Parabole : sommet et axe de symétrie : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices pour trouver le sommet et l'axe d'une parabole sans aucune formule : par les racines, par deux points de même hauteur, par la symétrie. Un rappel de cours avant chaque niveau, et une correction écrite étape par étape, avec l'axe tracé.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. On trouve l'axe, puis le sommet.

Rappel de cours

Parabole tournée vers le haut ( $a >$ $0$ ) : son sommet est le point le plus BAS, un minimum. Tournée vers le bas ( $a <$ $0$ ) : le plus HAUT, un maximum.
L'axe de symétrie est vertical et passe par le sommet. Deux points de même ordonnée sont symétriques : l'axe passe au MILIEU de leurs abscisses.
Avec la forme $a (x - x_{1}) (x -$ $x_{2})$ : l'axe est la droite $x =$ $\frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ . L'ordonnée du sommet se calcule en remplaçant $x$ .
Avec une forme $a (x - α)^{2} + β$ donnée : le sommet est le point $S (α; β)$ .

1
Sans calcul, dire si chaque fonction admet un maximum ou un minimum : $f (x) = - 2 x^{2} + 3 x -$ $1$ ; $g (x) = 0, 5 x^{2} -$ $4$ ; $k (x) = 3 - x^{2} +$ $2 x$ .
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On regarde seulement le signe du coefficient de $x^{2}$ . $f$ : $a = - 2 <$ $0$ , parabole tournée vers le bas : $f$ admet un MAXIMUM, atteint au sommet. $g$ : $a = 0, 5 >$ $0$ , tournée vers le haut : $g$ admet un MINIMUM. $k$ : on relit $k (x) = - x^{2} + 2 x +$ $3$ ; $a = - 1 <$ $0$ : $k$ admet un MAXIMUM. ⚠️ Dans $3 - x^{2} +$ $2 x$ , le coefficient de $x^{2}$ est $- 1$ , même s'il n'est pas écrit en premier. ⭐ Vers le haut : une vallée, son sommet est le point le plus bas. Vers le bas : une colline. Sur le dessin : $f$ en bleu, $g$ en orange, $k$ en vert. Seule $g$ a un point le plus BAS.
2
Soit $f (x) = (x - 1) (x -$ $5)$ . Déterminer l'axe de symétrie de sa courbe, puis les coordonnées du sommet.
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Les racines se lisent sur les facteurs : $1$ et $5$ . Les deux points $(1; 0)$ et $(5; 0)$ ont la même ordonnée : l'axe passe au milieu, en $x = \frac{1 + 5}{2} =$ $3$ . Le sommet est sur l'axe : son ordonnée est $f (3) = (3 - 1) (3 - 5) = 2 \times (- 2) =$ $- 4$ . Le sommet est $S (3; - 4)$ . ⚠️ L'axe est une DROITE : on écrit « $x =$ $3$ », et pas seulement « $3$ ».
3
Soit $f (x) = 2 (x - 3)^{2} +$ $1$ . Donner le sommet de sa parabole et son axe de symétrie. Est-ce un minimum ou un maximum ?
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Un carré est toujours positif ou nul : $(x - 3)^{2} ⩾$ $0$ , et il vaut $0$ seulement pour $x =$ $3$ . Donc $2 (x - 3)^{2} + 1 ⩾$ $1$ : $f (x)$ ne descend jamais sous $1$ , et vaut $1$ en $x =$ $3$ . Le sommet est $S (3; 1)$ ; c'est un MINIMUM. L'axe de symétrie est la droite $x =$ $3$ . ⭐ Cohérent avec l'allure : $a = 2 >$ $0$ , la parabole est tournée vers le haut. ⚠️ Dans $(x -$ $3)^{2}$ , le sommet est en $x =$ $3$ , pas en $x =$ $- 3$ : c'est la valeur qui ANNULE la parenthèse.
4
La parabole d'une fonction $f$ a pour axe de symétrie la droite $x =$ $2$ . On sait que $f (0) = 5$ et $f (- 1) =$ $10$ . Donner, sans calcul, deux autres images.
