Parabole : variations et extremum : 20 exercices corrigésmaths 1re — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : parabole : variations et extremum, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. La forme $2(x-1{)}^2+3$ donne le sommet : $S(1;3)$. $a=2>$$0$ : la parabole est tournée vers le haut. $f$ décroît sur $[-2;1]$, puis croît sur $[1;4]$. Images aux bornes : $f(-2)=2\times (-3{)}^2+3=21$ et $f(4)=2\times 3^2+3=$$21$. Le minimum de $f$ sur $[-2;4]$ est $3$, atteint en $x=$$1$. ⚠️ On n'oublie pas les images aux BORNES : sans elles, le tableau est incomplet.
2. 2. Le coefficient devant le produit est $-1<$$0$ : parabole tournée vers le bas, donc un MAXIMUM. Il est atteint au sommet, sur l'axe, au milieu des racines $2$ et $6$ : en $x=\frac{2+6}{2}=$$4$. $f(4)=-(4-2)(4-6)=-(2\times (-2))=$$4$. Le maximum de $f$ vaut $4$, atteint en $x=$$4$. ⚠️ Deux « $4$ » différents : l'un dit OÙ (l'abscisse), l'autre dit COMBIEN (le maximum).
3. 3. a) $1$ et $2$ sont dans $[0;3]$, où $f$ est décroissante : l'ordre s'inverse. $1<2$ donne $f(1)>$$f(2)$. b) $4$ et $6$ sont dans $[3;7]$, où $f$ est croissante : l'ordre se garde. $4<6$ donne $f(4)<$$f(6)$. c) Non : $1$ et $5$ sont de part et d'autre du sommet. Il faut l'expression, ou la symétrie. ⭐ Avec $f(x)=(x-3{)}^2-$$2$, on trouve $f(1)=f(5)=$$2$ : ils sont à la même distance de $3$. ⚠️ Une fonction décroissante RETOURNE l'ordre : c'est l'erreur la plus fréquente.
4. 4. On lit le sommet sur la courbe : $S(2;-3)$. On le vérifie : $f(2)=0,5\times 4-4-1=-3$ ✔️. $a=0,5>$$0$ : $f$ décroît sur $[-1;2]$, puis croît sur $[2;5]$. $f(-1)=0,5+2-1=1,5$ et $f(5)=12,5-10-1=$$1,5$. Le minimum de $f$ sur $[-1;5]$ vaut $-3$, atteint en $x=$$2$. ⭐ $f(-1)=$$f(5)$ : les bornes sont symétriques par rapport à l'axe $x=$$2$.
5. 5. Un carré est positif ou nul : $x^2⩾$$0$. On multiplie par $-3$, négatif : l'inégalité se retourne, $-3x^2⩽$$0$. Donc $g(x)=5-3x^2⩽5$ pour tout $x$, et $g(0)=$$5$. Le maximum de $g$ est $5$, atteint en $x=$$0$. ⭐ Pour une fonction $a{x}^2+$$c$, le sommet est toujours sur l'axe vertical, au point $(0;c)$. Sur le dessin, le sommet $S(0;5)$ est le point le plus haut, sur l'axe $x=$$0$.
6. 6. Le sommet est en $x=$$1$ : $-2$ est à gauche, $3$ à droite. On ne peut pas comparer directement. On remplace $-2$ par son symétrique : $-2$ est à $3$ unités de l'axe, son symétrique est $1+3=$$4$. Donc $f(-2)=$$f(4)$. $3$ et $4$ sont à droite du sommet, où $f$ est croissante ($a=$$1>$$0$) : $f(3)<$$f(4)$. Donc $f(3)<$$f(-2)$. ✔️ Contrôle : $f(3)=4$ et $f(-2)=$$9$. ⭐ Plus un nombre est LOIN de l'axe, plus son image est grande (parabole tournée vers le haut).
