Équations et inéquations : 20 exercices corrigésmaths 2nde — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, du calcul seul au problème : résoudre, écrire les solutions en intervalle et les dessiner, mettre un problème en équation. Le marché de Saint-Paul, le froid au sommet du Piton des Neiges, une course à rattraper. Un rappel de cours de trois lignes avant chaque niveau. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : elle est écrite étape par étape, avec le pourquoi de chaque étape et le piège nommé.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une résolution par exercice. On fait la même opération des deux côtés, et on vérifie.

Rappel de cours

ÉQUATION : on garde l'égalité en faisant la MÊME opération des deux côtés. On regroupe les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, puis on divise.
INÉQUATION : mêmes gestes, avec une exception. Multiplier ou diviser par un nombre NÉGATIF retourne le sens : $- 2 x < 6$ donne $x >$ $- 3$ .
INTERVALLE : $x > 2$ s'écrit $] 2; + \infty [$ et $x ⩽ 2$ s'écrit $] - \infty; 2]$ . Le crochet est tourné vers le nombre s'il est compris, à l'envers sinon.

1
Résoudre. a) $3 x - 7 = 11$ b) $5 - 2 x = 13$ c) $6 x + 1 = 2 x - 11$
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On isole $x$ en faisant la même opération des deux côtés. a) On ajoute $7$ : $3 x =$ $18$ . On divise par $3$ : $x =$ $6$ . b) On retire $5$ : $- 2 x =$ $8$ . On divise par $- 2$ : $x =$ $- 4$ . c) On retire $2 x$ : $4 x + 1 =$ $- 11$ . On retire $1$ : $4 x =$ $- 12$ . Donc $x =$ $- 3$ . ⭐ On vérifie le c) : $6 \times (- 3) + 1 = - 17$ et $2 \times (- 3) - 11 =$ $- 17$ . ✓ ⛔ Le piège au b) : oublier le signe et répondre $x =$ $4$ . On divise par $- 2$ , pas par $2$ .
2
Résoudre. a) $2 (x - 3) = 5 x + 9$ b) $\frac{x}{3} + 2 = 7$ c) $\frac{x + 4}{2} = \frac{x - 1}{3}$
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a) On développe d'abord : $2 x - 6 = 5 x +$ $9$ . On retire $5 x$ : $- 3 x - 6 =$ $9$ . On ajoute $6$ : $- 3 x =$ $15$ . Donc $x =$ $- 5$ . b) On retire $2$ : $\frac{x}{3} =$ $5$ . On multiplie par $3$ : $x =$ $15$ . c) On multiplie les deux côtés par $6$ pour chasser les fractions : $3 (x + 4) = 2 (x -$ $1)$ . Donc $3 x + 12 = 2 x -$ $2$ , puis $x =$ $- 14$ . ⭐ On vérifie le c) : $\frac{- 10}{2} = - 5$ et $\frac{- 15}{3} =$ $- 5$ . ✓ ⛔ Le piège au c) : multiplier seulement le $x$ par $3$ . Tout le numérateur est multiplié.
3
a) Le nombre $- 2$ est-il solution de $3 x + 5 = x +$ $1$ ? b) Le nombre $1$ est-il solution de $2 x - 7 = 5 x -$ $4$ ? c) Résoudre l'équation du b).
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Un nombre est solution s'il rend l'égalité VRAIE : on calcule les deux côtés séparément. a) À gauche : $3 \times (- 2) + 5 =$ $- 1$ . À droite : $- 2 + 1 =$ $- 1$ . Les deux côtés sont égaux : $- 2$ est solution. b) À gauche : $2 \times 1 - 7 =$ $- 5$ . À droite : $5 \times 1 - 4 =$ $1$ . Les deux côtés diffèrent : $1$ n'est pas solution. c) On retire $5 x$ : $- 3 x - 7 =$ $- 4$ . On ajoute $7$ : $- 3 x =$ $3$ . Donc $x =$ $- 1$ . ⭐ On vérifie : $2 \times (- 1) - 7 = - 9$ et $5 \times (- 1) - 4 =$ $- 9$ . ✓
4
Résoudre, puis écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle. a) $3 x - 4 < 11$ b) $2 x + 7 ⩾ 1$
