Fonction affine et taux d'accroissement : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices sur les fonctions affines en première : calculer un taux d'accroissement, retrouver l'expression à partir de deux images, donner le sens de variation. Le fil : une fonction affine a un seul taux d'accroissement, son coefficient directeur. Un rappel de cours avant chaque niveau, une correction écrite étape par étape.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. On calcule, on conclut.

Rappel de cours

Une fonction affine s'écrit $f (x) = a x +$ $b$ ; sa courbe est une droite de coefficient directeur $a$ .
Le taux d'accroissement de $f$ entre $x_{1}$ et $x_{2}$ : $\frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$ . Pour une fonction affine, il vaut TOUJOURS $a$ , quels que soient les deux nombres.
Si $a >$ $0$ , $f$ est croissante ; si $a <$ $0$ , décroissante ; si $a =$ $0$ , constante.
Avec deux images : $a$ est le taux d'accroissement, puis on trouve $b$ en remplaçant $x$ par l'un des deux nombres.

1
Soit $f (x) = 3 x -$ $2$ . Calculer le taux d'accroissement de $f$ entre $1$ et $4$ .
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$f (1) = 3 \times 1 - 2 = 1$ et $f (4) = 3 \times 4 - 2 =$ $10$ . Taux d'accroissement : $\frac{10 - 1}{4 - 1} = \frac{9}{3} =$ $3$ . ⭐ On retrouve $3$ , le coefficient directeur : pour une fonction affine, c'est toujours le cas. ⚠️ Même ordre en haut et en bas : $f (4) - f (1)$ sur $4 -$ $1$ . Sur le dessin, l'escalier orange : on avance de $3$ , on monte de $9$ . Monter de $9$ pour $3$ , c'est $3$ par unité.
2
Soit $g (x) = - 2 x +$ $7$ . Calculer le taux d'accroissement de $g$ entre $- 1$ et $3$ .
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$g (- 1) = - 2 \times (- 1) + 7 = 9$ et $g (3) = - 2 \times 3 + 7 =$ $1$ . Taux : $\frac{1 - 9}{3 - ( - 1 )} = \frac{- 8}{4} =$ $- 2$ . ⚠️ Le piège : $3 - (- 1) =$ $4$ , et non $2$ . ⭐ Le taux vaut $- 2$ , le coefficient directeur : la fonction perd $2$ quand $x$ augmente de $1$ . Sur le dessin, l'escalier orange : on avance de $4$ et on descend de $8$ .
3
Une fonction affine $f$ vérifie $f (2) = 5$ et $f (6) =$ $13$ . Déterminer son expression.
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$a$ est le taux d'accroissement : $a = \frac{13 - 5}{6 - 2} = \frac{8}{4} =$ $2$ . Donc $f (x) = 2 x +$ $b$ . Avec $f (2) =$ $5$ : $2 \times 2 + b =$ $5$ , donc $b = 5 - 4 =$ $1$ . $f (x) = 2 x +$ $1$ . ✔️ On vérifie avec l'autre image : $f (6) = 2 \times 6 + 1 =$ $13$ . Sur le dessin, l'escalier orange va de $(2; 5)$ à $(6; 13)$ : $4$ en avant, $8$ en haut. La droite coupe l'axe vertical en $1$ , c'est $b$ .
4
Une fonction affine $f$ vérifie $f (0) = 4$ et $f (5) =$ $- 6$ . Déterminer son expression.