7. 7. Racines : $0$ et $4$. L'axe passe au milieu, en $x=$$2$. $f(2)=2\times 2\times (-2)=$$-8$ : le sommet est $S(2;-8)$. $a=2>$$0$ : $f$ décroît sur $[-1;2]$, puis croît sur $[2;5]$. Bornes : $f(-1)=2\times (-1)\times (-5)=10$ et $f(5)=2\times 5\times 1=$$10$. Le minimum de $f$ sur $[-1;5]$ est $-8$, atteint en $x=$$2$. ⚠️ Le $2$ devant le produit ne change pas les racines, mais il change l'ordonnée du sommet.
8. 8. a) Sur $[0;4]$, $f$ croît : $1<3$ donne $f(1)<$$f(3)$. Sur $[4;10]$, $f$ décroît : $5<8$ donne $f(5)>$$f(8)$. b) $2$ et $7$ sont de part et d'autre du sommet. $2$ est à $2$ unités de l'axe $x=$$4$ : son symétrique est $6$, et $f(2)=$$f(6)$. $6<7$ dans la partie décroissante : $f(6)>$$f(7)$. Donc $f(2)>$$f(7)$. ✔️ Contrôle : $f(2)=8$ et $f(7)=$$6,75$.
9. 9. Des sacs en toile recyclée a) Racines : $2$ et $10$. L'axe est la droite $x=\frac{2+10}{2}=$$6$. b) $a=-2<$$0$ : $B$ croît sur $[0;6]$, puis décroît sur $[6;12]$. $B(0)=-2\times (-2)\times (-10)=$$-40$ ; $B(6)=-2\times 4\times (-4)=$$32$ ; $B(12)=-2\times 10\times 2=$$-40$. c) Le maximum est atteint en $x=$$6$ : il faut fabriquer $600$ sacs par mois, pour un bénéfice de $32000$ €. ⚠️ $B(0)=$$-40$ : trois facteurs négatifs, le produit est négatif. Sans rien vendre, l'atelier perd $40000$ €.
10. 10. La zone de baignade a) Deux côtés de $x$ m utilisent $2x$ m de bouées : il reste $40-2x$ m pour le côté parallèle à la plage. $A(x)=x(40-$$2x)$. b) $x(40-2x)=40x-$$2x^2$, et $-2x(x-20)=-2x^2+40x$ ✔️. Racines $0$ et $20$ : l'axe est $x=$$10$. $a=-2<$$0$ : $A$ croît sur $[0;10]$, puis décroît sur $[10;20]$. $A(0)=$$0$ ; $A(10)=10\times 20=$$200$ ; $A(20)=$$0$. c) La zone la plus grande mesure $10$ m sur $20$ m, pour une aire de $200$ m². ⚠️ Ce n'est pas un carré : le côté de la plage ne consomme pas de bouées.
11. 11. La température d'une serre a) Le sommet est $S(14;30)$ : il fait au plus $30$ °C, à $14$ h. b) Avant $14$ h, $T$ croît : $10<12$ donne $T(10)<$$T(12)$. Après $14$ h, $T$ décroît : $15<19$ donne $T(15)>$$T(19)$. c) $11$ h est à $3$ h avant le sommet ; son symétrique est $17$ h : $T(11)=$$T(17)$. $16<17$ dans la partie décroissante : $T(16)>T(17)=$$T(11)$. Il fait plus chaud à $16$ h. ✔️ $T(11)=-4,5+30=25,5$ °C et $T(16)=-2+30=28$ °C.
12. 12. La chandelle au rugby a) $-5(t-2{)}^2⩽$$0$, donc $h(t)⩽$$21$, avec égalité en $t=$$2$. Le ballon monte à $21$ m, $2$ secondes après la frappe. b) $a=-5<$$0$ : $h$ croît sur $[0;2]$, puis décroît sur $[2;4]$. $h(0)=-20+21=1$ et $h(4)=$$1$. c) $1$ est à $1$ s avant le sommet : son symétrique est $3$, et $h(1)=$$h(3)$. $3<3,5$ dans la partie décroissante : $h(3,5)<h(3)=$$h(1)$. ✔️ $h(1)=16$ m et $h(3,5)=9,75$ m. ⭐ $h(0)=$$1$ : le ballon part du pied, à $1$ m du sol.
