Échantillonnage et simulation : 20 exercices corrigésmaths 2nde — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, du geste seul au problème : voir un échantillon fluctuer, calculer l'intervalle où tombe le plus souvent sa fréquence, décider si un résultat est surprenant, simuler au hasard avec Python, estimer une probabilité inconnue. Un sondage à 48 contre 52, les naissances de garçons, le nombre π trouvé en jetant des points au hasard, les truites d'un lac comptées sans les pêcher toutes. De vrais tirages, des barres et des intervalles dans les corrigés. Un rappel de cours avant chaque niveau.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice : calculer une fréquence, l'intervalle, et comparer.

Rappel de cours

Un ÉCHANTILLON de taille $n$ : $n$ répétitions d'une même expérience. Sa fréquence $f$ change d'un échantillon à l'autre : c'est la FLUCTUATION d'échantillonnage.
Plus $n$ est grand, plus $f$ se rapproche de la probabilité $p$ : c'est la loi des grands nombres.
Pour une expérience à deux issues, le plus souvent (dans environ $95$ % des échantillons, si $n ⩾ 25$ et $p$ entre $0, 2$ et $0, 8$ ) : $p - \frac{1}{n} ⩽ f ⩽ p +$ $\frac{1}{n}$ .

1
Cinq groupes d'élèves lancent chacun $20$ fois une pièce équilibrée. Ils obtiennent $9$ , $12$ , $8$ , $11$ et $10$ fois pile. a) Calculer la fréquence de pile de chaque groupe. b) Pourquoi ne trouvent-ils pas tous $0, 5$ ?
Voir la correction
a) On divise par $20$ : $\frac{9}{20} =$ $0, 45$ ; $0, 6$ ; $0, 4$ ; $0, 55$ ; $0, 5$ . b) Chaque groupe a lancé SA série de $20$ lancers, au hasard : les résultats varient d'une série à l'autre. C'est la fluctuation d'échantillonnage. Personne ne s'est trompé. ⭐ Les fréquences se répartissent autour de $0, 5$ , la probabilité, sans jamais la « viser » exactement.
2
On lance un dé équilibré et on note la fréquence du $6$ . Sur $10$ lancers, on trouve $0, 1$ ; sur $100$ lancers, $0, 19$ ; sur $10000$ lancers, $0, 1646$ . a) Quelle est la probabilité d'obtenir $6$ ? b) Laquelle des trois fréquences est la meilleure estimation de cette probabilité ? Pourquoi ?
Voir la correction
a) Le dé est équilibré : $P (6) = \frac{1}{6} \approx$ $0, 1667$ . b) Celle des $10000$ lancers, $0, 1646$ : d'après la loi des grands nombres, plus l'échantillon est grand, plus la fréquence se rapproche de la probabilité. ⭐ Sur $10$ lancers, obtenir $0, 1$ ou $0, 3$ n'a rien d'anormal : un petit échantillon fluctue beaucoup.
3
On lance $100$ fois une pièce équilibrée ( $p =$ $0, 5$ ). Calculer l'intervalle $[p - \frac{1}{n}; p + \frac{1}{n}]$ et dire ce qu'il signifie.
Voir la correction
$n =$ $100$ , donc $\frac{1}{100} = \frac{1}{10} =$ $0, 1$ . L'intervalle est $[0, 5 - 0, 1; 0, 5 + 0, 1] =$ $[0, 4; 0, 6]$ . Dans environ $95$ % des séries de $100$ lancers, la fréquence de pile est entre $0, 4$ et $0, 6$ , soit entre $40$ et $60$ piles. ⛔ Le piège : croire que la fréquence y est TOUJOURS. Environ une série sur vingt en sort.
4
Dans une ville, $30$ % des habitants font du vélo. On interroge $400$ habitants au hasard. Entre quelles fréquences doit se trouver, le plus souvent, la proportion de cyclistes de l'échantillon ?