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On divise par un nombre POSITIF : le sens ne change pas. a) On ajoute $4$ : $3 x <$ $15$ . On divise par $3$ : $x <$ $5$ . Les solutions forment $] - \infty; 5 [$ . b) On retire $7$ : $2 x ⩾$ $- 6$ . On divise par $2$ : $x ⩾$ $- 3$ . Les solutions forment $[- 3; + \infty [$ . ⭐ Au a), $5$ n'est pas solution ( $3 \times$ $5 - 4 =$ $11$ , qui n'est pas plus petit que $11$ ) : le crochet est tourné vers l'extérieur.
5
Résoudre. a) $- 5 x > 20$ b) $7 - 2 x ⩽ 17$
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On divise par un nombre NÉGATIF : le sens de l'inégalité se RETOURNE. a) On divise par $- 5$ : $x <$ $- 4$ . Les solutions forment $] - \infty; - 4 [$ . b) On retire $7$ : $- 2 x ⩽$ $10$ . On divise par $- 2$ : $x ⩾$ $- 5$ . Les solutions forment $[- 5; + \infty [$ . ⭐ On vérifie le a) avec $x =$ $- 10$ , qui est plus petit que $- 4$ : $- 5 \times (- 10) =$ $50$ , qui est bien plus grand que $20$ . ✓ ⛔ Le piège : garder le sens et répondre $x >$ $- 4$ . Avec $x =$ $0$ , on aurait $0 >$ $20$ : faux.
6
a) Écrire sous forme d'intervalle : $x >$ $- 1$ ; $x ⩽$ $2, 5$ ; $- 3 < x ⩽$ $4$ . b) Le nombre $4$ appartient-il à $] - 3; 4]$ ? Et à $] - 3; 4 [$ ?
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a) $x >$ $- 1$ : $] - 1; + \infty [$ . Le $- 1$ n'est pas compris, le crochet est à l'envers. $x ⩽$ $2, 5$ : $] - \infty; 2, 5]$ . Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert. $- 3 < x ⩽$ $4$ : $] - 3; 4]$ . b) $4$ appartient à $] - 3; 4]$ , car le crochet est tourné vers $4$ . Mais $4$ n'appartient pas à $] - 3; 4 [$ . ⛔ Le piège : écrire $[- \infty$ . L'infini n'est pas un nombre qu'on atteint : son crochet est toujours ouvert.
7
« Je pense à un nombre. Je le multiplie par $4$ et je retire $6$ . Je trouve le même résultat qu'en ajoutant $9$ à mon nombre. » Quel est ce nombre ?
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On appelle $x$ le nombre pensé, et on traduit chaque phrase. « Je le multiplie par $4$ et je retire $6$ » : $4 x -$ $6$ . « En ajoutant $9$ à mon nombre » : $x +$ $9$ . L'équation : $4 x - 6 = x +$ $9$ . On retire $x$ : $3 x - 6 =$ $9$ . On ajoute $6$ : $3 x =$ $15$ . Donc $x =$ $5$ . Le nombre pensé est $5$ . Vérification : $4 \times 5 - 6 = 14$ et $5 + 9 =$ $14$ . ✓
8
a) Comparer $A = \frac{7}{9}$ et $B = 0, 78$ en étudiant le signe de $A -$ $B$ . b) Comparer $2^{10}$ et $1 0^{3}$ en étudiant leur quotient.
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a) On met au même dénominateur : $\frac{7}{9} = \frac{700}{900}$ et $0, 78 =$ $\frac{702}{900}$ . $A - B = \frac{700 - 702}{900} =$ $- \frac{2}{900}$ , qui est négatif. Donc $A <$ $B$ . b) $\frac{2 ^{10}}{1 0 ^{3}} = \frac{1 024}{1 000} =$ $1, 024$ , qui est plus grand que $1$ . Donc $2^{10} >$ $1 0^{3}$ . ⭐ La différence se compare à $0$ , le quotient se compare à $1$ (pour deux nombres positifs). ⛔ Le piège au a) : arrondir $\frac{7}{9}$ à $0, 78$ et conclure qu'ils sont égaux. $\frac{7}{9} = 0, 777 \dots$

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Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs étapes, comme au contrôle. On développe, on regroupe, puis on regarde le signe avant de diviser.

