Parabole et expression de degré 2 : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : parabole et expression de degré 2, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. On remplace $x$ par chaque valeur, entre parenthèses si elle est négative. $f(0)=2\times 0^2-3\times 0+1=$$1$. $f(2)=2\times 2^2-3\times 2+1=8-6+1=$$3$. $f(-1)=2\times (-1{)}^2-3\times (-1)+1=2+3+1=$$6$. ⚠️ Le piège : $(-1{)}^2=1$ est positif, et $-3\times (-1)=$$+3$. Deux signes moins, deux occasions de se tromper. ⭐ $f(0)$ vaut toujours le nombre $c$ tout seul : ici $1$. Sur le dessin, les trois points calculés sont bien sur la parabole.
2. 2. La verte est tournée vers le bas : son coefficient $a$ est négatif. C'est $h$, avec $a=$$-1$. Les deux autres sont tournées vers le haut : $a>$$0$. Pour les départager, on calcule l'image de $1$ : $f(1)=2$ et $g(1)=$$0,5$. La bleue passe par le point $(1;2)$ : c'est $f$. L'orange passe par $(1;0,5)$ : c'est $g$. ⭐ Plus $a$ est loin de $0$, plus la parabole est SERRÉE ; plus il en est proche, plus elle est OUVERTE. ⚠️ Le signe de $a$ donne le sens ; sa taille donne l'ouverture. Ce sont deux informations différentes.
3. 3. $f(0)=0^2+3=$$3$ : la courbe de $f$ coupe l'axe des ordonnées en $3$. $g(0)=0^2-2=$$-2$ : celle de $g$ le coupe en $-2$. Chaque point de la parabole $y=x^2$ monte de $3$ pour donner celle de $f$ (orange), et descend de $2$ pour celle de $g$ (verte). ⭐ Le nombre $c$ de $a{x}^2+c$ fait GLISSER la parabole verticalement, sans la déformer. ⚠️ $x^2-2$ descend : le signe de $c$ donne le sens du glissement.
4. 4. a) Les racines sont les abscisses des points où la courbe coupe l'axe horizontal : $-1$ et $3$. b) Une racine $r$ donne un facteur $(x-$$r)$ : la racine $-1$ donne $(x-(-1))=(x+$$1)$, la racine $3$ donne $(x-$$3)$. C'est donc $f(x)=(x+1)(x-$$3)$. ✔️ Contrôle : $(-1+1)(-1-3)=0\times (-4)=$$0$. ⚠️ Le piège : recopier les racines avec leur signe. $(x-1)(x+3)$ s'annule en $1$ et en $-3$, pas en $-1$ et en $3$.
5. 5. $g(0)=$$4$ : c'est le nombre $c$, là où la courbe coupe l'axe vertical. $g(2)=-0,5\times 2^2+4=-2+4=$$2$. $g(-2)=-0,5\times (-2{)}^2+4=-0,5\times 4+4=$$2$. $g(4)=-0,5\times 4^2+4=-8+4=$$-4$. ⚠️ On élève au carré AVANT de multiplier : $-0,5\times (-2{)}^2=-0,5\times 4=$$-2$, et non $+2$. ⭐ $g(2)=$$g(-2)$ : pour une fonction $a{x}^2+$$c$, deux nombres opposés ont la même image. Sur le dessin, les quatre points calculés sont sur la parabole ; $(2;2)$ et $(-2;2)$ sont à la même hauteur.
6. 6. On regarde le signe du coefficient de $x^2$, et lui seul. $f$ : $a=-3<$$0$, la parabole est tournée vers le bas. $g$ : $a=0,2>$$0$, elle est tournée vers le haut. Le $-7x$ ne change rien au sens. $h$ : on relit $h(x)=-x^2+$$4$ ; $a=-1<$$0$, elle est tournée vers le bas. ⚠️ Le coefficient $a$ est celui de $x^2$, pas le premier nombre écrit : dans $4-$$x^2$, c'est $-1$, pas $4$. Sur le dessin, $f$ (bleue) et $h$ (verte) sont bien tournées vers le bas. La parabole de $g$ est tournée vers le haut, mais son sommet est trop loin pour tenir dans le cadre.
