Problème de seuil : croissance linéaire : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices pour trouver à partir de quand une grandeur qui croît (ou décroît) de façon linéaire franchit un seuil : par le calcul, avec un tableau de valeurs, ou sur un graphique où le seuil est une horizontale. Un rappel de cours avant chaque niveau, une correction écrite étape par étape.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une méthode par exercice : le calcul, le tableau ou le graphique.

Rappel de cours

Un problème de SEUIL : trouver à partir de quand une grandeur dépasse une valeur donnée, ou passe en dessous.
Par le calcul : on résout une inéquation, comme $50 + 8 n \geq$ $120$ . Pour une suite, $n$ est un ENTIER : on arrondit au-dessus.
Avec un tableau de valeurs : on cherche la première valeur qui franchit le seuil.
Sur un graphique : on trace l'horizontale du seuil, on repère où la courbe la croise, et on lit l'ABSCISSE.

1
Une suite est définie par $u_{n} = 50 +$ $8 n$ . Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} \geq$ $120$ .
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On résout $50 + 8 n \geq$ $120$ : $8 n \geq$ $70$ , donc $n \geq \frac{70}{8} =$ $8, 75$ . $n$ est un entier : le plus petit qui convient est $n =$ $9$ . ✔️ $u_{8} = 50 + 8 \times 8 =$ $114$ , encore sous $120$ ; $u_{9} = 50 + 8 \times 9 =$ $122$ , au-dessus. ⚠️ On arrondit AU-DESSUS : $n = 8$ ne suffit pas. Sur le dessin (en dizaines), l'horizontale $12$ passe entre les points des rangs $8$ et $9$ : le premier point au-dessus est celui du rang $9$ .
2
Une suite est définie par $u_{n} = 200 -$ $15 n$ . Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} <$ $100$ .
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$200 - 15 n < 100$ donne $- 15 n <$ $- 100$ , puis $n > \frac{100}{15} \approx$ $6, 67$ . ⚠️ En divisant par $- 15$ , un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité. Le plus petit entier est $n =$ $7$ . ✔️ $u_{6} = 200 - 15 \times 6 = 110$ et $u_{7} = 200 - 15 \times 7 =$ $95$ . Sur le dessin (en centaines), les termes descendent ; le point du rang $7$ est le premier sous l'horizontale $1$ .
3
Le tableau donne les premiers termes d'une suite arithmétique. À partir de quel rang dépasse-t-elle $30$ ?
n u(n)
0 12
1 19
2 26
3 33
4 40
5 47
n 0 1 2 3 4 5
u(n) 12 19 26 33 40 47
Voir la correction
On parcourt le tableau : $u_{2} = 26$ est encore sous $30$ , et $u_{3} = 33$ le dépasse. La suite dépasse $30$ à partir du rang $3$ . ⭐ La suite est croissante, de raison $7$ : une fois le seuil franchi, elle reste au-dessus. ⚠️ On répond par le RANG, $3$ , et non par la valeur $33$ .
4
