Racines et signe par la forme factorisée : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices sur la forme factorisée : lire les racines, écrire la forme factorisée, la vérifier en développant, dresser le tableau de signes et résoudre une inéquation. Un rappel de cours avant chaque niveau, et une correction écrite étape par étape, avec le tableau dessiné.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. Les racines, la forme factorisée, le signe.

Rappel de cours

Un produit est nul quand l'un de ses facteurs est nul : $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ pour $x = x_{1}$ ou $x =$ $x_{2}$ . Le nombre $a$ , lui, ne s'annule jamais.
Avec les racines $x_{1}$ , $x_{2}$ et le coefficient $a$ : $f (x) = a (x - x_{1}) (x -$ $x_{2})$ . Une racine $- 3$ donne le facteur $(x +$ $3)$ .
Tableau de signes : une ligne par facteur, chacun change de signe en sa racine ; la dernière ligne suit la règle des signes.
$f$ est du signe de $a$ À L'EXTÉRIEUR des racines, et du signe contraire ENTRE elles.

1
Donner les racines de $f (x) = 3 (x - 2) (x +$ $5)$ .
Voir la correction
Un produit est nul quand l'un de ses facteurs est nul. $3$ ne vaut jamais $0$ : il ne donne aucune racine. $x - 2 = 0$ donne $x =$ $2$ ; $x + 5 = 0$ donne $x =$ $- 5$ . Les racines de $f$ sont $2$ et $- 5$ . ✔️ $f (- 5) = 3 \times (- 7) \times 0 =$ $0$ . ⚠️ Le piège : lire « $5$ » dans $(x +$ $5)$ . La racine est le nombre qui ANNULE la parenthèse : $- 5$ . Le tableau le montre : chaque facteur s'annule une fois ; $3$ ne s'annule jamais.
x
−∞
−5
2
+∞
$3$
+
+
+
$x + 5$
−
0
+
+
$x - 2$
−
−
0
+
$f (x)$
+
0
−
0
+
2
Donner les racines de $g (x) = - x (2 x -$ $6)$ .
Voir la correction
Les facteurs sont $- x$ et $2 x -$ $6$ . $- x = 0$ donne $x =$ $0$ . $2 x - 6 = 0$ donne $2 x =$ $6$ , donc $x =$ $3$ . Les racines de $g$ sont $0$ et $3$ . ⚠️ Deux pièges : oublier la racine $0$ , cachée dans le facteur $x$ ; et répondre $6$ au lieu de $3$ pour $2 x - 6 =$ $0$ . Sur le dessin, la courbe de $g$ coupe l'axe des abscisses en $0$ et en $3$ .
3
Écrire sous forme factorisée : a) la fonction de degré $2$ de racines $- 1$ et $4$ , de coefficient $a =$ $2$ ; b) la fonction de degré $2$ de racines $0$ et $3$ , de coefficient $a =$ $- 1$ .
Voir la correction
On applique $f (x) = a (x - x_{1}) (x -$ $x_{2})$ . a) $f (x) = 2 (x - (- 1)) (x - 4) = 2 (x + 1) (x -$ $4)$ . b) $g (x) = - 1 \times (x - 0) (x - 3) = - x (x -$ $3)$ . ✔️ On contrôle : $2 (x + 1) (x - 4)$ s'annule bien en $- 1$ et en $4$ ; $- x (x - 3)$ en $0$ et en $3$ . ⚠️ Le signe moins de la formule change le signe de la racine : $- 1$ devient $(x +$ $1)$ . Sur le dessin, la parabole de $g$ : tournée vers le bas ( $a =$ $- 1$ ), elle coupe l'axe en $0$ et en $3$ .
4
Vérifier que $x^{2} - 2 x - 8 = (x - 4) (x +$ $2)$ , puis donner les racines de $x^{2} - 2 x -$ $8$ .
Voir la correction
On développe la forme factorisée : $(x - 4) (x + 2) = x^{2} + 2 x - 4 x - 8 = x^{2} - 2 x - 8$ ✔️. Les deux écritures sont égales. Sur la forme factorisée, on lit les racines : $4$ et $- 2$ . ⭐ « Vérifier que » : on part de la forme factorisée et on DÉVELOPPE. C'est toujours le sens le plus facile. ⚠️ $2 x - 4 x =$ $- 2 x$ : le terme en $x$ se calcule avec les signes. Sur le dessin, la courbe de $x^{2} - 2 x - 8$ coupe l'axe en $- 2$ et en $4$ : les racines lues sur les facteurs.
5
Dresser le tableau de signes de $f (x) = (x - 1) (x -$ $4)$ .
Voir la correction
$x - 1$ s'annule en $1$ : négatif avant, positif après. $x - 4$ s'annule en $4$ : négatif avant, positif après. La règle des signes donne $f (x)$ : positif avant $1$ , négatif entre $1$ et $4$ , positif après $4$ . ⭐ Contrôle rapide : $a = 1 >$ $0$ , donc $f$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et négatif entre elles. ⚠️ Entre $1$ et $4$ , les deux facteurs n'ont pas le même signe : le produit est NÉGATIF.
x
−∞
1
4
+∞
$x - 1$
−
0
+
+
$x - 4$
−
−
0
+
$f (x)$
+
0
−
0
+
6
Dresser le tableau de signes de $f (x) = - 2 (x + 3) (x -$ $1)$ .
