plus haut que la dernière station, plus loin que toute la plage mesurée : c'est une prévision fragile. Le vent, le soleil, la neige peuvent tout changer ; seule une station au sommet trancherait. ⭐ Le coefficient $- 6$ se lit : la température baisse d'environ $6$ °C par kilomètre d'altitude, ce matin-là.
10Une ville moyenne
Voici la population d'une ville, en milliers d'habitants. On l'ajuste par la droite $y = 0, 5 x +$ $40$ , où $x$ est le nombre d'années depuis $2000$ . a) Estimer la population en $2012$ . b) Que prévoit le modèle pour $2030$ ? c) En quelle année le modèle annonce-t-il $60000$ habitants ? d) Classer ces trois résultats du plus sûr au moins sûr.
année 2000 2005 2010 2015 2020
habitants (milliers) 40 43 45 48 50
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a) $2012$ , c'est $x =$ $12$ , dans la plage $2000$ – $2020$ : interpolation. $y = 0, 5 \times 12 + 40 =$ $46$ , soit $46000$ habitants. b) $2030$ , c'est $x =$ $30$ , après $2020$ : extrapolation. $y = 0, 5 \times 30 + 40 =$ $55$ , soit $55000$ habitants. c) $0, 5 x + 40 =$ $60$ , donc $0, 5 x = 20$ et $x =$ $40$ : l'année $2040$ , encore une extrapolation. d) Du plus sûr au moins sûr : $2012$ (entre deux relevés), puis $2030$ ( $10$ ans après le dernier), puis $2040$ ( $20$ ans après). ⭐ En démographie, une usine qui ferme, une ligne de train qui ouvre, et la tendance change : plus on prévoit loin, plus on parie.
11Le glacier qui recule
Dans un modèle, la longueur d'un glacier alpin, en km, est relevée à chaque décennie ( $x$ : les décennies depuis le premier relevé). La droite d'ajustement $y = - 0, 6 x + 8$ est prolongée sur le dessin. a) Estimer la longueur du glacier au milieu de la troisième décennie, pour $x =$ $2, 5$ . b) Pour quelle valeur de $x$ le modèle annonce-t-il la disparition du glacier ? Traduire en années. c) Que penser de cette prévision ?
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a) $2, 5$ est entre $0$ et $5$ : interpolation. $y = - 0, 6 \times 2, 5 + 8 = - 1, 5 + 8 = 6, 5$ km. b) Le glacier disparaît quand $y =$ $0$ : $- 0, 6 x + 8 =$ $0$ , donc $x = \frac{8}{0 , 6} \approx 13, 3$ décennies, soit environ $133$ ans après le premier relevé. c) Les relevés couvrent $5$ décennies ; la prévision porte sur plus de $13$ : on extrapole plus de deux fois plus loin que ce qu'on a mesuré. La fonte peut s'accélérer si le climat se réchauffe plus vite, ou ralentir quand le glacier ne garde que sa partie la plus haute, la plus froide. La date est très incertaine ; la tendance, elle, est claire. ⚠️ Sur le dessin, la droite continue bien après le dernier point : c'est tout le problème de l'extrapolation.
12La voiture électrique
Dans un pays imaginaire, la part des voitures électriques dans les ventes de voitures neuves, en %, est relevée pendant cinq ans ( $x =$ $0$ à $4$ ). Elle est ajustée par $y = 2, 5 x +$ $3$ . a) Pour quelle valeur de $x$ le modèle donne-t-il $9$ % ? b) Que prévoit-il pour $x =$ $10$ ? c) Et pour $x =$ $40$ ? Commenter.
année 0 1 2 3 4
part (%) 3 6 8 10 13
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a) $2, 5 x + 3 =$ $9$ , donc $2, 5 x = 6$ et $x = \frac{6}{2 , 5} =$ $2, 4$ : pendant la troisième année. C'est une interpolation ( $2, 4$ est entre $0$ et $4$ ). b) $x =$ $10$ : extrapolation. $y = 2, 5 \times 10 + 3 = 28$ %. c) $x =$ $40$ : $y = 2, 5 \times 40 + 3 = 103$ %. Plus de $100$ % des ventes, c'est impossible : une part ne dépasse jamais le tout. ⚠️ Une part ne peut pas monter en ligne droite pour toujours : elle finit par ralentir. Le modèle affine a atteint ses limites bien avant $x =$ $40$ .