La droite représente $f (x) = 1, 5 x +$ $2$ ; l'horizontale en pointillés marque le seuil $8$ . Lire pour quelles valeurs de $x$ on a $f (x) \geq$ $8$ , puis le vérifier par le calcul.
Voir la correction
La droite croise l'horizontale $y = 8$ au point d'abscisse $4$ ; à droite de ce point, elle est au-dessus. Donc $f (x) \geq 8$ pour $x \geq$ $4$ . ✔️ Calcul : $1, 5 x + 2 \geq 8$ donne $1, 5 x \geq$ $6$ , donc $x \geq \frac{6}{1 , 5} =$ $4$ . ⭐ Sur un graphique, le seuil est une horizontale : on lit l'ABSCISSE du croisement.
5
Soit $f (x) = 3 x +$ $5$ . Résoudre $f (x) \geq$ $20$ .
Voir la correction
$3 x + 5 \geq 20$ donne $3 x \geq$ $15$ , donc $x \geq$ $5$ . Ici, $x$ peut prendre toutes les valeurs, pas seulement des entiers : la réponse est « $x \geq$ $5$ ». ✔️ $f (5) = 3 \times 5 + 5 =$ $20$ : le seuil est atteint exactement en $5$ . Sur le dessin (en dizaines), la droite rejoint l'horizontale $2$ en $x = 5$ et reste au-dessus ensuite.
6
La droite représente $g (x) = - 2 x +$ $10$ ; l'horizontale en pointillés marque le seuil $3$ . Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $g (x) <$ $3$ ? Lire, puis vérifier.
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La droite descend et croise l'horizontale $y = 3$ en $x =$ $3, 5$ . Après ce point, elle est en dessous. Donc $g (x) < 3$ pour $x >$ $3, 5$ . ✔️ $- 2 x + 10 < 3$ donne $- 2 x <$ $- 7$ , puis $x >$ $3, 5$ : on divise par $- 2$ et on change le sens. ⚠️ La droite descend : la réponse est à DROITE du croisement, avec un signe $>$ .
7
Le tableau donne les premiers termes d'une suite. À partir de quel rang passe-t-elle sous $50$ ?
n u(n)
0 80
1 72
2 64
3 56
4 48
5 40
n 0 1 2 3 4 5
u(n) 80 72 64 56 48 40
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$u_{3} = 56$ est encore au-dessus de $50$ ; $u_{4} = 48$ est en dessous. La suite passe sous $50$ à partir du rang $4$ . ✔️ C'est une suite arithmétique de raison $- 8$ : $u_{n} = 80 -$ $8 n$ , et $80 - 8 \times 4 =$ $48$ .
8
Une suite est définie par $u_{n} = 1000 +$ $250 n$ . Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} \geq$ $3000$ , puis le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} >$ $3000$ .
Voir la correction
$1000 + 250 n \geq 3000$ donne $250 n \geq$ $2000$ , donc $n \geq$ $8$ : le plus petit entier est $n =$ $8$ , car $u_{8} = 1000 + 250 \times 8 = 3000$ exactement. Avec une inégalité STRICTE, $u_{n} >$ $3000$ : $n >$ $8$ , et le plus petit entier est $n =$ $9$ . ⚠️ « Au moins » ( $\geq$ ) et « plus de » ( $>$ ) ne donnent pas la même réponse quand le seuil tombe pile sur un terme. Le tableau le montre : $u_{8}$ vaut exactement $3000$ .
n 7 8 9
u(n) 2 750 3 000 3 250