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Deux abscisses à la même distance de l'axe ont la même image. $0$ est à $2$ unités à gauche de l'axe ; à $2$ unités à droite, on trouve $2 + 2 =$ $4$ . Donc $f (4) = f (0) =$ $5$ . $- 1$ est à $3$ unités à gauche ; à $3$ unités à droite : $2 + 3 =$ $5$ . Donc $f (5) = f (- 1) =$ $10$ . ⚠️ On reporte la DISTANCE à l'axe, pas le nombre : le symétrique de $0$ par rapport à $2$ n'est pas $- 2$ .
5
Soit $f (x) = x^{2} - 6 x +$ $2$ . a) Résoudre l'équation $f (x) =$ $2$ . b) En déduire l'axe de symétrie de la parabole, puis son sommet.
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a) $f (x) = 2$ s'écrit $x^{2} - 6 x + 2 =$ $2$ , soit $x^{2} - 6 x =$ $0$ . On factorise par $x$ : $x (x - 6) =$ $0$ , donc $x = 0$ ou $x =$ $6$ . b) Les points $(0; 2)$ et $(6; 2)$ ont la même ordonnée : l'axe passe au milieu, en $x = \frac{0 + 6}{2} =$ $3$ . Le sommet a pour ordonnée $f (3) = 9 - 18 + 2 =$ $- 7$ : c'est $S (3; - 7)$ . ⭐ C'est la méthode du programme : on coupe la parabole par la droite $y = 2$ (en violet), et l'axe passe entre les deux points. ⚠️ Ne pas oublier la solution $x =$ $0$ : on ne divise jamais une équation par $x$ .
6
Soit $f (x) = - (x + 2) (x -$ $4)$ . Déterminer l'axe de symétrie, le sommet, et dire si c'est un maximum ou un minimum.
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Racines : $x + 2 = 0$ donne $- 2$ ; $x - 4 = 0$ donne $4$ . L'axe passe au milieu : $x = \frac{- 2 + 4}{2} =$ $1$ . $f (1) = - (1 + 2) (1 - 4) = - (3 \times (- 3)) =$ $9$ : le sommet est $S (1; 9)$ . Le coefficient devant le produit est $- 1 <$ $0$ : parabole tournée vers le bas, le sommet est un MAXIMUM. ⚠️ Le milieu de $- 2$ et $4$ est $1$ , pas $3$ : on ADDITIONNE les racines avec leur signe.
7
Voici la courbe de $f (x) = - 0, 5 x^{2} + 2 x +$ $1$ . a) Lire les coordonnées du sommet et l'équation de l'axe de symétrie. b) Vérifier l'ordonnée du sommet par le calcul. c) Le sommet est-il un maximum ou un minimum ?
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a) Le point le plus haut de la courbe est $S (2; 3)$ ; l'axe de symétrie est la droite $x =$ $2$ . b) $f (2) = - 0, 5 \times 4 + 4 + 1 = 3$ ✔️. c) La parabole est tournée vers le bas ( $a =$ $- 0, 5 <$ $0$ ) : le sommet est un MAXIMUM, $3$ , atteint en $x =$ $2$ . ⭐ Une lecture graphique se CONTRÔLE par le calcul : on remplace l'abscisse lue dans l'expression.
8
Voici un tableau de valeurs d'une fonction polynôme $f$ de degré $2$ . a) Quel est l'axe de symétrie de sa courbe ? Son sommet ? b) On donne aussi $f (5) =$ $7$ . Que vaut $f (- 1)$ ?
x 0 1 2 3 4
f(x) 2 −1 −2 −1 2
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a) Les images se répètent en miroir autour de $x =$ $2$ : $f (1) = f (3) = - 1$ et $f (0) = f (4) =$ $2$ . L'axe de symétrie est donc la droite $x =$ $2$ , et le sommet est $S (2; - 2)$ . b) $5$ est à $3$ unités à droite de $2$ ; à $3$ unités à gauche, c'est $2 - 3 =$ $- 1$ . Donc $f (- 1) = f (5) =$ $7$ . ⭐ Dans un tableau, on cherche la valeur « du milieu » : celle autour de laquelle les images se répètent.