Rappel de cours

On développe d'abord, puis on regroupe les $x$ d'un côté. Au moment de diviser, on regarde le SIGNE du nombre.
Des fractions : on multiplie TOUS les termes, des deux côtés, par le dénominateur commun.
Deux inégalités à la fois, $a ⩽ 2 x + 3 <$ $b$ : on fait la même opération sur les TROIS morceaux.

9
Résoudre $3 (2 x - 1) - 4 < 2 (x +$ $5)$ . Écrire les solutions en intervalle, puis donner le plus grand entier solution.
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On développe : $6 x - 3 - 4 < 2 x +$ $10$ , soit $6 x - 7 < 2 x +$ $10$ . On retire $2 x$ : $4 x - 7 <$ $10$ . On ajoute $7$ : $4 x <$ $17$ . On divise par $4$ , positif : $x <$ $\frac{17}{4}$ , c'est-à-dire $x <$ $4, 25$ . Les solutions forment $] - \infty; \frac{17}{4} [$ . Le plus grand entier solution est $4$ . ⛔ Le piège : répondre $4, 25$ au plus grand entier. $4, 25$ n'est pas solution (crochet ouvert), et ce n'est pas un entier.
10
Résoudre $\frac{x}{2} - 1 > \frac{x}{3} +$ $1$ .
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On multiplie les DEUX côtés par $6$ , positif : le sens ne change pas. Chaque terme est multiplié. $6 \times \frac{x}{2} - 6 \times 1 > 6 \times \frac{x}{3} + 6 \times$ $1$ , soit $3 x - 6 > 2 x +$ $6$ . On retire $2 x$ : $x - 6 >$ $6$ . Donc $x >$ $12$ . Les solutions forment $] 12; + \infty [$ . ⛔ Le piège : multiplier seulement les fractions par $6$ et oublier les $1$ . On obtiendrait $3 x - 1 > 2 x +$ $1$ , donc $x >$ $2$ : faux. Avec $x =$ $3$ , on a $0, 5 >$ $2$ , ce qui est faux.
11
Résoudre $- 1 ⩽ 2 x + 3 <$ $9$ . Écrire les solutions en intervalle, puis donner tous les entiers solutions.
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On fait la même opération sur les trois morceaux. On retire $3$ : $- 4 ⩽ 2 x <$ $6$ . On divise par $2$ , positif : $- 2 ⩽ x <$ $3$ . Les solutions forment $[- 2; 3 [$ . Les entiers solutions sont $- 2$ , $- 1$ , $0$ , $1$ et $2$ . Le $3$ n'en fait pas partie : le crochet est ouvert. ⭐ On vérifie les bornes : pour $x =$ $- 2$ , $2 x + 3 =$ $- 1$ , qui est bien $⩾$ $- 1$ . Pour $x =$ $3$ , $2 x + 3 =$ $9$ , qui n'est pas $<$ $9$ .
12
Résoudre $1 - 3 (x + 2) ⩽ x +$ $3$ .
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On développe, en distribuant le $- 3$ sur les deux termes : $1 - 3 x - 6 ⩽ x +$ $3$ , soit $- 3 x - 5 ⩽ x +$ $3$ . On retire $x$ : $- 4 x - 5 ⩽$ $3$ . On ajoute $5$ : $- 4 x ⩽$ $8$ . On divise par $- 4$ , NÉGATIF : le sens se retourne. $x ⩾$ $- 2$ . Les solutions forment $[- 2; + \infty [$ . ⛔ Deux pièges se cumulent ici : écrire $- 3 x + 6$ en développant, et garder le sens en divisant par $- 4$ .
13
Résoudre, et interpréter le résultat. a) $3 (x + 2) = 3 x + 5$ b) $2 (x - 1) + 4 = 2 x + 2$