Voir la correction
Trois facteurs : $- 2$ , toujours négatif ; $x +$ $3$ , qui s'annule en $- 3$ ; $x -$ $1$ , qui s'annule en $1$ . On fait une ligne pour chacun, puis la règle des signes, colonne par colonne. $f (x)$ est négatif avant $- 3$ , positif entre $- 3$ et $1$ , négatif après $1$ . ⚠️ Le facteur $- 2$ RETOURNE tous les signes : oublié, il donne le tableau exactement contraire. ⭐ $a = - 2 <$ $0$ : la parabole est tournée vers le bas, au-dessus de l'axe seulement entre ses racines.
x
−∞
−3
1
+∞
$- 2$
−
−
−
$x + 3$
−
0
+
+
$x - 1$
−
−
0
+
$f (x)$
−
0
+
0
−
7
Résoudre l'inéquation $(x - 2) (x + 3) <$ $0$ .
Voir la correction
Racines : $2$ et $- 3$ . Le coefficient $a$ vaut $1 >$ $0$ . Le produit est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe contraire entre elles : il est négatif entre $- 3$ et $2$ . L'inégalité est stricte : les racines, où le produit vaut $0$ , sont exclues. L'ensemble des solutions est $] -$ $3; 2 [$ . ⚠️ Les crochets : « $<$ $0$ » exclut les racines, crochets tournés vers l'extérieur. Avec « $⩽$ $0$ », on aurait $[- 3; 2]$ .
8
La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ de degré $2$ , et l'on sait que $f (0) =$ $- 4$ . a) Lire les racines de $f$ . b) En déduire que $f (x) = a (x + 2) (x -$ $4)$ , puis trouver $a$ grâce à $f (0) =$ $- 4$ .
Voir la correction
a) La courbe coupe l'axe des abscisses en $- 2$ et en $4$ : ce sont les racines. b) Racines $- 2$ et $4$ : $f (x) = a (x - (- 2)) (x - 4) = a (x + 2) (x -$ $4)$ . $f (0) = a \times 2 \times (- 4) =$ $- 8 a$ . Or $f (0) =$ $- 4$ : $- 8 a =$ $- 4$ , donc $a =$ $0, 5$ . $f (x) = 0, 5 (x + 2) (x -$ $4)$ . ✔️ $a = 0, 5 >$ $0$ : la parabole est bien tournée vers le haut. ⭐ Les racines donnent les facteurs ; UN autre point de la courbe donne $a$ .

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Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs gestes à enchaîner, comme dans un contrôle. Calculatrice autorisée.

Rappel de cours

Vérifier une forme factorisée : on la DÉVELOPPE, et on compare avec la forme développée, terme à terme.
Résoudre $f (x) >$ $0$ : on lit dans le tableau de signes les intervalles marqués « + ». Crochets ouverts pour $>$ et $<$ , fermés pour $⩾$ et $⩽$ .
Sur la courbe : $f (x) > 0$ là où elle est AU-DESSUS de l'axe des abscisses, $f (x) < 0$ là où elle est en dessous.

9L'atelier de céramique
Un atelier de céramique fabrique $x$ centaines de bols par mois ( $0 ⩽$ $x ⩽$ $12$ ). Son bénéfice, en milliers d'euros, est $B (x) = - (x - 2) (x -$ $10)$ . a) Donner les racines de $B$ . b) Dresser le tableau de signes de $B (x)$ sur $[0; 12]$ . c) Pour quelles productions l'atelier fait-il un bénéfice strictement positif ?
Voir la correction
a) $x - 2 = 0$ donne $2$ ; $x - 10 = 0$ donne $10$ . Les racines sont $2$ et $10$ . b) Trois facteurs : $- 1$ (toujours négatif), $x - 2$ et $x -$ $10$ . La règle des signes donne : $B (x)$ négatif sur $[0; 2 [$ , positif sur $] 2; 10 [$ , négatif sur $] 10; 12]$ . c) $B (x) > 0$ sur $] 2; 10 [$ : l'atelier gagne de l'argent pour une production strictement comprise entre $200$ et $1000$ bols. ⚠️ En dessous de $200$ bols, les frais fixes ne sont pas couverts ; au-delà de $1000$ , il faut embaucher et le bénéfice redevient négatif.
x
0
2
10
12
$- 1$
−
−
−
$x - 2$
−
0
+
+
$x - 10$
−
−
0
+
$B (x)$
−
0
+
0
−
10Le saut de la grenouille
Une grenouille saute d'une pierre posée au niveau de l'eau, et retombe $10$ dm plus loin. Sa trajectoire est une parabole de coefficient $a =$ $- 0, 1$ ; $x$ et $h (x)$ sont en décimètres, et le saut part de $x =$ $0$ . a) Quelles sont les racines de $h$ ? Écrire $h (x)$ sous forme factorisée. b) Vérifier que $h (x) = - 0, 1 x^{2} +$ $x$ . c) Quelle hauteur la grenouille atteint-elle au milieu de son saut ?
Voir la correction
a) Au départ et à l'arrivée, la hauteur est nulle : les racines sont $0$ et $10$ . $h (x) = - 0, 1 (x - 0) (x - 10) = - 0, 1 x (x -$ $10)$ . b) On développe : $- 0, 1 x (x - 10) = - 0, 1 x^{2} + 0, 1 \times 10 x = - 0, 1 x^{2} + x$ ✔️. c) Le milieu du saut est en $x =$ $5$ : $h (5) = - 0, 1 \times 5 \times (- 5) = 2, 5$ dm, soit $25$ cm. ⚠️ Le facteur $x$ vient de la racine $0$ : $(x - 0) =$ $x$ . On ne l'oublie pas.