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$f (0) = 4$ donne directement $b =$ $4$ : l'image de $0$ est l'ordonnée à l'origine. $a = \frac{- 6 - 4}{5 - 0} = \frac{- 10}{5} =$ $- 2$ . $f (x) = - 2 x +$ $4$ . ✔️ $f (5) = - 2 \times 5 + 4 =$ $- 6$ . ⚠️ Ne pas échanger les rôles : $4$ est $b$ , pas $a$ . Sur le dessin, la droite part de $4$ sur l'axe vertical ; l'escalier orange avance de $5$ et descend de $10$ .
5
Donner le sens de variation de chaque fonction affine. a) $f (x) = 0, 5 x - 3$ b) $g (x) = 4 - 3 x$ c) $h (x) = - 7$ d) $k (x) = - x$
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On lit le coefficient de $x$ , avec son signe. a) $a = 0, 5 >$ $0$ : $f$ est croissante. b) $g (x) = - 3 x +$ $4$ : $a = - 3 <$ $0$ , $g$ est décroissante. c) $h (x) = 0 \times x -$ $7$ : $a =$ $0$ , $h$ est constante. d) $k (x) = - 1 \times$ $x$ : $a = - 1 <$ $0$ , $k$ est décroissante. ⚠️ Le piège est b) : le coefficient directeur est $- 3$ , le nombre qui multiplie $x$ , et non $4$ , écrit en premier. ⭐ Le nombre $b$ déplace la droite vers le haut ou vers le bas ; il ne change pas son sens. Sur le dessin : $f$ en bleu monte ; $g$ en orange et $k$ en gris descendent ; $h$ en vert est horizontale.
6
Le tableau donne des valeurs d'une fonction $f$ . Calculer les taux d'accroissement entre $0$ et $2$ , entre $2$ et $5$ , puis entre $5$ et $9$ . La fonction peut-elle être affine ? Si oui, donner son expression.
x 0 2 5 9
f(x) 1 7 16 28
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Entre $0$ et $2$ : $\frac{7 - 1}{2 - 0} = \frac{6}{2} =$ $3$ . Entre $2$ et $5$ : $\frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac{9}{3} =$ $3$ . Entre $5$ et $9$ : $\frac{28 - 16}{9 - 5} = \frac{12}{4} =$ $3$ . Le taux vaut toujours $3$ : $f$ peut être affine, avec $a = 3$ et $b = f (0) =$ $1$ , soit $f (x) = 3 x +$ $1$ . ⚠️ Les valeurs de $x$ ne vont pas de $1$ en $1$ : comparer seulement les écarts $6$ , $9$ et $12$ ferait croire, à tort, que $f$ n'est pas affine.
7
Le tableau donne des valeurs d'une fonction $g$ . Est-elle affine ?
x 0 1 2 3
g(x) 2 3 6 11
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Taux entre $0$ et $1$ : $\frac{3 - 2}{1 - 0} =$ $1$ . Entre $1$ et $2$ : $\frac{6 - 3}{2 - 1} =$ $3$ . Entre $2$ et $3$ : $\frac{11 - 6}{3 - 2} =$ $5$ . Les taux changent : $g$ n'est pas affine. Sur le dessin, les points ne sont pas alignés : la courbe se redresse. C'est celle de $x^{2} +$ $2$ . ⭐ Une fonction affine a UN SEUL taux d'accroissement : c'est ce qui la reconnaît.
8
Une fonction affine $f$ vérifie $f (1) = 10$ et $f (4) =$ $4$ . Est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
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Son coefficient directeur est son taux d'accroissement : $a = \frac{4 - 10}{4 - 1} = \frac{- 6}{3} =$ $- 2$ . $a <$ $0$ : $f$ est décroissante. ✔️ On le voyait déjà : $x$ augmente de $1$ à $4$ , et l'image baisse de $10$ à $4$ . ⭐ Pour une fonction affine, deux images suffisent pour connaître le sens de variation. Sur le dessin, l'escalier orange avance de $3$ et descend de $6$ : la droite descend.