n	u(n)
0	12
1	19
2	26
3	33
4	40
5	47

n	0	1	2	3	4	5
u(n)	12	19	26	33	40	47

n	u(n)
0	80
1	72
2	64
3	56
4	48
5	40

n	0	1	2	3	4	5
u(n)	80	72	64	56	48	40

n	7	8	9
u(n)	2 750	3 000	3 250

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Traduire le seuil par une inégalité, le trouver, puis vérifier.

Rappel de cours

On traduit la phrase : « atteindre au moins » s'écrit $\geq$ , « dépasser » s'écrit $>$ , « passer sous » s'écrit $<$ .
Pour une suite, on répond par un RANG entier, puis par l'année, le mois ou la semaine qu'il représente.
On vérifie avec le terme d'avant (seuil pas encore franchi) et le terme trouvé (seuil franchi).

9Une cagnotte pour un voyage
Une association a $1500$ € dans sa cagnotte et y ajoute $120$ € chaque mois. Il lui faut au moins $3000$ € pour un voyage. a) Modéliser la cagnotte par une suite $u_{n}$ , avec $n$ en mois. b) Au bout de combien de mois l'objectif est-il atteint ? Répondre par le calcul, puis vérifier avec les termes voisins.
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a) $u_{n} = 1500 +$ $120 n$ . b) $1500 + 120 n \geq 3000$ donne $120 n \geq$ $1500$ , soit $n \geq \frac{1 500}{120} =$ $12, 5$ . Le plus petit entier est $n =$ $13$ . ✔️ $u_{12} = 1500 + 120 \times 12 = 2940$ €, pas encore assez ; $u_{13} = 1500 + 120 \times 13 = 3060$ €, objectif atteint. Il faudra $13$ mois pour réunir la somme. ⚠️ $12, 5$ mois n'a pas de sens ici : l'argent arrive une fois par mois, on arrondit au-dessus.
mois n 11 12 13 14
cagnotte (€) 2 820 2 940 3 060 3 180
10Les émissions d'un territoire
Les émissions de CO₂ d'une communauté de communes sont modélisées par $E (t) = 60 -$ $4 t$ , en milliers de tonnes, $t$ années après 2020 (chiffres d'un modèle). On fait un bilan chaque année, donc $t$ est un entier. Le dessin représente $E$ en dizaines de milliers de tonnes ; l'objectif, moins de $30000$ tonnes, est en pointillés. a) Lire à partir de quand l'objectif est atteint. b) Retrouver ce résultat par le calcul, puis donner l'année du premier bilan sous l'objectif.
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a) La droite croise l'horizontale en $t =$ $7, 5$ ; à droite de ce point, elle est en dessous. b) $60 - 4 t < 30$ donne $- 4 t <$ $- 30$ , donc $t >$ $7, 5$ . Le premier entier est $t =$ $8$ : en 2028. ✔️ $E (7) = 60 - 4 \times 7 =$ $32$ , encore au-dessus ; $E (8) = 60 - 4 \times 8 =$ $28$ , en dessous. « L'objectif serait atteint au bilan de 2028. » ⚠️ Le dessin est en DIZAINES de milliers : $3$ sur l'axe, ce sont $30000$ tonnes.
11Un club de randonnée
Un club de randonnée comptait $340$ adhérents à sa création, et en gagne $25$ par an (chiffres d'un modèle). Le tableau, extrait d'un tableur, donne le nombre d'adhérents $u_{n}$ au bout de $n$ années. a) Lire à partir de quelle année le club dépasse $500$ adhérents. b) Retrouver ce résultat par le calcul.
années n 4 5 6 7 8
adhérents 440 465 490 515 540
Voir la correction
a) $u_{6} = 490$ est encore sous $500$ ; $u_{7} = 515$ le dépasse. C'est à partir de la $7$ e année. b) $340 + 25 n > 500$ donne $25 n >$ $160$ , soit $n > \frac{160}{25} =$ $6, 4$ . Le plus petit entier est $n =$ $7$ . ⭐ Le tableau répond d'un coup d'œil ; le calcul marche même quand le tableau ne va pas assez loin.
12Une sortie longue à vélo
Une cycliste prépare une randonnée de $100$ km. La première semaine, sa sortie longue fait $40$ km ; chaque semaine, elle ajoute $5$ km. On note $u_{n}$ la distance de la semaine $n$ , avec $u_{1} =$ $40$ . a) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ . b) À partir de quelle semaine sa sortie atteint-elle $100$ km ?
Voir la correction
