Les droites du plan : 20 exercices corrigésmaths 2nde — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : les droites du plan, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. $d_1$ coupe l'axe des ordonnées en $-1$ : $p=$$-1$. De $A(1;1)$ à $B(3;5)$, on avance de $2$ et on monte de $4$ : $m=\frac{4}{2}=$$2$. Donc $d_1:y=2x-$$1$. $d_2$ coupe l'axe des ordonnées en $C(0;3)$ : $p=$$3$. De $C$ à $D(4;1)$, on avance de $4$ et on DESCEND de $2$ : $m=\frac{-2}{4}=$$-0,5$. Donc $d_2:y=-0,5x+$$3$. ⭐ Une droite qui monte a un coefficient positif, une droite qui descend un coefficient négatif. ⛔ Le piège : lire $m$ sans diviser par l'avancée, et écrire $m=4$ pour $d_1$.
2. 2. Le coefficient directeur : $m=\frac{-2-4}{3-1}=\frac{-6}{2}=$$-3$. On cherche $p$ avec le point $A$ : $4=-3\times 1+$$p$, donc $p=$$7$. Ainsi $(AB):y=-3x+$$7$. ⭐ On vérifie avec $B$ : $-3\times 3+7=$$-2$. ✓
3. 3. a) $A$ et $B$ ont la même abscisse, $2$ : la droite est VERTICALE. Tous ses points ont pour abscisse $2$ : son équation est $x=$$2$. Elle n'a PAS d'équation réduite : le calcul de $m$ diviserait par $2-2=$$0$. Et ce n'est pas la courbe d'une fonction : à $x=2$ correspondent une infinité de $y$. b) $C$ et $D$ ont la même ordonnée, $4$ : la droite est horizontale, $m=$$0$, et son équation est $y=$$4$. ⛔ Le piège au a) : écrire $y=$$2$. C'est l'ABSCISSE qui est fixe, pas l'ordonnée.
4. 4. a) Quand $x$ avance de $1$, $y$ augmente de $3$ : $\vec{u}(1;3)$ dirige $d_1$. b) Pour $ax+by+c=$$0$, le vecteur $(-b;a)$ convient : ici $a=$$2$, $b=$$-5$, donc $\vec{v}(5;2)$. c) Deux points de la droite donnent un vecteur directeur : $\overrightarrow{AB}(6;-3)$. ⭐ Un vecteur directeur n'est pas unique : $(2;-1)$, deux fois plus court, dirige aussi $d_3$. ⛔ Le piège au b) : prendre $(a;b)=$$(2;-5)$. On ÉCHANGE et on change un signe : $(-b;a)$.
5. 5. a) On remplace $x$ et $y$ par les coordonnées du point : le point est sur $d$ si l'on obtient $0$. $A$ : $3\times 2-2\times 1-4=$$0$ : $A$ est sur $d$. $B$ : $3\times 0-2\times 2-4=$$-8$ : $B$ n'est PAS sur $d$. b) $3\times 4-2y-4=$$0$, soit $8-2y=$$0$, donc $y=$$4$. Ainsi $C(4;4)$. ⛔ Le piège au a) : conclure « $B$ est sur $d$ » parce qu'on a trouvé un nombre. Il faut trouver EXACTEMENT $0$.
6. 6. On isole $y$ : $2y=-4x+$$6$, puis on divise par $2$ : $y=-2x+$$3$. Le coefficient directeur est $m=-2$ (la droite descend), l'ordonnée à l'origine $p=$$3$. ⭐ Vérification sur le dessin : la droite coupe l'axe des ordonnées en $3$, et descend de $2$ quand on avance de $1$. ⛔ Le piège : oublier de diviser le $6$ par $2$, et écrire $y=-2x+$$6$.
7. 7. On compare les coefficients directeurs, donc on met d'abord $d_4$ sous forme réduite : $-2y=-4x-$$3$, soit $y=2x+$$1,5$. Coefficients : $d_1$ : $2$ ; $d_2$ : $-2$ ; $d_3$ : $2$ ; $d_4$ : $2$. $d_1$, $d_3$ et $d_4$ ont le même coefficient $2$ : elles sont parallèles (et distinctes, car leurs ordonnées à l'origine diffèrent). $d_2$ coupe les trois autres. ⛔ Le piège : croire $d_1$ et $d_2$ parallèles parce qu'elles ont la même ordonnée à l'origine. Elles se COUPENT, justement en $(0;1)$.