x	0	2	5	9
f(x)	1	7	16	28

x	0	1	2	3
g(x)	2	3	6	11

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Calculer le taux, trouver l'expression, puis tout dire avec l'unité.

Rappel de cours

Dans un problème, le taux d'accroissement est une VITESSE, avec une unité : des degrés Fahrenheit par degré Celsius, des mètres par an, des euros par objet.
Pour une fonction affine, ce taux est le même partout : c'est le coefficient directeur $a$ .
$b = f (0)$ est la valeur de départ ; elle ne change pas le sens de variation.

9Des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit
En physique, on convertit une température $x$ , en degrés Celsius, en degrés Fahrenheit par la fonction $f (x) = 1, 8 x +$ $32$ . a) Calculer $f (0)$ et $f (100)$ . Que représentent ces deux températures ? b) Calculer le taux d'accroissement de $f$ entre $0$ et $100$ . L'interpréter. c) $f$ est-elle croissante ? Était-ce prévisible ? d) Convertir $20$ °C, puis $- 10$ °C.
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a) $f (0) = 32$ et $f (100) = 1, 8 \times 100 + 32 =$ $212$ : à la pression atmosphérique normale, l'eau gèle à $32$ °F et bout à $212$ °F. b) $\frac{212 - 32}{100 - 0} = \frac{180}{100} =$ $1, 8$ : un degré Celsius de plus, c'est $1, 8$ degré Fahrenheit de plus. C'est le coefficient directeur. c) $a = 1, 8 >$ $0$ : $f$ est croissante. Normal : plus il fait chaud en Celsius, plus il fait chaud en Fahrenheit. d) $f (20) = 1, 8 \times 20 + 32 = 68$ °F et $f (- 10) = 1, 8 \times (- 10) + 32 = 14$ °F. ⚠️ $f$ n'est pas linéaire : $0$ °C ne donne pas $0$ °F, et doubler une température en Celsius ne la double pas en Fahrenheit. Sur le dessin (en dizaines de degrés sur les deux axes), la droite coupe l'axe vertical en $3, 2$ .
10Un arbre qui grandit
Un jeune chêne est planté dans un parc. On modélise sa hauteur, en mètres, par une fonction affine $h$ du temps $t$ , en années : $h (2) = 3, 1$ et $h (10) = 7, 1$ (chiffres d'un modèle). a) Calculer le taux d'accroissement de $h$ entre $2$ et $10$ . Que représente-t-il ? b) En déduire l'expression de $h (t)$ . c) Quelle était la hauteur de l'arbre à la plantation ?
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a) $\frac{7 , 1 - 3 , 1}{10 - 2} = \frac{4}{8} =$ $0, 5$ : l'arbre grandit de $0, 5$ m, soit $50$ cm, par an. b) $h (t) = 0, 5 t + b$ et $h (2) =$ $3, 1$ : $0, 5 \times 2 + b =$ $3, 1$ , donc $b = 3, 1 - 1 =$ $2, 1$ . Ainsi $h (t) = 0, 5 t +$ $2, 1$ . c) À la plantation, $t =$ $0$ : $h (0) = 2, 1$ m. ✔️ $h (10) = 0, 5 \times 10 + 2, 1 =$ $7, 1$ . ⭐ $b$ n'est pas « rien » : c'est la hauteur du jeune arbre qu'on a planté.
11Le coût de fabrication
Un atelier fabrique des tables en bois. Son coût de production, en euros, est une fonction affine $C$ du nombre $q$ de tables : $C (10) = 1500$ et $C (30) = 2300$ (chiffres d'un modèle). a) Calculer le taux d'accroissement de $C$ entre $10$ et $30$ . Que représente-t-il ? b) Déterminer $C (q)$ . Que représente $C (0)$ ? c) La fonction $C$ est-elle croissante ?
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a) $\frac{2 300 - 1 500}{30 - 10} = \frac{800}{20} =$ $40$ : chaque table de plus coûte $40$ € à fabriquer. b) $C (q) = 40 q + b$ et $C (10) =$ $1500$ : $40 \times 10 + b =$ $1500$ , donc $b =$ $1100$ . Ainsi $C (q) = 40 q +$ $1100$ . $C (0) =$ $1100$ : ce sont les coûts FIXES (atelier, machines), payés même sans rien fabriquer. c) $a = 40 >$ $0$ : $C$ est croissante, plus on fabrique, plus cela coûte. ⚠️ Le coût moyen d'une table n'est pas $40$ € : pour $10$ tables, c'est $\frac{1 500}{10} = 150$ € par table, car les coûts fixes sont partagés.
tables q 0 10 20 30
coût (€) 1 100 1 500 1 900 2 300
12Le réservoir d'une voiture
Une voiture part avec $50$ L d'essence. Le volume restant, en litres, après $d$ kilomètres, est modélisé par $V (d) = 50 -$ $0, 06 d$ . a) Quel est le sens de variation de $V$ ? Pourquoi ? b) Calculer le taux d'accroissement de $V$ entre $100$ et $500$ . L'interpréter en litres aux $100$ km. c) Combien reste-t-il d'essence après $500$ km ?
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a) $a = - 0, 06 <$ $0$ : $V$ est décroissante, le réservoir se vide en roulant. b) $V (100) = 50 - 0, 06 \times 100 = 44$ et $V (500) = 50 - 0, 06 \times 500 =$ $20$ . Taux : $\frac{20 - 44}{500 - 100} = \frac{- 24}{400} = - 0, 06$ L par km. La voiture consomme $0, 06 \times 100 = 6$ litres aux $100$ km. c) $V (500) =$ $20$ : il reste $20$ L. Sur le dessin (en centaines de km et en dizaines de litres), la droite descend et atteindrait l'axe horizontal vers $833$ km. ⚠️ Le taux est NÉGATIF, car le volume baisse. La consommation, elle, se dit avec un nombre positif.