7. 7. La courbe coupe l'axe horizontal en $-2$ et en $1$ : les facteurs sont $(x+2)$ et $(x-$$1)$. On écarte $-(x-2)(x+$$1)$, qui s'annule en $2$ et en $-1$. Elle est tournée vers le bas : il faut $a<$$0$. On écarte $(x+2)(x-$$1)$. $-x^2+2$ s'annule en $\sqrt{2}\approx$$1,41$, pas en $1$ : on l'écarte aussi. C'est $f(x)=-(x+2)(x-$$1)$. ✔️ Contrôle sur le dessin : $f(0)=-(0+2)(0-1)=$$2$, et la courbe coupe bien l'axe vertical en $2$. ⭐ Deux indices suffisent : les racines donnent les facteurs, le sens donne le signe de $a$.
8. 8. a) Descendre de $4$, c'est retrancher $4$ à chaque ordonnée : $f(x)=x^2-$$4$. b) On cherche $x^2-4=$$0$, soit $x^2=$$4$ : $x=2$ ou $x=$$-2$. La courbe coupe l'axe en $-2$ et en $2$. c) $(x-2)(x+2)=x^2+2x-2x-4=x^2-4$ ✔️. Les racines $-2$ et $2$ se lisent sur les facteurs. ⚠️ $x^2=4$ a DEUX solutions : on oublie souvent $-2$. Le dessin les montre toutes les deux, symétriques.
9. 9. Le jet d'eau a) $h(1)=-1+4=$$3$ ; $h(2)=-4+8=$$4$ ; $h(3)=-9+12=3$ (en mètres). b) L'eau est au sol quand $h(x)=$$0$. Un produit est nul quand l'un de ses facteurs l'est : $-x=0$ ou $x-4=$$0$, donc $x=0$ ou $x=$$4$. $x=$$0$, c'est la buse : l'eau retombe à $4$ m de la buse. Sur le dessin, la courbe recoupe l'axe en $4$. c) Oui : un jet monte puis redescend. Sa courbe est tournée vers le bas, donc $a=-1<$$0$. ⚠️ $h(1)=$$h(3)$ : la même hauteur à l'aller et au retour. Le jet est symétrique ; c'est l'objet de la feuille suivante, sur le sommet et l'axe.
10. 10. La fabrique de vélos a) $B(0)=$$-16$ : sans rien vendre, la fabrique perd $16000$ €. Ce sont ses frais fixes (loyer, machines). ⭐ $B(0)$ est toujours le nombre $c$ : ici $-16$, là où la courbe coupe l'axe vertical, sous le dessin qui s'arrête à $-3$. b) $B(5)=-5^2+10\times 5-16=-25+50-16=$$9$ : pour $500$ vélos, le bénéfice est de $9000$ €. c) La courbe coupe l'axe horizontal en $2$ et en $8$. $B(2)=-(2-2)(2-8)=0$ et $B(8)=-(8-2)(8-8)=0$ ✔️. Entre $200$ et $800$ vélos, la courbe est au-dessus de l'axe : la fabrique gagne de l'argent. ⚠️ $-5^2=$$-25$ : le carré porte sur $5$ seulement, le signe moins reste devant.
11. 11. L'arche d'un pont a) Au milieu, $x=$$0$ : $h(0)=$$8$. L'arche culmine à $8$ m. C'est le nombre $c$. b) $h(2)=-0,5\times 2^2+8=-2+8=$$6$, et $h(-2)=-0,5\times (-2{)}^2+8=$$6$ : $6$ m à $2$ m du milieu, de chaque côté. c) La courbe coupe l'axe en $-4$ et en $4$ : l'arche mesure $4-(-4)=8$ m de large au sol. Vérification : $h(4)=-0,5(4-4)(4+4)=0$ et $h(-4)=-0,5(-4-4)(-4+4)=0$ ✔️. ⚠️ La largeur n'est pas $4$ m : l'arche va de $-4$ à $4$, soit $8$ m.