11Le gel au verger
Une nuit de printemps, dans un verger, la température (en °C) $t$ heures après minuit est modélisée par $T (t) = 0, 5 (t - 2) (t -$ $8)$ , pour $t$ entre $0$ et $10$ . a) À quelles heures la température est-elle de $0$ °C ? b) Dresser le tableau de signes de $T (t)$ sur $[0; 10]$ . c) Pendant quelles heures gèle-t-il ( $T (t) <$ $0$ ) ? Le vérifier sur la courbe. d) Quelle est la température la plus basse, et à quelle heure ?
Voir la correction
a) $T (t) = 0$ pour $t = 2$ ou $t =$ $8$ : à $2$ h et à $8$ h du matin. b) $0, 5 >$ $0$ ; $t - 2$ change de signe en $2$ , $t - 8$ en $8$ . $T (t)$ est positif sur $[0; 2 [$ , négatif sur $] 2; 8 [$ , positif sur $] 8; 10]$ . c) Il gèle pour $t \in$ $] 2; 8 [$ : de $2$ h à $8$ h, soit $6$ heures. Sur la courbe, c'est la partie SOUS l'axe. d) Le plus froid est au milieu des racines, à $5$ h : $T (5) = 0, 5 \times 3 \times (- 3) = - 4, 5$ °C. ⭐ Pour protéger les fleurs des arbres, l'arboriculteur sait maintenant QUAND agir : entre $2$ h et $8$ h.
t
0
2
8
10
$0, 5$
+
+
+
$t - 2$
−
0
+
+
$t - 8$
−
−
0
+
$T (t)$
+
0
−
0
+
12La brasserie artisanale
Le bénéfice d'une brasserie artisanale, en milliers d'euros, pour $x$ milliers de litres de bière, est $B (x) = - x^{2} + 9 x -$ $14$ . Un élève affirme que $B (x) = - (x - 2) (x -$ $7)$ . a) Vérifier son affirmation. b) En déduire les productions pour lesquelles le bénéfice est nul. c) Un autre élève propose $B (x) = (2 - x) (x -$ $7)$ . A-t-il raison ?
Voir la correction
a) $(x - 2) (x - 7) = x^{2} - 7 x - 2 x + 14 = x^{2} - 9 x +$ $14$ , donc $- (x - 2) (x - 7) = - x^{2} + 9 x - 14$ ✔️. b) $B (x) = 0$ pour $x = 2$ ou $x =$ $7$ : pour $2000$ et $7000$ litres, la brasserie ne gagne ni ne perd rien. c) Oui : $2 - x = - (x -$ $2)$ , donc $(2 - x) (x - 7) = - (x - 2) (x -$ $7)$ . C'est la même expression, écrite autrement. ✔️ En développant : $(2 - x) (x - 7) = 2 x - 14 - x^{2} + 7 x = - x^{2} + 9 x -$ $14$ . ⚠️ Une fonction peut avoir plusieurs écritures factorisées justes : on les compare en DÉVELOPPANT.
13Le potager
Un jardinier entoure un potager rectangulaire de $24$ m de bordure en bois. Un côté mesure $x$ m ( $0 ⩽$ $x ⩽$ $12$ ), l'autre $12 - x$ m, et l'aire est $A (x) = x (12 -$ $x)$ . Il veut une aire d'au moins $20$ m². a) Montrer que $A (x) - 20 = - (x - 2) (x -$ $10)$ . b) Dresser le tableau de signes de $A (x) - 20$ sur $[0; 12]$ . c) Résoudre $A (x) ⩾ 20$ et conclure.
Voir la correction
a) $A (x) - 20 = 12 x - x^{2} - 20 = - x^{2} + 12 x -$ $20$ . Et $- (x - 2) (x - 10) = - (x^{2} - 12 x + 20) = - x^{2} + 12 x - 20$ ✔️. b) Les facteurs $- 1$ , $x - 2$ et $x - 10$ donnent : négatif sur $[0; 2 [$ , positif sur $] 2; 10 [$ , négatif sur $] 10; 12]$ , et nul en $2$ et en $10$ . c) $A (x) ⩾ 20$ équivaut à $A (x) - 20 ⩾$ $0$ , soit $x \in$ $[2; 10]$ : les racines sont INCLUSES, car l'inégalité est large. Le côté doit mesurer entre $2$ m et $10$ m. ⭐ Pour comparer $A (x)$ à $20$ , on étudie le signe de la DIFFÉRENCE $A (x) -$ $20$ .
x
0
2
10
12
$- 1$
−
−
−
$x - 2$
−
0
+
+
$x - 10$
−
−
0
+
$A (x) - 20$
−
0
+
0
−
14Le pont en arc
Pour franchir une rivière, un village a construit un pont en arc. On a représenté l'arche ci-dessous ( $x$ et $h (x)$ en mètres), et sa hauteur au milieu est de $4, 5$ m. a) Lire les racines de $h$ . b) Écrire $h (x) = a (x + 3) (x - 3)$ et trouver $a$ grâce à la hauteur au milieu. c) Développer $h (x)$ .
Voir la correction
a) L'arche touche l'eau en $- 3$ et en $3$ : ce sont les racines. L'arche mesure $6$ m de large. b) Au milieu, $x =$ $0$ : $h (0) = a \times 3 \times (- 3) =$ $- 9 a$ . Or $h (0) =$ $4, 5$ : $- 9 a =$ $4, 5$ , donc $a =$ $- 0, 5$ . $h (x) = - 0, 5 (x + 3) (x -$ $3)$ . c) $(x + 3) (x - 3) = x^{2} -$ $9$ , donc $h (x) = - 0, 5 x^{2} +$ $4, 5$ . ✔️ $a = - 0, 5 <$ $0$ : l'arche est tournée vers le bas, comme sur le dessin. ⚠️ $- 9 a = 4, 5$ donne $a = \frac{4 , 5}{- 9} =$ $- 0, 5$ : le signe moins ne se perd pas.