13Une route de montagne
Sur une carte routière, un panneau annonce une pente de $8$ % : la route monte de $8$ m pour $100$ m parcourus à l'horizontale. Au pied de la côte, l'altitude est de $600$ m. On note $h (d)$ l'altitude, en mètres, après $d$ mètres parcourus à l'horizontale. a) Justifier que $h (d) = 0, 08 d +$ $600$ . b) Quel est le taux d'accroissement de $h$ ? Le relier à la pente. c) Quelle altitude atteint-on après $2, 5$ km à l'horizontale ?
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a) Au départ, $h (0) =$ $600$ . Chaque mètre à l'horizontale fait monter de $\frac{8}{100} = 0, 08$ m. Donc $h (d) = 0, 08 d +$ $600$ . b) Le taux d'accroissement est le coefficient directeur : $0, 08$ m par mètre. La pente de $8$ %, c'est ce coefficient écrit en pourcentage. c) $2, 5$ km, ce sont $2500$ m : $h (2500) = 0, 08 \times 2500 + 600 = 800$ m. ⚠️ Une pente de $8$ % n'est pas un angle de $8$ degrés : c'est $8$ m de montée pour $100$ m à l'horizontale. Sur le dessin (en km et en centaines de mètres), la droite monte de $0, 8$ par km.
14La batterie d'un téléphone
La charge de la batterie d'un téléphone, en %, est une fonction affine $B$ du temps $t$ , en heures écoulées depuis 8 h. À 10 h, elle est de $76$ % ; à 14 h, de $52$ % (chiffres d'un modèle). a) Calculer le taux d'accroissement de $B$ entre $t = 2$ et $t =$ $6$ . L'interpréter. b) Déterminer $B (t)$ . Quelle était la charge à 8 h ? c) Quelle charge ce modèle prévoit-il à 20 h ?
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a) À 10 h, $t =$ $2$ ; à 14 h, $t =$ $6$ . Taux : $\frac{52 - 76}{6 - 2} = \frac{- 24}{4} =$ $- 6$ : la batterie perd $6$ points de pourcentage par heure. b) $B (t) = - 6 t + b$ et $B (2) =$ $76$ : $- 6 \times 2 + b =$ $76$ , donc $b =$ $88$ . Ainsi $B (t) = - 6 t +$ $88$ : à 8 h, la charge était de $88$ %. c) 20 h, c'est $t =$ $12$ : $B (12) = - 6 \times 12 + 88 = 16$ %. ⚠️ $t$ compte les heures DEPUIS 8 h : 14 h, c'est $t =$ $6$ , pas $t =$ $14$ . Sur le dessin (en dizaines de %), la droite descend d'un peu plus d'un demi-carreau par heure.
15La distance de freinage
Dans un modèle de sécurité routière, le tableau donne la distance de freinage d'une voiture sur route sèche selon sa vitesse. a) Calculer le taux d'accroissement entre $0$ et $50$ km/h, puis entre $50$ et $100$ km/h. b) La distance de freinage est-elle une fonction affine de la vitesse ? c) Un élève prolonge la droite qui passe par les deux premiers points. Quelle distance prévoit-il à $100$ km/h ? Qu'en penser ?
vitesse (km/h) 0 50 100
freinage (m) 0 15 60
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a) Entre $0$ et $50$ : $\frac{15 - 0}{50 - 0} = 0, 3$ m par km/h. Entre $50$ et $100$ : $\frac{60 - 15}{100 - 50} = \frac{45}{50} = 0, 9$ m par km/h. b) Les deux taux sont différents : la distance de freinage n'est PAS une fonction affine de la vitesse. c) Avec un taux de $0, 3$ , il prévoit $0, 3 \times 100 = 30$ m, au lieu de $60$ m : il se trompe de moitié. Sur le dessin (en dizaines), la courbe bleue se redresse et quitte la droite orange. ⭐ En physique, la distance de freinage est proportionnelle au CARRÉ de la vitesse : rouler deux fois plus vite, c'est freiner sur une distance quatre fois plus longue. ⚠️ Un modèle affine faux peut être dangereux : ici, il sous-estime la distance.
16Un smartphone d'occasion
Le prix de revente d'un smartphone est modélisé par une fonction affine du temps $t$ , en mois : $600$ € neuf, $420$ € au bout de $12$ mois (chiffres d'un modèle). a) Déterminer l'expression $P (t)$ . b) Quel est son sens de variation ? Interpréter le coefficient directeur. c) Au bout de combien de mois le modèle donne-t-il un prix nul ?
Voir la correction
a) $P (0) =$ $600$ , donc $b =$ $600$ . $a = \frac{420 - 600}{12 - 0} = \frac{- 180}{12} =$ $- 15$ . Ainsi $P (t) = - 15 t +$ $600$ . b) $a = - 15 <$ $0$ : $P$ est décroissante. Le téléphone perd $15$ € de valeur par mois. c) $- 15 t + 600 = 0$ donne $t = \frac{600}{15} = 40$ mois, un peu plus de trois ans. ⭐ Dans la réalité, un téléphone garde souvent une petite valeur : le modèle affine s'arrête avant.