x	0	1	2	3	4
f(x)	2	−1	−2	−1	2

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Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs gestes à enchaîner, comme dans un contrôle. Calculatrice autorisée.

Rappel de cours

Pour trouver l'axe sans les racines : on résout $f (x) =$ $c$ , avec $c =$ $f (0)$ . On trouve $x = 0$ et une autre valeur ; l'axe passe au milieu.
Symétrie : deux abscisses à la même distance de l'axe ont la même image.
Le sommet répond aux questions « le plus haut », « le plus bas », « le meilleur prix ». On donne toujours ses DEUX coordonnées, et leur sens.

9L'arroseur du stade
Un arroseur de pelouse, posé au sol, projette un jet d'eau dont la hauteur, en mètres, est $h (x) = - 0, 5 x (x -$ $6)$ , où $x$ est la distance horizontale à l'arroseur, en mètres. a) À quelles distances le jet est-il au niveau du sol ? b) En déduire l'axe de symétrie de la parabole. c) Quelle hauteur maximale le jet atteint-il ? d) Calculer $h (1)$ . En quel autre point le jet est-il à la même hauteur ?
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a) $h (x) = 0$ quand $x = 0$ ou $x - 6 =$ $0$ : le jet part de l'arroseur ( $x =$ $0$ ) et retombe à $6$ m. b) L'axe passe au milieu : $x = \frac{0 + 6}{2} =$ $3$ . c) $h (3) = - 0, 5 \times 3 \times (- 3) =$ $4, 5$ : le jet monte à $4, 5$ m, à $3$ m de l'arroseur. d) $h (1) = - 0, 5 \times 1 \times (- 5) = 2, 5$ m. $1$ est à $2$ m avant l'axe ; à $2$ m après, c'est $5$ . Donc $h (5) = 2, 5$ m aussi. ⚠️ La hauteur maximale est l'ORDONNÉE du sommet ( $4, 5$ m), pas son abscisse ( $3$ ).
10La coopérative de jus de pomme
Une coopérative produit $x$ centaines de litres de jus de pomme par semaine ( $0 ⩽$ $x ⩽$ $8$ ). Son bénéfice, en milliers d'euros, est $B (x) = - 0, 5 x^{2} + 4 x -$ $2$ . a) Calculer $B (0)$ , puis résoudre $B (x) =$ $- 2$ . b) En déduire l'axe de symétrie de la parabole. c) Pour quelle production le bénéfice est-il le plus grand ? Combien vaut-il ?
Voir la correction
a) $B (0) =$ $- 2$ : sans rien produire, la coopérative perd $2000$ € (ses frais fixes). $B (x) = - 2$ s'écrit $- 0, 5 x^{2} + 4 x =$ $0$ , soit $x (- 0, 5 x + 4) =$ $0$ : $x = 0$ ou $- 0, 5 x + 4 =$ $0$ , c'est-à-dire $x =$ $8$ . b) L'axe passe au milieu de $0$ et $8$ : c'est la droite $x =$ $4$ . c) $a = - 0, 5 <$ $0$ : la parabole est tournée vers le bas, le sommet est un maximum. $B (4) = - 0, 5 \times 16 + 16 - 2 =$ $6$ : pour $400$ litres par semaine, le bénéfice maximal est de $6000$ €. ⚠️ $- 0, 5 x + 4 = 0$ donne $x = \frac{4}{0 , 5} =$ $8$ , et non $2$ .
11Des composteurs en bois
Un atelier fabrique des composteurs en bois. Le coût de fabrication d'un composteur, en dizaines d'euros, quand l'atelier en fabrique $x$ centaines, est $C (x) = (x - 3)^{2} +$ $5$ . a) La parabole est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? b) Donner le sommet. Quel est le coût minimal d'un composteur, et pour quelle production ? c) Calculer $C (1)$ et en déduire $C (5)$ sans calcul.
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a) En développant, $(x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x +$ $9$ : le coefficient de $x^{2}$ est $1 >$ $0$ . La parabole est tournée vers le haut. b) $(x - 3)^{2} ⩾$ $0$ , donc $C (x) ⩾$ $5$ , avec égalité pour $x =$ $3$ . Le sommet est $S (3; 5)$ . Le coût minimal est de $5$ dizaines d'euros, soit $50$ € par composteur, pour $300$ composteurs. c) $C (1) = (1 - 3)^{2} + 5 = 4 + 5 =$ $9$ . $1$ et $5$ sont à $2$ unités de l'axe $x =$ $3$ : $C (5) = C (1) =$ $9$ , soit $90$ €. ⭐ Trop peu de composteurs, les machines coûtent cher pour chacun ; trop, il faut des heures en plus. Le bon choix est au sommet.
12La voûte d'un tunnel
Pour une nouvelle ligne de train, des géomètres relèvent la hauteur de la voûte d'un tunnel (en mètres), le long de sa largeur. a) Justifier que la droite $x = 4$ est l'axe de symétrie de la voûte. b) Donner le sommet. Que représente-t-il ? c) On mesure une hauteur de $3, 5$ m en $x =$ $1$ . Sans calcul, que vaut la hauteur en $x =$ $7$ ? d) On admet que $h (x) = - 0, 5 x (x -$ $8)$ . Vérifier la mesure faite en $x =$ $1$ .
x (m) 0 2 4 6 8
h (m) 0 6 8 6 0
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a) Les hauteurs se répètent en miroir autour de $4$ : $h (2) = h (6) = 6$ et $h (0) = h (8) =$ $0$ . L'axe est la droite $x =$ $4$ . b) Le sommet est $S (4; 8)$ : le point le plus haut de la voûte, à $8$ m, au milieu du tunnel. c) $1$ est à $3$ m de l'axe ; de l'autre côté, c'est $4 + 3 =$ $7$ . La hauteur en $x = 7$ est aussi $3, 5$ m. d) $h (1) = - 0, 5 \times 1 \times (- 7) = 3, 5$ ✔️. ⭐ Un géomètre n'a besoin de mesurer qu'une moitié de la voûte : la symétrie donne l'autre.