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$p = 0, 3$ et $n =$ $400$ : $\frac{1}{400} = \frac{1}{20} =$ $0, 05$ . L'intervalle est $[0, 3 - 0, 05; 0, 3 + 0, 05] =$ $[0, 25; 0, 35]$ : le plus souvent, entre $25$ % et $35$ % de cyclistes, soit entre $100$ et $140$ personnes sur $400$ . ⛔ Le piège : calculer $\frac{1}{400}$ au lieu de $\frac{1}{400}$ . La largeur varie comme l'INVERSE DE LA RACINE de $n$ .
5
Léo lance $100$ fois une pièce et obtient $58$ fois pile. Ce résultat est-il compatible avec une pièce équilibrée ?
Voir la correction
Sa fréquence : $f = \frac{58}{100} =$ $0, 58$ . Pour une pièce équilibrée, l'intervalle est $[0, 4; 0, 6]$ (exercice 3). $0, 58$ est DEDANS. Le résultat est compatible avec une pièce équilibrée : rien ne permet de la soupçonner. ⭐ « Compatible » ne veut pas dire « prouvé équilibrée » : une pièce légèrement truquée aurait pu donner le même résultat.
6
Inès lance $100$ fois une pièce et obtient $67$ fois pile. Que peut-on en penser ?
Voir la correction
$f =$ $0, 67$ , et $0, 67 >$ $0, 6$ : la fréquence est HORS de l'intervalle $[0, 4; 0, 6]$ . Avec une pièce équilibrée, cela n'arrive que dans environ $5$ % des séries. On a donc de bonnes raisons de DOUTER que la pièce soit équilibrée. ⛔ Le piège : conclure « la pièce est truquée, c'est sûr ». Un résultat rare n'est pas impossible : on doute, on ne prouve pas. On pourrait relancer une série plus longue.
7
Que calcule ce programme ? Que renvoie, à peu près, l'appel « pile(1000) » ?
```
from random import random
 
def pile(n):
    p = 0
    for i in range(n):
        if random() < 0.5:
            p = p + 1
    return p / n
```
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« random() » donne un nombre au hasard entre $0$ et $1$ ; il est inférieur à $0, 5$ une fois sur deux : c'est un lancer de pièce, « pile » quand le nombre est sous $0, 5$ . La boucle fait $n$ lancers et compte les piles ; la fonction renvoie la FRÉQUENCE de pile sur $n$ lancers. « pile(1000) » renvoie une fréquence proche de $0, 5$ : le plus souvent entre $0, 5 - \frac{1}{1 000} \approx 0, 468$ et $0, 532$ . ⭐ Changer « 0.5 » en « 0.3 » simulerait une expérience de probabilité $0, 3$ .
8
Une punaise peut tomber pointe en l'air ou sur le côté. Personne ne connaît la probabilité de « pointe en l'air ». On la lance $1000$ fois : elle tombe $382$ fois pointe en l'air. a) Estimer cette probabilité. b) Comment obtenir une meilleure estimation ?
Voir la correction
a) On ne peut pas la calculer, mais la loi des grands nombres permet de l'ESTIMER par la fréquence : $\frac{382}{1 000} =$ $0, 382$ , soit environ $0, 38$ . b) En lançant la punaise beaucoup plus de fois : la fréquence se rapproche de la probabilité quand $n$ grandit. ⭐ C'est la seule façon de connaître une probabilité qu'aucun calcul ne donne : une punaise n'est pas un dé symétrique.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs étapes, comme au contrôle : calculer l'intervalle, situer la fréquence, conclure prudemment.

Rappel de cours

La largeur de l'intervalle, $\frac{2}{n}$ , diminue quand $n$ augmente : quatre fois plus d'individus pour une largeur divisée par deux.
Fréquence DANS l'intervalle : le résultat est compatible avec $p$ . Fréquence HORS de l'intervalle : on doute de $p$ (avec un risque d'environ $5$ % de se tromper).
Une simulation remplace une expérience réelle trop longue : on la programme, on la répète, on observe les fréquences.

9
Pour $p =$ $0, 5$ , calculer l'intervalle de fluctuation pour $n =$ $25$ , $n = 100$ et $n =$ $2500$ . Que remarque-t-on ?