tables q	0	10	20	30
coût (€)	1 100	1 500	1 900	2 300

vitesse (km/h)	0	50	100
freinage (m)	0	15	60

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Un problème complet, avec ses questions qui s'enchaînent. Calculatrice autorisée.

Rappel de cours

Deux images données : on calcule $a$ , le taux, puis $b$ , puis on VÉRIFIE avec l'autre image.
On interprète $a$ (une vitesse, avec son unité) et $b$ (la valeur de départ).
Si les taux d'accroissement changent d'un intervalle à l'autre, la fonction n'est pas affine.

17La fréquence cardiaque maximale
En sport, on estime souvent la fréquence cardiaque maximale, en battements par minute, par la formule $F (x) = 220 -$ $x$ , où $x$ est l'âge en années. Pour un entraînement d'endurance, on vise $70$ % de ce maximum : $E (x) = 0, 7 \times (220 -$ $x)$ . a) Calculer $F (16)$ et $E (16)$ . b) Montrer que $E$ est une fonction affine : donner son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine. c) Quel est le sens de variation de $F$ et de $E$ ? Interpréter. d) Calculer le taux d'accroissement de $E$ entre $20$ et $60$ ans.
Voir la correction
a) $F (16) = 220 - 16 = 204$ battements par minute, et $E (16) = 0, 7 \times 204 =$ $142, 8$ , soit environ $143$ . b) On développe : $E (x) = 0, 7 \times 220 - 0, 7 x = 154 -$ $0, 7 x$ . C'est une fonction affine, avec $a = - 0, 7$ et $b =$ $154$ . c) $F$ a pour coefficient directeur $- 1$ , et $E$ a pour coefficient directeur $- 0, 7$ : les deux sont décroissantes. Avec l'âge, le cœur bat moins vite à l'effort. d) $E (20) = 154 - 0, 7 \times 20 = 140$ et $E (60) = 154 - 0, 7 \times 60 =$ $112$ . Taux : $\frac{112 - 140}{60 - 20} = \frac{- 28}{40} =$ $- 0, 7$ . On retrouve le coefficient directeur. ⭐ Le diagramme le montre : la fréquence visée baisse de $7$ battements tous les $10$ ans. ⚠️ Cette formule est une estimation moyenne : d'une personne à l'autre, le vrai maximum varie.
18Le salaire d'un commercial
Un commercial touche chaque mois un fixe de $1400$ € et une commission de $5$ % du chiffre d'affaires $x$ qu'il réalise, en euros. a) Exprimer son salaire $S (x)$ . Est-ce une fonction affine ? b) Calculer $S (10000)$ et $S (30000)$ , puis le taux d'accroissement entre ces deux valeurs. L'interpréter. c) Quel est le sens de variation de $S$ ? d) Quel chiffre d'affaires lui faut-il pour gagner $2000$ € ?
Voir la correction
a) $5$ % de $x$ , c'est $0, 05 x$ : $S (x) = 0, 05 x +$ $1400$ . C'est une fonction affine, avec $a = 0, 05$ et $b =$ $1400$ . b) $S (10000) = 0, 05 \times 10000 + 1400 = 1900$ et $S (30000) = 0, 05 \times 30000 + 1400 =$ $2900$ . Taux : $\frac{2 900 - 1 900}{30 000 - 10 000} = \frac{1 000}{20 000} =$ $0, 05$ : chaque euro vendu rapporte $5$ centimes, soit $5$ € pour $100$ € vendus. c) $a = 0, 05 >$ $0$ : $S$ est croissante. d) $0, 05 x + 1400 = 2000$ donne $0, 05 x =$ $600$ , donc $x = \frac{600}{0 , 05} = 12000$ €. ⚠️ Le taux d'accroissement n'est pas le salaire : $0, 05$ , c'est ce que rapporte UN euro vendu de plus. Sur le dessin (en dizaines de milliers d'euros de ventes, en milliers d'euros de salaire), la droite part de $1, 4$ .
19La fonte d'un névé
Au printemps, en montagne, un névé fond. Son épaisseur, en cm, est une fonction affine $E$ du nombre de jours $t$ : $120$ cm le 1er mai ( $t =$ $0$ ), $99$ cm trois jours plus tard (chiffres d'un modèle). a) Calculer le taux d'accroissement de $E$ entre $0$ et $3$ . L'interpréter. b) Déterminer $E (t)$ et son sens de variation. c) Quelle épaisseur reste-t-il au bout de $10$ jours ? d) Au bout de combien de jours le névé a-t-il disparu, selon ce modèle ?
Voir la correction
a) $\frac{99 - 120}{3 - 0} = \frac{- 21}{3} =$ $- 7$ : le névé perd $7$ cm par jour. b) $E (t) = - 7 t +$ $120$ . Comme $a = - 7 <$ $0$ , $E$ est décroissante. c) $E (10) = - 7 \times 10 + 120 = 50$ cm. d) $- 7 t + 120 = 0$ donne $t = \frac{120}{7} \approx$ $17, 1$ : le névé disparaît au cours du $18$ e jour. Sur le dessin (en dizaines de cm), la droite descend de $0, 7$ carreau par jour. ⚠️ Le taux est en cm PAR JOUR : on divise la perte, $21$ cm, par le nombre de jours, $3$ .
20Une ville nouvelle
Une ville nouvelle est sortie de terre dans les années 1980. Le tableau donne sa population, en milliers d'habitants (chiffres d'un modèle). On note $P (x)$ la population, en milliers, $x$ années après 1990. a) Calculer le taux d'accroissement de $P$ entre 1990 et 2000, puis entre 2000 et 2020. Que constate-t-on ? b) On suppose $P$ affine. Déterminer $P (x)$ . c) Interpréter le coefficient directeur en habitants par an. d) Quelle population ce modèle prévoit-il en 2030 ?
année 1990 2000 2010 2020
habitants (milliers) 4 7 10 13
Voir la correction
a) Entre 1990 et 2000 : $\frac{7 - 4}{10} =$ $0, 3$ . Entre 2000 et 2020 : $\frac{13 - 7}{20} = \frac{6}{20} =$ $0, 3$ . Le taux est le même, quels que soient les deux instants : c'est la marque d'une fonction affine. b) $a = 0, 3$ et $b = P (0) =$ $4$ : $P (x) = 0, 3 x +$ $4$ . c) $0, 3$ millier d'habitants par an, ce sont $300$ habitants de plus chaque année. d) 2030, c'est $x =$ $40$ : $P (40) = 0, 3 \times 40 + 4 =$ $16$ , soit $16000$ habitants. Sur le dessin (en dizaines d'années et en milliers d'habitants), les quatre points sont alignés. ⚠️ Le taux entre 2000 et 2020 se divise par $20$ ans, pas par $10$ .