a) La suite commence à $u_{1}$ : $u_{n} = 40 + 5 (n -$ $1)$ , soit $u_{n} = 5 n +$ $35$ . b) $5 n + 35 \geq 100$ donne $5 n \geq$ $65$ , donc $n \geq$ $13$ : à partir de la semaine $13$ . ✔️ $u_{13} = 5 \times 13 + 35 = 100$ km exactement. Sur le dessin (en dizaines de km), la droite qui porte les termes atteint l'horizontale du seuil au rang $13$ . ⚠️ On part de $u_{1}$ : de la semaine $1$ à la semaine $13$ , il y a $12$ ajouts de $5$ km, et $40 + 12 \times 5 =$ $100$ .
13Une rivière en crue
Pendant une crue, la hauteur d'une rivière est modélisée par $H (t) = 0, 15 t +$ $1, 2$ , en mètres, $t$ heures après le début de l'alerte. La vigilance passe au niveau supérieur quand l'eau atteint $2, 4$ m, en pointillés (chiffres d'un modèle). a) Lire sur le dessin quand ce seuil est atteint. b) Le vérifier par le calcul. c) Les secours ont besoin de $3$ heures pour évacuer un camping. L'alerte a débuté à 6 h : à quelle heure, au plus tard, doivent-ils commencer ?
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a) La droite rejoint l'horizontale $2, 4$ en $t =$ $8$ . b) $0, 15 t + 1, 2 \geq 2, 4$ donne $0, 15 t \geq$ $1, 2$ , donc $t \geq \frac{1 , 2}{0 , 15} =$ $8$ . c) Le seuil est atteint à $6 + 8 = 14$ h. Il faut commencer au plus tard $3$ heures avant : à $11$ h. ⭐ En géographie, on étudie les risques : prévoir un seuil, c'est gagner du temps pour protéger les habitants.
14La réserve d'eau d'un randonneur
Un randonneur part avec $3$ L d'eau et en boit $0, 4$ L par heure. Il veut garder au moins $0, 5$ L en réserve. a) Modéliser la quantité d'eau $Q (t)$ , en litres, après $t$ heures. b) Au bout de combien de temps passe-t-il sous la réserve ? Donner la réponse en heures et minutes. c) Vérifier avec un tableau de valeurs.
Voir la correction
a) $Q (t) = 3 -$ $0, 4 t$ . b) $3 - 0, 4 t < 0, 5$ donne $- 0, 4 t <$ $- 2, 5$ , donc $t > \frac{2 , 5}{0 , 4} = 6, 25$ h, soit $6$ h $15$ min. « Au-delà de $6$ h $15$ min de marche, il entame sa réserve. » c) Dans le tableau : $Q (6) = 0, 6$ L, encore au-dessus ; $Q (7) = 0, 2$ L, en dessous. ⚠️ $0, 25$ h, c'est un quart d'heure, $15$ minutes, et non $25$ minutes.
heures t 5 6 6,25 7
eau (L) 1 0,6 0,5 0,2
15Un rail qui se dilate
En physique, un métal s'allonge quand il chauffe. On modélise l'allongement d'un rail d'acier de $30$ m par $A (t) =$ $0, 36 t$ , en mm, où $t$ est la hausse de température en °C. Le joint laissé entre deux rails mesure $9$ mm. a) Dresser un tableau de valeurs pour $t =$ $10$ , $20$ , $25$ et $30$ . b) À partir de quelle hausse de température le rail comble-t-il le joint ? c) Le rail a été posé à $20$ °C. À quelle température du rail cela correspond-il ?
Voir la correction
a) $A (10) =$ $3, 6$ ; $A (20) =$ $7, 2$ ; $A (25) = 0, 36 \times 25 =$ $9$ ; $A (30) =$ $10, 8$ . b) Le tableau montre que le seuil de $9$ mm est atteint pour $t =$ $25$ . Par le calcul : $0, 36 t \geq 9$ donne $t \geq \frac{9}{0 , 36} =$ $25$ . c) $20 + 25 =$ $45$ : le rail comble le joint quand il atteint $45$ °C, ce qui peut arriver en plein soleil. ⚠️ $25$ est une HAUSSE de température, pas une température : on l'ajoute aux $20$ °C de départ.
hausse t (°C) 10 20 25 30
allongement (mm) 3,6 7,2 9 10,8
16Une jeune entreprise
Le chiffre d'affaires mensuel d'une jeune entreprise est modélisé par $C (n) = 12 +$ $2, 5 n$ , en milliers d'euros, $n$ mois après sa création (chiffres d'un modèle). Elle pourra embaucher quand il atteindra $40000$ € par mois. Le dessin représente $C$ en dizaines de milliers d'euros, avec le seuil en pointillés. a) Lire sur le dessin le mois de l'embauche. b) Le retrouver par le calcul.
Voir la correction
a) La droite franchit l'horizontale $4$ entre $n = 11$ et $n =$ $12$ : on pourra embaucher le mois $12$ . b) $12 + 2, 5 n \geq 40$ donne $2, 5 n \geq$ $28$ , soit $n \geq \frac{28}{2 , 5} =$ $11, 2$ . Le plus petit entier est $n =$ $12$ . ✔️ $C (11) = 12 + 2, 5 \times 11 = 39, 5$ et $C (12) = 12 + 2, 5 \times 12 =$ $42$ . ⚠️ Sur l'axe, $4$ signifie $40$ milliers d'euros, soit $40000$ €.

