Algorithmique et Python : 20 exercices corrigésmaths 2nde — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : algorithmique et python, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. On note les valeurs après chaque ligne. À droite du signe « = », on utilise les valeurs du moment. Ligne 3 : a reçoit $5+3=$$8$. Ligne 4 : b reçoit $8-3=$$5$. Ligne 5 : a reçoit $8-5=$$3$. À la fin, a vaut $3$ et b vaut $5$ : le programme a ÉCHANGÉ les deux valeurs. ⛔ Le piège : lire « a = a + b » comme une équation, et conclure que b vaut $0$. En Python, « = » range une valeur, il n'affirme rien.

   ligne	a	b
   1	5	–
   2	5	3
   3	8	3
   4	8	5
   5	3	5

2. 2. Ligne 2 : on calcule $3\times 2+1=7$ avec l'ANCIENNE valeur de x, puis x vaut $7$. Ligne 3 : « ** » est la puissance : x reçoit $7^2=$$49$. À la fin, x vaut $49$. ⛔ Le piège : écrire le carré avec l'accent circonflexe, comme sur la calculatrice. En Python, le carré s'écrit « x ** 2 » ; l'accent circonflexe y fait une tout autre opération.

   ligne	x
   1	2
   2	7
   3	49

3. 3. a) $7$, un entier : int. b) $7,0$, un nombre à virgule : float (le point est la virgule de Python). c) $3,5$ : float. La division « / » donne toujours un float. d) $3$ : int. « // » donne le quotient entier ($7=$$2\times 3+$$1$). e) $1$ : int. « % » donne le reste de la division. f) le texte « 7 », entre guillemets : str. Ce n'est plus un nombre. g) True : bool. Une comparaison vaut vrai ou faux. ⛔ Le piège au f) : croire que '7' et 7 sont la même chose. Les guillemets en font un TEXTE.

   expression	valeur	type
   7	7	int
   7.0	7.0	float
   7 / 2	3.5	float
   7 // 2	3	int
   7 % 2	1	int
   '7'	'7'	str
   3 < 5	True	bool

4. 4. a) « 2.0 », et non « 2 » : « / » donne toujours un float, même quand la division tombe juste. b) « '34' » : entre deux textes, « + » les COLLE bout à bout. c) « 7 » : entre deux nombres, « + » additionne. d) « 7 » : int('3') transforme le texte '3' en nombre $3$, puis on ajoute $4$. e) « '33' » : un texte multiplié par $2$ est répété deux fois. ⭐ Le même signe « + » ne fait pas la même chose selon le TYPE de ce qu'il relie.

   expression	résultat
   6 / 3	2.0
   '3' + '4'	'34'
   3 + 4	7
   int('3') + 4	7
   '3' * 2	'33'

5. 5. a) « n % 2 » est le reste de la division de n par $2$ : $17=2\times 8+$$1$, le reste vaut $1$. La condition « 1 == 0 » est fausse : on passe dans le « else », le programme affiche « impair ». b) $40=2\times 20+$$0$, le reste vaut $0$ : la condition est vraie, il affiche « pair ». ⛔ Le piège : écrire « if n % 2 = 0 ». Un seul « = » RANGE une valeur ; pour COMPARER, il en faut deux : « == ».

   n	n % 2	n % 2 == 0	affiche
   17	1	False	impair
   40	0	True	pair

6. 6. On teste les conditions DANS L'ORDRE, et on s'arrête à la première vraie. prix(8) : $8<12$ est vrai, on renvoie $5$. prix(12) : $12<12$ est FAUX ; $12<18$ est vrai, on renvoie $7$. prix(17) : $17<12$ faux, $17<18$ vrai : $7$. prix(18) : les deux sont faux, on arrive au « else » : $10$. ⛔ Le piège : prix(12) = $5$. Avec « < », $12$ n'est pas strictement inférieur à $12$ : à $12$ ans, on paie déjà $7$ €.

   âge	age < 12	age < 18	prix
   8	True	–	5
   12	False	True	7
   17	False	True	7
   18	False	False	10

7. 7. « range(1, 6) » donne i = $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ : le $6$ est exclu. À chaque tour, on ajoute i à s : $0+1=$$1$, puis $3$, $6$, $10$, $15$. Le programme affiche $15$ : c'est $1+2+3+4+$$5$. ⛔ Le piège : faire aussi un tour avec i = $6$, et trouver $21$. La borne de droite d'un range n'est jamais atteinte.

   tour	i	s
   1	1	1
   2	2	3
   3	3	6
   4	4	10
   5	5	15

8. 8. On répète TANT QUE n est inférieur à $100$, et on teste AVANT chaque tour. n vaut successivement $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $32$, $64$ : à chaque fois, $n<$$100$, on continue. Avec n = $64$, on fait encore un tour : n devient $128$. Maintenant $128<100$ est faux : on sort. La boucle a tourné $7$ fois, et le programme affiche $128$. ⛔ Le piège : répondre $64$, « le dernier nombre sous $100$ ». La boucle s'arrête quand la condition devient FAUSSE, donc après l'avoir dépassé.

