Suite arithmétique : reconnaître : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : suite arithmétique : reconnaître, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. On calcule l'écart entre deux termes qui se suivent : $5-3=$$2$, $7-5=$$2$, $9-7=$$2$, $11-9=$$2$. Tous les écarts valent $2$ : la suite est arithmétique, de raison $r=$$2$. Sur le dessin, les points $(n;u_n)$ sont ALIGNÉS : c'est la marque d'une suite arithmétique. ⚠️ Un seul écart ne suffit pas : il faut les vérifier tous.
2. 2. Écarts : $45-50=$$-5$, $40-45=$$-5$, $35-40=$$-5$. Ils sont tous égaux : la suite est arithmétique, de raison $r=$$-5$. Sur le dessin (un carreau pour $5$), chaque marche orange DESCEND d'un carreau : c'est le $-5$. ⚠️ Le piège : écrire $50-45=$$5$. On calcule toujours « terme SUIVANT moins terme PRÉCÉDENT ». La suite descend : sa raison est négative.
3. 3. Écarts : $2-1=$$1$, puis $4-2=$$2$, puis $8-4=$$4$. Ils ne sont pas égaux : la suite n'est PAS arithmétique. Ici, on passe d'un terme au suivant en MULTIPLIANT par $2$ : c'est une suite géométrique. Sur le dessin, les points ne sont pas alignés : la ligne orange se redresse. ⚠️ Ajouter toujours le même nombre, ou multiplier toujours par le même nombre : ce sont deux croissances différentes.
4. 4. La relation dit : pour obtenir le terme suivant, on ajoute $4$. $u(1)=u(0)+4=3+4=$$7$. $u(2)=u(1)+4=7+4=$$11$. $u(3)=u(2)+4=11+4=$$15$. ⭐ C'est une suite arithmétique de premier terme $3$ et de raison $4$. ⚠️ Avec la récurrence, on avance pas à pas : pour $u(3)$, il faut d'abord $u(1)$ et $u(2)$. Le tableau le montre : chaque case vaut la précédente plus $4$.

   n	0	1	2	3
   u(n)	3	7	11	15

5. 5. $u(3)$ s'écrit $u_3$ : le terme de rang $3$. $u(n+1)$ s'écrit $u_{n+1}$ : le terme qui SUIT $u_n$, au rang $n+$$1$. $u(n)+1$ s'écrit $u_n+$$1$ : le terme de rang $n$, auquel on ajoute $1$. Ce n'est pas le même nombre. Exemple avec la suite de l'exercice 4 : $u_1=$$7$, mais $u_0+1=$$4$. Dans le tableau, $u(0+1)=u(1)=7$ se lit une colonne plus loin ; $u(0)+1=4$ n'y figure pas. ⚠️ L'indice est une PLACE dans la liste, pas un nombre qu'on ajoute au terme.

   n	0	1	2
   u(n)	3	7	11

6. 6. De $u_0$ à $u_{10}$, on fait $10$ pas, et chaque pas ajoute $3$. $u_{10}=u_0+10\times 3=20+30=$$50$. ✔️ Les premiers termes le confirment : $u_1=$$23$, $u_2=$$26$… on ajoute bien $3$ à chaque fois. Sur le dessin (en dizaines), la grande marche orange : on avance de $10$ rangs et on monte de $10\times 3=$$30$, soit $3$ carreaux. ⚠️ De $u_0$ à $u_{10}$, il y a $10$ pas, ni $9$ ni $11$ : on compte les PAS, pas les termes.
7. 7. a) On ajoute toujours $7$ : arithmétique, de raison $7$. b) On MULTIPLIE par $2$ : ce n'est pas une suite arithmétique. c) On ajoute $n$, qui change à chaque rang : $0$, puis $1$, puis $2$… Ce n'est pas toujours le même nombre : pas arithmétique. d) On ajoute toujours $-0,5$ : arithmétique, de raison $-0,5$. Sur le dessin, la suite c) en partant de $u_0=$$1$ : $1$ ; $1$ ; $2$ ; $4$ ; $7$. Les marches grandissent, les points ne sont pas alignés. ⚠️ Le piège est c) : il y a bien une addition, mais ce qu'on ajoute doit être une CONSTANTE.
8. 8. De $u_1$ à $u_{20}$, on fait $20-1=19$ pas. $u_{20}=u_1+19\times 2=5+38=$$43$. ⚠️ Le piège : écrire $5+20\times 2=$$45$. Quand la suite commence à $u_1$, il y a un pas de moins que le rang. Dans le tableau, $u_3=5+2\times 2=$$9$ : au rang $3$, deux pas seulement. ⭐ Toujours se demander : combien de PAS entre le terme connu et le terme cherché ?