15La trésorerie d'une jeune entreprise
La trésorerie d'une jeune entreprise, en milliers d'euros, $t$ mois après sa création, est modélisée par $S (t) = 0, 5 (t - 1) (t -$ $7)$ , pour $t$ entre $0$ et $9$ . a) Lire sur la courbe les mois où la trésorerie est nulle, puis le retrouver par le calcul. b) Dresser le tableau de signes de $S (t)$ sur $[0; 9]$ . c) Pendant combien de mois la trésorerie est-elle négative ?
Voir la correction
a) La courbe coupe l'axe en $1$ et en $7$ . Par le calcul : $S (t) = 0$ pour $t - 1 = 0$ ou $t - 7 =$ $0$ , soit $t = 1$ ou $t =$ $7$ . b) $0, 5 >$ $0$ : $S (t)$ est positif sur $[0; 1 [$ , négatif sur $] 1; 7 [$ , positif sur $] 7; 9]$ . c) La trésorerie est négative pendant $7 - 1 = 6$ mois : l'entreprise doit emprunter pour tenir jusqu'au septième mois. ⭐ La courbe et le tableau disent la même chose : SOUS l'axe, c'est le « − » du tableau.
t
0
1
7
9
$0, 5$
+
+
+
$t - 1$
−
0
+
+
$t - 7$
−
−
0
+
$S (t)$
+
0
−
0
+
16
Résoudre l'inéquation $(x + 4) (x - 1) ⩾$ $0$ .
Voir la correction
Racines : $- 4$ et $1$ . Le coefficient $a$ vaut $1 >$ $0$ . Le produit est du signe de $a$ , donc positif, à l'EXTÉRIEUR des racines, et négatif entre elles. L'inégalité est large : les racines, où le produit vaut $0$ , sont solutions. L'ensemble des solutions est $] - \infty; - 4] \cup$ $[1; + \infty [$ . ⚠️ La réponse est en DEUX morceaux, réunis par $\cup$ . Répondre $[- 4; 1]$ , c'est donner l'endroit où le produit est NÉGATIF. ⚠️ Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert.

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Un problème complet, avec ses questions qui s'enchaînent. On répond par une phrase, avec l'unité.

Rappel de cours

Pour comparer $f (x)$ à un nombre $k$ , on étudie le signe de $f (x) -$ $k$ , sur une forme factorisée donnée qu'on vérifie en développant.
On répond à la question posée : un intervalle devient une durée, une quantité, une distance.

17Le lob au football
Un joueur tente un lob. La hauteur du ballon, en mètres, est $h (x) = - 0, 05 x (x -$ $20)$ , où $x$ est la distance horizontale parcourue depuis la frappe, en mètres. a) Où le ballon retombe-t-il ? b) Vérifier que $h (x) = - 0, 05 x^{2} +$ $x$ . c) Vérifier que $h (x) - 1, 8 = - 0, 05 (x - 2) (x -$ $18)$ . d) Dresser le tableau de signes de $h (x) - 1, 8$ sur $[0; 20]$ . Sur quelle distance le ballon est-il à plus de $1, 8$ m du sol ? e) Un défenseur placé à $3$ m du tireur touche le ballon jusqu'à $1, 8$ m de haut. Peut-il l'intercepter ?
Voir la correction
a) $h (x) = 0$ pour $x = 0$ (la frappe) ou $x =$ $20$ : le ballon retombe à $20$ m. b) $- 0, 05 x (x - 20) = - 0, 05 x^{2} + 0, 05 \times 20 x = - 0, 05 x^{2} + x$ ✔️. c) $- 0, 05 (x - 2) (x - 18) = - 0, 05 (x^{2} - 20 x + 36) = - 0, 05 x^{2} + x -$ $1, 8$ , et c'est bien $h (x) - 1, 8$ ✔️. d) Le coefficient $- 0, 05$ est négatif : $h (x) - 1, 8$ est positif ENTRE les racines $2$ et $18$ . Le ballon est à plus de $1, 8$ m pour $x \in$ $] 2; 18 [$ : sur $16$ m. e) $3$ est dans $] 2; 18 [$ : là, le ballon passe au-dessus de $1, 8$ m. Le défenseur ne peut pas l'intercepter. ✔️ $h (3) = - 0, 05 \times 3 \times (- 17) = 2, 55$ m.
x
0
2
18
20
$- 0, 05$
−
−
−
$x - 2$
−
0
+
+
$x - 18$
−
−
0
+
$h (x) - 1, 8$
−
0
+
0
−
18Les paniers de la ferme bio
Une ferme maraîchère bio vend $x$ centaines de paniers de légumes par an ( $0 ⩽$ $x ⩽$ $12$ ). Son bénéfice, en milliers d'euros, est $B (x) = - 0, 5 x^{2} + 7 x -$ $20$ . a) Vérifier que $B (x) = - 0, 5 (x - 4) (x -$ $10)$ . b) Donner les racines de $B$ , et les repérer sur la courbe. c) Dresser le tableau de signes de $B (x)$ sur $[0; 12]$ , puis résoudre $B (x) >$ $0$ . d) Calculer $B (7)$ et interpréter.
