Suite arithmétique : terme général : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices pour écrire le terme général d'une suite arithmétique, trouver son sens de variation, dessiner ses termes et interpréter un résultat dans son contexte. Un rappel de cours avant chaque niveau, une correction écrite étape par étape, avec les points alignés dans un repère.

Télécharger en PDF

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. On applique la formule, on conclut.

Rappel de cours

Une suite arithmétique de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$ a pour terme général $u_{n} = u_{0} + n \times$ $r$ .
Si elle commence à $u_{1}$ : $u_{n} = u_{1} + (n - 1) \times$ $r$ , car de $u_{1}$ à $u_{n}$ il y a $n - 1$ pas.
Sens de variation : si $r >$ $0$ , la suite est croissante ; si $r <$ $0$ , décroissante ; si $r =$ $0$ , constante.
Dans un repère, les points $(n; u_{n})$ sont alignés : d'un point au suivant, on avance de $1$ et on monte de $r$ .

1
Une suite arithmétique a pour premier terme $u_{0} = 5$ et pour raison $r =$ $3$ . Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_{20}$ .
Voir la correction
Terme général : $u_{n} = u_{0} + n \times$ $r$ , donc $u_{n} = 5 +$ $3 n$ . $u_{20} = 5 + 3 \times 20 =$ $65$ . ✔️ Vérification sur un petit rang : $u_{1} = 5 + 3 =$ $8$ , c'est bien $u_{0} +$ $r$ . ⭐ La formule évite de calculer les $19$ termes d'avant : le tableau saute directement du rang $2$ au rang $20$ .
n 0 1 2 20
u(n) 5 8 11 65
2
Une suite arithmétique a pour premier terme $u_{0} = 40$ et pour raison $r =$ $- 2, 5$ . Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_{8}$ .
Voir la correction
$u_{n} = 40 + n \times$ $(- 2, 5)$ , soit $u_{n} = 40 -$ $2, 5 n$ . $u_{8} = 40 - 2, 5 \times 8 = 40 - 20 =$ $20$ . ⚠️ Avec une raison négative, le signe moins passe devant $2, 5 n$ : on écrit $40 -$ $2, 5 n$ . Sur le dessin (en dizaines), la marche orange : $8$ rangs vers la droite, puis une descente de $8 \times 2, 5 =$ $20$ , soit deux carreaux.
3
Une suite arithmétique vérifie $u_{1} = 7$ et a pour raison $4$ . Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_{15}$ .
Voir la correction
La suite commence à $u_{1}$ : de $u_{1}$ à $u_{n}$ , il y a $n - 1$ pas. $u_{n} = 7 + (n - 1) \times 4 = 7 + 4 n -$ $4$ , soit $u_{n} = 4 n +$ $3$ . ✔️ Pour $n =$ $1$ : $4 \times 1 + 3 =$ $7$ , c'est bien $u_{1}$ . $u_{15} = 4 \times 15 + 3 =$ $63$ . ⚠️ Écrire $u_{n} = 7 + 4 n$ donnerait $u_{1} =$ $11$ : un pas de trop. Le tableau commence bien au rang $1$ .
n 1 2 3 15
u(n) 7 11 15 63
4
Donner le sens de variation de chaque suite arithmétique. a) $u_{0} = 12$ et $r = - 3$ b) $u_{0} = - 100$ et $r = 2$ c) $u_{n} = 7 + 0, 5 n$ d) $u_{n} = 4 - n$ e) $u_{0} = 9$ et $r = 0$
Voir la correction