12. 12. $f$ et $g$ ont les mêmes racines, $1$ et $3$ : ce sont les deux courbes qui passent par $(1;0)$ et $(3;0)$, la bleue et l'orange. $f$ a $a=1>$$0$ : tournée vers le haut, c'est la bleue. $g$ a $a=-1<$$0$ : tournée vers le bas, c'est l'orange. $k$ s'annule en $1$ et en $-3$ : c'est la verte. ✔️ Contrôle : la verte coupe l'axe vertical en $k(0)=(0-1)(0+3)=$$-3$. ⭐ $g=$$-f$ : la courbe orange est le reflet de la bleue par rapport à l'axe des abscisses.
13. 13. Deux antennes paraboliques a) Antenne A : $0,25\times 4^2=0,25\times 16=4$ dm. Antenne B : $0,5\times 4^2=0,5\times 16=8$ dm. b) B est deux fois plus creuse : son coefficient $a=0,5$ est le double de celui de A. ⭐ Pour une même largeur, plus $a$ est grand, plus la parabole est serrée, et plus l'antenne est profonde. ⭐ Le bord est au même niveau en $x=4$ et en $x=$$-4$, puisque $(-4{)}^2=$$4^2$.
14. 14. Le saut du dauphin a) La courbe coupe l'axe (la surface de l'eau) en $1$ et en $5$. Par le calcul : $h(x)=0$ quand $x-1=0$ ou $x-5=$$0$, soit $x=1$ ou $x=$$5$. Le facteur $-0,5$ ne s'annule jamais. b) Le saut mesure $5-1=4$ m. c) $h(3)=-0,5\times 2\times (-2)=$$2$ : au milieu du saut, le dauphin est à $2$ m au-dessus de l'eau. $h(0)=-0,5\times (-1)\times (-5)=$$-2,5$ : c'est négatif, le dauphin est SOUS l'eau, à $2,5$ m de profondeur. Il prend son élan. ⚠️ Trois facteurs négatifs dans $h(0)$ : un nombre IMPAIR de facteurs négatifs donne un produit négatif.
15. 15. La distance de freinage a) $d(50)=0,005\times 2500=12,5$ m ; $d(100)=0,005\times 10000=50$ m ; $d(130)=0,005\times 16900=84,5$ m. b) $\frac{50}{12,5}=$$4$ : la distance est multipliée par $4$, pas par $2$. C'est l'effet du carré : $(2v{)}^2=$$4v^2$. c) $0,008\times 10000=80$ m, soit $30$ m de plus que sur route sèche. Seul le coefficient $a$ a changé, de $0,005$ à $0,008$ : la parabole est plus serrée, elle monte plus vite. ⭐ En physique, l'énergie cinétique d'une voiture est proportionnelle au carré de sa vitesse : c'est cette énergie que les freins doivent dissiper. ⚠️ « Deux fois plus vite, deux fois plus loin » est faux : c'est QUATRE fois plus loin.

    v (km/h)	50	100	130
    d, route sèche (m)	12,5	50	84,5

16. 16. Le tunnel de serre a) Le sommet est sur l'axe vertical, à la hauteur $4$ : $f(0)=c=$$4$. b) La courbe touche le sol en $-2$ et en $2$ : la serre mesure $4$ m de large. c) $f(2)=0$ s'écrit $a\times 2^2+4=$$0$, soit $4a=$$-4$, donc $a=$$-1$. Ainsi $f(x)=-x^2+$$4$. d) Avec ses racines $-2$ et $2$, et $a=$$-1$ : $f(x)=-(x+2)(x-$$2)$. ✔️ $-(x+2)(x-2)=-(x^2-4)=-x^2+$$4$. ⚠️ $a$ est négatif : la parabole est tournée vers le bas, comme toute voûte.