13Le plan d'entraînement
Une coureuse note la distance de sa sortie longue, en km, chaque semaine ( $x$ : la semaine). La droite d'ajustement a pour équation $y = 1, 5 x +$ $4$ . a) Quelle distance le modèle donne-t-il pour la semaine $3$ ? Comparer au relevé. b) Que prévoit-il pour la semaine $8$ ? c) Et pour la semaine $20$ ? Commenter.
Voir la correction
a) La semaine $3$ est dans la plage des relevés : interpolation. $y = 1, 5 \times 3 + 4 = 8, 5$ km, pour $8$ km relevés : un demi-kilomètre d'écart. b) Semaine $8$ : extrapolation proche. $y = 1, 5 \times 8 + 4 = 16$ km. C'est crédible. c) Semaine $20$ : $y = 1, 5 \times 20 + 4 = 34$ km, presque un marathon en sortie d'entraînement. Un corps ne progresse pas indéfiniment au même rythme : il faut des semaines de repos, et on se blesse à forcer. La prévision n'a plus de sens. ⭐ Le modèle décrit ce qui S'EST passé ; il ne décide pas de ce qui se passera.
14Le marchand de glaces
Un marchand de glaces relève ses ventes selon la température de l'après-midi, entre $20$ °C et $32$ °C. Il les ajuste par $y = 15 x - 150$ ( $x$ en °C, $y$ : le nombre de glaces). a) Estimer ses ventes à $26$ °C. b) Que prévoit le modèle à $5$ °C ? c) Et à $40$ °C ? Peut-on s'y fier ?
température (°C) 20 24 28 32
glaces vendues 150 200 280 330
Voir la correction
a) $26$ °C est entre $20$ et $32$ : interpolation. $y = 15 \times 26 - 150 = 390 - 150 = 240$ glaces. b) $5$ °C est hors de la plage : $y = 15 \times 5 - 150 = 75 - 150 =$ $- 75$ . Vendre $- 75$ glaces, c'est impossible. c) $y = 15 \times 40 - 150 = 600 - 150 = 450$ glaces. Le calcul marche, mais on n'a jamais observé une telle chaleur : par une canicule, les gens restent peut-être à l'ombre. ⚠️ Extrapoler vers le bas comme vers le haut peut donner un résultat absurde : un nombre de glaces ne peut pas être négatif.
15La casserole d'eau
En TP de physique, on chauffe de l'eau et on relève sa température toutes les deux minutes, pendant $6$ minutes. Les relevés sont ajustés par $y = 8 x + 20$ ( $x$ en minutes, $y$ en °C). a) Estimer la température au bout de $5$ minutes. b) Que prévoit le modèle au bout de $15$ minutes ? c) Au bout de combien de minutes le modèle atteint-il $100$ °C ? Que se passe-t-il ensuite, en réalité ?
Voir la correction
a) $5$ est entre $0$ et $6$ : interpolation. $y = 8 \times 5 + 20 = 40 + 20 = 60$ °C. b) $15$ minutes : extrapolation. $y = 8 \times 15 + 20 = 120 + 20 = 140$ °C. c) $8 x + 20 =$ $100$ , donc $8 x = 80$ et $x = 10$ minutes. En réalité, sous la pression atmosphérique normale, l'eau bout à $100$ °C, et sa température reste à $100$ °C tant qu'elle bout. Les $140$ °C du modèle sont impossibles. Sur le dessin, en dizaines de degrés : la droite des relevés, et le palier à $100$ °C où l'eau s'arrête. ⭐ La physique impose une limite que la droite ignore : c'est le cas typique d'une extrapolation qui casse.