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a) On développe : $3 x + 6 = 3 x +$ $5$ . On retire $3 x$ : $6 =$ $5$ , ce qui est FAUX. L'égalité est fausse quel que soit $x$ : l'équation n'a AUCUNE solution. b) On développe : $2 x - 2 + 4 = 2 x +$ $2$ , soit $2 x + 2 = 2 x +$ $2$ . On retire $2 x$ : $2 =$ $2$ , ce qui est toujours VRAI. TOUS les nombres sont solutions. ⭐ Quand les $x$ disparaissent, il reste une phrase vraie ou fausse : c'est elle qui donne la réponse.
14
a) Comparer $A = (x + 3)^{2}$ et $B = x (x +$ $6)$ , pour tout nombre $x$ , en étudiant $A -$ $B$ . b) Comparer $3^{20}$ et $9^{9}$ en étudiant leur quotient.
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a) On développe : $A = x^{2} + 6 x + 9$ et $B = x^{2} +$ $6 x$ . $A - B = x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x =$ $9$ , qui est positif. Donc $A >$ $B$ , pour tout nombre $x$ . b) On écrit $9^{9}$ avec la base $3$ : $9^{9} = (3^{2})^{9} =$ $3^{18}$ . $\frac{3 ^{20}}{3 ^{18}} = 3^{2} =$ $9$ , qui est plus grand que $1$ . Donc $3^{20} >$ $9^{9}$ . ⭐ La calculatrice aurait du mal ; le quotient règle la question en une ligne.
15
Au marché de Saint-Paul, $3$ kg de letchis et $2$ ananas coûtent $19$ €. Un ananas coûte $2$ € de plus qu'un kilo de letchis. Quel est le prix d'un kilo de letchis ? Et d'un ananas ?
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On appelle $x$ le prix d'un kilo de letchis, en euros. Un ananas coûte alors $x +$ $2$ . L'équation : $3 x + 2 (x + 2) =$ $19$ . On développe : $3 x + 2 x + 4 =$ $19$ , soit $5 x + 4 =$ $19$ . Donc $5 x = 15$ et $x =$ $3$ . Un kilo de letchis coûte $3$ € et un ananas $5$ €. Vérification : $3 \times 3 + 2 \times 5 = 9 + 10 =$ $19$ . ✓ ⛔ Le piège : écrire $2 x + 2$ pour les deux ananas. Ce sont DEUX ananas à $x + 2$ chacun : $2 (x +$ $2)$ .
16
Au cinéma, deux tarifs. • Tarif A : $9$ € la place. • Tarif B : une carte à $30$ € par an, puis $6$ € la place. À partir de combien de places par an le tarif B est-il moins cher ?
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On appelle $x$ le nombre de places. Tarif A : $9 x$ . Tarif B : $30 +$ $6 x$ . On cherche quand B est moins cher : $30 + 6 x <$ $9 x$ . On retire $6 x$ : $30 <$ $3 x$ . On divise par $3$ : $x >$ $10$ . Le tarif B est moins cher à partir de $11$ places par an. ⭐ À $10$ places, les deux tarifs coûtent pareil : $9 \times 10 = 90$ € et $30 + 60 = 90$ €. ⛔ Le piège : répondre « à partir de $10$ ». L'inégalité est stricte, et on compte des places entières.

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Des situations complètes. On nomme l'inconnue, on écrit l'équation ou l'inéquation, et on conclut par une phrase.

Rappel de cours

On nomme l'inconnue avec son unité, on écrit l'équation ou l'inéquation, on la résout, et on répond à la QUESTION posée.
Une réponse se vérifie dans l'énoncé, pas seulement dans l'équation.