année	1990	2000	2010	2020
habitants (milliers)	4	7	10	13

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : fonction affine et taux d'accroissement, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. $f (1) = 3 \times 1 - 2 = 1$ et $f (4) = 3 \times 4 - 2 =$ $10$ . Taux d'accroissement : $\frac{10 - 1}{4 - 1} = \frac{9}{3} =$ $3$ . ⭐ On retrouve $3$ , le coefficient directeur : pour une fonction affine, c'est toujours le cas. ⚠️ Même ordre en haut et en bas : $f (4) - f (1)$ sur $4 -$ $1$ . Sur le dessin, l'escalier orange : on avance de $3$ , on monte de $9$ . Monter de $9$ pour $3$ , c'est $3$ par unité.
2. $g (- 1) = - 2 \times (- 1) + 7 = 9$ et $g (3) = - 2 \times 3 + 7 =$ $1$ . Taux : $\frac{1 - 9}{3 - ( - 1 )} = \frac{- 8}{4} =$ $- 2$ . ⚠️ Le piège : $3 - (- 1) =$ $4$ , et non $2$ . ⭐ Le taux vaut $- 2$ , le coefficient directeur : la fonction perd $2$ quand $x$ augmente de $1$ . Sur le dessin, l'escalier orange : on avance de $4$ et on descend de $8$ .
3. $a$ est le taux d'accroissement : $a = \frac{13 - 5}{6 - 2} = \frac{8}{4} =$ $2$ . Donc $f (x) = 2 x +$ $b$ . Avec $f (2) =$ $5$ : $2 \times 2 + b =$ $5$ , donc $b = 5 - 4 =$ $1$ . $f (x) = 2 x +$ $1$ . ✔️ On vérifie avec l'autre image : $f (6) = 2 \times 6 + 1 =$ $13$ . Sur le dessin, l'escalier orange va de $(2; 5)$ à $(6; 13)$ : $4$ en avant, $8$ en haut. La droite coupe l'axe vertical en $1$ , c'est $b$ .
4. $f (0) = 4$ donne directement $b =$ $4$ : l'image de $0$ est l'ordonnée à l'origine. $a = \frac{- 6 - 4}{5 - 0} = \frac{- 10}{5} =$ $- 2$ . $f (x) = - 2 x +$ $4$ . ✔️ $f (5) = - 2 \times 5 + 4 =$ $- 6$ . ⚠️ Ne pas échanger les rôles : $4$ est $b$ , pas $a$ . Sur le dessin, la droite part de $4$ sur l'axe vertical ; l'escalier orange avance de $5$ et descend de $10$ .
5. On lit le coefficient de $x$ , avec son signe. a) $a = 0, 5 >$ $0$ : $f$ est croissante. b) $g (x) = - 3 x +$ $4$ : $a = - 3 <$ $0$ , $g$ est décroissante. c) $h (x) = 0 \times x -$ $7$ : $a =$ $0$ , $h$ est constante. d) $k (x) = - 1 \times$ $x$ : $a = - 1 <$ $0$ , $k$ est décroissante. ⚠️ Le piège est b) : le coefficient directeur est $- 3$ , le nombre qui multiplie $x$ , et non $4$ , écrit en premier. ⭐ Le nombre $b$ déplace la droite vers le haut ou vers le bas ; il ne change pas son sens. Sur le dessin : $f$ en bleu monte ; $g$ en orange et $k$ en gris descendent ; $h$ en vert est horizontale.
6. Entre $0$ et $2$ : $\frac{7 - 1}{2 - 0} = \frac{6}{2} =$ $3$ . Entre $2$ et $5$ : $\frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac{9}{3} =$ $3$ . Entre $5$ et $9$ : $\frac{28 - 16}{9 - 5} = \frac{12}{4} =$ $3$ . Le taux vaut toujours $3$ : $f$ peut être affine, avec $a = 3$ et $b = f (0) =$ $1$ , soit $f (x) = 3 x +$ $1$ . ⚠️ Les valeurs de $x$ ne vont pas de $1$ en $1$ : comparer seulement les écarts $6$ , $9$ et $12$ ferait croire, à tort, que $f$ n'est pas affine.
7. Taux entre $0$ et $1$ : $\frac{3 - 2}{1 - 0} =$ $1$ . Entre $1$ et $2$ : $\frac{6 - 3}{2 - 1} =$ $3$ . Entre $2$ et $3$ : $\frac{11 - 6}{3 - 2} =$ $5$ . Les taux changent : $g$ n'est pas affine. Sur le dessin, les points ne sont pas alignés : la courbe se redresse. C'est celle de $x^{2} +$ $2$ . ⭐ Une fonction affine a UN SEUL taux d'accroissement : c'est ce qui la reconnaît.
8. Son coefficient directeur est son taux d'accroissement : $a = \frac{4 - 10}{4 - 1} = \frac{- 6}{3} =$ $- 2$ . $a <$ $0$ : $f$ est décroissante. ✔️ On le voyait déjà : $x$ augmente de $1$ à $4$ , et l'image baisse de $10$ à $4$ . ⭐ Pour une fonction affine, deux images suffisent pour connaître le sens de variation. Sur le dessin, l'escalier orange avance de $3$ et descend de $6$ : la droite descend.