16Le chauffage de la maison
Une famille relève la consommation électrique de son chauffage, en kWh par jour, selon la température extérieure, de $- 5$ °C à $15$ °C. On l'ajuste par $y = - 0, 4 x +$ $12$ . a) Estimer la consommation par une journée à $2$ °C. b) À quelle température le modèle donne-t-il $8$ kWh ? c) Que donne-t-il à $35$ °C ? Commenter.
température (°C) −5 0 5 10 15
kWh par jour 14 12,5 10 7,5 6
Voir la correction
a) $2$ °C est entre $- 5$ et $15$ : interpolation. $y = - 0, 4 \times 2 + 12 = - 0, 8 + 12 = 11, 2$ kWh. b) $- 0, 4 x + 12 =$ $8$ , donc $- 0, 4 x = - 4$ et $x = 10$ °C. C'est dans la plage : interpolation. c) $y = - 0, 4 \times 35 + 12 = - 14 + 12 = - 2$ kWh : une consommation négative, absurde. Par forte chaleur, le chauffage est simplement ÉTEINT : la consommation vaut $0$ , pas $- 2$ . ⚠️ En divisant par $- 0, 4$ , un nombre négatif, on garde bien le signe : $\frac{- 4}{- 0 , 4} =$ $10$ .

année	2000	2005	2010	2015	2020
habitants (milliers)	40	43	45	48	50

année	0	1	2	3	4
part (%)	3	6	8	10	13

température (°C)	20	24	28	32
glaces vendues	150	200	280	330

température (°C)	−5	0	5	10	15
kWh par jour	14	12,5	10	7,5	6

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Situer chaque valeur, calculer, puis juger la prévision.

Rappel de cours

À chaque question : interpolation ou extrapolation ? Puis le calcul. Puis une phrase qui dit jusqu'où l'on peut croire le résultat.
Un modèle affine suppose que la tendance reste la même. Tout ce qui peut l'infléchir (une limite physique, une ressource qui manque, une décision humaine) limite l'extrapolation.

17Le niveau de la mer
Dans un port, un modèle simplifié donne la hausse du niveau moyen de la mer, en cm, depuis $1995$ . On l'ajuste par $y =$ $0, 4 x$ , où $x$ est le nombre d'années depuis $1995$ . a) Estimer la hausse en $2010$ . b) Que prévoit le modèle pour $2100$ ? c) En quelle année le modèle annonce-t-il une hausse de $30$ cm ? d) Pourquoi ces prévisions lointaines sont-elles fragiles ?
année 1995 2005 2015 2025
hausse (cm) 0 4 9 12
Voir la correction
a) $2010$ est entre $1995$ et $2025$ : interpolation. $x = 15$ et $y = 0, 4 \times 15 = 6$ cm. b) $2100$ : $x =$ $105$ , loin après $2025$ . Extrapolation : $y = 0, 4 \times 105 = 42$ cm. c) $0, 4 x =$ $30$ , donc $x = \frac{30}{0 , 4} =$ $75$ : l'année $1995 + 75 =$ $2070$ . Extrapolation encore. d) On a $30$ ans de relevés, et on prévoit $75$ ans après leur fin. Un modèle affine suppose une hausse régulière : si elle s'accélère, ce que les scientifiques étudient justement, la droite sous-estime. ⭐ La droite donne un ordre de grandeur, pas une date : prévoir, ce n'est pas mesurer.
18Le retour du lynx
Des lynx ont été réintroduits dans une forêt. Le nombre d'animaux, en dizaines, est relevé tous les deux ans pendant $8$ ans et ajusté par $y = 0, 3 x + 1$ ( $x$ : les années depuis la réintroduction). a) Estimer le nombre de lynx au bout de $5$ ans. b) Que prévoit le modèle au bout de $10$ ans ? de $50$ ans ? c) Les biologistes estiment que cette forêt ne peut pas nourrir plus d'environ $60$ lynx. Au bout de combien d'années le modèle dépasse-t-il cette limite ? Que penser de la prévision à $50$ ans ?