13Une vallée glaciaire
Dans les montagnes, les anciens glaciers ont creusé des vallées en forme de U. On modélise le profil d'une vallée par $y = 0, 25 (x - 1) (x -$ $9)$ , où $x$ est la distance horizontale et $y$ l'altitude par rapport aux rebords, en centaines de mètres. a) Où sont les deux rebords de la vallée ? Quelle est sa largeur ? b) Déterminer l'axe de symétrie de la vallée. c) Quelle est la profondeur de la vallée ? d) L'allure de la parabole est-elle cohérente avec une vallée ?
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a) Les rebords sont à l'altitude $0$ : $y = 0$ pour $x = 1$ ou $x =$ $9$ . La vallée mesure $9 - 1 = 8$ centaines de mètres, soit $800$ m de large. b) L'axe passe au milieu : $x = \frac{1 + 9}{2} =$ $5$ . c) Le fond est au sommet : $y = 0, 25 \times (5 - 1) \times (5 - 9) = 0, 25 \times 4 \times (- 4) =$ $- 4$ . La vallée est profonde de $400$ m. d) $a = 0, 25 >$ $0$ : la parabole est tournée vers le haut, son sommet est le point le plus BAS. C'est bien le fond d'une vallée. ⚠️ $- 4$ ne veut pas dire « $- 400$ m de profondeur » : le signe moins dit que le fond est SOUS les rebords, de $400$ m.
14La passe haute au volley
Au volley, une passeuse envoie le ballon depuis ses mains. Sa hauteur, en mètres, est $h (x) = - 0, 2 x^{2} + 1, 6 x +$ $2$ , où $x$ est la distance horizontale parcourue, en mètres. a) Que vaut $h (0)$ ? Que représente ce nombre ? b) Résoudre $h (x) = 2$ et en déduire l'axe de symétrie. c) Quelle hauteur maximale le ballon atteint-il ? d) À quelle distance le ballon revient-il à la hauteur des mains de la passeuse ?
Voir la correction
a) $h (0) =$ $2$ : le ballon part à $2$ m de haut, la hauteur des mains. b) $h (x) = 2$ s'écrit $- 0, 2 x^{2} + 1, 6 x =$ $0$ , soit $x (- 0, 2 x + 1, 6) =$ $0$ : $x = 0$ ou $x = \frac{1 , 6}{0 , 2} =$ $8$ . L'axe passe au milieu : c'est la droite $x =$ $4$ . c) $h (4) = - 0, 2 \times 16 + 1, 6 \times 4 + 2 = - 3, 2 + 6, 4 + 2 =$ $5, 2$ : le ballon monte à $5, 2$ m. d) En $x =$ $8$ : c'est la deuxième solution de $h (x) =$ $2$ . Une coéquipière placée à $8$ m peut le frapper à la même hauteur. ⭐ La droite $y = 2$ coupe la parabole en deux points symétriques : l'axe est entre les deux.
15Le prix d'une séance de cinéma
Un cinéma de quartier étudie la recette d'une séance selon le prix $p$ du billet, en euros. Son modèle est une fonction polynôme de degré $2$ , et l'étude donne la même recette, $960$ €, pour $8$ € et pour $12$ €. a) Pour quel prix la recette est-elle la plus grande ? Justifier par la symétrie. b) Le modèle est $R (p) = p (200 -$ $10 p)$ . Calculer la recette maximale. c) Sachant que $R (6) =$ $840$ , que vaut $R (14)$ , sans calcul ?
Voir la correction
a) $R (8) =$ $R (12)$ : l'axe de symétrie passe au milieu, en $p = \frac{8 + 12}{2} =$ $10$ . Le sommet est donc atteint pour un billet à $10$ €. C'est un maximum : $R (p) = - 10 p^{2} +$ $200 p$ , et $a = - 10 <$ $0$ . b) $R (10) = 10 \times (200 - 100) = 1000$ € : la recette maximale est de $1000$ €. c) $6$ est à $4$ € sous l'axe ; $4$ € au-dessus, c'est $14$ . Donc $R (14) = R (6) = 840$ €. ⚠️ Augmenter le prix ne fait pas toujours gagner plus : au-delà de $10$ €, les spectateurs perdus coûtent plus que les euros gagnés.
16Le plongeon
Une plongeuse s'élance d'un plongeoir de $10$ m. Sa hauteur au-dessus de l'eau, en mètres, $t$ secondes après son saut, est modélisée par $h (t) = - 5 (t - 2) (t +$ $1)$ . a) Vérifier que $h (0) =$ $10$ . b) Quelles sont les racines de $h$ ? Laquelle a un sens ici ? c) En déduire l'axe de symétrie de la parabole, puis la hauteur maximale atteinte.
Voir la correction
a) $h (0) = - 5 \times (- 2) \times 1 = 10$ ✔️ : au départ, elle est sur le plongeoir, à $10$ m. b) $t - 2 = 0$ donne $2$ ; $t + 1 = 0$ donne $- 1$ . Un temps après le saut est positif : elle entre dans l'eau au bout de $2$ secondes. c) L'axe passe au milieu des racines : $t = \frac{- 1 + 2}{2} =$ $0, 5$ . $h (0, 5) = - 5 \times (- 1, 5) \times 1, 5 =$ $11, 25$ : elle monte jusqu'à $11, 25$ m, une demi-seconde après son saut. ⭐ La racine $- 1$ n'a pas de sens physique, mais elle SERT : sans elle, pas de milieu, donc pas d'axe. ⚠️ $a = - 5 <$ $0$ : c'est bien un maximum.