mois n	11	12	13	14
cagnotte (€)	2 820	2 940	3 060	3 180

années n	4	5	6	7	8
adhérents	440	465	490	515	540

heures t	5	6	6,25	7
eau (L)	1	0,6	0,5	0,2

hausse t (°C)	10	20	25	30
allongement (mm)	3,6	7,2	9	10,8

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Un problème complet : le calcul, le tableau et le graphique doivent dire la même chose.

Rappel de cours

Trois chemins pour un seuil : le calcul (une inéquation), le tableau (le premier terme qui franchit), le graphique (le croisement avec l'horizontale).
On vérifie avec le terme d'avant et le terme trouvé.
On conclut par une phrase : l'année, le mois ou le jour.

17Une ferme solaire
Une région compte $120$ MW de panneaux solaires installés en 2025 et en ajoute $35$ MW par an (chiffres d'un modèle). Son objectif : $400$ MW. a) Modéliser la puissance installée par une suite $u_{n}$ , $n$ années après 2025. b) Calculer $u_{6}$ , $u_{7}$ , $u_{8}$ et $u_{9}$ , et lire dans ce tableau l'année où l'objectif est atteint. c) Retrouver le résultat par le calcul. d) Sur le dessin, où lit-on la réponse ?
Voir la correction
a) $u_{n} = 120 +$ $35 n$ . b) $u_{6} =$ $330$ , $u_{7} =$ $365$ , $u_{8} =$ $400$ , $u_{9} =$ $435$ . L'objectif est atteint pour $n =$ $8$ , en 2033. c) $120 + 35 n \geq 400$ donne $35 n \geq$ $280$ , donc $n \geq$ $8$ . ✔️ d) Sur le dessin (en centaines de MW), le point du rang $8$ est pile sur l'horizontale du seuil. « La région atteindrait son objectif de $400$ MW en 2033. » ⭐ Le tableau, le calcul et le dessin donnent la même réponse : c'est la meilleure des vérifications.
18La neige d'une station de ski
Au 1er mars, une piste de ski a $150$ cm de neige, et elle en perd $4$ cm par jour (chiffres d'un modèle). La piste ferme quand il reste moins de $50$ cm. a) Modéliser l'épaisseur $u_{n}$ , $n$ jours après le 1er mars. b) Déterminer par le calcul le jour de fermeture. c) Vérifier avec les valeurs de $u_{24}$ , $u_{25}$ et $u_{26}$ .
Voir la correction
a) $u_{n} = 150 -$ $4 n$ . b) $150 - 4 n < 50$ donne $- 4 n <$ $- 100$ , donc $n >$ $25$ . Le plus petit entier est $n =$ $26$ : $26$ jours après le 1er mars, c'est le 27 mars. c) $u_{24} =$ $54$ , $u_{25} = 50$ et $u_{26} =$ $46$ . Le 26 mars ( $n =$ $25$ ), il reste exactement $50$ cm : la piste reste ouverte. Elle ferme le 27 mars. ⚠️ « Moins de $50$ » est une inégalité STRICTE : à $50$ cm pile, on skie encore. ⚠️ $n = 26$ n'est pas le 26 mars : le 1er mars est le rang $0$ .
jours n 24 25 26
neige (cm) 54 50 46
19Deux entreprises
Une entreprise A compte $25$ salariés et en embauche $3$ par an ; une entreprise B en compte $60$ et en perd $2$ par an (chiffres d'un modèle). On note $n$ le nombre d'années. a) Exprimer les effectifs $a_{n}$ et $b_{n}$ . b) À partir de quelle année A a-t-elle plus de salariés que B ? Répondre par le calcul. c) Le lire sur le dessin.
Voir la correction
a) $a_{n} = 25 + 3 n$ et $b_{n} = 60 -$ $2 n$ . b) $25 + 3 n > 60 - 2 n$ donne $5 n >$ $35$ , donc $n >$ $7$ . Le plus petit entier est $n =$ $8$ . ✔️ $a_{7} = 25 + 3 \times 7 = 46$ et $b_{7} = 60 - 2 \times 7 =$ $46$ : égalité, pas encore de dépassement. $a_{8} = 49$ et $b_{8} =$ $44$ : A est devant. c) Sur le dessin (en dizaines de salariés), les droites se croisent au rang $7$ ; à partir du rang $8$ , la bleue, celle de A, est au-dessus. ⚠️ Au rang $7$ , les effectifs sont ÉGAUX : « plus que » demande le rang suivant.
20Des cigognes de retour
Dans une réserve naturelle, on comptait $40$ couples de cigognes en 2015. Le tableau, extrait d'un tableur, donne le nombre de couples tous les deux ans (chiffres d'un modèle). a) Montrer que l'on gagne toujours le même nombre de couples chaque année. Lequel ? b) Modéliser par une suite $u_{n}$ , $n$ années après 2015. c) En quelle année la réserve comptera-t-elle au moins $100$ couples ?
année 2015 2017 2019 2021 2023
couples 40 52 64 76 88
Voir la correction
a) Tous les deux ans, on gagne $52 - 40 = 12$ couples, et de même ensuite : $64 - 52 = 76 - 64 = 88 - 76 =$ $12$ . Soit $\frac{12}{2} = 6$ couples par an. b) $u_{n} = 40 +$ $6 n$ . c) $40 + 6 n \geq 100$ donne $6 n \geq$ $60$ , donc $n \geq$ $10$ : en 2025. ✔️ $u_{10} = 40 + 6 \times 10 =$ $100$ . Sur le dessin (en dizaines de couples), la droite qui porte les termes atteint l'horizontale $10$ au rang $10$ . ⚠️ Le tableau avance de deux ans en deux ans : l'écart de $12$ couples vaut pour DEUX années.