Seul le SIGNE de la raison compte. a) $r = - 3 <$ $0$ : décroissante. b) $r = 2 >$ $0$ : croissante, même si elle commence à $- 100$ . c) $r = 0, 5 >$ $0$ : croissante. d) $u_{n} = 4 + n \times$ $(- 1)$ : $r = - 1 <$ $0$ , décroissante. e) $r =$ $0$ : tous les termes valent $9$ , la suite est constante. ⚠️ Le piège est b) : un premier terme négatif ne rend pas la suite décroissante. Sur le dessin, les droites qui portent les termes : a) en bleu descend, c) en orange monte, e) en vert reste à plat. Le départ ne décide de rien, seule la pente compte.
5
Représenter dans un repère les termes $u_{0}$ à $u_{4}$ de la suite définie par $u_{n} = 2 n -$ $1$ . Que remarque-t-on ?
Voir la correction
On calcule les termes : $u_{0} =$ $- 1$ , $u_{1} =$ $1$ , $u_{2} =$ $3$ , $u_{3} =$ $5$ , $u_{4} =$ $7$ . On place les points $(0; - 1)$ , $(1; 1)$ , $(2; 3)$ , $(3; 5)$ et $(4; 7)$ . Ils sont alignés, sur la droite d'équation $y = 2 x -$ $1$ : d'un point au suivant, on avance de $1$ et on monte de $2$ , la raison. ⚠️ On place des POINTS, un par rang : entre deux rangs, la suite n'a pas de valeur.
6
Le repère montre les premiers termes d'une suite arithmétique. Lire $u_{0}$ et la raison, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ . Quel est son sens de variation ?
Voir la correction
$u_{0}$ est la hauteur du point d'abscisse $0$ : $u_{0} =$ $6$ . D'un point au suivant, on descend de $1$ : la raison est $r =$ $- 1$ . Donc $u_{n} = 6 -$ $n$ , et la suite est décroissante, puisque $r <$ $0$ . ✔️ $u_{5} = 6 - 5 =$ $1$ : c'est bien le dernier point dessiné.
7
Une suite est définie par $u_{n} = 12 -$ $0, 5 n$ . Donner $u_{0}$ , la raison et le sens de variation, puis calculer $u_{30}$ .
Voir la correction
$u_{0} = 12 - 0, 5 \times 0 =$ $12$ . $u_{n} = 12 + n \times$ $(- 0, 5)$ : c'est une suite arithmétique de raison $- 0, 5$ . $r <$ $0$ : la suite est décroissante. $u_{30} = 12 - 0, 5 \times 30 = 12 - 15 =$ $- 3$ . ⚠️ La raison est le nombre qui MULTIPLIE $n$ , avec son signe : $- 0, 5$ , et non $12$ . Le tableau, de $10$ en $10$ rangs : la suite perd $5$ à chaque fois, et passe sous zéro.
n 0 10 20 30
u(n) 12 7 2 −3
8
Le nombre d'abonnés à la lettre d'information d'un musée, $n$ mois après son lancement, est modélisé par $u_{n} = 250 +$ $30 n$ . Que représentent $250$ et $30$ ? Calculer $u_{12}$ et l'interpréter par une phrase.
Voir la correction
$250 =$ $u_{0}$ : le nombre d'abonnés au lancement. $30$ est la raison : chaque mois, la lettre gagne $30$ abonnés. $u_{12} = 250 + 30 \times 12 =$ $610$ : un an après son lancement, la lettre compte $610$ abonnés. ⚠️ $u_{12}$ n'est pas le nombre d'abonnés GAGNÉS en un an : ceux-là sont $30 \times 12 =$ $360$ . Sur le dessin (en centaines), la marche orange monte de $3, 6$ : ce sont les $360$ abonnés gagnés, et non les $610$ .