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$n =$ $25$ : $\frac{1}{25} =$ $0, 2$ , intervalle $[0, 3; 0, 7]$ . $n =$ $100$ : $\frac{1}{10} =$ $0, 1$ , intervalle $[0, 4; 0, 6]$ . $n =$ $2500$ : $\frac{1}{50} =$ $0, 02$ , intervalle $[0, 48; 0, 52]$ . Plus l'échantillon est grand, plus l'intervalle est étroit : la fréquence fluctue moins. ⭐ De $25$ à $100$ , on multiplie $n$ par $4$ et la largeur est divisée par $2$ : la précision coûte cher.
10
Avant une élection à deux candidats, un sondage auprès de $1000$ personnes tirées au hasard donne $52$ % pour le candidat A. Le journal titre : « A va gagner ». On suppose que les deux candidats sont en réalité à égalité ( $p =$ $0, 5$ ). a) Calculer l'intervalle de fluctuation pour $n =$ $1000$ . b) Le résultat du sondage est-il compatible avec une égalité ? Le titre est-il justifié ?
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a) $\frac{1}{1 000} \approx$ $0, 032$ : l'intervalle est environ $[0, 468; 0, 532]$ . b) $0, 52$ est DANS l'intervalle : même si les candidats étaient à égalité, un sondage de $1000$ personnes donnerait souvent $52$ %. Le résultat est compatible avec une égalité, et le titre n'est pas justifié. ⭐ Les $3$ points de fluctuation, c'est ce que les instituts appellent la « marge d'erreur » : un écart de $52$ à $48$ est à l'intérieur.
11
En France, la probabilité qu'une naissance soit celle d'une fille est d'environ $0, 49$ . Ce programme simule $1000$ naissances et renvoie la fréquence des filles. Lancé trois fois, il a affiché $0, 484$ , $0, 504$ et $0, 533$ . a) Expliquer la ligne « if random() < 0.49 ». b) Ces trois résultats sont-ils dans l'intervalle de fluctuation ? Commenter.
```
from random import random
 
def filles(n):
    f = 0
    for i in range(n):
        if random() < 0.49:
            f = f + 1
    return f / n
```
Voir la correction
a) « random() » tombe sous $0, 49$ dans $49$ % des cas : c'est une naissance de fille avec la probabilité $0, 49$ . b) $\frac{1}{1 000} \approx$ $0, 032$ : l'intervalle est environ $[0, 458; 0, 522]$ . $0, 484$ et $0, 504$ y sont ; $0, 533$ en sort, de peu. Ce n'est pas une erreur du programme : environ un échantillon sur vingt sort de l'intervalle, et nous venons d'en voir un sur trois essais. Il faudrait beaucoup plus d'essais pour juger.
12
On simule quatre séries de $1000$ lancers d'un dé équilibré. Fréquences du $6$ obtenues : $0, 177$ ; $0, 153$ ; $0, 158$ ; $0, 155$ . a) Calculer l'intervalle de fluctuation autour de $p =$ $\frac{1}{6}$ . b) Les quatre fréquences y sont-elles ? Que montre cette expérience ?
Voir la correction
a) $\frac{1}{6} \approx 0, 167$ et $\frac{1}{1 000} \approx$ $0, 032$ : l'intervalle est environ $[0, 135; 0, 198]$ . b) Oui : les quatre fréquences sont entre $0, 135$ et $0, 198$ . Elles FLUCTUENT (de $0, 153$ à $0, 177$ ) mais restent toutes près de $\frac{1}{6}$ : sur $1000$ lancers, la loi des grands nombres est déjà bien visible. ⭐ Sur $10$ lancers, on aurait vu des fréquences de $0$ ou de $0, 4$ .
13
On a simulé $50$ séries de $100$ lancers d'une pièce équilibrée. Les fréquences de pile vont de $0, 41$ à $0, 64$ , et $46$ séries sur $50$ ont une fréquence dans $[0, 4; 0, 6]$ . a) Quel pourcentage des séries est dans l'intervalle ? b) Est-ce conforme à ce que dit le cours ?