Voir la correction
a) $5$ ans, entre $0$ et $8$ : interpolation. $y = 0, 3 \times 5 + 1 = 2, 5$ dizaines, soit $25$ lynx. b) $10$ ans : extrapolation proche, $y = 0, 3 \times 10 + 1 = 4$ dizaines, soit $40$ lynx. Crédible. $50$ ans : extrapolation lointaine, $y = 0, 3 \times 50 + 1 = 16$ dizaines, soit $160$ lynx. c) $60$ lynx, c'est $6$ dizaines : $0, 3 x + 1 =$ $6$ , donc $x = \frac{5}{0 , 3} \approx 16, 7$ ans. Après environ $17$ ans, le modèle dépasse ce que la forêt peut nourrir : les $160$ lynx à $50$ ans sont impossibles. La population va plafonner. ⚠️ $y$ compte des DIZAINES de lynx : $2, 5$ veut dire $25$ animaux. ⭐ Dans la nature, une population ne grandit pas sans fin : la nourriture et l'espace finissent par manquer.
19Les ventes d'un jeu vidéo
Un éditeur suit les ventes hebdomadaires d'un nouveau jeu vidéo, en milliers d'exemplaires, pendant $8$ semaines. Il les ajuste par la droite qui passe par la première et la dernière semaine. a) Déterminer cette droite. b) Estimer les ventes de la semaine $5$ , puis prévoir celles de la semaine $12$ . c) Que prévoit le modèle pour la semaine $20$ ? Commenter. d) Quelle semaine le modèle annonce-t-il zéro vente ?
semaine 1 2 4 6 8
ventes (milliers) 28 27 22 18 14
Voir la correction
a) Les points $(1; 28)$ et $(8; 14)$ : $a = \frac{14 - 28}{8 - 1} = \frac{- 14}{7} =$ $- 2$ . $28 = - 2 \times 1 +$ $b$ , donc $b =$ $30$ . La droite : $y = - 2 x +$ $30$ . b) Semaine $5$ (interpolation) : $y = - 2 \times 5 + 30 =$ $20$ , soit $20000$ jeux. Semaine $12$ (extrapolation) : $y = - 2 \times 12 + 30 =$ $6$ , soit $6000$ jeux. c) Semaine $20$ : $y = - 2 \times 20 + 30 =$ $- 10$ . Des ventes négatives, c'est absurde. d) $- 2 x + 30 = 0$ donne $x =$ $15$ . En réalité, les ventes d'un jeu ralentissent sans s'arrêter d'un coup : une promotion, une mise à jour les relancent. La droite ne sait pas « freiner ». ⚠️ Un modèle qui DESCEND finit toujours par passer sous zéro : c'est le premier signe qu'on l'a poussé trop loin.
20La date des vendanges
Dans une région viticole imaginaire, on relève la date de début des vendanges, comptée en jours depuis le $1^{er}$ janvier (le $1^{er}$ septembre est le $24 4^{e}$ jour). On l'ajuste par $y = - 0, 5 x +$ $270$ , où $x$ est le nombre d'années depuis $1980$ . a) Estimer le jour des vendanges en $2004$ , et le traduire en date. b) Que prévoit le modèle pour $2050$ ? Traduire en date (le $1^{er}$ août est le $21 3^{e}$ jour). c) « Remontons le temps » : que donne le modèle pour $1700$ ? Commenter.