   tour	n avant	n < 100 ?	n après
   1	1	oui	2
   2	2	oui	4
   3	4	oui	8
   4	8	oui	16
   5	16	oui	32
   6	32	oui	64
   7	64	oui	128

9. 9. a) On remplace x par la valeur donnée. « ** » passe avant « * », qui passe avant « - » : les priorités des maths. $f(2)=3\times 2^2-5=12-5=$$7$. $f(-1)=3\times (-1{)}^2-5=3-5=$$-2$. $f(0)=0-5=$$-5$. b) C'est la fonction $x\mapsto 3x^2-$$5$. ⛔ Le piège au a) : taper « -1 ** 2 » dans la console. Python calcule d'abord la puissance : il obtient $-(1^2)=$$-1$. Quand on appelle f(-1), la valeur $-1$ remplace x tout entier, comme si on écrivait $(-1{)}^2$.

   appel	calcul	renvoie
   f(2)	3 * 4 - 5	7
   f(-1)	3 * 1 - 5	-2
   f(0)	3 * 0 - 5	-5

10. 10. La boucle parcourt la liste : n prend les valeurs $12$, $8$, $15$, $11$, $14$, et s les additionne : $12$, $20$, $35$, $46$, $60$. « len(notes) » vaut $5$, le nombre de notes. Le programme affiche « 12.0 » : c'est la MOYENNE des notes, $\frac{60}{5}=$$12$. ⭐ « 12.0 » et non « 12 » : la division « / » donne un float, même quand elle tombe juste.

    tour	n	s
    1	12	12
    2	8	20
    3	15	35
    4	11	46
    5	14	60

11. 11. a) Augmenter de $4$ %, c'est multiplier par $1,04$. Chaque tour de boucle fait passer une année. b) On déroule, au centime : $1040$ ; $1081,60$ ; $1124,86$ … ; au bout de $10$ ans, $1480,24$ € : encore sous $1500$, on continue. Au bout de $11$ ans, $1539,45$ € : on sort. Le programme affiche $11$ : il faut $11$ années. ⭐ C'est un algorithme de SEUIL : on ne sait pas d'avance combien de tours il faut, d'où le « while ». ⛔ Le piège : répondre $12,5$ ans, « $500$ € à $40$ € par an ». Les intérêts s'ajoutent aux intérêts : le capital grandit plus vite.

    n (années)	c (€)
    0	1 000
    1	1 040
    2	1 081,60
    9	1 423,31
    10	1 480,24
    11	1 539,45

12. 12. a) a est un multiple de b quand le reste de la division de a par b est nul : « def est_multiple(a, b): » puis, en retrait, « return a % b == 0 ». b) $21=7\times 3+$$0$ : le reste est $0$, elle renvoie True. $22=7\times 3+$$1$ : le reste est $1$, elle renvoie False. c) Une comparaison vaut True ou False : la fonction renvoie un bool. ⭐ Pas besoin de « if » : la comparaison « a % b == 0 » EST déjà le résultat.

    def est_multiple(a, b):
        return a % b == 0
     
    est_multiple(21, 7)  # True
    est_multiple(22, 7)  # False

13. 13. On garde le schéma de l'exercice 7 : une variable s à $0$, puis une boucle qui ajoute chaque carré. Les entiers de $1$ à $10$ : « range(1, 11) », car la borne de droite est exclue. À chaque tour, on ajoute « k ** 2 ». Le programme affiche $385$. ⭐ Vérification : $1+4+9+16+25+36+49+64+81+100=$$385$. ⛔ Le piège : « range(1, 10) », qui s'arrête à $9$ et oublie $10^2=$$100$.

    s = 0
    for k in range(1, 11):
        s = s + k ** 2
    print(s)

14. 14. a) On déroule : $6$ est pair → $3$ ; $3$ est impair → $10$ ; puis $5$, $16$, $8$, $4$, $2$, $1$. On a obtenu $1$ : « n != 1 » (n différent de $1$) est faux, on sort. Le programme affiche $8$. b) etapes compte le nombre de transformations pour arriver à $1$ : ici $8$. ⭐ Personne n'a jamais trouvé de nombre qui n'arrive pas à $1$… mais personne n'a démontré que c'était toujours vrai : c'est la CONJECTURE de Syracuse, toujours ouverte. ⛔ Le piège : « n / 2 » au lieu de « n // 2 ». On obtiendrait des float, « 3.0 », « 5.0 »…

    étape	n
    0	6
    1	3
    2	10
    3	5
    4	16
    5	8
    6	4
    7	2
    8	1

15. 15. a) « input » renvoie TOUJOURS un texte (str), même si l'on tape des chiffres : age vaut par exemple '15', entre guillemets. « age + 1 » demande d'ajouter un texte et un nombre : Python refuse (TypeError). b) On convertit le texte en entier dès la saisie : « age = int(input('Âge ? ')) ». Avec $15$, le programme affiche $16$. ⭐ Le type d'une variable n'est pas écrit dans le programme, mais il décide de ce qu'on peut en faire.