Voir la correction
a) $\frac{46}{50} =$ $0, 92$ , soit $92$ % des séries. b) Le cours annonce « environ $95$ % ». $92$ % en est proche : avec seulement $50$ séries, ce pourcentage fluctue lui aussi ! Sur des milliers de séries, on s'approcherait de $95$ %. ⭐ La fluctuation touche tout ce qu'on mesure sur un échantillon, même la proportion d'échantillons « dans l'intervalle ».
14
Un joueur soupçonne un dé d'être truqué. Il le lance $600$ fois et obtient $130$ fois le $6$ . a) Calculer la fréquence du $6$ . b) Calculer l'intervalle de fluctuation pour un dé équilibré ( $p =$ $\frac{1}{6}$ , $n =$ $600$ ). c) Que peut-il conclure ?
Voir la correction
a) $f = \frac{130}{600} \approx$ $0, 217$ . b) $\frac{1}{600} \approx 0, 041$ et $\frac{1}{6} \approx$ $0, 167$ : l'intervalle est environ $[0, 126; 0, 207]$ . c) $0, 217$ est AU-DESSUS de l'intervalle : un dé équilibré donnerait rarement autant de $6$ . Le joueur a de bonnes raisons de penser que le dé favorise le $6$ . ⛔ Le piège : conclure dès $130 > 100$ (« on attendait $100$ six »). Un écart à l'attendu est normal ; c'est sa TAILLE, comparée à l'intervalle, qui compte.
15
On veut simuler une expérience où la probabilité de succès vaut $0, 3$ , avec des chiffres tirés au hasard de $0$ à $9$ : on décide que $0$ , $1$ et $2$ sont des succès. Voici $20$ chiffres tirés au hasard : 7 2 9 0 4 4 8 1 5 3 6 2 9 7 0 5 8 3 1 6. a) Pourquoi ce choix donne-t-il bien une probabilité de $0, 3$ ? b) Calculer la fréquence de succès sur ces $20$ tirages.
Voir la correction
a) Les dix chiffres sont équiprobables ; trois d'entre eux ( $0$ , $1$ , $2$ ) sont des succès : $\frac{3}{10} =$ $0, 3$ . b) Les succès : 2, 0, 1, 2, 0, 1, soit $6$ succès. Fréquence : $\frac{6}{20} =$ $0, 3$ . ⭐ Ici, la fréquence tombe pile sur la probabilité : c'est un hasard. Une autre série de $20$ chiffres aurait pu donner $0, 2$ ou $0, 45$ .
tirage chiffre succès ?
2 2 oui
4 0 oui
8 1 oui
12 2 oui
15 0 oui
19 1 oui
16
Dans une ville, il y a deux maternités : une petite, où naissent $15$ bébés par jour, et une grande, où en naissent $45$ . On suppose que la probabilité d'une fille est $0, 5$ . Laquelle des deux maternités compte le plus de jours où plus de $60$ % des bébés sont des filles ?
Voir la correction
On compare les intervalles de fluctuation autour de $0, 5$ . Petite maternité : $\frac{1}{15} \approx$ $0, 258$ , intervalle environ $[0, 24; 0, 76]$ . Grande maternité : $\frac{1}{45} \approx$ $0, 149$ , intervalle environ $[0, 35; 0, 65]$ . L'échantillon de la petite maternité fluctue bien plus : c'est ELLE qui connaîtra le plus souvent des journées extrêmes, à plus de $60$ % de filles… ou à moins de $40$ %. ⭐ C'est une question célèbre en psychologie : la plupart des gens répondent « autant l'une que l'autre », et se trompent. Un petit échantillon s'écarte plus souvent.

tirage	chiffre	succès ?
2	2	oui
4	0	oui
8	1	oui
12	2	oui
15	0	oui
19	1	oui

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Des situations réelles : on choisit p et n, on calcule l'intervalle, on conclut avec prudence.

Rappel de cours

On repère d'abord la probabilité $p$ supposée et la taille $n$ de l'échantillon.
Une fréquence estime une probabilité inconnue, d'autant mieux que $n$ est grand.
Conclure, c'est dire « compatible » ou « on doute », jamais « c'est prouvé ».