année 1980 1990 2000 2010 2020
jour de l'année 270 264 261 255 250
Voir la correction
a) $2004$ est dans la plage $1980$ – $2020$ : interpolation. $x =$ $24$ , $y = - 0, 5 \times 24 + 270 = - 12 + 270 =$ $258$ . Le $24 4^{e}$ jour est le $1^{er}$ septembre, donc le $25 8^{e}$ est le $15$ septembre ( $258 -$ $244 = 14$ jours plus tard). b) $2050$ : extrapolation, $x =$ $70$ . $y = - 0, 5 \times 70 + 270 = - 35 + 270 =$ $235$ . Le $21 3^{e}$ jour est le $1^{er}$ août, donc le $23 5^{e}$ est le $23$ août ( $235 -$ $213 = 22$ jours plus tard). c) $1700$ : $x =$ $- 280$ , extrapolation vers le passé. $y = - 0, 5 \times (- 280) + 270 = 140 + 270 =$ $410$ . Le $41 0^{e}$ jour d'une année qui n'en compte que $365$ : absurde. ⭐ Le modèle dit que les vendanges avancent d'un demi-jour par an sur $40$ ans. Il ne dit rien des siècles passés, ni de la façon dont les vignerons s'adapteront. ⚠️ $x = 1700 - 1980 = - 280$ est NÉGATIF : oublier le signe donnerait $130$ , un faux résultat qui a l'air normal.

année	1995	2005	2015	2025
hausse (cm)	0	4	9	12

semaine	1	2	4	6	8
ventes (milliers)	28	27	22	18	14

année	1980	1990	2000	2010	2020
jour de l'année	270	264	261	255	250

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : interpoler et extrapoler, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. On situe d'abord : $5$ est entre $0$ et $8$ , à l'intérieur de la plage des relevés. C'est une interpolation. On calcule : $y = 3 \times 5 + 20 = 15 + 20 =$ $35$ . La population est estimée à $35000$ habitants. ⭐ Entre deux relevés, la tendance a très peu de chances de faire un écart : on peut avoir confiance. Sur la droite graduée : la valeur cherchée tombe DANS la zone des données.
2. $12$ est plus grand que $8$ : on sort de la plage des relevés. C'est une extrapolation. $y = 3 \times 12 + 20 = 36 + 20 =$ $56$ . Le modèle prévoit $56000$ habitants. ⚠️ Le calcul est aussi simple qu'à l'exercice 1, mais c'est une PRÉVISION : elle suppose que la ville continue de grandir au même rythme. Sur la droite graduée : la valeur cherchée tombe HORS de la zone des données.
3. La plage des données va de $2015$ à $2023$ . $A$ : $2019$ est entre $2015$ et $2023$ : interpolation. $B$ : $2028$ est après $2023$ : extrapolation (vers l'avenir). $C$ : $2012$ est avant $2015$ : extrapolation aussi, vers le passé. ⚠️ Extrapoler ne veut pas dire seulement « prévoir le futur » : c'est sortir de la plage, d'un côté ou de l'autre.
4. $3$ est entre $0$ et $6$ : c'est une interpolation. On part de $x = 3$ sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la DROITE (pas jusqu'à un point), puis on lit l'ordonnée : $5$ . L'estimation est de $5$ centaines, soit $500$ randonneurs. ✔️ Avec l'équation de la droite, $y = x +$ $2$ : $3 + 2 =$ $5$ . ⚠️ On lit sur la droite, qui résume tous les relevés, et non en « recopiant » un point voisin.
5. On résout $2 x + 10 =$ $40$ : $2 x =$ $30$ , donc $x =$ $15$ . $15$ est au-delà de $10$ , la dernière valeur relevée : c'est une extrapolation. ⭐ On situe la RÉPONSE, pas seulement la question : ici, c'est le $x$ trouvé qui sort de la plage. Sur la droite graduée : $x = 15$ est à droite de la zone des données.
6. $y = 6 \times 40 + 76 = 240 + 76 =$ $316$ : le modèle prévoit $316$ cm, soit plus de $3$ mètres ! C'est absurde : on arrête de grandir à la fin de l'adolescence. Le modèle n'est valable que sur la plage de ses relevés, de $2$ à $10$ ans. ⚠️ Le calcul est juste ; c'est le MODÈLE qui ne s'applique plus. Sur la droite graduée : $40$ ans est quatre fois plus loin que le dernier relevé.