13. 13. Consommer moins a) $0,002(v-80{)}^2⩾$$0$, donc $C(v)⩾$$5$, avec égalité pour $v=$$80$. La consommation minimale est de $5$ L pour $100$ km, à $80$ km/h. b) $a=0,002>$$0$ : $C$ décroît sur $[50;80]$, puis croît sur $[80;130]$. $C(50)=0,002\times 900+5=6,8$ et $C(130)=0,002\times 2500+5=$$10$. c) $90$ et $110$ sont au-dessus de $80$, où $C$ croît : $C(90)<$$C(110)$. $60$ et $100$ sont à $20$ km/h de part et d'autre de $80$ : $C(60)=C(100)=0,002\times 400+5=$$5,8$. ⭐ Moins de carburant brûlé, c'est aussi moins de CO₂ rejeté : à $130$ km/h, ce modèle consomme deux fois plus qu'à $80$.
14. 14. Les visiteurs d'un parc national a) Le sommet est $S(7;12)$ : c'est en juillet que le parc reçoit le plus de visiteurs, $12000$. b) $a=-0,5<$$0$ : $V$ croît sur $[3;7]$, puis décroît sur $[7;11]$. $V(3)=-8+12=4$ et $V(11)=$$4$. c) Mai est à $2$ mois avant juillet ; son symétrique est septembre ($m=$$9$) : $V(5)=$$V(9)$. $9<10$ dans la partie décroissante : $V(10)<V(9)=$$V(5)$. Il y a plus de visiteurs en mai. ✔️ $V(5)=$$10$, soit $10000$ visiteurs, et $V(10)=$$7,5$, soit $7500$. ⭐ Pour un parc, ce sommet d'été guide l'aménagement : navettes, parkings, gardes en renfort.
15. 15. La location de vélos a) Recette = prix × nombre de vélos : $R(p)=p(120-4p)=120p-$$4p^2$, et $-4p(p-30)=-4p^2+120p$ ✔️. b) Racines $0$ et $30$ : l'axe est $p=$$15$. $a=-4<$$0$ : c'est un maximum, $R(15)=15\times 60=900$ €. c) $R$ croît sur $[0;15]$, puis décroît sur $[15;30]$ ; $R(0)=R(30)=$$0$. d) $10$ est à $5$ € sous l'axe ; son symétrique est $20$ : $R(10)=$$R(20)$. $20<25$ dans la partie décroissante : $R(25)<R(20)=$$R(10)$. La recette est plus grande à $10$ €. ✔️ $R(10)=800$ € et $R(25)=500$ €.
16. 16. a) Racines $-1$ et $5$ : l'axe est $x=\frac{-1+5}{2}=$$2$. $f(2)=-3\times 3\times (-3)=$$27$. $a=-3<$$0$ : le maximum est $27$, atteint en $x=$$2$. b) $f$ croît sur $[-1;2]$, décroît sur $[2;5]$ ; $f(-1)=f(5)=$$0$. c) $-0,5$ et $1,5$ sont avant $2$, où $f$ croît : $f(-0,5)<$$f(1,5)$. $\pi \approx 3,14$ et $\sqrt{10}\approx 3,16$ sont après $2$, où $f$ décroît : $\pi <\sqrt{10}$ donne $f(\pi )>$$f(\sqrt{10})$. ⭐ Même avec une calculatrice, les variations tranchent plus vite : $f(\pi )$ et $f(\sqrt{10})$ sont très proches.