17La marge d'erreur d'un sondage
Un institut interroge $1000$ personnes au hasard : $48$ % pour B, $52$ % pour A. a) Calculer $\frac{1}{n}$ et l'exprimer en points de pourcentage : c'est l'ordre de grandeur de la « marge d'erreur ». b) Écrire, pour chaque candidat, l'intervalle « score annoncé plus ou moins la marge ». Que remarque-t-on ? c) Combien de personnes faudrait-il interroger pour une marge de $1$ point ?
Voir la correction
a) $\frac{1}{1 000} \approx$ $0, 032$ , soit environ $3$ points. b) A : de $49$ % à $55$ % ; B : de $45$ % à $51$ %. Les deux intervalles se CHEVAUCHENT (entre $49$ et $51$ %) : le sondage ne permet pas de dire qui est en tête. c) Il faut $\frac{1}{n} =$ $0, 01$ , soit $n =$ $100$ , donc $n = 10000$ personnes : dix fois plus pour une marge trois fois plus petite. ⭐ Voilà pourquoi les sondages se font presque tous sur environ $1000$ personnes : au-delà, gagner en précision coûte très cher.
18Filles et garçons à la maternité
En France, il naît environ $105$ garçons pour $100$ filles : la probabilité qu'un bébé soit un garçon est d'environ $0, 512$ . Une maternité a enregistré $400$ naissances en un an, dont $190$ garçons. a) Calculer la fréquence des garçons dans cette maternité. b) Ce résultat est-il anormal ?
Voir la correction
a) $f = \frac{190}{400} =$ $0, 475$ . b) $\frac{1}{400} =$ $0, 05$ : l'intervalle est $[0, 512 - 0, 05; 0, 512 + 0, 05] =$ $[0, 462; 0, 562]$ . $0, 475$ est dans l'intervalle : c'est une fluctuation ordinaire, sans rien d'anormal. ⭐ Une maternité qui annonce « cette année, plus de filles ! » ne découvre rien : $400$ naissances fluctuent de plusieurs points.
19Trouver π au hasard
On tire des points au hasard dans un carré de côté $1$ . La probabilité qu'un point tombe dans le quart de disque de rayon $1$ est égale à l'aire de ce quart de disque, $\frac{π}{4}$ . a) Expliquer la condition « x * x + y * y <= 1 ». b) Le programme, lancé pour $100$ , $1000$ et $10000$ points, a renvoyé $0, 77$ ; $0, 783$ ; $0, 7885$ . En déduire trois estimations de $π$ . c) Laquelle est la plus fiable ?
```
from random import random
 
def quart(n):
    d = 0
    for i in range(n):
        x = random()
        y = random()
        if x * x + y * y <= 1:
            d = d + 1
    return d / n
```
Voir la correction
a) Le point $(x; y)$ est à la distance $x^{2} + y^{2}$ de l'origine. Il est dans le quart de disque si cette distance est au plus $1$ , c'est-à-dire si $x^{2} + y^{2} ⩽$ $1$ . b) La fréquence estime $\frac{π}{4}$ , donc $π \approx$ $4 f$ : $4 \times 0, 77 =$ $3, 08$ ; $4 \times 0, 783 =$ $3, 132$ ; $4 \times 0, 7885 =$ $3, 154$ . c) Celle des $10000$ points, $3, 154$ : plus il y a de points, plus la fréquence approche la probabilité. ( $π \approx$ $3, 1416$ .) ⭐ C'est la méthode de « Monte-Carlo », du nom du casino : calculer une grandeur exacte avec du hasard.
20Combien de truites dans le lac ?
Pour estimer le nombre de truites d'un lac sans les pêcher toutes, des biologistes en capturent $200$ , les marquent, puis les relâchent. Une semaine plus tard, ils en pêchent $150$ : $12$ portent la marque. a) Calculer la fréquence des truites marquées dans la seconde pêche. b) On suppose que cette fréquence est proche de la proportion de truites marquées dans tout le lac. Estimer le nombre de truites du lac. c) Quelles conditions faut-il pour que cette méthode soit fiable ?