Voir la correction
a) $(x - 4) (x - 10) = x^{2} - 10 x - 4 x + 40 = x^{2} - 14 x +$ $40$ , et $- 0, 5 (x^{2} - 14 x + 40) = - 0, 5 x^{2} + 7 x - 20$ ✔️. b) Les racines sont $4$ et $10$ : les deux points où la courbe coupe l'axe. c) Le coefficient $- 0, 5$ est négatif : $B (x)$ est négatif sur $[0; 4 [$ , positif sur $] 4; 10 [$ , négatif sur $] 10; 12]$ . $B (x) > 0$ pour $x \in$ $] 4; 10 [$ : la ferme est bénéficiaire entre $400$ et $1000$ paniers. d) $B (7) = - 0, 5 \times 3 \times (- 3) =$ $4, 5$ : pour $700$ paniers, le bénéfice est de $4500$ €. C'est le sommet, au milieu des racines. ⚠️ Le tableau de signes se fait sur la forme FACTORISÉE : sur $- 0, 5 x^{2} + 7 x -$ $20$ , on ne lit rien.
x
0
4
10
12
$- 0, 5$
−
−
−
$x - 4$
−
0
+
+
$x - 10$
−
−
0
+
$B (x)$
−
0
+
0
−
19La crue
Pendant une crue, on mesure chaque jour l'écart $d (t)$ entre le niveau d'une rivière et sa cote d'alerte, en mètres ( $d (t) >$ $0$ : la rivière est au-dessus de la cote). Elle franchit la cote d'alerte aux jours $2$ et $8$ , et au jour $0$ , elle est $1, 6$ m en dessous. a) On modélise $d$ par une fonction de degré $2$ . Justifier que $d (t) = a (t - 2) (t -$ $8)$ , puis trouver $a$ . b) Vérifier que $d (t) = - 0, 1 t^{2} + t -$ $1, 6$ . c) Dresser le tableau de signes de $d (t)$ sur $[0; 10]$ . Pendant combien de jours la rivière est-elle au-dessus de la cote d'alerte ? d) De combien la dépasse-t-elle au plus fort de la crue ?
Voir la correction
a) $d$ s'annule en $2$ et en $8$ : ce sont ses racines, donc $d (t) = a (t - 2) (t -$ $8)$ . $d (0) = a \times (- 2) \times (- 8) =$ $16 a$ . Or $d (0) =$ $- 1, 6$ : $16 a =$ $- 1, 6$ , donc $a =$ $- 0, 1$ . b) $- 0, 1 (t - 2) (t - 8) = - 0, 1 (t^{2} - 10 t + 16) = - 0, 1 t^{2} + t - 1, 6$ ✔️. c) $a = - 0, 1 <$ $0$ : $d (t)$ est négatif sur $[0; 2 [$ , positif sur $] 2; 8 [$ , négatif sur $] 8; 10]$ . La rivière est au-dessus de la cote d'alerte entre le jour $2$ et le jour $8$ : pendant $6$ jours. d) Le plus fort de la crue est au milieu des racines, au jour $5$ : $d (5) = - 0, 1 \times 3 \times (- 3) = 0, 9$ m au-dessus de la cote. ⭐ Connaître ces dates, c'est ce qui permet à une commune d'organiser l'évacuation, puis le retour.
t
0
2
8
10
$- 0, 1$
−
−
−
$t - 2$
−
0
+
+
$t - 8$
−
−
0
+
$d (t)$
−
0
+
0
−
20Le club de sport
Un club de sport compte $x$ centaines d'abonnés ( $0 ⩽$ $x ⩽$ $12$ ). Sa recette annuelle est $R (x) = - x^{2} + 14 x$ et ses coûts sont $C (x) = 3 x +$ $18$ , en milliers d'euros. Le dessin montre $R$ (en bleu) et $C$ (en orange), en dizaines de milliers d'euros. a) Montrer que le bénéfice $B (x) = R (x) - C (x)$ vaut $- x^{2} + 11 x -$ $18$ , puis que $B (x) = - (x - 2) (x -$ $9)$ . b) Pour quels nombres d'abonnés le bénéfice est-il nul ? Où le voit-on sur le dessin ? c) Dresser le tableau de signes de $B (x)$ , et dire pour quels effectifs le club est bénéficiaire.
Voir la correction
a) $B (x) = - x^{2} + 14 x - 3 x - 18 = - x^{2} + 11 x -$ $18$ . Et $- (x - 2) (x - 9) = - (x^{2} - 11 x + 18) = - x^{2} + 11 x - 18$ ✔️. b) $B (x) = 0$ pour $x = 2$ ou $x =$ $9$ : pour $200$ et $900$ abonnés, la recette couvre juste les coûts. Sur le dessin, ce sont les deux points où la courbe bleue croise la droite orange. c) $- (x - 2) (x - 9)$ est négatif sur $[0; 2 [$ , positif sur $] 2; 9 [$ , négatif sur $] 9; 12]$ . Le club est bénéficiaire entre $200$ et $900$ abonnés, là où la courbe de la recette passe AU-DESSUS de la droite des coûts. ⚠️ $R (x) -$ $C (x)$ : on soustrait TOUT le coût, $- (3 x + 18) = - 3 x -$ $18$ .
x
0
2
9
12
$- 1$
−
−
−
$x - 2$
−
0
+
+
$x - 9$
−
−
0
+
$B (x)$
−
0
+
0
−

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : racines et signe par la forme factorisée, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. Un produit est nul quand l'un de ses facteurs est nul. $3$ ne vaut jamais $0$ : il ne donne aucune racine. $x - 2 = 0$ donne $x =$ $2$ ; $x + 5 = 0$ donne $x =$ $- 5$ . Les racines de $f$ sont $2$ et $- 5$ . ✔️ $f (- 5) = 3 \times (- 7) \times 0 =$ $0$ . ⚠️ Le piège : lire « $5$ » dans $(x +$ $5)$ . La racine est le nombre qui ANNULE la parenthèse : $- 5$ . Le tableau le montre : chaque facteur s'annule une fois ; $3$ ne s'annule jamais.
x
−∞
−5
2
+∞
$3$
+
+
+
$x + 5$
−
0
+
+
$x - 2$
−
−
0
+
$f (x)$
+
0
−
0
+
2. Les facteurs sont $- x$ et $2 x -$ $6$ . $- x = 0$ donne $x =$ $0$ . $2 x - 6 = 0$ donne $2 x =$ $6$ , donc $x =$ $3$ . Les racines de $g$ sont $0$ et $3$ . ⚠️ Deux pièges : oublier la racine $0$ , cachée dans le facteur $x$ ; et répondre $6$ au lieu de $3$ pour $2 x - 6 =$ $0$ . Sur le dessin, la courbe de $g$ coupe l'axe des abscisses en $0$ et en $3$ .