jours n	24	25	26
neige (cm)	54	50	46

année	2015	2017	2019	2021	2023
couples	40	52	64	76	88

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : problème de seuil : croissance linéaire, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. On résout $50 + 8 n \geq$ $120$ : $8 n \geq$ $70$ , donc $n \geq \frac{70}{8} =$ $8, 75$ . $n$ est un entier : le plus petit qui convient est $n =$ $9$ . ✔️ $u_{8} = 50 + 8 \times 8 =$ $114$ , encore sous $120$ ; $u_{9} = 50 + 8 \times 9 =$ $122$ , au-dessus. ⚠️ On arrondit AU-DESSUS : $n = 8$ ne suffit pas. Sur le dessin (en dizaines), l'horizontale $12$ passe entre les points des rangs $8$ et $9$ : le premier point au-dessus est celui du rang $9$ .
2. $200 - 15 n < 100$ donne $- 15 n <$ $- 100$ , puis $n > \frac{100}{15} \approx$ $6, 67$ . ⚠️ En divisant par $- 15$ , un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité. Le plus petit entier est $n =$ $7$ . ✔️ $u_{6} = 200 - 15 \times 6 = 110$ et $u_{7} = 200 - 15 \times 7 =$ $95$ . Sur le dessin (en centaines), les termes descendent ; le point du rang $7$ est le premier sous l'horizontale $1$ .
3. On parcourt le tableau : $u_{2} = 26$ est encore sous $30$ , et $u_{3} = 33$ le dépasse. La suite dépasse $30$ à partir du rang $3$ . ⭐ La suite est croissante, de raison $7$ : une fois le seuil franchi, elle reste au-dessus. ⚠️ On répond par le RANG, $3$ , et non par la valeur $33$ .
4. La droite croise l'horizontale $y = 8$ au point d'abscisse $4$ ; à droite de ce point, elle est au-dessus. Donc $f (x) \geq 8$ pour $x \geq$ $4$ . ✔️ Calcul : $1, 5 x + 2 \geq 8$ donne $1, 5 x \geq$ $6$ , donc $x \geq \frac{6}{1 , 5} =$ $4$ . ⭐ Sur un graphique, le seuil est une horizontale : on lit l'ABSCISSE du croisement.
5. $3 x + 5 \geq 20$ donne $3 x \geq$ $15$ , donc $x \geq$ $5$ . Ici, $x$ peut prendre toutes les valeurs, pas seulement des entiers : la réponse est « $x \geq$ $5$ ». ✔️ $f (5) = 3 \times 5 + 5 =$ $20$ : le seuil est atteint exactement en $5$ . Sur le dessin (en dizaines), la droite rejoint l'horizontale $2$ en $x = 5$ et reste au-dessus ensuite.
6. La droite descend et croise l'horizontale $y = 3$ en $x =$ $3, 5$ . Après ce point, elle est en dessous. Donc $g (x) < 3$ pour $x >$ $3, 5$ . ✔️ $- 2 x + 10 < 3$ donne $- 2 x <$ $- 7$ , puis $x >$ $3, 5$ : on divise par $- 2$ et on change le sens. ⚠️ La droite descend : la réponse est à DROITE du croisement, avec un signe $>$ .
7. $u_{3} = 56$ est encore au-dessus de $50$ ; $u_{4} = 48$ est en dessous. La suite passe sous $50$ à partir du rang $4$ . ✔️ C'est une suite arithmétique de raison $- 8$ : $u_{n} = 80 -$ $8 n$ , et $80 - 8 \times 4 =$ $48$ .
8. $1000 + 250 n \geq 3000$ donne $250 n \geq$ $2000$ , donc $n \geq$ $8$ : le plus petit entier est $n =$ $8$ , car $u_{8} = 1000 + 250 \times 8 = 3000$ exactement. Avec une inégalité STRICTE, $u_{n} >$ $3000$ : $n >$ $8$ , et le plus petit entier est $n =$ $9$ . ⚠️ « Au moins » ( $\geq$ ) et « plus de » ( $>$ ) ne donnent pas la même réponse quand le seuil tombe pile sur un terme. Le tableau le montre : $u_{8}$ vaut exactement $3000$ .