17Froid au sommet
À Cilaos, à $1200$ m d'altitude, il fait $20$ °C. La température baisse d'environ $0, 6$ °C tous les $100$ m. À l'altitude $h$ (en m), elle vaut donc $T = 20 - 0, 006 (h -$ $1200)$ . a) Quelle température fait-il au sommet du Piton des Neiges, à $3070$ m ? b) À quelle altitude fait-il $11$ °C ? c) Sur le chemin du sommet, à partir de quelle altitude fait-il moins de $11$ °C ?
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a) $T = 20 - 0, 006 \times 1870 = 20 - 11, 22 = 8, 78$ °C. Il fait un peu moins de $9$ °C au sommet. b) On résout $20 - 0, 006 (h - 1200) =$ $11$ . On retire $20$ : $- 0, 006 (h - 1200) =$ $- 9$ . On divise par $- 0, 006$ : $h - 1200 =$ $1500$ , donc $h = 2700$ m. c) $T < 11$ donne $- 0, 006 (h - 1200) <$ $- 9$ . On divise par $- 0, 006$ , négatif : le sens se retourne. $h - 1200 >$ $1500$ , donc $h >$ $2700$ . Il fait moins de $11$ °C au-dessus de $2700$ m, jusqu'au sommet : $h$ est dans $] 2700; 3070]$ . ⭐ Plus on monte, plus il fait froid : c'est pour cela que le sens s'est retourné.
18Le rectangle ou le carré ?
Soit $x >$ $1$ . Un carré a pour côté $x$ cm. Un rectangle mesure $x + 5$ cm sur $x - 1$ cm. a) Exprimer l'aire du rectangle, sous forme développée. b) Calculer la différence entre l'aire du rectangle et celle du carré. c) Pour quelles valeurs de $x$ le rectangle a-t-il la plus grande aire ?
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a) $(x + 5) (x - 1) = x^{2} - x + 5 x - 5 = x^{2} + 4 x -$ $5$ . b) On retire l'aire du carré, $x^{2}$ : $x^{2} + 4 x - 5 - x^{2} = 4 x -$ $5$ . c) Le rectangle est plus grand quand la différence est positive : $4 x - 5 >$ $0$ , donc $4 x > 5$ et $x >$ $\frac{5}{4}$ , soit $x >$ $1, 25$ . Pour $x =$ $1, 25$ , les deux aires sont égales ; en dessous, c'est le carré qui l'emporte. ⭐ Vérification avec $x =$ $2$ : le rectangle fait $7 \times 1 = 7$ cm² et le carré $4$ cm². ✓
19La note qu'il faut
Léo a eu $8$ , $12$ et $11$ à trois devoirs de coefficient $1$ . Le dernier devoir du trimestre compte double (coefficient $2$ ). a) On appelle $x$ sa note au dernier devoir. Exprimer sa moyenne en fonction de $x$ . b) Quelle note doit-il obtenir pour avoir au moins $12$ de moyenne ? c) Peut-il encore atteindre $15$ de moyenne ?
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a) On additionne les notes, la dernière comptée deux fois, et on divise par la somme des coefficients, $1 + 1 + 1 + 2 =$ $5$ : $\frac{8 + 12 + 11 + 2 x}{5} =$ $\frac{31 + 2 x}{5}$ . b) On résout $\frac{31 + 2 x}{5} ⩾$ $12$ . On multiplie par $5$ : $31 + 2 x ⩾$ $60$ . Donc $2 x ⩾ 29$ et $x ⩾$ $14, 5$ . Il doit avoir au moins $14, 5$ au dernier devoir. c) $\frac{31 + 2 x}{5} ⩾ 15$ donne $31 + 2 x ⩾$ $75$ , donc $x ⩾$ $22$ . C'est impossible : la note est au plus $20$ . ⛔ Le piège au a) : diviser par $4$ , le nombre de devoirs. On divise par la somme des coefficients.
20La course à rattraper
Sur une course de $10$ km, Tom part avec $2$ km d'avance et court à $9$ km/h. Léa part de la ligne de départ, en même temps, à $12$ km/h. Au bout de $t$ heures, Léa a parcouru $12 t$ km et Tom se trouve à $2 + 9 t$ km du départ. a) Au bout de combien de temps Léa rattrape-t-elle Tom ? À quel kilomètre ? b) Qui franchit la ligne d'arrivée en premier ? c) Quelle avance faudrait-il donner à Tom pour qu'il gagne ?
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a) On résout $12 t = 2 +$ $9 t$ : $3 t =$ $2$ , donc $t = \frac{2}{3}$ h, soit $40$ min. Léa a alors couru $12 \times \frac{2}{3} = 8$ km. b) Léa met $\frac{10}{12}$ h, soit $50$ min. Tom doit courir $8$ km : $\frac{8}{9}$ h, soit $53$ min $20$ s. Léa gagne. c) Avec une avance de $d$ km, Tom court $10 - d$ km en $\frac{10 - d}{9}$ h. Il gagne si $\frac{10 - d}{9} <$ $\frac{10}{12}$ . On multiplie par $9$ : $10 - d <$ $7, 5$ , donc $- d < - 2, 5$ et $d >$ $2, 5$ . Il faudrait donner à Tom plus de $2, 5$ km d'avance. ⭐ Léa rattrape Tom au kilomètre $8$ , avant l'arrivée : c'est pour cela qu'elle gagne.