n	0	1	2	20
u(n)	5	8	11	65

n	1	2	3	15
u(n)	7	11	15	63

n	0	10	20	30
u(n)	12	7	2	−3

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Écrire le terme général, puis rendre chaque résultat à son contexte.

Rappel de cours

Dans un problème, $u_{0}$ est la valeur de départ et la raison ce qui s'ajoute à chaque étape. Le terme général $u_{n} = u_{0} + n \times r$ donne directement la valeur au rang $n$ .
On interprète avec l'unité et l'année : « $u_{6} =$ $170$ » devient « en 2031, $170$ km de voies seront rouverts ».
Croissante ou décroissante : on regarde le signe de la raison, puis on le traduit en mots (le stock augmente, la population diminue).

9Des petites lignes de train rouvertes
Une région rouvre des petites lignes de train : $80$ km de voies sont rouverts en 2025, puis $15$ km de plus chaque année (chiffres d'un modèle). On note $u_{n}$ la longueur de voies rouvertes, en km, l'année $2025 +$ $n$ . a) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ . b) Quel est le sens de variation de la suite ? Était-ce prévisible ? c) Calculer $u_{6}$ et interpréter le résultat. d) Représenter les termes $u_{0}$ à $u_{4}$ .
Voir la correction
a) $u_{0} = 80$ et $r =$ $15$ : $u_{n} = 80 +$ $15 n$ . b) $r = 15 >$ $0$ : la suite est croissante. C'était prévisible : chaque année, on rouvre des voies, on n'en ferme pas. c) $u_{6} = 80 + 15 \times 6 =$ $170$ : en 2031, $170$ km de voies seront rouverts. d) Termes : $80$ ; $95$ ; $110$ ; $125$ ; $140$ . Sur le dessin (en dizaines de km), les points sont alignés et montent d'un carreau et demi par an. ⚠️ 2031, c'est le rang $6$ : ni $7$ , ni $2031$ .
10Les hérissons d'un parc
Dans un parc, on compte $150$ hérissons en 2024, et ce nombre diminue de $12$ chaque année (chiffres d'un modèle). On note $u_{n}$ le nombre de hérissons l'année $2024 +$ $n$ . a) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ et donner le sens de variation. b) Calculer $u_{5}$ et $u_{10}$ , et les interpréter. c) Ce modèle peut-il durer $15$ ans ?
Voir la correction
a) $u_{0} = 150$ et $r =$ $- 12$ : $u_{n} = 150 -$ $12 n$ . La raison est négative : la suite est décroissante, la population diminue. b) $u_{5} = 150 - 12 \times 5 =$ $90$ : en 2029, il resterait $90$ hérissons. $u_{10} = 150 - 12 \times 10 =$ $30$ : en 2034, il n'en resterait que $30$ . c) $u_{15} = 150 - 12 \times 15 =$ $- 30$ : un nombre négatif d'animaux n'a pas de sens. Le modèle cesse d'être valable avant 2039. ⭐ Une suite arithmétique décroissante finit toujours par devenir négative : dans la réalité, quelque chose change avant.
année 2024 2029 2034 2039
hérissons 150 90 30 −30
11Des panneaux solaires sur les toits
Le repère montre le nombre de panneaux solaires installés sur les toits d'un village, en dizaines, $n$ années après 2020 (chiffres d'un modèle). On note $u_{n}$ ce nombre. a) Lire $u_{0}$ et la raison. Traduire par une phrase. b) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , en dizaines de panneaux. c) Combien de panneaux ce modèle prévoit-il en 2030 ?
Voir la correction
a) Le premier point est à la hauteur $2$ : $u_{0} =$ $2$ , soit $20$ panneaux en 2020. D'un point au suivant, on monte d'un carreau et demi : $r =$ $1, 5$ , soit $15$ panneaux de plus par an. b) $u_{n} = 2 +$ $1, 5 n$ , en dizaines de panneaux. c) 2030, c'est le rang $10$ : $u_{10} = 2 + 1, 5 \times 10 = 17$ dizaines, soit $170$ panneaux. ⚠️ Le graphique compte en DIZAINES : $17$ sur l'axe, ce sont $170$ panneaux.
12Le loyer d'un local
Un commerçant loue un local. Le loyer mensuel est de $600$ € la première année, puis augmente de $25$ € chaque année (chiffres d'un modèle). On note $u_{n}$ le loyer mensuel de la $n$ -ième année, donc $u_{1} =$ $600$ . a) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ . b) Calculer $u_{10}$ et interpréter. c) Que représente $u_{10} -$ $u_{1}$ ?
Voir la correction