x (m)	0	2	4	6	8
h (m)	0	6	8	6	0

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Un problème complet, avec ses questions qui s'enchaînent. On répond par une phrase, avec l'unité.

Rappel de cours

Dans un problème, l'axe et le sommet se trouvent par la symétrie : au milieu des racines, ou entre deux points de même hauteur.
Le sommet a deux coordonnées : l'abscisse dit OÙ (ou quand, ou à quel prix), l'ordonnée dit COMBIEN.
On répond avec l'unité, et on vérifie que la réponse a un sens dans la situation.

17Sous l'arche du pont
L'arche d'un pont ferroviaire en acier franchit une rivière. On la modélise par $h (x) = - 0, 75 x (x -$ $4)$ , où $x$ et $h (x)$ sont en dizaines de mètres ; les pieds de l'arche sont au niveau de l'eau. a) Où sont les pieds de l'arche ? Quelle est sa portée, en mètres ? b) Déterminer l'axe de symétrie et le sommet de l'arche. Quelle est sa hauteur, en mètres ? c) Calculer $h (1)$ et en déduire $h (3)$ . d) Un bateau haut de $20$ m et large de $20$ m passe sous l'arche, bien au centre. Passe-t-il ?
Voir la correction
a) $h (x) = 0$ pour $x = 0$ ou $x =$ $4$ : les pieds sont en $0$ et en $4$ . La portée est de $4$ dizaines de mètres, soit $40$ m. b) L'axe passe au milieu des pieds : $x =$ $2$ . $h (2) = - 0, 75 \times 2 \times (- 2) =$ $3$ : le sommet est $S (2; 3)$ , l'arche culmine à $30$ m. c) $h (1) = - 0, 75 \times 1 \times (- 3) =$ $2, 25$ . $3$ est le symétrique de $1$ par rapport à $2$ : $h (3) =$ $2, 25$ . d) Centré, le bateau occupe la bande de $x = 1$ à $x = 3$ ( $20$ m $= 2$ dizaines de mètres, une de chaque côté de l'axe). Aux bords de cette bande, l'arche est à $2, 25$ dizaines de mètres, soit $22, 5$ m ; entre les deux, elle est encore plus haute. $22, 5 >$ $20$ : le bateau passe, avec $2, 5$ m de marge. ⚠️ Le point critique n'est pas le milieu du bateau, mais ses COINS : c'est là que l'arche est la plus basse.
18La salle de concert
Le nombre de spectateurs d'une salle de concert dépend du prix $x$ du billet, en euros : $600 - 20 x$ spectateurs ( $0 ⩽$ $x ⩽$ $30$ ). a) Montrer que la recette est $R (x) = - 20 x^{2} +$ $600 x$ , puis que $R (x) = - 20 x (x -$ $30)$ . b) Calculer $R (10)$ et $R (20)$ . Qu'en déduire pour l'axe de symétrie ? c) Quel prix rend la recette maximale ? Combien de spectateurs viennent alors, pour quelle recette ? d) Quel autre prix donne la même recette qu'un billet à $26$ € ?
Voir la correction
a) Recette = prix × spectateurs : $x (600 - 20 x) = 600 x - 20 x^{2} = - 20 x^{2} +$ $600 x$ . Et $- 20 x (x - 30) = - 20 x^{2} + 600 x$ ✔️. b) $R (10) = 10 \times 400 = 4000$ € et $R (20) = 20 \times 200 = 4000$ €. Même recette : l'axe passe au milieu, en $x =$ $15$ . ✔️ Les racines $0$ et $30$ donnent le même milieu. c) $a = - 20 <$ $0$ : le sommet est un maximum, pour un billet à $15$ €. Il y a alors $600 - 20 \times 15 = 300$ spectateurs, et $R (15) = 15 \times 300 = 4500$ €. d) $26$ est à $11$ € au-dessus de $15$ ; $11$ € au-dessous, c'est $4$ €. Un billet à $4$ € donne la même recette : $R (4) = R (26) = 2080$ €. ⭐ Le diagramme montre la symétrie : les barres se répondent autour de $15$ €.
19Le saut à ski
Un skieur de freestyle s'élance d'un tremplin. Sa hauteur au-dessus de la piste, en mètres, est $h (x) = - 0, 25 (x - 4)^{2} +$ $4$ , où $x$ est la distance horizontale depuis le bord du tremplin, en mètres. a) Donner le sommet de la trajectoire, et justifier que c'est un maximum. b) Vérifier que $h (0) =$ $0$ . En déduire, par symétrie, où le skieur retombe sur la piste. c) Calculer $h (2)$ , et en déduire $h (6)$ . d) Développer $h (x)$ , et retrouver le résultat de la question b).
Voir la correction
a) $(x - 4)^{2} ⩾$ $0$ , donc $- 0, 25 (x - 4)^{2} ⩽ 0$ et $h (x) ⩽$ $4$ , avec égalité pour $x =$ $4$ . Le sommet est $S (4; 4)$ : le skieur monte au plus à $4$ m, à $4$ m du tremplin. C'est un maximum. b) $h (0) = - 0, 25 \times 16 + 4 = 0$ ✔️. $0$ est à $4$ m avant l'axe $x =$ $4$ ; $4$ m après, c'est $8$ : il retombe à $8$ m du tremplin. c) $h (2) = - 0, 25 \times 4 + 4 =$ $3$ . $6$ est le symétrique de $2$ : $h (6) = 3$ m. d) $(x - 4)^{2} = x^{2} - 8 x +$ $16$ , donc $h (x) = - 0, 25 x^{2} + 2 x - 4 + 4 = - 0, 25 x^{2} +$ $2 x$ . Et $- 0, 25 x^{2} + 2 x = - 0, 25 x (x -$ $8)$ : les racines sont $0$ et $8$ ✔️. ⚠️ $- 0, 25 \times 16 =$ $- 4$ : le carré $(0 - 4)^{2} = 16$ est calculé AVANT la multiplication.
20Le lob
Au tennis, une joueuse fait un lob. On relève la hauteur de la balle (en mètres) selon la distance horizontale parcourue (en mètres). a) Pourquoi la trajectoire a-t-elle pour axe de symétrie la droite $x =$ $3$ ? b) Donner le sommet de la trajectoire. c) Son adversaire, bras et raquette levés, atteint $3$ m de haut. Placée en $x =$ $5$ , peut-elle toucher la balle ? d) On propose le modèle $h (x) = - 0, 25 (x - 3)^{2} +$ $4, 25$ . Vérifier qu'il redonne $h (0)$ et $h (5)$ du tableau.
x (m) h (m)
0 2
1 3,25
2 4
3 4,25
4 4
5 3,25
6 2
x (m) 0 1 2 3 4 5 6
h (m) 2 3,25 4 4,25 4 3,25 2
Voir la correction
a) Les hauteurs se répètent en miroir autour de $3$ : $h (2) = h (4) =$ $4$ , $h (1) = h (5) =$ $3, 25$ , $h (0) = h (6) =$ $2$ . b) Le sommet est $S (3; 4, 25)$ : la balle monte à $4, 25$ m, à $3$ m de la joueuse. c) En $x =$ $5$ , la balle est à $3, 25$ m : $25$ cm au-dessus de ce que l'adversaire peut atteindre. Elle ne peut pas la toucher. d) $h (0) = - 0, 25 \times 9 + 4, 25 = - 2, 25 + 4, 25 = 2$ ✔️ et $h (5) = - 0, 25 \times 4 + 4, 25 = 3, 25$ ✔️. ⭐ Le lob réussi passe au-dessus de l'adversaire, puis redescend : c'est la parabole tournée vers le bas ( $a =$ $- 0, 25 <$ $0$ ).