3. On applique $f (x) = a (x - x_{1}) (x -$ $x_{2})$ . a) $f (x) = 2 (x - (- 1)) (x - 4) = 2 (x + 1) (x -$ $4)$ . b) $g (x) = - 1 \times (x - 0) (x - 3) = - x (x -$ $3)$ . ✔️ On contrôle : $2 (x + 1) (x - 4)$ s'annule bien en $- 1$ et en $4$ ; $- x (x - 3)$ en $0$ et en $3$ . ⚠️ Le signe moins de la formule change le signe de la racine : $- 1$ devient $(x +$ $1)$ . Sur le dessin, la parabole de $g$ : tournée vers le bas ( $a =$ $- 1$ ), elle coupe l'axe en $0$ et en $3$ .
4. On développe la forme factorisée : $(x - 4) (x + 2) = x^{2} + 2 x - 4 x - 8 = x^{2} - 2 x - 8$ ✔️. Les deux écritures sont égales. Sur la forme factorisée, on lit les racines : $4$ et $- 2$ . ⭐ « Vérifier que » : on part de la forme factorisée et on DÉVELOPPE. C'est toujours le sens le plus facile. ⚠️ $2 x - 4 x =$ $- 2 x$ : le terme en $x$ se calcule avec les signes. Sur le dessin, la courbe de $x^{2} - 2 x - 8$ coupe l'axe en $- 2$ et en $4$ : les racines lues sur les facteurs.
5. $x - 1$ s'annule en $1$ : négatif avant, positif après. $x - 4$ s'annule en $4$ : négatif avant, positif après. La règle des signes donne $f (x)$ : positif avant $1$ , négatif entre $1$ et $4$ , positif après $4$ . ⭐ Contrôle rapide : $a = 1 >$ $0$ , donc $f$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et négatif entre elles. ⚠️ Entre $1$ et $4$ , les deux facteurs n'ont pas le même signe : le produit est NÉGATIF.
x
−∞
1
4
+∞
$x - 1$
−
0
+
+
$x - 4$
−
−
0
+
$f (x)$
+
0
−
0
+
6. Trois facteurs : $- 2$ , toujours négatif ; $x +$ $3$ , qui s'annule en $- 3$ ; $x -$ $1$ , qui s'annule en $1$ . On fait une ligne pour chacun, puis la règle des signes, colonne par colonne. $f (x)$ est négatif avant $- 3$ , positif entre $- 3$ et $1$ , négatif après $1$ . ⚠️ Le facteur $- 2$ RETOURNE tous les signes : oublié, il donne le tableau exactement contraire. ⭐ $a = - 2 <$ $0$ : la parabole est tournée vers le bas, au-dessus de l'axe seulement entre ses racines.
x
−∞
−3
1
+∞
$- 2$
−
−
−
$x + 3$
−
0
+
+
$x - 1$
−
−
0
+
$f (x)$
−
0
+
0
−
7. Racines : $2$ et $- 3$ . Le coefficient $a$ vaut $1 >$ $0$ . Le produit est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe contraire entre elles : il est négatif entre $- 3$ et $2$ . L'inégalité est stricte : les racines, où le produit vaut $0$ , sont exclues. L'ensemble des solutions est $] -$ $3; 2 [$ . ⚠️ Les crochets : « $<$ $0$ » exclut les racines, crochets tournés vers l'extérieur. Avec « $⩽$ $0$ », on aurait $[- 3; 2]$ .
8. a) La courbe coupe l'axe des abscisses en $- 2$ et en $4$ : ce sont les racines. b) Racines $- 2$ et $4$ : $f (x) = a (x - (- 2)) (x - 4) = a (x + 2) (x -$ $4)$ . $f (0) = a \times 2 \times (- 4) =$ $- 8 a$ . Or $f (0) =$ $- 4$ : $- 8 a =$ $- 4$ , donc $a =$ $0, 5$ . $f (x) = 0, 5 (x + 2) (x -$ $4)$ . ✔️ $a = 0, 5 >$ $0$ : la parabole est bien tournée vers le haut. ⭐ Les racines donnent les facteurs ; UN autre point de la courbe donne $a$ .