a) La suite commence à $u_{1}$ : $u_{n} = 600 + (n - 1) \times$ $25$ , soit $u_{n} = 575 +$ $25 n$ . ✔️ $575 + 25 \times 1 =$ $600$ : on retrouve $u_{1}$ . b) $u_{10} = 575 + 25 \times 10 =$ $825$ : la dixième année, le loyer est de $825$ € par mois. c) $u_{10} - u_{1} = 825 - 600 =$ $225$ : c'est la hausse du loyer mensuel en $9$ ans, soit $9 \times$ $25$ . ⚠️ De la première à la dixième année, il y a $9$ hausses, pas $10$ .
année n 1 2 3 10
loyer (€) 600 625 650 825
13Deux réservoirs pendant une canicule
Pendant une canicule, le réservoir A d'une commune contient $u_{n} = 900 - 35 n$ m³ d'eau au bout de $n$ jours ; le réservoir B, alimenté par une source, contient $v_{n} = 300 + 25 n$ m³ (chiffres d'un modèle). Le dessin montre, en centaines de m³, les droites qui portent les termes des deux suites : A en bleu, B en orange. a) Donner le sens de variation de chaque suite, puis le traduire par une phrase. b) Calculer $u_{10}$ et $v_{10}$ . Que remarque-t-on ? c) Lire sur le dessin quel réservoir contient le plus d'eau au bout de $12$ jours.
Voir la correction
a) $u$ a pour raison $- 35 <$ $0$ : elle est décroissante, le réservoir A perd $35$ m³ par jour. $v$ a pour raison $25 >$ $0$ : elle est croissante, le réservoir B gagne $25$ m³ par jour. b) $u_{10} = 900 - 35 \times 10 = 550$ et $v_{10} = 300 + 25 \times 10 =$ $550$ : au bout de $10$ jours, les deux réservoirs contiennent autant d'eau. c) Après le croisement des droites, au rang $10$ , la droite orange passe au-dessus de la bleue : au bout de $12$ jours, c'est B qui contient le plus d'eau. ✔️ $u_{12} = 900 - 35 \times 12 = 480$ et $v_{12} = 300 + 25 \times 12 =$ $600$ .
14Un ressort
En physique, on accroche des masses de $100$ g à un ressort. Sans masse, il mesure $4, 5$ cm ; chaque masse l'allonge de $0, 8$ cm (modèle valable tant qu'on n'abîme pas le ressort). On note $u_{n}$ sa longueur, en cm, avec $n$ masses accrochées. a) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ . Quel est le sens de variation ? b) Quelle est la longueur avec $10$ masses, c'est-à-dire $1$ kg ? c) Représenter les termes $u_{0}$ à $u_{5}$ .
Voir la correction
a) $u_{0} = 4, 5$ et $r =$ $0, 8$ : $u_{n} = 4, 5 +$ $0, 8 n$ . La raison est positive : la suite est croissante, le ressort s'allonge. b) $u_{10} = 4, 5 + 0, 8 \times 10 =$ $12, 5$ : avec $1$ kg, le ressort mesure $12, 5$ cm. c) Termes : $4, 5$ ; $5, 3$ ; $6, 1$ ; $6, 9$ ; $7, 7$ ; $8, 5$ . Les points sont alignés. ⭐ C'est la loi des ressorts : l'allongement est proportionnel à la masse accrochée. Ici, $0, 8 \times 10 = 8$ cm d'allongement pour $1$ kg. ⚠️ $12, 5$ cm est la LONGUEUR du ressort ; son ALLONGEMENT n'est que de $8$ cm.
15Moins de papier au bureau
Une entreprise réduit sa consommation de papier. Le nombre de ramettes utilisées le mois $n$ est modélisé par $u_{n} = 60 -$ $4 n$ . a) Donner le sens de variation de la suite, puis le traduire. b) Représenter les termes $u_{0}$ à $u_{5}$ . c) Calculer $u_{12}$ et l'interpréter.
Voir la correction
a) $u_{n} = 60 + n \times$ $(- 4)$ : raison $- 4 <$ $0$ , la suite est décroissante. Chaque mois, on utilise $4$ ramettes de moins que le mois d'avant. b) Termes : $60$ ; $56$ ; $52$ ; $48$ ; $44$ ; $40$ . Sur le dessin (en dizaines de ramettes), les points descendent régulièrement. c) $u_{12} = 60 - 4 \times 12 =$ $12$ : un an plus tard, l'entreprise n'utiliserait plus que $12$ ramettes par mois.
16Le compteur d'un car scolaire
Le compteur kilométrique d'un car scolaire affiche $32000$ km à la rentrée. Chaque jour de classe, le car parcourt $180$ km. On note $u_{n}$ le kilométrage après $n$ jours de classe. a) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ . b) Que signifie $u_{n + 1} - u_{n} =$ $180$ ? c) On compte $160$ jours de classe dans l'année (chiffre d'un modèle). Calculer $u_{160}$ et interpréter.
Voir la correction
a) $u_{0} = 32000$ et $r =$ $180$ : $u_{n} = 32000 +$ $180 n$ . b) C'est la raison : chaque jour de classe ajoute $180$ km au compteur. c) $u_{160} = 32000 + 180 \times 160 =$ $60800$ : à la fin de l'année, le compteur affiche $60800$ km. ⚠️ Le car n'a pas roulé $60800$ km cette année : il en a roulé $180 \times 160 =$ $28800$ . Le reste était déjà au compteur.
jours n 0 1 2 160
compteur (km) 32 000 32 180 32 360 60 800