x (m)	h (m)
0	2
1	3,25
2	4
3	4,25
4	4
5	3,25
6	2

x (m)	0	1	2	3	4	5	6
h (m)	2	3,25	4	4,25	4	3,25	2

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : parabole : sommet et axe de symétrie, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. On regarde seulement le signe du coefficient de $x^{2}$ . $f$ : $a = - 2 <$ $0$ , parabole tournée vers le bas : $f$ admet un MAXIMUM, atteint au sommet. $g$ : $a = 0, 5 >$ $0$ , tournée vers le haut : $g$ admet un MINIMUM. $k$ : on relit $k (x) = - x^{2} + 2 x +$ $3$ ; $a = - 1 <$ $0$ : $k$ admet un MAXIMUM. ⚠️ Dans $3 - x^{2} +$ $2 x$ , le coefficient de $x^{2}$ est $- 1$ , même s'il n'est pas écrit en premier. ⭐ Vers le haut : une vallée, son sommet est le point le plus bas. Vers le bas : une colline. Sur le dessin : $f$ en bleu, $g$ en orange, $k$ en vert. Seule $g$ a un point le plus BAS.
2. Les racines se lisent sur les facteurs : $1$ et $5$ . Les deux points $(1; 0)$ et $(5; 0)$ ont la même ordonnée : l'axe passe au milieu, en $x = \frac{1 + 5}{2} =$ $3$ . Le sommet est sur l'axe : son ordonnée est $f (3) = (3 - 1) (3 - 5) = 2 \times (- 2) =$ $- 4$ . Le sommet est $S (3; - 4)$ . ⚠️ L'axe est une DROITE : on écrit « $x =$ $3$ », et pas seulement « $3$ ».
3. Un carré est toujours positif ou nul : $(x - 3)^{2} ⩾$ $0$ , et il vaut $0$ seulement pour $x =$ $3$ . Donc $2 (x - 3)^{2} + 1 ⩾$ $1$ : $f (x)$ ne descend jamais sous $1$ , et vaut $1$ en $x =$ $3$ . Le sommet est $S (3; 1)$ ; c'est un MINIMUM. L'axe de symétrie est la droite $x =$ $3$ . ⭐ Cohérent avec l'allure : $a = 2 >$ $0$ , la parabole est tournée vers le haut. ⚠️ Dans $(x -$ $3)^{2}$ , le sommet est en $x =$ $3$ , pas en $x =$ $- 3$ : c'est la valeur qui ANNULE la parenthèse.
4. Deux abscisses à la même distance de l'axe ont la même image. $0$ est à $2$ unités à gauche de l'axe ; à $2$ unités à droite, on trouve $2 + 2 =$ $4$ . Donc $f (4) = f (0) =$ $5$ . $- 1$ est à $3$ unités à gauche ; à $3$ unités à droite : $2 + 3 =$ $5$ . Donc $f (5) = f (- 1) =$ $10$ . ⚠️ On reporte la DISTANCE à l'axe, pas le nombre : le symétrique de $0$ par rapport à $2$ n'est pas $- 2$ .
5. a) $f (x) = 2$ s'écrit $x^{2} - 6 x + 2 =$ $2$ , soit $x^{2} - 6 x =$ $0$ . On factorise par $x$ : $x (x - 6) =$ $0$ , donc $x = 0$ ou $x =$ $6$ . b) Les points $(0; 2)$ et $(6; 2)$ ont la même ordonnée : l'axe passe au milieu, en $x = \frac{0 + 6}{2} =$ $3$ . Le sommet a pour ordonnée $f (3) = 9 - 18 + 2 =$ $- 7$ : c'est $S (3; - 7)$ . ⭐ C'est la méthode du programme : on coupe la parabole par la droite $y = 2$ (en violet), et l'axe passe entre les deux points. ⚠️ Ne pas oublier la solution $x =$ $0$ : on ne divise jamais une équation par $x$ .
6. Racines : $x + 2 = 0$ donne $- 2$ ; $x - 4 = 0$ donne $4$ . L'axe passe au milieu : $x = \frac{- 2 + 4}{2} =$ $1$ . $f (1) = - (1 + 2) (1 - 4) = - (3 \times (- 3)) =$ $9$ : le sommet est $S (1; 9)$ . Le coefficient devant le produit est $- 1 <$ $0$ : parabole tournée vers le bas, le sommet est un MAXIMUM. ⚠️ Le milieu de $- 2$ et $4$ est $1$ , pas $3$ : on ADDITIONNE les racines avec leur signe.
7. a) Le point le plus haut de la courbe est $S (2; 3)$ ; l'axe de symétrie est la droite $x =$ $2$ . b) $f (2) = - 0, 5 \times 4 + 4 + 1 = 3$ ✔️. c) La parabole est tournée vers le bas ( $a =$ $- 0, 5 <$ $0$ ) : le sommet est un MAXIMUM, $3$ , atteint en $x =$ $2$ . ⭐ Une lecture graphique se CONTRÔLE par le calcul : on remplace l'abscisse lue dans l'expression.
8. a) Les images se répètent en miroir autour de $x =$ $2$ : $f (1) = f (3) = - 1$ et $f (0) = f (4) =$ $2$ . L'axe de symétrie est donc la droite $x =$ $2$ , et le sommet est $S (2; - 2)$ . b) $5$ est à $3$ unités à droite de $2$ ; à $3$ unités à gauche, c'est $2 - 3 =$ $- 1$ . Donc $f (- 1) = f (5) =$ $7$ . ⭐ Dans un tableau, on cherche la valeur « du milieu » : celle autour de laquelle les images se répètent.