Voir la correction
a) $f = \frac{12}{150} =$ $0, 08$ : $8$ % des truites pêchées sont marquées. b) Si $200$ truites représentent $8$ % du lac, le lac en compte environ $\frac{200}{0 , 08} =$ $2500$ . c) Il faut que les truites marquées se soient bien mélangées aux autres, qu'elles ne soient ni plus faciles ni plus difficiles à pêcher, et que la population n'ait pas changé entre les deux pêches. Et un échantillon plus grand donnerait une estimation plus sûre. ⭐ C'est la méthode de « capture-recapture », utilisée pour compter les poissons, les oiseaux ou les papillons d'une région.
Marquées Autres Total
2e pêche 12 138 150
Lac (estimé) 200 2300 2500

	Marquées	Autres	Total
2e pêche	12	138	150
Lac (estimé)	200	2300	2500

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : échantillonnage et simulation, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. a) On divise par $20$ : $\frac{9}{20} =$ $0, 45$ ; $0, 6$ ; $0, 4$ ; $0, 55$ ; $0, 5$ . b) Chaque groupe a lancé SA série de $20$ lancers, au hasard : les résultats varient d'une série à l'autre. C'est la fluctuation d'échantillonnage. Personne ne s'est trompé. ⭐ Les fréquences se répartissent autour de $0, 5$ , la probabilité, sans jamais la « viser » exactement.
2. a) Le dé est équilibré : $P (6) = \frac{1}{6} \approx$ $0, 1667$ . b) Celle des $10000$ lancers, $0, 1646$ : d'après la loi des grands nombres, plus l'échantillon est grand, plus la fréquence se rapproche de la probabilité. ⭐ Sur $10$ lancers, obtenir $0, 1$ ou $0, 3$ n'a rien d'anormal : un petit échantillon fluctue beaucoup.
3. $n =$ $100$ , donc $\frac{1}{100} = \frac{1}{10} =$ $0, 1$ . L'intervalle est $[0, 5 - 0, 1; 0, 5 + 0, 1] =$ $[0, 4; 0, 6]$ . Dans environ $95$ % des séries de $100$ lancers, la fréquence de pile est entre $0, 4$ et $0, 6$ , soit entre $40$ et $60$ piles. ⛔ Le piège : croire que la fréquence y est TOUJOURS. Environ une série sur vingt en sort.
4. $p = 0, 3$ et $n =$ $400$ : $\frac{1}{400} = \frac{1}{20} =$ $0, 05$ . L'intervalle est $[0, 3 - 0, 05; 0, 3 + 0, 05] =$ $[0, 25; 0, 35]$ : le plus souvent, entre $25$ % et $35$ % de cyclistes, soit entre $100$ et $140$ personnes sur $400$ . ⛔ Le piège : calculer $\frac{1}{400}$ au lieu de $\frac{1}{400}$ . La largeur varie comme l'INVERSE DE LA RACINE de $n$ .
5. Sa fréquence : $f = \frac{58}{100} =$ $0, 58$ . Pour une pièce équilibrée, l'intervalle est $[0, 4; 0, 6]$ (exercice 3). $0, 58$ est DEDANS. Le résultat est compatible avec une pièce équilibrée : rien ne permet de la soupçonner. ⭐ « Compatible » ne veut pas dire « prouvé équilibrée » : une pièce légèrement truquée aurait pu donner le même résultat.
6. $f =$ $0, 67$ , et $0, 67 >$ $0, 6$ : la fréquence est HORS de l'intervalle $[0, 4; 0, 6]$ . Avec une pièce équilibrée, cela n'arrive que dans environ $5$ % des séries. On a donc de bonnes raisons de DOUTER que la pièce soit équilibrée. ⛔ Le piège : conclure « la pièce est truquée, c'est sûr ». Un résultat rare n'est pas impossible : on doute, on ne prouve pas. On pourrait relancer une série plus longue.
7. « random() » donne un nombre au hasard entre $0$ et $1$ ; il est inférieur à $0, 5$ une fois sur deux : c'est un lancer de pièce, « pile » quand le nombre est sous $0, 5$ . La boucle fait $n$ lancers et compte les piles ; la fonction renvoie la FRÉQUENCE de pile sur $n$ lancers. « pile(1000) » renvoie une fréquence proche de $0, 5$ : le plus souvent entre $0, 5 - \frac{1}{1 000} \approx 0, 468$ et $0, 532$ . ⭐ Changer « 0.5 » en « 0.3 » simulerait une expérience de probabilité $0, 3$ .