   n	1	2	3	20
   u(n)	5	7	9	43

9. 9. Une tirelire a) $u(0)=$$60$ : la somme de départ. $u(1)=60+15=75$ et $u(2)=75+15=$$90$. b) Chaque semaine, on ajoute la même somme : la suite est arithmétique, de raison $15$, et $u(n+1)=u(n)+$$15$. c) $u(4)$ s'écrit $u_4$ : la somme au bout de $4$ semaines. $u_4=60+4\times 15=120$ €. Sur le dessin (en dizaines d'euros), chaque semaine fait monter le point d'un carreau et demi, et les points restent alignés. ⚠️ $u(0)$ est la somme AVANT la première semaine : le rang $0$ n'est pas « rien ».
10. 10. Une forêt replantée a) $1300-1200=$$100$, $1400-1300=$$100$, $1500-1400=$$100$ : on ajoute toujours $100$. La suite est arithmétique, de raison $100$. b) $u_{n+1}=u_n+$$100$, avec $u_0=$$1200$. c) De $u_0$ à $u_{10}$, il y a $10$ pas de $100$ : $u_{10}=1200+10\times 100=$$2200$. Au bout de $10$ ans, la forêt comptera $2200$ arbres. ⚠️ « Montrer » demande les TROIS écarts, pas un seul. ⭐ En $10$ ans, on a planté $1000$ arbres, mais la forêt en compte $2200$ : ne pas confondre les arbres plantés et le total.
11. 11. Un club qui perd des licenciés a) $u_0=$$120$, et chaque année on retire $10$ : $u_{n+1}=u_n-$$10$. b) Oui : on ajoute toujours le même nombre, $-10$. La raison est $r=$$-10$. c) $u_5=120+5\times (-10)=120-50=$$70$ : au bout de $5$ ans, le club compte $70$ licenciés. Sur le dessin (en dizaines de licenciés), les points descendent d'un carreau par an, alignés. ⚠️ « Perdre $10$ » donne une raison NÉGATIVE : $r=$$-10$, et non $10$.
12. 12. Les ruches d'un apiculteur a) $u(3)$ est le nombre de ruches l'année $2024+3=$$2027$ : $u(3)=$$58$. b) 2030, c'est $2024+$$6$ : le rang est $n=$$6$. Le nombre de ruches s'écrit $u_6$, et $u_6=40+6\times 6=$$76$. c) $u_{n+1}=u_n+$$6$, avec $u_0=$$40$. ⚠️ Le piège : écrire $u_{2030}$. L'indice est le RANG, le nombre d'années depuis 2024, pas l'année. ⭐ $u(6)$ et $u_6$ : deux écritures, un seul nombre.
13. 13. Deux plans d'entraînement a) Plan A : $25-20=$$5$, $30-25=$$5$, $35-30=$$5$. Toujours $5$ : arithmétique, de raison $5$. Plan B : $22-20=$$2$, $26-22=$$4$, $32-26=$$6$. Les écarts grandissent : pas arithmétique. b) Plan A, cinquième semaine : $35+5=40$ minutes. Sur le dessin (un carreau pour $5$ minutes), la droite bleue passe par tous les points du plan A ; la ligne orange du plan B se courbe. ⚠️ Les deux plans partent de $20$ minutes et montent tous les deux : seul le calcul des écarts les départage.
14. 14. Une ligne de tramway a) $u_0=3$ et $u_{n+1}=u_n+$$2$. Donc $u_1=3+2=5$ et $u_2=5+2=$$7$. b) 2035, c'est le rang $n=$$10$ : $u_{10}=3+10\times 2=$$23$. En 2035, la ligne aura $23$ km en service. ⚠️ De 2025 à 2035, il s'écoule $10$ ans, et non $11$ : l'année 2025 est le rang $0$.
15. 15. Le nageur a) $u_2=800+50=850$ m et $u_3=850+50=900$ m. b) De la séance $1$ à la séance $12$, il y a $12-1=11$ pas : $u_{12}=800+11\times 50=1350$ m. ⚠️ Ici, la suite commence à $u_1$ : calculer $12\times 50$ compterait une séance de trop. ✔️ Le tableau montre les premières séances : on ajoute bien $50$ à chaque fois.