année	2024	2029	2034	2039
hérissons	150	90	30	−30

année n	1	2	3	10
loyer (€)	600	625	650	825

jours n	0	1	2	160
compteur (km)	32 000	32 180	32 360	60 800

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Un problème complet, avec ses questions qui s'enchaînent.

Rappel de cours

Terme général, sens de variation, dessin : trois façons de dire la même suite.
Entre deux rangs, l'écart vaut (nombre de pas) fois (raison) : $u_{10} - u_{5} = 5 \times$ $r$ .
Un modèle a une durée de validité : un nombre négatif d'animaux ou un temps nul signalent qu'il faut s'arrêter.

17Une zone humide restaurée
Une zone humide, refuge pour les oiseaux migrateurs, couvre $12$ hectares en 2020. Grâce à des travaux, elle gagne $3$ hectares par an (chiffres d'un modèle). On note $u_{n}$ sa surface, en hectares, l'année $2020 +$ $n$ . a) Donner $u_{0}$ et la raison, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ . b) Quel est le sens de variation de $u$ ? c) Représenter les termes $u_{0}$ à $u_{4}$ dans un repère. d) Calculer $u_{10}$ et interpréter. e) Que représente $u_{10} -$ $u_{5}$ ?
Voir la correction
a) $u_{0} = 12$ et $r =$ $3$ : $u_{n} = 12 +$ $3 n$ . b) $r = 3 >$ $0$ : la suite est croissante, la zone humide s'agrandit. c) Termes : $12$ ; $15$ ; $18$ ; $21$ ; $24$ . Sur le dessin (un carreau pour $3$ ha), les points montent d'un carreau par an, alignés. d) $u_{10} = 12 + 3 \times 10 =$ $42$ : en 2030, la zone humide couvrirait $42$ hectares. e) $u_{5} = 12 + 3 \times 5 =$ $27$ , et $u_{10} - u_{5} = 42 - 27 =$ $15$ : c'est la surface gagnée entre 2025 et 2030, soit $5$ fois $3$ ha.
18Le 400 m
Une athlète court le $400$ m. Son entraîneur modélise son temps, en secondes, après $n$ semaines d'entraînement par $u_{n} = 75 -$ $0, 5 n$ , pour un programme de $12$ semaines. a) Quel est le sens de variation de $u$ ? Est-ce une bonne nouvelle pour l'athlète ? b) Calculer son temps après $4$ , $8$ et $12$ semaines. c) Que donnerait le modèle pour $n =$ $150$ ? Conclure.
Voir la correction
a) Raison $- 0, 5 <$ $0$ : la suite est décroissante. Son temps baisse d'une demi-seconde par semaine : c'est un PROGRÈS. b) $u_{4} = 75 - 0, 5 \times 4 =$ $73$ ; $u_{8} = 75 - 0, 5 \times 8 =$ $71$ ; $u_{12} = 75 - 0, 5 \times 12 =$ $69$ . Après $12$ semaines, elle court le $400$ m en $69$ secondes. c) $u_{150} = 75 - 0, 5 \times 150 =$ $0$ : un $400$ m en $0$ seconde, c'est impossible. Le modèle ne vaut que pour la durée du programme : les progrès finissent toujours par ralentir. ⚠️ En sport, un temps qui DÉCROÎT est une amélioration : décroissante ne veut pas dire « moins bien ».
semaines n 0 4 8 12
temps (s) 75 73 71 69
19Réduire les émissions de CO₂
Une entreprise émet $480$ tonnes de CO₂ en 2024 et s'engage à réduire ses émissions de $40$ tonnes chaque année (chiffres d'un modèle). On note $u_{n}$ les émissions, en tonnes, l'année $2024 +$ $n$ . a) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ et donner le sens de variation. b) Calculer $u_{6}$ . Que remarque-t-on ? c) En quelle année les émissions seraient-elles nulles ? Vérifier avec la formule.
Voir la correction
a) $u_{0} = 480$ et $r =$ $- 40$ : $u_{n} = 480 -$ $40 n$ . La raison est négative : la suite est décroissante, les émissions baissent. b) $u_{6} = 480 - 40 \times 6 =$ $240$ : en 2030, les émissions auraient été divisées par deux. c) Il faut retirer $480$ tonnes par paquets de $40$ : $\frac{480}{40} = 12$ ans, soit en 2036. Vérification : $u_{12} = 480 - 40 \times 12 =$ $0$ . Sur le dessin (en centaines de tonnes, un point tous les deux ans), les points descendent régulièrement jusqu'à l'axe horizontal. ⭐ Divisées par deux en $6$ ans, annulées en $6$ ans de plus : dans une baisse linéaire, chaque année retire la même quantité.
20Une flotte qui passe à l'électrique
Une entreprise de livraison possède $1400$ véhicules. En 2025, $400$ sont électriques ; chaque année, elle remplace $30$ véhicules thermiques par des électriques (chiffres d'un modèle). On note $e_{n}$ et $t_{n}$ les nombres de véhicules électriques et thermiques l'année $2025 +$ $n$ . a) Exprimer $e_{n}$ et $t_{n}$ en fonction de $n$ . Donner le sens de variation de chaque suite. b) Que vaut $e_{n} +$ $t_{n}$ ? Pourquoi ? c) En quelle année y aura-t-il autant de véhicules électriques que thermiques ?
Voir la correction
a) $e_{n} = 400 +$ $30 n$ : raison $30 >$ $0$ , suite croissante. $t_{0} = 1400 - 400 = 1000$ et $t_{n} = 1000 -$ $30 n$ : raison $- 30 <$ $0$ , suite décroissante. b) $e_{n} + t_{n} = 400 + 30 n + 1000 - 30 n =$ $1400$ : le total ne change pas, chaque véhicule électrique en remplace un thermique. c) Autant des deux, c'est $700$ chacun, la moitié de $1400$ . $e_{n} = 700$ quand $30 n =$ $300$ , soit $n =$ $10$ : en 2035. ✔️ $e_{10} = 400 + 30 \times 10 = 700$ et $t_{10} = 1000 - 30 \times 10 =$ $700$ . Sur le dessin (en centaines), les droites qui portent les termes se croisent au rang $10$ , à la hauteur $7$ . ⭐ Deux raisons opposées, $30$ et $- 30$ : l'écart entre les deux suites diminue de $60$ chaque année.