    age = int(input('Âge ? '))
    print(age + 1)

16. 16. a) « range(n + 1) » donne k = $0$, $1$, …, $n$. La fonction additionne donc les entiers de $0$ à $n$. somme(4) : $0+1+2+3+4=$$10$. somme(100) : $5050$. b) $\frac{4\times 5}{2}=10$ ✓ et $\frac{100\times 101}{2}=5050$ ✓. ⭐ La boucle fait $101$ tours pour somme(100) ; la formule, un seul calcul. Le programme sert à VÉRIFIER une formule sur beaucoup de cas avant de la démontrer. ⛔ Le piège : « range(n) », qui s'arrête à $n-1$ et oublie le dernier terme.

    k	s
    0	0
    1	1
    2	3
    3	6
    4	10

17. 17. Le dé lancé dix mille fois a) La boucle lance n fois un dé ; à chaque « 6 », on ajoute $1$ au compteur six. À la fin, on divise par n : la fonction renvoie la FRÉQUENCE des six sur n lancers. b) La probabilité d'un six est $\frac{1}{6}\approx$$0,167$. Sur $10000$ lancers, la fréquence est très proche de $0,167$ : c'est la loi des grands nombres. c) Personne ne s'est trompé. Sur $10$ lancers, obtenir $4$ six ou aucun est tout à fait possible : un petit échantillon FLUCTUE beaucoup. ⭐ Le diagramme montre un vrai essai : $0,1$ sur $10$ lancers, $0,19$ sur $100$, $0,1646$ sur $10000$. Plus n est grand, plus la fréquence se resserre autour de $\frac{1}{6}$ : c'est pour cela qu'on simule en grand.
18. 18. Le CO₂ de l'atmosphère a) Il faut monter de $450-424=26$ ppm. Au bout de $10$ ans, $424+25=$$449$ : encore sous $450$. Au bout de $11$ ans, $451,5$ : on sort. Le programme affiche $2035$. b) co2 valait l'entier $424$, mais on lui ajoute $2,5$ : il devient un float, « 451.5 ». c) On remplace « 2.5 » par « 3 ». Il faut alors $9$ ans ($424+$$27=$$451$) : le programme affiche $2033$. ⭐ Le modèle ne dit rien de l'avenir réel : il dit ce qui arrive SI la hausse reste constante. En 2024, elle a d'ailleurs été plus forte que $2,5$ ppm. ⛔ Le piège au a) : diviser, $\frac{26}{2,5}=$$10,4$, et répondre 2034. On compte des années entières, et $10$ ans ne suffisent pas.

    annee	co2
    2024	424
    2025	426.5
    2033	446.5
    2034	449.0
    2035	451.5

19. 19. Deux dés : le 7 ou le 12 ? a) « if s == 7: » et « if s == 12: » (deux « = » pour comparer). b) Deux dés donnent $6\times 6=36$ issues équiprobables. La somme $7$ en compte $6$ : (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1). La somme $12$ une seule : (6 ; 6). On attend une fréquence proche de $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ pour $7$, soit environ $6000$ fois ; et proche de $\frac{1}{36}$ pour $12$, soit environ $1000$ fois. c) Non : le $7$ sort environ SIX fois plus souvent. Toutes les sommes ne sont pas équiprobables, même si chaque dé l'est. ⛔ Le piège au b) : croire les onze sommes, de $2$ à $12$, également probables. Ce sont les $36$ COUPLES qui le sont.
20. 20. La racine de 2, pas à pas a) x vaut $1$, puis $1,1$ ; $1,2$ ; $1,3$ ; $1,4$ : leurs carrés, $1,21$ ; $1,44$ ; $1,69$ ; $1,96$, sont sous $2$. Avec $1,5$, le carré vaut $2,25$ : on sort. $1,4^2<2<$$1,5^2$, donc $1,4<\sqrt{2}<$$1,5$. b) L'ordinateur calcule en BINAIRE, où $0,1$ ne s'écrit pas exactement (comme $\frac{1}{3}$ en décimal). Chaque ajout garde une minuscule erreur, et elles s'accumulent : $1,5000000000000004$ au lieu de $1,5$. c) On remplace « 0.1 » par « 0.01 ». Le programme s'arrête au premier x dont le carré dépasse $2$, soit $1,42$ (à l'erreur près) : $1,41<\sqrt{2}<$$1,42$. ⭐ C'est un algorithme de BALAYAGE : plus le pas est petit, plus l'encadrement est fin — et plus la boucle tourne. ⛔ Le piège au a) : répondre « $\sqrt{2}\approx$$1,5$ ». Le programme donne la PREMIÈRE valeur trop grande : $\sqrt{2}$ est juste avant.

    x	x * x	< 2 ?
    1	1	oui
    1.1	1.21	oui
    1.2	1.44	oui
    1.3	1.69	oui
    1.4	1.96	oui
    1.5	2.25	non