9. L'arroseur du stade a) $h (x) = 0$ quand $x = 0$ ou $x - 6 =$ $0$ : le jet part de l'arroseur ( $x =$ $0$ ) et retombe à $6$ m. b) L'axe passe au milieu : $x = \frac{0 + 6}{2} =$ $3$ . c) $h (3) = - 0, 5 \times 3 \times (- 3) =$ $4, 5$ : le jet monte à $4, 5$ m, à $3$ m de l'arroseur. d) $h (1) = - 0, 5 \times 1 \times (- 5) = 2, 5$ m. $1$ est à $2$ m avant l'axe ; à $2$ m après, c'est $5$ . Donc $h (5) = 2, 5$ m aussi. ⚠️ La hauteur maximale est l'ORDONNÉE du sommet ( $4, 5$ m), pas son abscisse ( $3$ ).
10. La coopérative de jus de pomme a) $B (0) =$ $- 2$ : sans rien produire, la coopérative perd $2000$ € (ses frais fixes). $B (x) = - 2$ s'écrit $- 0, 5 x^{2} + 4 x =$ $0$ , soit $x (- 0, 5 x + 4) =$ $0$ : $x = 0$ ou $- 0, 5 x + 4 =$ $0$ , c'est-à-dire $x =$ $8$ . b) L'axe passe au milieu de $0$ et $8$ : c'est la droite $x =$ $4$ . c) $a = - 0, 5 <$ $0$ : la parabole est tournée vers le bas, le sommet est un maximum. $B (4) = - 0, 5 \times 16 + 16 - 2 =$ $6$ : pour $400$ litres par semaine, le bénéfice maximal est de $6000$ €. ⚠️ $- 0, 5 x + 4 = 0$ donne $x = \frac{4}{0 , 5} =$ $8$ , et non $2$ .
11. Des composteurs en bois a) En développant, $(x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x +$ $9$ : le coefficient de $x^{2}$ est $1 >$ $0$ . La parabole est tournée vers le haut. b) $(x - 3)^{2} ⩾$ $0$ , donc $C (x) ⩾$ $5$ , avec égalité pour $x =$ $3$ . Le sommet est $S (3; 5)$ . Le coût minimal est de $5$ dizaines d'euros, soit $50$ € par composteur, pour $300$ composteurs. c) $C (1) = (1 - 3)^{2} + 5 = 4 + 5 =$ $9$ . $1$ et $5$ sont à $2$ unités de l'axe $x =$ $3$ : $C (5) = C (1) =$ $9$ , soit $90$ €. ⭐ Trop peu de composteurs, les machines coûtent cher pour chacun ; trop, il faut des heures en plus. Le bon choix est au sommet.
12. La voûte d'un tunnel a) Les hauteurs se répètent en miroir autour de $4$ : $h (2) = h (6) = 6$ et $h (0) = h (8) =$ $0$ . L'axe est la droite $x =$ $4$ . b) Le sommet est $S (4; 8)$ : le point le plus haut de la voûte, à $8$ m, au milieu du tunnel. c) $1$ est à $3$ m de l'axe ; de l'autre côté, c'est $4 + 3 =$ $7$ . La hauteur en $x = 7$ est aussi $3, 5$ m. d) $h (1) = - 0, 5 \times 1 \times (- 7) = 3, 5$ ✔️. ⭐ Un géomètre n'a besoin de mesurer qu'une moitié de la voûte : la symétrie donne l'autre.
13. Une vallée glaciaire a) Les rebords sont à l'altitude $0$ : $y = 0$ pour $x = 1$ ou $x =$ $9$ . La vallée mesure $9 - 1 = 8$ centaines de mètres, soit $800$ m de large. b) L'axe passe au milieu : $x = \frac{1 + 9}{2} =$ $5$ . c) Le fond est au sommet : $y = 0, 25 \times (5 - 1) \times (5 - 9) = 0, 25 \times 4 \times (- 4) =$ $- 4$ . La vallée est profonde de $400$ m. d) $a = 0, 25 >$ $0$ : la parabole est tournée vers le haut, son sommet est le point le plus BAS. C'est bien le fond d'une vallée. ⚠️ $- 4$ ne veut pas dire « $- 400$ m de profondeur » : le signe moins dit que le fond est SOUS les rebords, de $400$ m.
14. La passe haute au volley a) $h (0) =$ $2$ : le ballon part à $2$ m de haut, la hauteur des mains. b) $h (x) = 2$ s'écrit $- 0, 2 x^{2} + 1, 6 x =$ $0$ , soit $x (- 0, 2 x + 1, 6) =$ $0$ : $x = 0$ ou $x = \frac{1 , 6}{0 , 2} =$ $8$ . L'axe passe au milieu : c'est la droite $x =$ $4$ . c) $h (4) = - 0, 2 \times 16 + 1, 6 \times 4 + 2 = - 3, 2 + 6, 4 + 2 =$ $5, 2$ : le ballon monte à $5, 2$ m. d) En $x =$ $8$ : c'est la deuxième solution de $h (x) =$ $2$ . Une coéquipière placée à $8$ m peut le frapper à la même hauteur. ⭐ La droite $y = 2$ coupe la parabole en deux points symétriques : l'axe est entre les deux.
15. Le prix d'une séance de cinéma a) $R (8) =$ $R (12)$ : l'axe de symétrie passe au milieu, en $p = \frac{8 + 12}{2} =$ $10$ . Le sommet est donc atteint pour un billet à $10$ €. C'est un maximum : $R (p) = - 10 p^{2} +$ $200 p$ , et $a = - 10 <$ $0$ . b) $R (10) = 10 \times (200 - 100) = 1000$ € : la recette maximale est de $1000$ €. c) $6$ est à $4$ € sous l'axe ; $4$ € au-dessus, c'est $14$ . Donc $R (14) = R (6) = 840$ €. ⚠️ Augmenter le prix ne fait pas toujours gagner plus : au-delà de $10$ €, les spectateurs perdus coûtent plus que les euros gagnés.