9. Des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit a) $f (0) = 32$ et $f (100) = 1, 8 \times 100 + 32 =$ $212$ : à la pression atmosphérique normale, l'eau gèle à $32$ °F et bout à $212$ °F. b) $\frac{212 - 32}{100 - 0} = \frac{180}{100} =$ $1, 8$ : un degré Celsius de plus, c'est $1, 8$ degré Fahrenheit de plus. C'est le coefficient directeur. c) $a = 1, 8 >$ $0$ : $f$ est croissante. Normal : plus il fait chaud en Celsius, plus il fait chaud en Fahrenheit. d) $f (20) = 1, 8 \times 20 + 32 = 68$ °F et $f (- 10) = 1, 8 \times (- 10) + 32 = 14$ °F. ⚠️ $f$ n'est pas linéaire : $0$ °C ne donne pas $0$ °F, et doubler une température en Celsius ne la double pas en Fahrenheit. Sur le dessin (en dizaines de degrés sur les deux axes), la droite coupe l'axe vertical en $3, 2$ .
10. Un arbre qui grandit a) $\frac{7 , 1 - 3 , 1}{10 - 2} = \frac{4}{8} =$ $0, 5$ : l'arbre grandit de $0, 5$ m, soit $50$ cm, par an. b) $h (t) = 0, 5 t + b$ et $h (2) =$ $3, 1$ : $0, 5 \times 2 + b =$ $3, 1$ , donc $b = 3, 1 - 1 =$ $2, 1$ . Ainsi $h (t) = 0, 5 t +$ $2, 1$ . c) À la plantation, $t =$ $0$ : $h (0) = 2, 1$ m. ✔️ $h (10) = 0, 5 \times 10 + 2, 1 =$ $7, 1$ . ⭐ $b$ n'est pas « rien » : c'est la hauteur du jeune arbre qu'on a planté.
11. Le coût de fabrication a) $\frac{2 300 - 1 500}{30 - 10} = \frac{800}{20} =$ $40$ : chaque table de plus coûte $40$ € à fabriquer. b) $C (q) = 40 q + b$ et $C (10) =$ $1500$ : $40 \times 10 + b =$ $1500$ , donc $b =$ $1100$ . Ainsi $C (q) = 40 q +$ $1100$ . $C (0) =$ $1100$ : ce sont les coûts FIXES (atelier, machines), payés même sans rien fabriquer. c) $a = 40 >$ $0$ : $C$ est croissante, plus on fabrique, plus cela coûte. ⚠️ Le coût moyen d'une table n'est pas $40$ € : pour $10$ tables, c'est $\frac{1 500}{10} = 150$ € par table, car les coûts fixes sont partagés.
tables q 0 10 20 30
coût (€) 1 100 1 500 1 900 2 300
12. Le réservoir d'une voiture a) $a = - 0, 06 <$ $0$ : $V$ est décroissante, le réservoir se vide en roulant. b) $V (100) = 50 - 0, 06 \times 100 = 44$ et $V (500) = 50 - 0, 06 \times 500 =$ $20$ . Taux : $\frac{20 - 44}{500 - 100} = \frac{- 24}{400} = - 0, 06$ L par km. La voiture consomme $0, 06 \times 100 = 6$ litres aux $100$ km. c) $V (500) =$ $20$ : il reste $20$ L. Sur le dessin (en centaines de km et en dizaines de litres), la droite descend et atteindrait l'axe horizontal vers $833$ km. ⚠️ Le taux est NÉGATIF, car le volume baisse. La consommation, elle, se dit avec un nombre positif.
13. Une route de montagne a) Au départ, $h (0) =$ $600$ . Chaque mètre à l'horizontale fait monter de $\frac{8}{100} = 0, 08$ m. Donc $h (d) = 0, 08 d +$ $600$ . b) Le taux d'accroissement est le coefficient directeur : $0, 08$ m par mètre. La pente de $8$ %, c'est ce coefficient écrit en pourcentage. c) $2, 5$ km, ce sont $2500$ m : $h (2500) = 0, 08 \times 2500 + 600 = 800$ m. ⚠️ Une pente de $8$ % n'est pas un angle de $8$ degrés : c'est $8$ m de montée pour $100$ m à l'horizontale. Sur le dessin (en km et en centaines de mètres), la droite monte de $0, 8$ par km.
14. La batterie d'un téléphone a) À 10 h, $t =$ $2$ ; à 14 h, $t =$ $6$ . Taux : $\frac{52 - 76}{6 - 2} = \frac{- 24}{4} =$ $- 6$ : la batterie perd $6$ points de pourcentage par heure. b) $B (t) = - 6 t + b$ et $B (2) =$ $76$ : $- 6 \times 2 + b =$ $76$ , donc $b =$ $88$ . Ainsi $B (t) = - 6 t +$ $88$ : à 8 h, la charge était de $88$ %. c) 20 h, c'est $t =$ $12$ : $B (12) = - 6 \times 12 + 88 = 16$ %. ⚠️ $t$ compte les heures DEPUIS 8 h : 14 h, c'est $t =$ $6$ , pas $t =$ $14$ . Sur le dessin (en dizaines de %), la droite descend d'un peu plus d'un demi-carreau par heure.