n 7 8 9
u(n) 2 750 3 000 3 250
9. Une cagnotte pour un voyage a) $u_{n} = 1500 +$ $120 n$ . b) $1500 + 120 n \geq 3000$ donne $120 n \geq$ $1500$ , soit $n \geq \frac{1 500}{120} =$ $12, 5$ . Le plus petit entier est $n =$ $13$ . ✔️ $u_{12} = 1500 + 120 \times 12 = 2940$ €, pas encore assez ; $u_{13} = 1500 + 120 \times 13 = 3060$ €, objectif atteint. Il faudra $13$ mois pour réunir la somme. ⚠️ $12, 5$ mois n'a pas de sens ici : l'argent arrive une fois par mois, on arrondit au-dessus.
mois n 11 12 13 14
cagnotte (€) 2 820 2 940 3 060 3 180
10. Les émissions d'un territoire a) La droite croise l'horizontale en $t =$ $7, 5$ ; à droite de ce point, elle est en dessous. b) $60 - 4 t < 30$ donne $- 4 t <$ $- 30$ , donc $t >$ $7, 5$ . Le premier entier est $t =$ $8$ : en 2028. ✔️ $E (7) = 60 - 4 \times 7 =$ $32$ , encore au-dessus ; $E (8) = 60 - 4 \times 8 =$ $28$ , en dessous. « L'objectif serait atteint au bilan de 2028. » ⚠️ Le dessin est en DIZAINES de milliers : $3$ sur l'axe, ce sont $30000$ tonnes.
11. Un club de randonnée a) $u_{6} = 490$ est encore sous $500$ ; $u_{7} = 515$ le dépasse. C'est à partir de la $7$ e année. b) $340 + 25 n > 500$ donne $25 n >$ $160$ , soit $n > \frac{160}{25} =$ $6, 4$ . Le plus petit entier est $n =$ $7$ . ⭐ Le tableau répond d'un coup d'œil ; le calcul marche même quand le tableau ne va pas assez loin.
12. Une sortie longue à vélo a) La suite commence à $u_{1}$ : $u_{n} = 40 + 5 (n -$ $1)$ , soit $u_{n} = 5 n +$ $35$ . b) $5 n + 35 \geq 100$ donne $5 n \geq$ $65$ , donc $n \geq$ $13$ : à partir de la semaine $13$ . ✔️ $u_{13} = 5 \times 13 + 35 = 100$ km exactement. Sur le dessin (en dizaines de km), la droite qui porte les termes atteint l'horizontale du seuil au rang $13$ . ⚠️ On part de $u_{1}$ : de la semaine $1$ à la semaine $13$ , il y a $12$ ajouts de $5$ km, et $40 + 12 \times 5 =$ $100$ .
13. Une rivière en crue a) La droite rejoint l'horizontale $2, 4$ en $t =$ $8$ . b) $0, 15 t + 1, 2 \geq 2, 4$ donne $0, 15 t \geq$ $1, 2$ , donc $t \geq \frac{1 , 2}{0 , 15} =$ $8$ . c) Le seuil est atteint à $6 + 8 = 14$ h. Il faut commencer au plus tard $3$ heures avant : à $11$ h. ⭐ En géographie, on étudie les risques : prévoir un seuil, c'est gagner du temps pour protéger les habitants.
14. La réserve d'eau d'un randonneur a) $Q (t) = 3 -$ $0, 4 t$ . b) $3 - 0, 4 t < 0, 5$ donne $- 0, 4 t <$ $- 2, 5$ , donc $t > \frac{2 , 5}{0 , 4} = 6, 25$ h, soit $6$ h $15$ min. « Au-delà de $6$ h $15$ min de marche, il entame sa réserve. » c) Dans le tableau : $Q (6) = 0, 6$ L, encore au-dessus ; $Q (7) = 0, 2$ L, en dessous. ⚠️ $0, 25$ h, c'est un quart d'heure, $15$ minutes, et non $25$ minutes.
heures t 5 6 6,25 7
eau (L) 1 0,6 0,5 0,2