8. a) On ne peut pas la calculer, mais la loi des grands nombres permet de l'ESTIMER par la fréquence : $\frac{382}{1 000} =$ $0, 382$ , soit environ $0, 38$ . b) En lançant la punaise beaucoup plus de fois : la fréquence se rapproche de la probabilité quand $n$ grandit. ⭐ C'est la seule façon de connaître une probabilité qu'aucun calcul ne donne : une punaise n'est pas un dé symétrique.
9. $n =$ $25$ : $\frac{1}{25} =$ $0, 2$ , intervalle $[0, 3; 0, 7]$ . $n =$ $100$ : $\frac{1}{10} =$ $0, 1$ , intervalle $[0, 4; 0, 6]$ . $n =$ $2500$ : $\frac{1}{50} =$ $0, 02$ , intervalle $[0, 48; 0, 52]$ . Plus l'échantillon est grand, plus l'intervalle est étroit : la fréquence fluctue moins. ⭐ De $25$ à $100$ , on multiplie $n$ par $4$ et la largeur est divisée par $2$ : la précision coûte cher.
10. a) $\frac{1}{1 000} \approx$ $0, 032$ : l'intervalle est environ $[0, 468; 0, 532]$ . b) $0, 52$ est DANS l'intervalle : même si les candidats étaient à égalité, un sondage de $1000$ personnes donnerait souvent $52$ %. Le résultat est compatible avec une égalité, et le titre n'est pas justifié. ⭐ Les $3$ points de fluctuation, c'est ce que les instituts appellent la « marge d'erreur » : un écart de $52$ à $48$ est à l'intérieur.
11. a) « random() » tombe sous $0, 49$ dans $49$ % des cas : c'est une naissance de fille avec la probabilité $0, 49$ . b) $\frac{1}{1 000} \approx$ $0, 032$ : l'intervalle est environ $[0, 458; 0, 522]$ . $0, 484$ et $0, 504$ y sont ; $0, 533$ en sort, de peu. Ce n'est pas une erreur du programme : environ un échantillon sur vingt sort de l'intervalle, et nous venons d'en voir un sur trois essais. Il faudrait beaucoup plus d'essais pour juger.
12. a) $\frac{1}{6} \approx 0, 167$ et $\frac{1}{1 000} \approx$ $0, 032$ : l'intervalle est environ $[0, 135; 0, 198]$ . b) Oui : les quatre fréquences sont entre $0, 135$ et $0, 198$ . Elles FLUCTUENT (de $0, 153$ à $0, 177$ ) mais restent toutes près de $\frac{1}{6}$ : sur $1000$ lancers, la loi des grands nombres est déjà bien visible. ⭐ Sur $10$ lancers, on aurait vu des fréquences de $0$ ou de $0, 4$ .
13. a) $\frac{46}{50} =$ $0, 92$ , soit $92$ % des séries. b) Le cours annonce « environ $95$ % ». $92$ % en est proche : avec seulement $50$ séries, ce pourcentage fluctue lui aussi ! Sur des milliers de séries, on s'approcherait de $95$ %. ⭐ La fluctuation touche tout ce qu'on mesure sur un échantillon, même la proportion d'échantillons « dans l'intervalle ».
14. a) $f = \frac{130}{600} \approx$ $0, 217$ . b) $\frac{1}{600} \approx 0, 041$ et $\frac{1}{6} \approx$ $0, 167$ : l'intervalle est environ $[0, 126; 0, 207]$ . c) $0, 217$ est AU-DESSUS de l'intervalle : un dé équilibré donnerait rarement autant de $6$ . Le joueur a de bonnes raisons de penser que le dé favorise le $6$ . ⛔ Le piège : conclure dès $130 > 100$ (« on attendait $100$ six »). Un écart à l'attendu est normal ; c'est sa TAILLE, comparée à l'intervalle, qui compte.