semaines n	0	4	8	12
temps (s)	75	73	71	69

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : suite arithmétique : terme général, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. Terme général : $u_{n} = u_{0} + n \times$ $r$ , donc $u_{n} = 5 +$ $3 n$ . $u_{20} = 5 + 3 \times 20 =$ $65$ . ✔️ Vérification sur un petit rang : $u_{1} = 5 + 3 =$ $8$ , c'est bien $u_{0} +$ $r$ . ⭐ La formule évite de calculer les $19$ termes d'avant : le tableau saute directement du rang $2$ au rang $20$ .
n 0 1 2 20
u(n) 5 8 11 65
2. $u_{n} = 40 + n \times$ $(- 2, 5)$ , soit $u_{n} = 40 -$ $2, 5 n$ . $u_{8} = 40 - 2, 5 \times 8 = 40 - 20 =$ $20$ . ⚠️ Avec une raison négative, le signe moins passe devant $2, 5 n$ : on écrit $40 -$ $2, 5 n$ . Sur le dessin (en dizaines), la marche orange : $8$ rangs vers la droite, puis une descente de $8 \times 2, 5 =$ $20$ , soit deux carreaux.
3. La suite commence à $u_{1}$ : de $u_{1}$ à $u_{n}$ , il y a $n - 1$ pas. $u_{n} = 7 + (n - 1) \times 4 = 7 + 4 n -$ $4$ , soit $u_{n} = 4 n +$ $3$ . ✔️ Pour $n =$ $1$ : $4 \times 1 + 3 =$ $7$ , c'est bien $u_{1}$ . $u_{15} = 4 \times 15 + 3 =$ $63$ . ⚠️ Écrire $u_{n} = 7 + 4 n$ donnerait $u_{1} =$ $11$ : un pas de trop. Le tableau commence bien au rang $1$ .
n 1 2 3 15
u(n) 7 11 15 63
4. Seul le SIGNE de la raison compte. a) $r = - 3 <$ $0$ : décroissante. b) $r = 2 >$ $0$ : croissante, même si elle commence à $- 100$ . c) $r = 0, 5 >$ $0$ : croissante. d) $u_{n} = 4 + n \times$ $(- 1)$ : $r = - 1 <$ $0$ , décroissante. e) $r =$ $0$ : tous les termes valent $9$ , la suite est constante. ⚠️ Le piège est b) : un premier terme négatif ne rend pas la suite décroissante. Sur le dessin, les droites qui portent les termes : a) en bleu descend, c) en orange monte, e) en vert reste à plat. Le départ ne décide de rien, seule la pente compte.
5. On calcule les termes : $u_{0} =$ $- 1$ , $u_{1} =$ $1$ , $u_{2} =$ $3$ , $u_{3} =$ $5$ , $u_{4} =$ $7$ . On place les points $(0; - 1)$ , $(1; 1)$ , $(2; 3)$ , $(3; 5)$ et $(4; 7)$ . Ils sont alignés, sur la droite d'équation $y = 2 x -$ $1$ : d'un point au suivant, on avance de $1$ et on monte de $2$ , la raison. ⚠️ On place des POINTS, un par rang : entre deux rangs, la suite n'a pas de valeur.
6. $u_{0}$ est la hauteur du point d'abscisse $0$ : $u_{0} =$ $6$ . D'un point au suivant, on descend de $1$ : la raison est $r =$ $- 1$ . Donc $u_{n} = 6 -$ $n$ , et la suite est décroissante, puisque $r <$ $0$ . ✔️ $u_{5} = 6 - 5 =$ $1$ : c'est bien le dernier point dessiné.
7. $u_{0} = 12 - 0, 5 \times 0 =$ $12$ . $u_{n} = 12 + n \times$ $(- 0, 5)$ : c'est une suite arithmétique de raison $- 0, 5$ . $r <$ $0$ : la suite est décroissante. $u_{30} = 12 - 0, 5 \times 30 = 12 - 15 =$ $- 3$ . ⚠️ La raison est le nombre qui MULTIPLIE $n$ , avec son signe : $- 0, 5$ , et non $12$ . Le tableau, de $10$ en $10$ rangs : la suite perd $5$ à chaque fois, et passe sous zéro.
n 0 10 20 30
u(n) 12 7 2 −3
8. $250 =$ $u_{0}$ : le nombre d'abonnés au lancement. $30$ est la raison : chaque mois, la lettre gagne $30$ abonnés. $u_{12} = 250 + 30 \times 12 =$ $610$ : un an après son lancement, la lettre compte $610$ abonnés. ⚠️ $u_{12}$ n'est pas le nombre d'abonnés GAGNÉS en un an : ceux-là sont $30 \times 12 =$ $360$ . Sur le dessin (en centaines), la marche orange monte de $3, 6$ : ce sont les $360$ abonnés gagnés, et non les $610$ .