9. L'atelier de céramique a) $x - 2 = 0$ donne $2$ ; $x - 10 = 0$ donne $10$ . Les racines sont $2$ et $10$ . b) Trois facteurs : $- 1$ (toujours négatif), $x - 2$ et $x -$ $10$ . La règle des signes donne : $B (x)$ négatif sur $[0; 2 [$ , positif sur $] 2; 10 [$ , négatif sur $] 10; 12]$ . c) $B (x) > 0$ sur $] 2; 10 [$ : l'atelier gagne de l'argent pour une production strictement comprise entre $200$ et $1000$ bols. ⚠️ En dessous de $200$ bols, les frais fixes ne sont pas couverts ; au-delà de $1000$ , il faut embaucher et le bénéfice redevient négatif.
x
0
2
10
12
$- 1$
−
−
−
$x - 2$
−
0
+
+
$x - 10$
−
−
0
+
$B (x)$
−
0
+
0
−
10. Le saut de la grenouille a) Au départ et à l'arrivée, la hauteur est nulle : les racines sont $0$ et $10$ . $h (x) = - 0, 1 (x - 0) (x - 10) = - 0, 1 x (x -$ $10)$ . b) On développe : $- 0, 1 x (x - 10) = - 0, 1 x^{2} + 0, 1 \times 10 x = - 0, 1 x^{2} + x$ ✔️. c) Le milieu du saut est en $x =$ $5$ : $h (5) = - 0, 1 \times 5 \times (- 5) = 2, 5$ dm, soit $25$ cm. ⚠️ Le facteur $x$ vient de la racine $0$ : $(x - 0) =$ $x$ . On ne l'oublie pas.
11. Le gel au verger a) $T (t) = 0$ pour $t = 2$ ou $t =$ $8$ : à $2$ h et à $8$ h du matin. b) $0, 5 >$ $0$ ; $t - 2$ change de signe en $2$ , $t - 8$ en $8$ . $T (t)$ est positif sur $[0; 2 [$ , négatif sur $] 2; 8 [$ , positif sur $] 8; 10]$ . c) Il gèle pour $t \in$ $] 2; 8 [$ : de $2$ h à $8$ h, soit $6$ heures. Sur la courbe, c'est la partie SOUS l'axe. d) Le plus froid est au milieu des racines, à $5$ h : $T (5) = 0, 5 \times 3 \times (- 3) = - 4, 5$ °C. ⭐ Pour protéger les fleurs des arbres, l'arboriculteur sait maintenant QUAND agir : entre $2$ h et $8$ h.
t
0
2
8
10
$0, 5$
+
+
+
$t - 2$
−
0
+
+
$t - 8$
−
−
0
+
$T (t)$
+
0
−
0
+
12. La brasserie artisanale a) $(x - 2) (x - 7) = x^{2} - 7 x - 2 x + 14 = x^{2} - 9 x +$ $14$ , donc $- (x - 2) (x - 7) = - x^{2} + 9 x - 14$ ✔️. b) $B (x) = 0$ pour $x = 2$ ou $x =$ $7$ : pour $2000$ et $7000$ litres, la brasserie ne gagne ni ne perd rien. c) Oui : $2 - x = - (x -$ $2)$ , donc $(2 - x) (x - 7) = - (x - 2) (x -$ $7)$ . C'est la même expression, écrite autrement. ✔️ En développant : $(2 - x) (x - 7) = 2 x - 14 - x^{2} + 7 x = - x^{2} + 9 x -$ $14$ . ⚠️ Une fonction peut avoir plusieurs écritures factorisées justes : on les compare en DÉVELOPPANT.
13. Le potager a) $A (x) - 20 = 12 x - x^{2} - 20 = - x^{2} + 12 x -$ $20$ . Et $- (x - 2) (x - 10) = - (x^{2} - 12 x + 20) = - x^{2} + 12 x - 20$ ✔️. b) Les facteurs $- 1$ , $x - 2$ et $x - 10$ donnent : négatif sur $[0; 2 [$ , positif sur $] 2; 10 [$ , négatif sur $] 10; 12]$ , et nul en $2$ et en $10$ . c) $A (x) ⩾ 20$ équivaut à $A (x) - 20 ⩾$ $0$ , soit $x \in$ $[2; 10]$ : les racines sont INCLUSES, car l'inégalité est large. Le côté doit mesurer entre $2$ m et $10$ m. ⭐ Pour comparer $A (x)$ à $20$ , on étudie le signe de la DIFFÉRENCE $A (x) -$ $20$ .
x
0
2
10
12
$- 1$
−
−
−
$x - 2$
−
0
+
+
$x - 10$
−
−
0
+
$A (x) - 20$
−
0
+
0
−
14. Le pont en arc a) L'arche touche l'eau en $- 3$ et en $3$ : ce sont les racines. L'arche mesure $6$ m de large. b) Au milieu, $x =$ $0$ : $h (0) = a \times 3 \times (- 3) =$ $- 9 a$ . Or $h (0) =$ $4, 5$ : $- 9 a =$ $4, 5$ , donc $a =$ $- 0, 5$ . $h (x) = - 0, 5 (x + 3) (x -$ $3)$ . c) $(x + 3) (x - 3) = x^{2} -$ $9$ , donc $h (x) = - 0, 5 x^{2} +$ $4, 5$ . ✔️ $a = - 0, 5 <$ $0$ : l'arche est tournée vers le bas, comme sur le dessin. ⚠️ $- 9 a = 4, 5$ donne $a = \frac{4 , 5}{- 9} =$ $- 0, 5$ : le signe moins ne se perd pas.
15. La trésorerie d'une jeune entreprise a) La courbe coupe l'axe en $1$ et en $7$ . Par le calcul : $S (t) = 0$ pour $t - 1 = 0$ ou $t - 7 =$ $0$ , soit $t = 1$ ou $t =$ $7$ . b) $0, 5 >$ $0$ : $S (t)$ est positif sur $[0; 1 [$ , négatif sur $] 1; 7 [$ , positif sur $] 7; 9]$ . c) La trésorerie est négative pendant $7 - 1 = 6$ mois : l'entreprise doit emprunter pour tenir jusqu'au septième mois. ⭐ La courbe et le tableau disent la même chose : SOUS l'axe, c'est le « − » du tableau.
t
0
1
7
9
$0, 5$
+
+
+
$t - 1$
−
0
+
+
$t - 7$
−
−
0
+
$S (t)$
+
0
−
0
+
16. Racines : $- 4$ et $1$ . Le coefficient $a$ vaut $1 >$ $0$ . Le produit est du signe de $a$ , donc positif, à l'EXTÉRIEUR des racines, et négatif entre elles. L'inégalité est large : les racines, où le produit vaut $0$ , sont solutions. L'ensemble des solutions est $] - \infty; - 4] \cup$ $[1; + \infty [$ . ⚠️ La réponse est en DEUX morceaux, réunis par $\cup$ . Répondre $[- 4; 1]$ , c'est donner l'endroit où le produit est NÉGATIF. ⚠️ Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert.