15. a) Les dix chiffres sont équiprobables ; trois d'entre eux ( $0$ , $1$ , $2$ ) sont des succès : $\frac{3}{10} =$ $0, 3$ . b) Les succès : 2, 0, 1, 2, 0, 1, soit $6$ succès. Fréquence : $\frac{6}{20} =$ $0, 3$ . ⭐ Ici, la fréquence tombe pile sur la probabilité : c'est un hasard. Une autre série de $20$ chiffres aurait pu donner $0, 2$ ou $0, 45$ .
tirage chiffre succès ?
2 2 oui
4 0 oui
8 1 oui
12 2 oui
15 0 oui
19 1 oui
16. On compare les intervalles de fluctuation autour de $0, 5$ . Petite maternité : $\frac{1}{15} \approx$ $0, 258$ , intervalle environ $[0, 24; 0, 76]$ . Grande maternité : $\frac{1}{45} \approx$ $0, 149$ , intervalle environ $[0, 35; 0, 65]$ . L'échantillon de la petite maternité fluctue bien plus : c'est ELLE qui connaîtra le plus souvent des journées extrêmes, à plus de $60$ % de filles… ou à moins de $40$ %. ⭐ C'est une question célèbre en psychologie : la plupart des gens répondent « autant l'une que l'autre », et se trompent. Un petit échantillon s'écarte plus souvent.
17. La marge d'erreur d'un sondage a) $\frac{1}{1 000} \approx$ $0, 032$ , soit environ $3$ points. b) A : de $49$ % à $55$ % ; B : de $45$ % à $51$ %. Les deux intervalles se CHEVAUCHENT (entre $49$ et $51$ %) : le sondage ne permet pas de dire qui est en tête. c) Il faut $\frac{1}{n} =$ $0, 01$ , soit $n =$ $100$ , donc $n = 10000$ personnes : dix fois plus pour une marge trois fois plus petite. ⭐ Voilà pourquoi les sondages se font presque tous sur environ $1000$ personnes : au-delà, gagner en précision coûte très cher.
18. Filles et garçons à la maternité a) $f = \frac{190}{400} =$ $0, 475$ . b) $\frac{1}{400} =$ $0, 05$ : l'intervalle est $[0, 512 - 0, 05; 0, 512 + 0, 05] =$ $[0, 462; 0, 562]$ . $0, 475$ est dans l'intervalle : c'est une fluctuation ordinaire, sans rien d'anormal. ⭐ Une maternité qui annonce « cette année, plus de filles ! » ne découvre rien : $400$ naissances fluctuent de plusieurs points.
19. Trouver π au hasard a) Le point $(x; y)$ est à la distance $x^{2} + y^{2}$ de l'origine. Il est dans le quart de disque si cette distance est au plus $1$ , c'est-à-dire si $x^{2} + y^{2} ⩽$ $1$ . b) La fréquence estime $\frac{π}{4}$ , donc $π \approx$ $4 f$ : $4 \times 0, 77 =$ $3, 08$ ; $4 \times 0, 783 =$ $3, 132$ ; $4 \times 0, 7885 =$ $3, 154$ . c) Celle des $10000$ points, $3, 154$ : plus il y a de points, plus la fréquence approche la probabilité. ( $π \approx$ $3, 1416$ .) ⭐ C'est la méthode de « Monte-Carlo », du nom du casino : calculer une grandeur exacte avec du hasard.
20. Combien de truites dans le lac ? a) $f = \frac{12}{150} =$ $0, 08$ : $8$ % des truites pêchées sont marquées. b) Si $200$ truites représentent $8$ % du lac, le lac en compte environ $\frac{200}{0 , 08} =$ $2500$ . c) Il faut que les truites marquées se soient bien mélangées aux autres, qu'elles ne soient ni plus faciles ni plus difficiles à pêcher, et que la population n'ait pas changé entre les deux pêches. Et un échantillon plus grand donnerait une estimation plus sûre. ⭐ C'est la méthode de « capture-recapture », utilisée pour compter les poissons, les oiseaux ou les papillons d'une région.
Marquées Autres Total
2e pêche 12 138 150
Lac (estimé) 200 2300 2500

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : échantillonnage et simulation, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3