15. Un rail qui se dilate a) $A (10) =$ $3, 6$ ; $A (20) =$ $7, 2$ ; $A (25) = 0, 36 \times 25 =$ $9$ ; $A (30) =$ $10, 8$ . b) Le tableau montre que le seuil de $9$ mm est atteint pour $t =$ $25$ . Par le calcul : $0, 36 t \geq 9$ donne $t \geq \frac{9}{0 , 36} =$ $25$ . c) $20 + 25 =$ $45$ : le rail comble le joint quand il atteint $45$ °C, ce qui peut arriver en plein soleil. ⚠️ $25$ est une HAUSSE de température, pas une température : on l'ajoute aux $20$ °C de départ.
hausse t (°C) 10 20 25 30
allongement (mm) 3,6 7,2 9 10,8
16. Une jeune entreprise a) La droite franchit l'horizontale $4$ entre $n = 11$ et $n =$ $12$ : on pourra embaucher le mois $12$ . b) $12 + 2, 5 n \geq 40$ donne $2, 5 n \geq$ $28$ , soit $n \geq \frac{28}{2 , 5} =$ $11, 2$ . Le plus petit entier est $n =$ $12$ . ✔️ $C (11) = 12 + 2, 5 \times 11 = 39, 5$ et $C (12) = 12 + 2, 5 \times 12 =$ $42$ . ⚠️ Sur l'axe, $4$ signifie $40$ milliers d'euros, soit $40000$ €.
17. Une ferme solaire a) $u_{n} = 120 +$ $35 n$ . b) $u_{6} =$ $330$ , $u_{7} =$ $365$ , $u_{8} =$ $400$ , $u_{9} =$ $435$ . L'objectif est atteint pour $n =$ $8$ , en 2033. c) $120 + 35 n \geq 400$ donne $35 n \geq$ $280$ , donc $n \geq$ $8$ . ✔️ d) Sur le dessin (en centaines de MW), le point du rang $8$ est pile sur l'horizontale du seuil. « La région atteindrait son objectif de $400$ MW en 2033. » ⭐ Le tableau, le calcul et le dessin donnent la même réponse : c'est la meilleure des vérifications.
18. La neige d'une station de ski a) $u_{n} = 150 -$ $4 n$ . b) $150 - 4 n < 50$ donne $- 4 n <$ $- 100$ , donc $n >$ $25$ . Le plus petit entier est $n =$ $26$ : $26$ jours après le 1er mars, c'est le 27 mars. c) $u_{24} =$ $54$ , $u_{25} = 50$ et $u_{26} =$ $46$ . Le 26 mars ( $n =$ $25$ ), il reste exactement $50$ cm : la piste reste ouverte. Elle ferme le 27 mars. ⚠️ « Moins de $50$ » est une inégalité STRICTE : à $50$ cm pile, on skie encore. ⚠️ $n = 26$ n'est pas le 26 mars : le 1er mars est le rang $0$ .
jours n 24 25 26
neige (cm) 54 50 46
19. Deux entreprises a) $a_{n} = 25 + 3 n$ et $b_{n} = 60 -$ $2 n$ . b) $25 + 3 n > 60 - 2 n$ donne $5 n >$ $35$ , donc $n >$ $7$ . Le plus petit entier est $n =$ $8$ . ✔️ $a_{7} = 25 + 3 \times 7 = 46$ et $b_{7} = 60 - 2 \times 7 =$ $46$ : égalité, pas encore de dépassement. $a_{8} = 49$ et $b_{8} =$ $44$ : A est devant. c) Sur le dessin (en dizaines de salariés), les droites se croisent au rang $7$ ; à partir du rang $8$ , la bleue, celle de A, est au-dessus. ⚠️ Au rang $7$ , les effectifs sont ÉGAUX : « plus que » demande le rang suivant.
20. Des cigognes de retour a) Tous les deux ans, on gagne $52 - 40 = 12$ couples, et de même ensuite : $64 - 52 = 76 - 64 = 88 - 76 =$ $12$ . Soit $\frac{12}{2} = 6$ couples par an. b) $u_{n} = 40 +$ $6 n$ . c) $40 + 6 n \geq 100$ donne $6 n \geq$ $60$ , donc $n \geq$ $10$ : en 2025. ✔️ $u_{10} = 40 + 6 \times 10 =$ $100$ . Sur le dessin (en dizaines de couples), la droite qui porte les termes atteint l'horizontale $10$ au rang $10$ . ⚠️ Le tableau avance de deux ans en deux ans : l'écart de $12$ couples vaut pour DEUX années.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : problème de seuil : croissance linéaire, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3