9. Des petites lignes de train rouvertes a) $u_{0} = 80$ et $r =$ $15$ : $u_{n} = 80 +$ $15 n$ . b) $r = 15 >$ $0$ : la suite est croissante. C'était prévisible : chaque année, on rouvre des voies, on n'en ferme pas. c) $u_{6} = 80 + 15 \times 6 =$ $170$ : en 2031, $170$ km de voies seront rouverts. d) Termes : $80$ ; $95$ ; $110$ ; $125$ ; $140$ . Sur le dessin (en dizaines de km), les points sont alignés et montent d'un carreau et demi par an. ⚠️ 2031, c'est le rang $6$ : ni $7$ , ni $2031$ .
10. Les hérissons d'un parc a) $u_{0} = 150$ et $r =$ $- 12$ : $u_{n} = 150 -$ $12 n$ . La raison est négative : la suite est décroissante, la population diminue. b) $u_{5} = 150 - 12 \times 5 =$ $90$ : en 2029, il resterait $90$ hérissons. $u_{10} = 150 - 12 \times 10 =$ $30$ : en 2034, il n'en resterait que $30$ . c) $u_{15} = 150 - 12 \times 15 =$ $- 30$ : un nombre négatif d'animaux n'a pas de sens. Le modèle cesse d'être valable avant 2039. ⭐ Une suite arithmétique décroissante finit toujours par devenir négative : dans la réalité, quelque chose change avant.
année 2024 2029 2034 2039
hérissons 150 90 30 −30
11. Des panneaux solaires sur les toits a) Le premier point est à la hauteur $2$ : $u_{0} =$ $2$ , soit $20$ panneaux en 2020. D'un point au suivant, on monte d'un carreau et demi : $r =$ $1, 5$ , soit $15$ panneaux de plus par an. b) $u_{n} = 2 +$ $1, 5 n$ , en dizaines de panneaux. c) 2030, c'est le rang $10$ : $u_{10} = 2 + 1, 5 \times 10 = 17$ dizaines, soit $170$ panneaux. ⚠️ Le graphique compte en DIZAINES : $17$ sur l'axe, ce sont $170$ panneaux.
12. Le loyer d'un local a) La suite commence à $u_{1}$ : $u_{n} = 600 + (n - 1) \times$ $25$ , soit $u_{n} = 575 +$ $25 n$ . ✔️ $575 + 25 \times 1 =$ $600$ : on retrouve $u_{1}$ . b) $u_{10} = 575 + 25 \times 10 =$ $825$ : la dixième année, le loyer est de $825$ € par mois. c) $u_{10} - u_{1} = 825 - 600 =$ $225$ : c'est la hausse du loyer mensuel en $9$ ans, soit $9 \times$ $25$ . ⚠️ De la première à la dixième année, il y a $9$ hausses, pas $10$ .
année n 1 2 3 10
loyer (€) 600 625 650 825
13. Deux réservoirs pendant une canicule a) $u$ a pour raison $- 35 <$ $0$ : elle est décroissante, le réservoir A perd $35$ m³ par jour. $v$ a pour raison $25 >$ $0$ : elle est croissante, le réservoir B gagne $25$ m³ par jour. b) $u_{10} = 900 - 35 \times 10 = 550$ et $v_{10} = 300 + 25 \times 10 =$ $550$ : au bout de $10$ jours, les deux réservoirs contiennent autant d'eau. c) Après le croisement des droites, au rang $10$ , la droite orange passe au-dessus de la bleue : au bout de $12$ jours, c'est B qui contient le plus d'eau. ✔️ $u_{12} = 900 - 35 \times 12 = 480$ et $v_{12} = 300 + 25 \times 12 =$ $600$ .
14. Un ressort a) $u_{0} = 4, 5$ et $r =$ $0, 8$ : $u_{n} = 4, 5 +$ $0, 8 n$ . La raison est positive : la suite est croissante, le ressort s'allonge. b) $u_{10} = 4, 5 + 0, 8 \times 10 =$ $12, 5$ : avec $1$ kg, le ressort mesure $12, 5$ cm. c) Termes : $4, 5$ ; $5, 3$ ; $6, 1$ ; $6, 9$ ; $7, 7$ ; $8, 5$ . Les points sont alignés. ⭐ C'est la loi des ressorts : l'allongement est proportionnel à la masse accrochée. Ici, $0, 8 \times 10 = 8$ cm d'allongement pour $1$ kg. ⚠️ $12, 5$ cm est la LONGUEUR du ressort ; son ALLONGEMENT n'est que de $8$ cm.