7. a) $y = - 0, 5 \times 12 + 70 = - 6 + 70 = 64$ secondes. C'est une extrapolation proche : la prévision reste crédible. b) $y = - 0, 5 \times 140 + 70 = - 70 + 70 = 0$ seconde : nager $100$ m en zéro seconde, c'est impossible. Les progrès d'un sportif RALENTISSENT avec le temps : une droite ne le voit pas. ⚠️ Plus on extrapole loin, plus le modèle affine devient faux. Sur la droite graduée : $a$ touche presque la zone des données, $b$ en est très loin.
8. On résout $1, 2 x + 4 =$ $10$ : $1, 2 x =$ $6$ , donc $x = \frac{6}{1 , 2} =$ $5$ . $5$ est entre $0$ et $10$ : c'est une interpolation. ✔️ Vérification : $1, 2 \times 5 + 4 = 6 + 4 =$ $10$ . Sur la droite graduée : $x = 5$ est au milieu de la zone des données.
9. Monter en altitude a) $1, 2$ km est entre $0$ et $2$ km : interpolation. $y = - 6 \times 1, 2 + 12 = - 7, 2 + 12 = 4, 8$ °C. b) $4, 8$ km est bien au-delà de $2$ km : extrapolation. $y = - 6 \times 4, 8 + 12 = - 28, 8 + 12 = - 16, 8$ °C. c) Le refuge est entre deux stations : on peut avoir confiance. Le sommet est $2, 8$ km plus haut que la dernière station, plus loin que toute la plage mesurée : c'est une prévision fragile. Le vent, le soleil, la neige peuvent tout changer ; seule une station au sommet trancherait. ⭐ Le coefficient $- 6$ se lit : la température baisse d'environ $6$ °C par kilomètre d'altitude, ce matin-là.
10. Une ville moyenne a) $2012$ , c'est $x =$ $12$ , dans la plage $2000$ – $2020$ : interpolation. $y = 0, 5 \times 12 + 40 =$ $46$ , soit $46000$ habitants. b) $2030$ , c'est $x =$ $30$ , après $2020$ : extrapolation. $y = 0, 5 \times 30 + 40 =$ $55$ , soit $55000$ habitants. c) $0, 5 x + 40 =$ $60$ , donc $0, 5 x = 20$ et $x =$ $40$ : l'année $2040$ , encore une extrapolation. d) Du plus sûr au moins sûr : $2012$ (entre deux relevés), puis $2030$ ( $10$ ans après le dernier), puis $2040$ ( $20$ ans après). ⭐ En démographie, une usine qui ferme, une ligne de train qui ouvre, et la tendance change : plus on prévoit loin, plus on parie.
11. Le glacier qui recule a) $2, 5$ est entre $0$ et $5$ : interpolation. $y = - 0, 6 \times 2, 5 + 8 = - 1, 5 + 8 = 6, 5$ km. b) Le glacier disparaît quand $y =$ $0$ : $- 0, 6 x + 8 =$ $0$ , donc $x = \frac{8}{0 , 6} \approx 13, 3$ décennies, soit environ $133$ ans après le premier relevé. c) Les relevés couvrent $5$ décennies ; la prévision porte sur plus de $13$ : on extrapole plus de deux fois plus loin que ce qu'on a mesuré. La fonte peut s'accélérer si le climat se réchauffe plus vite, ou ralentir quand le glacier ne garde que sa partie la plus haute, la plus froide. La date est très incertaine ; la tendance, elle, est claire. ⚠️ Sur le dessin, la droite continue bien après le dernier point : c'est tout le problème de l'extrapolation.