    séance n	1	2	3	4
    distance (m)	800	850	900	950

16. 16. Monter en altitude a) Tous les $100$ m, on ajoute le même nombre, $-0,6$ : la suite est arithmétique, avec $u_0=15$ et $r=$$-0,6$. b) $1000$ m, ce sont $10$ centaines de mètres : $u_{10}=15+10\times (-0,6)=15-6=$$9$. Il fait $9$ °C. $2500$ m, c'est le rang $25$ : $u_{25}=15-25\times 0,6=15-15=$$0$. Il fait $0$ °C. ⚠️ Le rang n'est pas l'altitude : $u_{1000}$ n'a pas de sens ici, puisqu'un pas vaut $100$ m. ⭐ Ce modèle est une moyenne : le vent, le soleil ou l'humidité le font varier.

    altitude (m)	0	1 000	2 000	2 500
    température (°C)	15	9	3	0

17. 17. Des haies pour la biodiversité a) Projet A : $a_1=800+150=950$ et $a_2=950+150=$$1100$. Projet B : augmenter de $10$ %, c'est multiplier par $1,1$. $b_1=800\times 1,1=880$ et $b_2=880\times 1,1=$$968$. b) Pour A, l'écart vaut toujours $150$ : la suite est arithmétique, de raison $150$, et $a_{n+1}=a_n+$$150$. Pour B, les écarts valent $880-800=80$ puis $968-880=$$88$ : ils changent, la suite n'est pas arithmétique. c) 2031, c'est le rang $6$ : on cherche $a(6)$, qu'on écrit aussi $a_6$. $a_6=800+6\times 150=$$1700$. En 2031, le projet A donnerait $1700$ m de haies. Sur le dessin (en centaines de mètres), les points de A sont sur la droite bleue ; ceux de B, sur la ligne orange, montent de plus en plus vite. ⚠️ « $+10$ % » n'est pas « $+80$ m chaque année » : $10$ % d'une longueur qui grandit, c'est chaque année un peu plus de mètres.
18. 18. Préparer une course a) $u_2=12+3=15$ et $u_3=15+3=$$18$. La relation : $u_{n+1}=u_n+$$3$. b) De la semaine $1$ à la semaine $8$, il y a $7$ pas : $u_8=12+7\times 3=$$33$. La semaine $8$, elle court $33$ km. c) De la semaine $1$ à la semaine $10$, il y a $9$ pas, et non $10$ : $u_{10}=12+9\times 3=39$ km. Son ami a compté un pas de trop : c'est l'erreur classique quand la suite commence à $u_1$. ⭐ Le tableau le montre : la semaine $1$ n'a encore rien ajouté aux $12$ km.

    semaine n	1	2	3	4	5
    km	12	15	18	21	24

19. 19. Moins de déchets à la cantine a) $525-540=$$-15$, $510-525=$$-15$, $495-510=$$-15$ : on ajoute toujours $-15$. La suite est arithmétique, de raison $-15$. b) $u_{n+1}=u_n-$$15$. c) Juin vient $9$ mois après septembre : c'est $u_9$. $u_9=540+9\times (-15)=540-135=$$405$. En juin, la cantine produirait $405$ kg de déchets. d) $u_{36}=540-36\times 15=540-540=$$0$ : plus aucun déchet au bout de trois ans. C'est irréaliste : un modèle arithmétique ne vaut que sur une période limitée. ⚠️ De septembre à juin, on compte $9$ mois, pas $10$.
20. 20. Deux offres d'emploi a) $a_{n+1}=a_n+60$ et $b_{n+1}=b_n+$$30$ : deux suites arithmétiques, de raisons $60$ et $30$. b) $a_5=1800+5\times 60=2100$ et $b_5=1950+5\times 30=$$2100$ : au bout de $5$ ans, les deux salaires sont ÉGAUX. c) $a_{10}=1800+10\times 60=2400$ et $b_{10}=1950+10\times 30=$$2250$ : après $10$ ans, l'offre A paie $150$ € de plus par mois. Au début, c'est l'inverse : l'offre B paie $150$ € de plus. Le tableau donne l'écart entre les deux salaires : il gagne $30$ € chaque année. ⭐ Le salaire de départ compte au début ; la raison compte sur la durée.

    années n	0	5	10
    écart A − B (€)	−150	0	150