8. 8. Le point d'intersection est sur les deux droites : ses coordonnées vérifient les deux équations. Son $y$ est donc le même : $x+1=-2x+$$7$. $3x=$$6$, donc $x=$$2$. Puis $y=2+1=$$3$. Le point d'intersection est $I(2;3)$. ⭐ On vérifie avec $d_2$ : $-2\times 2+7=$$3$. ✓
9. 9. Un point $M(x;y)$ est sur $d$ si $\overrightarrow{AM}(x-1;y+2)$ et $\vec{u}(3;1)$ sont colinéaires : $(x-1)\times 1-(y+2)\times 3=$$0$, soit $x-1-3y-6=$$0$. Donc $d:x-3y-7=$$0$. ⭐ On vérifie avec $A$ : $1-3\times (-2)-7=1+6-7=$$0$. ✓ Et $(-b;a)=(3;1)$ redonne bien $\vec{u}$. ⛔ Le piège : écrire $\overrightarrow{AM}(x+1;y-$$2)$. C'est l'arrivée MOINS le départ : $x-$$x_A$, $y-$$y_A$.
10. 10. Un vecteur directeur : $\overrightarrow{AB}(9;-6)$. $M(x;y)$ est sur $(AB)$ si $\overrightarrow{AM}(x+2;y-3)$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires : $(x+2)\times (-6)-(y-3)\times 9=$$0$. On développe : $-6x-12-9y+27=$$0$, soit $-6x-9y+15=$$0$. On divise par $-3$ : $2x+3y-5=$$0$. ⭐ On vérifie avec $B$ : $2\times 7+3\times (-3)-5=14-9-5=$$0$. ✓ ⭐ Diviser par $-3$ est permis : une équation cartésienne n'est pas unique, on choisit la plus simple.
11. 11. Parallèle à $d$ : même coefficient directeur, donc $d^{\prime }:y=-3x+$$p$. $A$ est sur $d^{\prime }$ : $4=-3\times 2+$$p$, donc $p=$$10$. Ainsi $d^{\prime }:y=-3x+$$10$. ⭐ $A$ n'est pas sur $d$ ($-3\times$$2+5=-1\ne$$4$) : $d$ et $d^{\prime }$ sont bien deux droites distinctes. ⛔ Le piège : garder aussi le $5$ de $d$. Seule la PENTE est commune.
12. 12. Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires : on peut garder les mêmes $a$ et $b$. Donc $d^{\prime }:2x-y+c=$$0$. $B$ est sur $d^{\prime }$ : $2\times (-2)-2+c=$$0$, soit $-6+c=$$0$, donc $c=$$6$. Ainsi $d^{\prime }:2x-y+6=$$0$. ⭐ Même vecteur directeur $(1;2)$ pour les deux : les droites montent pareil.
13. 13. Par COMBINAISON : on ajoute les deux équations, les $y$ s'éliminent : $3x=$$6$, donc $x=$$2$. Dans la seconde : $2-y=$$-1$, donc $y=$$3$. La solution est le couple $(2;3)$. ⭐ On vérifie : $2\times 2+3=7$ ✓ et $2-3=-1$ ✓. ⭐ Chaque équation est celle d'une droite ; le couple solution est leur POINT D'INTERSECTION.
14. 14. On multiplie la première équation par $2$ pour que les $y$ s'éliminent : $6x+4y=$$24$. On ajoute la seconde : $6x+4y+5x-4y=24+$$20$, soit $11x=$$44$, donc $x=$$4$. Dans la première : $12+2y=$$12$, donc $y=$$0$. La solution est $(4;0)$ : les deux droites se coupent sur l'axe des abscisses. ⭐ On vérifie : $5\times 4-4\times 0=$$20$. ✓ ⛔ Le piège : multiplier seulement le membre de gauche par $2$, et garder $12$ à droite.
15. 15. a) On multiplie la première par $2$ : $4x-2y=$$6$. On ajoute la seconde : $0=$$7$, ce qui est IMPOSSIBLE. Le système n'a aucune solution. Les droites $y=2x-3$ et $y=2x+0,5$ ont le même coefficient $2$ : elles sont parallèles et distinctes, elles ne se coupent jamais. b) La seconde équation est la première multipliée par $3$ : c'est la MÊME droite. Tous ses points sont solutions : il y a une infinité de solutions. ⭐ Deux droites se coupent en un point, ou pas du tout (parallèles), ou partout (confondues) : un système a une solution, aucune, ou une infinité. ⭐ Le déterminant le dit d'avance : $2\times 2-(-1)\times (-4)=4-4=0$ au a), et $1\times 6-2\times 3=0$ au b). Nul : les droites sont parallèles.