15. La distance de freinage a) Entre $0$ et $50$ : $\frac{15 - 0}{50 - 0} = 0, 3$ m par km/h. Entre $50$ et $100$ : $\frac{60 - 15}{100 - 50} = \frac{45}{50} = 0, 9$ m par km/h. b) Les deux taux sont différents : la distance de freinage n'est PAS une fonction affine de la vitesse. c) Avec un taux de $0, 3$ , il prévoit $0, 3 \times 100 = 30$ m, au lieu de $60$ m : il se trompe de moitié. Sur le dessin (en dizaines), la courbe bleue se redresse et quitte la droite orange. ⭐ En physique, la distance de freinage est proportionnelle au CARRÉ de la vitesse : rouler deux fois plus vite, c'est freiner sur une distance quatre fois plus longue. ⚠️ Un modèle affine faux peut être dangereux : ici, il sous-estime la distance.
16. Un smartphone d'occasion a) $P (0) =$ $600$ , donc $b =$ $600$ . $a = \frac{420 - 600}{12 - 0} = \frac{- 180}{12} =$ $- 15$ . Ainsi $P (t) = - 15 t +$ $600$ . b) $a = - 15 <$ $0$ : $P$ est décroissante. Le téléphone perd $15$ € de valeur par mois. c) $- 15 t + 600 = 0$ donne $t = \frac{600}{15} = 40$ mois, un peu plus de trois ans. ⭐ Dans la réalité, un téléphone garde souvent une petite valeur : le modèle affine s'arrête avant.
17. La fréquence cardiaque maximale a) $F (16) = 220 - 16 = 204$ battements par minute, et $E (16) = 0, 7 \times 204 =$ $142, 8$ , soit environ $143$ . b) On développe : $E (x) = 0, 7 \times 220 - 0, 7 x = 154 -$ $0, 7 x$ . C'est une fonction affine, avec $a = - 0, 7$ et $b =$ $154$ . c) $F$ a pour coefficient directeur $- 1$ , et $E$ a pour coefficient directeur $- 0, 7$ : les deux sont décroissantes. Avec l'âge, le cœur bat moins vite à l'effort. d) $E (20) = 154 - 0, 7 \times 20 = 140$ et $E (60) = 154 - 0, 7 \times 60 =$ $112$ . Taux : $\frac{112 - 140}{60 - 20} = \frac{- 28}{40} =$ $- 0, 7$ . On retrouve le coefficient directeur. ⭐ Le diagramme le montre : la fréquence visée baisse de $7$ battements tous les $10$ ans. ⚠️ Cette formule est une estimation moyenne : d'une personne à l'autre, le vrai maximum varie.
18. Le salaire d'un commercial a) $5$ % de $x$ , c'est $0, 05 x$ : $S (x) = 0, 05 x +$ $1400$ . C'est une fonction affine, avec $a = 0, 05$ et $b =$ $1400$ . b) $S (10000) = 0, 05 \times 10000 + 1400 = 1900$ et $S (30000) = 0, 05 \times 30000 + 1400 =$ $2900$ . Taux : $\frac{2 900 - 1 900}{30 000 - 10 000} = \frac{1 000}{20 000} =$ $0, 05$ : chaque euro vendu rapporte $5$ centimes, soit $5$ € pour $100$ € vendus. c) $a = 0, 05 >$ $0$ : $S$ est croissante. d) $0, 05 x + 1400 = 2000$ donne $0, 05 x =$ $600$ , donc $x = \frac{600}{0 , 05} = 12000$ €. ⚠️ Le taux d'accroissement n'est pas le salaire : $0, 05$ , c'est ce que rapporte UN euro vendu de plus. Sur le dessin (en dizaines de milliers d'euros de ventes, en milliers d'euros de salaire), la droite part de $1, 4$ .
19. La fonte d'un névé a) $\frac{99 - 120}{3 - 0} = \frac{- 21}{3} =$ $- 7$ : le névé perd $7$ cm par jour. b) $E (t) = - 7 t +$ $120$ . Comme $a = - 7 <$ $0$ , $E$ est décroissante. c) $E (10) = - 7 \times 10 + 120 = 50$ cm. d) $- 7 t + 120 = 0$ donne $t = \frac{120}{7} \approx$ $17, 1$ : le névé disparaît au cours du $18$ e jour. Sur le dessin (en dizaines de cm), la droite descend de $0, 7$ carreau par jour. ⚠️ Le taux est en cm PAR JOUR : on divise la perte, $21$ cm, par le nombre de jours, $3$ .
20. Une ville nouvelle a) Entre 1990 et 2000 : $\frac{7 - 4}{10} =$ $0, 3$ . Entre 2000 et 2020 : $\frac{13 - 7}{20} = \frac{6}{20} =$ $0, 3$ . Le taux est le même, quels que soient les deux instants : c'est la marque d'une fonction affine. b) $a = 0, 3$ et $b = P (0) =$ $4$ : $P (x) = 0, 3 x +$ $4$ . c) $0, 3$ millier d'habitants par an, ce sont $300$ habitants de plus chaque année. d) 2030, c'est $x =$ $40$ : $P (40) = 0, 3 \times 40 + 4 =$ $16$ , soit $16000$ habitants. Sur le dessin (en dizaines d'années et en milliers d'habitants), les quatre points sont alignés. ⚠️ Le taux entre 2000 et 2020 se divise par $20$ ans, pas par $10$ .

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : fonction affine et taux d'accroissement, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3