17. 17. Le trébuchet a) $h(0)=-0,25\times 1\times (-7)=$$1,75$ : le boulet est lâché à $1,75$ dizaine de mètres, soit $17,5$ m de haut. b) $h(2)=-0,25\times 3\times (-5)=3,75$ et $h(4)=-0,25\times 5\times (-3)=$$3,75$ : la même hauteur, $37,5$ m. La trajectoire est symétrique : $2$ et $4$ sont à égale distance de $3$. c) $h(x)=0$ pour $x=-1$ ou $x=$$7$. Une distance parcourue est positive : on écarte $-1$. Le boulet touche le sol à $7$ dizaines de mètres, soit $70$ m. d) $(x+1)(x-7)=x^2-7x+x-7=x^2-6x-$$7$, donc $h(x)=-0,25x^2+1,5x+$$1,75$. $a=-0,25<$$0$ : parabole tournée vers le bas, comme sur le dessin. ✔️ Le nombre $c=1,75$ redonne bien $h(0)$. ⚠️ Les unités : $7$ sur l'axe, c'est $70$ m. On répond toujours dans l'unité de la question.
18. 18. Le miel de l'apiculteur a) $100-10\times 4=60$ pots, pour une recette de $4\times 60=240$ €. b) Recette = prix × nombre de pots : $R(x)=x(100-10x)=100x-10x^2=-10x^2+$$100x$. c) $R(6)=-10\times 36+600=240$ € : la même recette qu'à $4$ €, avec $40$ pots à $6$ €. d) $-10x(x-10)=-10x^2+100x$ ✔️. $R(x)=0$ pour $x=0$ ou $x=$$10$. À $0$ €, il donne son miel : aucune recette. À $10$ €, plus personne n'achète : $100-10\times 10=0$ pot. e) $a=-10<$$0$ : la parabole est tournée vers le bas. La recette monte, puis redescend : un prix la rend la plus grande. Sur le dessin (en centaines d'euros), c'est $5$ €, pour $250$ €. ⭐ Entre deux prix de même recette, $4$ € et $6$ €, le meilleur prix est au milieu.
19. 19. Une chute, sur Terre et sur la Lune a) $h(0)=$$20$ : la pierre part de $20$ m. C'est le nombre $c$. b) $h(1)=-5+20=15$ et $h(2)=-5\times 4+20=$$0$ : la pierre touche le sol au bout de $2$ secondes. c) $-5(t-2)(t+2)=-5(t^2-4)=-5t^2+20$ ✔️. Les racines sont $2$ et $-2$, mais un temps écoulé depuis le lâcher est positif : on garde $t=$$2$. d) $h(5)=-0,8\times 25+20=-20+20=$$0$ : sur la Lune, la chute dure $5$ secondes. Seul $a$ a changé, de $-5$ à $-0,8$ : la parabole est plus ouverte, la pierre tombe moins vite. Le tableau le montre : à $2$ s, elle est encore à $16,8$ m. ⭐ Le rapport $\frac{5}{0,8}=$$6,25$ : on retrouve à peu près le « six fois plus faible ». ⚠️ En une seconde, la pierre ne tombe que de $5$ m sur Terre ; elle accélère ensuite.

    t (s)	0	1	2	5
    h sur la Lune (m)	20	19,2	16,8	0

20. 20. Les papillons du pré a) $N(0)=1,8$ centaine : $180$ papillons. C'est le nombre $c$. b) $N(2)=-0,8+3,2+1,8=4,2$ et $N(6)=-7,2+9,6+1,8=$$4,2$ : $420$ papillons les deux fois. c) $(t+1)(t-9)=t^2-9t+t-9=t^2-8t-$$9$, et $-0,2(t^2-8t-9)=-0,2t^2+1,6t+1,8$ ✔️. d) $N(t)=0$ pour $t=-1$ ou $t=$$9$. On garde $t=$$9$ : au bout de $9$ semaines, début août, il n'y a plus de papillons. e) $a=-0,2<$$0$ : la parabole est tournée vers le bas. Le nombre monte, atteint un sommet, puis redescend. ⭐ Sur le dessin, le pic est en $t=$$4$, à mi-chemin entre $-1$ et $9$ : $N(4)=$$5$, soit $500$ papillons fin juin. ⚠️ $-1$ est aussi une racine, mais $t=-1$ tomberait fin mai, avant le début des relevés : hors du modèle.