15. Moins de papier au bureau a) $u_{n} = 60 + n \times$ $(- 4)$ : raison $- 4 <$ $0$ , la suite est décroissante. Chaque mois, on utilise $4$ ramettes de moins que le mois d'avant. b) Termes : $60$ ; $56$ ; $52$ ; $48$ ; $44$ ; $40$ . Sur le dessin (en dizaines de ramettes), les points descendent régulièrement. c) $u_{12} = 60 - 4 \times 12 =$ $12$ : un an plus tard, l'entreprise n'utiliserait plus que $12$ ramettes par mois.
16. Le compteur d'un car scolaire a) $u_{0} = 32000$ et $r =$ $180$ : $u_{n} = 32000 +$ $180 n$ . b) C'est la raison : chaque jour de classe ajoute $180$ km au compteur. c) $u_{160} = 32000 + 180 \times 160 =$ $60800$ : à la fin de l'année, le compteur affiche $60800$ km. ⚠️ Le car n'a pas roulé $60800$ km cette année : il en a roulé $180 \times 160 =$ $28800$ . Le reste était déjà au compteur.
jours n 0 1 2 160
compteur (km) 32 000 32 180 32 360 60 800
17. Une zone humide restaurée a) $u_{0} = 12$ et $r =$ $3$ : $u_{n} = 12 +$ $3 n$ . b) $r = 3 >$ $0$ : la suite est croissante, la zone humide s'agrandit. c) Termes : $12$ ; $15$ ; $18$ ; $21$ ; $24$ . Sur le dessin (un carreau pour $3$ ha), les points montent d'un carreau par an, alignés. d) $u_{10} = 12 + 3 \times 10 =$ $42$ : en 2030, la zone humide couvrirait $42$ hectares. e) $u_{5} = 12 + 3 \times 5 =$ $27$ , et $u_{10} - u_{5} = 42 - 27 =$ $15$ : c'est la surface gagnée entre 2025 et 2030, soit $5$ fois $3$ ha.
18. Le 400 m a) Raison $- 0, 5 <$ $0$ : la suite est décroissante. Son temps baisse d'une demi-seconde par semaine : c'est un PROGRÈS. b) $u_{4} = 75 - 0, 5 \times 4 =$ $73$ ; $u_{8} = 75 - 0, 5 \times 8 =$ $71$ ; $u_{12} = 75 - 0, 5 \times 12 =$ $69$ . Après $12$ semaines, elle court le $400$ m en $69$ secondes. c) $u_{150} = 75 - 0, 5 \times 150 =$ $0$ : un $400$ m en $0$ seconde, c'est impossible. Le modèle ne vaut que pour la durée du programme : les progrès finissent toujours par ralentir. ⚠️ En sport, un temps qui DÉCROÎT est une amélioration : décroissante ne veut pas dire « moins bien ».
semaines n 0 4 8 12
temps (s) 75 73 71 69
19. Réduire les émissions de CO₂ a) $u_{0} = 480$ et $r =$ $- 40$ : $u_{n} = 480 -$ $40 n$ . La raison est négative : la suite est décroissante, les émissions baissent. b) $u_{6} = 480 - 40 \times 6 =$ $240$ : en 2030, les émissions auraient été divisées par deux. c) Il faut retirer $480$ tonnes par paquets de $40$ : $\frac{480}{40} = 12$ ans, soit en 2036. Vérification : $u_{12} = 480 - 40 \times 12 =$ $0$ . Sur le dessin (en centaines de tonnes, un point tous les deux ans), les points descendent régulièrement jusqu'à l'axe horizontal. ⭐ Divisées par deux en $6$ ans, annulées en $6$ ans de plus : dans une baisse linéaire, chaque année retire la même quantité.
20. Une flotte qui passe à l'électrique a) $e_{n} = 400 +$ $30 n$ : raison $30 >$ $0$ , suite croissante. $t_{0} = 1400 - 400 = 1000$ et $t_{n} = 1000 -$ $30 n$ : raison $- 30 <$ $0$ , suite décroissante. b) $e_{n} + t_{n} = 400 + 30 n + 1000 - 30 n =$ $1400$ : le total ne change pas, chaque véhicule électrique en remplace un thermique. c) Autant des deux, c'est $700$ chacun, la moitié de $1400$ . $e_{n} = 700$ quand $30 n =$ $300$ , soit $n =$ $10$ : en 2035. ✔️ $e_{10} = 400 + 30 \times 10 = 700$ et $t_{10} = 1000 - 30 \times 10 =$ $700$ . Sur le dessin (en centaines), les droites qui portent les termes se croisent au rang $10$ , à la hauteur $7$ . ⭐ Deux raisons opposées, $30$ et $- 30$ : l'écart entre les deux suites diminue de $60$ chaque année.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : suite arithmétique : terme général, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3