16. 16. a) Par SUBSTITUTION : dans l'équation de $d_2$, on remplace $y$ par $2x-$$1$. $x+2(2x-1)-13=$$0$, soit $5x-15=$$0$, donc $x=$$3$. Puis $y=2\times 3-1=$$5$. Donc $I(3;5)$. b) $5+2\times 4-13=$$0$ : oui, $C$ est sur $d_2$. ⭐ La substitution est la plus rapide dès qu'une équation donne déjà $y$ en fonction de $x$. ⛔ Le piège au a) : oublier de multiplier le $-1$ par $2$, et écrire $x+4x-1-$$13$.
17. 17. La rencontre sur le sentier a) Léo part de $d=0$ et gagne $4$ km par heure : $d=$$4t$. Inès part de $d=12$ et s'approche du refuge de $2$ km par heure : $d=12-$$2t$. b) Ils se croisent quand ils sont au même endroit : $4t=12-$$2t$, soit $6t=$$12$, donc $t=$$2$. Et $d=4\times 2=$$8$. Ils se croisent à $11$ h, à $8$ km du refuge (donc à $4$ km du col). c) C'est le point d'intersection des deux droites, $(2;8)$ : on lit l'heure sur l'axe du temps, la distance sur l'autre. ⭐ On vérifie avec Inès : $12-2\times 2=$$8$. ✓ ⛔ Le piège au b) : répondre « $2$ h ». Ce n'est pas l'heure, c'est la DURÉE depuis le départ : il est $11$ h.
18. 18. La billetterie du concert a) $\{\begin{array}{l}x+y=250\\ 15x+10y=3250\end{array}$ : la première compte les places, la seconde les euros. b) De la première : $y=250-$$x$. On remplace : $15x+10(250-x)=$$3250$, soit $15x+2500-10x=$$3250$, donc $5x=750$ et $x=$$150$. Puis $y=$$100$. On a vendu $150$ places adultes et $100$ places enfants. c) Les adultes rapportent $150\times 15=2250$ €, soit $\frac{2250}{3250}\approx 69$ % de la recette. ⭐ On vérifie dans l'énoncé : $150+100=250$ places ✓ et $2250+1000=3250$ € ✓. ⛔ Le piège au a) : écrire $x+y=$$3250$. On ne mélange pas des places et des euros dans la même équation.

    	Adultes	Enfants	Total
    Places	150	100	250
19. 19. Le point d'équilibre du triangle a) $I\left(\frac{7+5}{2};\frac{8+2}{2}\right)$, soit $I(6;5)$ ; $J\left(\frac{1+5}{2};\frac{6+2}{2}\right)$, soit $J(3;4)$. b) $(AI)$ : $\overrightarrow{AI}(5;-1)$, et $(x-1)\times (-1)-(y-6)\times 5=$$0$, soit $-x+1-5y+30=$$0$ : $x+5y-31=$$0$. $(BJ)$ : $\overrightarrow{BJ}(-4;-4)$, colinéaire à $(1;1)$. $(x-7)\times 1-(y-8)\times 1=$$0$ : $x-y+1=$$0$. c) De la seconde : $x=y-$$1$. Dans la première : $y-1+5y-31=$$0$, soit $6y=$$32$, donc $y=\frac{16}{3}$ et $x=$$\frac{13}{3}$. Ainsi $G\left(\frac{13}{3};\frac{16}{3}\right)$, environ $(4,33;5,33)$. d) $\frac{1+7+5}{3}=\frac{13}{3}$ et $\frac{6+8+2}{3}=$$\frac{16}{3}$ : c'est le même point. Le centre de gravité est la MOYENNE des trois sommets. ⭐ La troisième médiane passe aussi par $G$ : les trois médianes d'un triangle sont CONCOURANTES.
20. 20. Le bateau et le rocher a) $M(x;y)$ est sur la trajectoire si $\overrightarrow{PM}(x-1;y-1)$ et $\vec{u}(3;2)$ sont colinéaires : $2(x-1)-3(y-1)=$$0$, soit $2x-3y+1=$$0$. b) On résout $\{\begin{array}{l}2x-3y+1=0\\ x+y-12=0\end{array}$. De la seconde, $x=12-$$y$ ; dans la première : $24-2y-3y+1=$$0$, soit $5y=$$25$, $y=5$ et $x=$$7$. C'est bien $Q(7;5)$. c) $2\times 4-3\times 3+1=$$0$ : le rocher est EXACTEMENT sur la route. Danger ! d) $\overrightarrow{SQ}(3;4)$ : $4(x-4)-3(y-1)=$$0$, soit $4x-3y-13=$$0$. Pour $R$ : $4\times 4-3\times 3-13=-6\ne$$0$ : le rocher n'est plus sur la route. ⭐ Le premier cap est tout droit mais passe sur le rocher ; le détour par $S$ l'évite. ⛔ Le piège au c) : répondre « presque » en regardant la carte. Le calcul donne $0$ : le rocher est dessus, pas à côté.