17. 17. La fusée à eau a) $h(t)=0$ pour $t=0$ (le lancement) ou $t=$$6$ : elle retombe au bout de $6$ secondes. b) L'axe est au milieu, $t=$$3$. $h(3)=-5\times 3\times (-3)=$$45$ : $45$ m, $3$ secondes après le lancement. $a=-5<$$0$ : c'est un maximum. c) $h$ croît sur $[0;3]$, puis décroît sur $[3;6]$ ; $h(0)=h(6)=$$0$. d) Le symétrique de $1$ par rapport à $3$ est $5$ : $h(1)=$$h(5)$. $4,5<5$ dans la partie décroissante : $h(4,5)>h(5)=$$h(1)$. ✔️ $h(1)=25$ m et $h(4,5)=33,75$ m. e) $-5(t-2)(t-4)$ est positif ENTRE $2$ et $4$ (le coefficient $-5$ est négatif). La fusée est au-dessus de $40$ m de $t=2$ à $t=$$4$ : pendant $2$ secondes. ⭐ Sur le dessin (hauteur en dizaines de mètres), la droite violette $y=4$ coupe la courbe en $t=2$ et $t=$$4$, symétriques par rapport à l'axe.
18. 18. Pêcher sans vider la mer a) $G(0)=$$0$ : sans poissons, pas de naissances. $G(100)=$$0$ : à $100$ tonnes, le milieu est saturé, le stock ne grandit plus. b) Racines $0$ et $100$ : l'axe est $N=$$50$. $G(50)=-0,005\times 50\times (-50)=$$12,5$. $a=-0,005<$$0$ : c'est un maximum. $G$ croît sur $[0;50]$, puis décroît sur $[50;100]$. Le stock supporte au plus $12,5$ tonnes de pêche par an, quand il compte $50$ tonnes. c) Le symétrique de $30$ par rapport à $50$ est $70$ : $G(30)=$$G(70)$. $70<80$ dans la partie décroissante : $G(80)<G(70)=$$G(30)$. Il se renouvelle plus à $30$ tonnes. ✔️ $G(30)=10,5$ t et $G(80)=8$ t, comme sur le diagramme. ⭐ Les biologistes appellent ce maximum le « rendement maximal durable ». Pêcher plus vide peu à peu la mer.
19. 19. Le prix de la salle d'escalade a) $R(p)=p(500-10p)=500p-$$10p^2$, et $-10p(p-50)=-10p^2+500p$ ✔️. b) Racines $0$ et $50$ : l'axe est $p=$$25$. $R(25)=25\times 250=$$6250$. $a=-10<$$0$ : $R$ croît sur $[0;25]$, puis décroît sur $[25;50]$ ; $R(0)=R(50)=$$0$. c) La recette est maximale à $25$ € : $6250$ € par mois. Aujourd'hui, $R(20)=20\times 300=6000$ € : la salle gagnerait $250$ € de plus. d) Le symétrique de $20$ par rapport à $25$ est $30$ : $R(20)=$$R(30)$. $30<32$ dans la partie décroissante : $R(32)<R(30)=$$R(20)$. Non : à $32$ €, la recette serait MOINS bonne qu'aujourd'hui. ✔️ $R(32)=32\times 180=5760$ €. ⚠️ Monter les prix ne paie que jusqu'au sommet.
20. 20. Le vol parabolique a) $-2(t-10{)}^2⩽$$0$, donc $z(t)⩽$$8000$, avec égalité en $t=$$10$ : $8000$ m, au bout de $10$ secondes. b) $a=-2<$$0$ : $z$ croît sur $[0;10]$, puis décroît sur $[10;20]$. $z(0)=-2\times 100+8000=7800$ et $z(20)=$$7800$. c) Le symétrique de $4$ par rapport à $10$ est $16$ : $z(4)=$$z(16)$. $16<18$ dans la partie décroissante : $z(18)<z(16)=$$z(4)$. Il est plus haut à $t=$$4$. ✔️ $z(4)=7928$ m et $z(18)=7872$ m. d) $-2(t-5)(t-15)$ est positif entre $5$ et $15$ : l'avion est au-dessus de $7950$ m pendant $10$ secondes. ⚠️ Les nombres sont grands, mais le raisonnement est le même qu'avec $f(x)=-2(x-10{)}^2+$$8$ : seul le sommet compte.