17. Le lob au football a) $h (x) = 0$ pour $x = 0$ (la frappe) ou $x =$ $20$ : le ballon retombe à $20$ m. b) $- 0, 05 x (x - 20) = - 0, 05 x^{2} + 0, 05 \times 20 x = - 0, 05 x^{2} + x$ ✔️. c) $- 0, 05 (x - 2) (x - 18) = - 0, 05 (x^{2} - 20 x + 36) = - 0, 05 x^{2} + x -$ $1, 8$ , et c'est bien $h (x) - 1, 8$ ✔️. d) Le coefficient $- 0, 05$ est négatif : $h (x) - 1, 8$ est positif ENTRE les racines $2$ et $18$ . Le ballon est à plus de $1, 8$ m pour $x \in$ $] 2; 18 [$ : sur $16$ m. e) $3$ est dans $] 2; 18 [$ : là, le ballon passe au-dessus de $1, 8$ m. Le défenseur ne peut pas l'intercepter. ✔️ $h (3) = - 0, 05 \times 3 \times (- 17) = 2, 55$ m.
x
0
2
18
20
$- 0, 05$
−
−
−
$x - 2$
−
0
+
+
$x - 18$
−
−
0
+
$h (x) - 1, 8$
−
0
+
0
−
18. Les paniers de la ferme bio a) $(x - 4) (x - 10) = x^{2} - 10 x - 4 x + 40 = x^{2} - 14 x +$ $40$ , et $- 0, 5 (x^{2} - 14 x + 40) = - 0, 5 x^{2} + 7 x - 20$ ✔️. b) Les racines sont $4$ et $10$ : les deux points où la courbe coupe l'axe. c) Le coefficient $- 0, 5$ est négatif : $B (x)$ est négatif sur $[0; 4 [$ , positif sur $] 4; 10 [$ , négatif sur $] 10; 12]$ . $B (x) > 0$ pour $x \in$ $] 4; 10 [$ : la ferme est bénéficiaire entre $400$ et $1000$ paniers. d) $B (7) = - 0, 5 \times 3 \times (- 3) =$ $4, 5$ : pour $700$ paniers, le bénéfice est de $4500$ €. C'est le sommet, au milieu des racines. ⚠️ Le tableau de signes se fait sur la forme FACTORISÉE : sur $- 0, 5 x^{2} + 7 x -$ $20$ , on ne lit rien.
x
0
4
10
12
$- 0, 5$
−
−
−
$x - 4$
−
0
+
+
$x - 10$
−
−
0
+
$B (x)$
−
0
+
0
−
19. La crue a) $d$ s'annule en $2$ et en $8$ : ce sont ses racines, donc $d (t) = a (t - 2) (t -$ $8)$ . $d (0) = a \times (- 2) \times (- 8) =$ $16 a$ . Or $d (0) =$ $- 1, 6$ : $16 a =$ $- 1, 6$ , donc $a =$ $- 0, 1$ . b) $- 0, 1 (t - 2) (t - 8) = - 0, 1 (t^{2} - 10 t + 16) = - 0, 1 t^{2} + t - 1, 6$ ✔️. c) $a = - 0, 1 <$ $0$ : $d (t)$ est négatif sur $[0; 2 [$ , positif sur $] 2; 8 [$ , négatif sur $] 8; 10]$ . La rivière est au-dessus de la cote d'alerte entre le jour $2$ et le jour $8$ : pendant $6$ jours. d) Le plus fort de la crue est au milieu des racines, au jour $5$ : $d (5) = - 0, 1 \times 3 \times (- 3) = 0, 9$ m au-dessus de la cote. ⭐ Connaître ces dates, c'est ce qui permet à une commune d'organiser l'évacuation, puis le retour.
t
0
2
8
10
$- 0, 1$
−
−
−
$t - 2$
−
0
+
+
$t - 8$
−
−
0
+
$d (t)$
−
0
+
0
−
20. Le club de sport a) $B (x) = - x^{2} + 14 x - 3 x - 18 = - x^{2} + 11 x -$ $18$ . Et $- (x - 2) (x - 9) = - (x^{2} - 11 x + 18) = - x^{2} + 11 x - 18$ ✔️. b) $B (x) = 0$ pour $x = 2$ ou $x =$ $9$ : pour $200$ et $900$ abonnés, la recette couvre juste les coûts. Sur le dessin, ce sont les deux points où la courbe bleue croise la droite orange. c) $- (x - 2) (x - 9)$ est négatif sur $[0; 2 [$ , positif sur $] 2; 9 [$ , négatif sur $] 9; 12]$ . Le club est bénéficiaire entre $200$ et $900$ abonnés, là où la courbe de la recette passe AU-DESSUS de la droite des coûts. ⚠️ $R (x) -$ $C (x)$ : on soustrait TOUT le coût, $- (3 x + 18) = - 3 x -$ $18$ .
x
0
2
9
12
$- 1$
−
−
−
$x - 2$
−
0
+
+
$x - 9$
−
−
0
+
$B (x)$
−
0
+
0
−

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : racines et signe par la forme factorisée, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3