12. La voiture électrique a) $2, 5 x + 3 =$ $9$ , donc $2, 5 x = 6$ et $x = \frac{6}{2 , 5} =$ $2, 4$ : pendant la troisième année. C'est une interpolation ( $2, 4$ est entre $0$ et $4$ ). b) $x =$ $10$ : extrapolation. $y = 2, 5 \times 10 + 3 = 28$ %. c) $x =$ $40$ : $y = 2, 5 \times 40 + 3 = 103$ %. Plus de $100$ % des ventes, c'est impossible : une part ne dépasse jamais le tout. ⚠️ Une part ne peut pas monter en ligne droite pour toujours : elle finit par ralentir. Le modèle affine a atteint ses limites bien avant $x =$ $40$ .
13. Le plan d'entraînement a) La semaine $3$ est dans la plage des relevés : interpolation. $y = 1, 5 \times 3 + 4 = 8, 5$ km, pour $8$ km relevés : un demi-kilomètre d'écart. b) Semaine $8$ : extrapolation proche. $y = 1, 5 \times 8 + 4 = 16$ km. C'est crédible. c) Semaine $20$ : $y = 1, 5 \times 20 + 4 = 34$ km, presque un marathon en sortie d'entraînement. Un corps ne progresse pas indéfiniment au même rythme : il faut des semaines de repos, et on se blesse à forcer. La prévision n'a plus de sens. ⭐ Le modèle décrit ce qui S'EST passé ; il ne décide pas de ce qui se passera.
14. Le marchand de glaces a) $26$ °C est entre $20$ et $32$ : interpolation. $y = 15 \times 26 - 150 = 390 - 150 = 240$ glaces. b) $5$ °C est hors de la plage : $y = 15 \times 5 - 150 = 75 - 150 =$ $- 75$ . Vendre $- 75$ glaces, c'est impossible. c) $y = 15 \times 40 - 150 = 600 - 150 = 450$ glaces. Le calcul marche, mais on n'a jamais observé une telle chaleur : par une canicule, les gens restent peut-être à l'ombre. ⚠️ Extrapoler vers le bas comme vers le haut peut donner un résultat absurde : un nombre de glaces ne peut pas être négatif.
15. La casserole d'eau a) $5$ est entre $0$ et $6$ : interpolation. $y = 8 \times 5 + 20 = 40 + 20 = 60$ °C. b) $15$ minutes : extrapolation. $y = 8 \times 15 + 20 = 120 + 20 = 140$ °C. c) $8 x + 20 =$ $100$ , donc $8 x = 80$ et $x = 10$ minutes. En réalité, sous la pression atmosphérique normale, l'eau bout à $100$ °C, et sa température reste à $100$ °C tant qu'elle bout. Les $140$ °C du modèle sont impossibles. Sur le dessin, en dizaines de degrés : la droite des relevés, et le palier à $100$ °C où l'eau s'arrête. ⭐ La physique impose une limite que la droite ignore : c'est le cas typique d'une extrapolation qui casse.
16. Le chauffage de la maison a) $2$ °C est entre $- 5$ et $15$ : interpolation. $y = - 0, 4 \times 2 + 12 = - 0, 8 + 12 = 11, 2$ kWh. b) $- 0, 4 x + 12 =$ $8$ , donc $- 0, 4 x = - 4$ et $x = 10$ °C. C'est dans la plage : interpolation. c) $y = - 0, 4 \times 35 + 12 = - 14 + 12 = - 2$ kWh : une consommation négative, absurde. Par forte chaleur, le chauffage est simplement ÉTEINT : la consommation vaut $0$ , pas $- 2$ . ⚠️ En divisant par $- 0, 4$ , un nombre négatif, on garde bien le signe : $\frac{- 4}{- 0 , 4} =$ $10$ .