16. Le plongeon a) $h (0) = - 5 \times (- 2) \times 1 = 10$ ✔️ : au départ, elle est sur le plongeoir, à $10$ m. b) $t - 2 = 0$ donne $2$ ; $t + 1 = 0$ donne $- 1$ . Un temps après le saut est positif : elle entre dans l'eau au bout de $2$ secondes. c) L'axe passe au milieu des racines : $t = \frac{- 1 + 2}{2} =$ $0, 5$ . $h (0, 5) = - 5 \times (- 1, 5) \times 1, 5 =$ $11, 25$ : elle monte jusqu'à $11, 25$ m, une demi-seconde après son saut. ⭐ La racine $- 1$ n'a pas de sens physique, mais elle SERT : sans elle, pas de milieu, donc pas d'axe. ⚠️ $a = - 5 <$ $0$ : c'est bien un maximum.
17. Sous l'arche du pont a) $h (x) = 0$ pour $x = 0$ ou $x =$ $4$ : les pieds sont en $0$ et en $4$ . La portée est de $4$ dizaines de mètres, soit $40$ m. b) L'axe passe au milieu des pieds : $x =$ $2$ . $h (2) = - 0, 75 \times 2 \times (- 2) =$ $3$ : le sommet est $S (2; 3)$ , l'arche culmine à $30$ m. c) $h (1) = - 0, 75 \times 1 \times (- 3) =$ $2, 25$ . $3$ est le symétrique de $1$ par rapport à $2$ : $h (3) =$ $2, 25$ . d) Centré, le bateau occupe la bande de $x = 1$ à $x = 3$ ( $20$ m $= 2$ dizaines de mètres, une de chaque côté de l'axe). Aux bords de cette bande, l'arche est à $2, 25$ dizaines de mètres, soit $22, 5$ m ; entre les deux, elle est encore plus haute. $22, 5 >$ $20$ : le bateau passe, avec $2, 5$ m de marge. ⚠️ Le point critique n'est pas le milieu du bateau, mais ses COINS : c'est là que l'arche est la plus basse.
18. La salle de concert a) Recette = prix × spectateurs : $x (600 - 20 x) = 600 x - 20 x^{2} = - 20 x^{2} +$ $600 x$ . Et $- 20 x (x - 30) = - 20 x^{2} + 600 x$ ✔️. b) $R (10) = 10 \times 400 = 4000$ € et $R (20) = 20 \times 200 = 4000$ €. Même recette : l'axe passe au milieu, en $x =$ $15$ . ✔️ Les racines $0$ et $30$ donnent le même milieu. c) $a = - 20 <$ $0$ : le sommet est un maximum, pour un billet à $15$ €. Il y a alors $600 - 20 \times 15 = 300$ spectateurs, et $R (15) = 15 \times 300 = 4500$ €. d) $26$ est à $11$ € au-dessus de $15$ ; $11$ € au-dessous, c'est $4$ €. Un billet à $4$ € donne la même recette : $R (4) = R (26) = 2080$ €. ⭐ Le diagramme montre la symétrie : les barres se répondent autour de $15$ €.
19. Le saut à ski a) $(x - 4)^{2} ⩾$ $0$ , donc $- 0, 25 (x - 4)^{2} ⩽ 0$ et $h (x) ⩽$ $4$ , avec égalité pour $x =$ $4$ . Le sommet est $S (4; 4)$ : le skieur monte au plus à $4$ m, à $4$ m du tremplin. C'est un maximum. b) $h (0) = - 0, 25 \times 16 + 4 = 0$ ✔️. $0$ est à $4$ m avant l'axe $x =$ $4$ ; $4$ m après, c'est $8$ : il retombe à $8$ m du tremplin. c) $h (2) = - 0, 25 \times 4 + 4 =$ $3$ . $6$ est le symétrique de $2$ : $h (6) = 3$ m. d) $(x - 4)^{2} = x^{2} - 8 x +$ $16$ , donc $h (x) = - 0, 25 x^{2} + 2 x - 4 + 4 = - 0, 25 x^{2} +$ $2 x$ . Et $- 0, 25 x^{2} + 2 x = - 0, 25 x (x -$ $8)$ : les racines sont $0$ et $8$ ✔️. ⚠️ $- 0, 25 \times 16 =$ $- 4$ : le carré $(0 - 4)^{2} = 16$ est calculé AVANT la multiplication.
20. Le lob a) Les hauteurs se répètent en miroir autour de $3$ : $h (2) = h (4) =$ $4$ , $h (1) = h (5) =$ $3, 25$ , $h (0) = h (6) =$ $2$ . b) Le sommet est $S (3; 4, 25)$ : la balle monte à $4, 25$ m, à $3$ m de la joueuse. c) En $x =$ $5$ , la balle est à $3, 25$ m : $25$ cm au-dessus de ce que l'adversaire peut atteindre. Elle ne peut pas la toucher. d) $h (0) = - 0, 25 \times 9 + 4, 25 = - 2, 25 + 4, 25 = 2$ ✔️ et $h (5) = - 0, 25 \times 4 + 4, 25 = 3, 25$ ✔️. ⭐ Le lob réussi passe au-dessus de l'adversaire, puis redescend : c'est la parabole tournée vers le bas ( $a =$ $- 0, 25 <$ $0$ ).

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : parabole : sommet et axe de symétrie, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3