17. Le niveau de la mer a) $2010$ est entre $1995$ et $2025$ : interpolation. $x = 15$ et $y = 0, 4 \times 15 = 6$ cm. b) $2100$ : $x =$ $105$ , loin après $2025$ . Extrapolation : $y = 0, 4 \times 105 = 42$ cm. c) $0, 4 x =$ $30$ , donc $x = \frac{30}{0 , 4} =$ $75$ : l'année $1995 + 75 =$ $2070$ . Extrapolation encore. d) On a $30$ ans de relevés, et on prévoit $75$ ans après leur fin. Un modèle affine suppose une hausse régulière : si elle s'accélère, ce que les scientifiques étudient justement, la droite sous-estime. ⭐ La droite donne un ordre de grandeur, pas une date : prévoir, ce n'est pas mesurer.
18. Le retour du lynx a) $5$ ans, entre $0$ et $8$ : interpolation. $y = 0, 3 \times 5 + 1 = 2, 5$ dizaines, soit $25$ lynx. b) $10$ ans : extrapolation proche, $y = 0, 3 \times 10 + 1 = 4$ dizaines, soit $40$ lynx. Crédible. $50$ ans : extrapolation lointaine, $y = 0, 3 \times 50 + 1 = 16$ dizaines, soit $160$ lynx. c) $60$ lynx, c'est $6$ dizaines : $0, 3 x + 1 =$ $6$ , donc $x = \frac{5}{0 , 3} \approx 16, 7$ ans. Après environ $17$ ans, le modèle dépasse ce que la forêt peut nourrir : les $160$ lynx à $50$ ans sont impossibles. La population va plafonner. ⚠️ $y$ compte des DIZAINES de lynx : $2, 5$ veut dire $25$ animaux. ⭐ Dans la nature, une population ne grandit pas sans fin : la nourriture et l'espace finissent par manquer.
19. Les ventes d'un jeu vidéo a) Les points $(1; 28)$ et $(8; 14)$ : $a = \frac{14 - 28}{8 - 1} = \frac{- 14}{7} =$ $- 2$ . $28 = - 2 \times 1 +$ $b$ , donc $b =$ $30$ . La droite : $y = - 2 x +$ $30$ . b) Semaine $5$ (interpolation) : $y = - 2 \times 5 + 30 =$ $20$ , soit $20000$ jeux. Semaine $12$ (extrapolation) : $y = - 2 \times 12 + 30 =$ $6$ , soit $6000$ jeux. c) Semaine $20$ : $y = - 2 \times 20 + 30 =$ $- 10$ . Des ventes négatives, c'est absurde. d) $- 2 x + 30 = 0$ donne $x =$ $15$ . En réalité, les ventes d'un jeu ralentissent sans s'arrêter d'un coup : une promotion, une mise à jour les relancent. La droite ne sait pas « freiner ». ⚠️ Un modèle qui DESCEND finit toujours par passer sous zéro : c'est le premier signe qu'on l'a poussé trop loin.
20. La date des vendanges a) $2004$ est dans la plage $1980$ – $2020$ : interpolation. $x =$ $24$ , $y = - 0, 5 \times 24 + 270 = - 12 + 270 =$ $258$ . Le $24 4^{e}$ jour est le $1^{er}$ septembre, donc le $25 8^{e}$ est le $15$ septembre ( $258 -$ $244 = 14$ jours plus tard). b) $2050$ : extrapolation, $x =$ $70$ . $y = - 0, 5 \times 70 + 270 = - 35 + 270 =$ $235$ . Le $21 3^{e}$ jour est le $1^{er}$ août, donc le $23 5^{e}$ est le $23$ août ( $235 -$ $213 = 22$ jours plus tard). c) $1700$ : $x =$ $- 280$ , extrapolation vers le passé. $y = - 0, 5 \times (- 280) + 270 = 140 + 270 =$ $410$ . Le $41 0^{e}$ jour d'une année qui n'en compte que $365$ : absurde. ⭐ Le modèle dit que les vendanges avancent d'un demi-jour par an sur $40$ ans. Il ne dit rien des siècles passés, ni de la façon dont les vignerons s'adapteront. ⚠️ $x = 1700 - 1980 = - 280$ est NÉGATIF : oublier le signe donnerait $130$ , un faux résultat qui a l'air normal.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : interpoler et extrapoler, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3