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Corrigés : équations et inéquations, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. On isole $x$ en faisant la même opération des deux côtés. a) On ajoute $7$ : $3 x =$ $18$ . On divise par $3$ : $x =$ $6$ . b) On retire $5$ : $- 2 x =$ $8$ . On divise par $- 2$ : $x =$ $- 4$ . c) On retire $2 x$ : $4 x + 1 =$ $- 11$ . On retire $1$ : $4 x =$ $- 12$ . Donc $x =$ $- 3$ . ⭐ On vérifie le c) : $6 \times (- 3) + 1 = - 17$ et $2 \times (- 3) - 11 =$ $- 17$ . ✓ ⛔ Le piège au b) : oublier le signe et répondre $x =$ $4$ . On divise par $- 2$ , pas par $2$ .
2. a) On développe d'abord : $2 x - 6 = 5 x +$ $9$ . On retire $5 x$ : $- 3 x - 6 =$ $9$ . On ajoute $6$ : $- 3 x =$ $15$ . Donc $x =$ $- 5$ . b) On retire $2$ : $\frac{x}{3} =$ $5$ . On multiplie par $3$ : $x =$ $15$ . c) On multiplie les deux côtés par $6$ pour chasser les fractions : $3 (x + 4) = 2 (x -$ $1)$ . Donc $3 x + 12 = 2 x -$ $2$ , puis $x =$ $- 14$ . ⭐ On vérifie le c) : $\frac{- 10}{2} = - 5$ et $\frac{- 15}{3} =$ $- 5$ . ✓ ⛔ Le piège au c) : multiplier seulement le $x$ par $3$ . Tout le numérateur est multiplié.
3. Un nombre est solution s'il rend l'égalité VRAIE : on calcule les deux côtés séparément. a) À gauche : $3 \times (- 2) + 5 =$ $- 1$ . À droite : $- 2 + 1 =$ $- 1$ . Les deux côtés sont égaux : $- 2$ est solution. b) À gauche : $2 \times 1 - 7 =$ $- 5$ . À droite : $5 \times 1 - 4 =$ $1$ . Les deux côtés diffèrent : $1$ n'est pas solution. c) On retire $5 x$ : $- 3 x - 7 =$ $- 4$ . On ajoute $7$ : $- 3 x =$ $3$ . Donc $x =$ $- 1$ . ⭐ On vérifie : $2 \times (- 1) - 7 = - 9$ et $5 \times (- 1) - 4 =$ $- 9$ . ✓
4. On divise par un nombre POSITIF : le sens ne change pas. a) On ajoute $4$ : $3 x <$ $15$ . On divise par $3$ : $x <$ $5$ . Les solutions forment $] - \infty; 5 [$ . b) On retire $7$ : $2 x ⩾$ $- 6$ . On divise par $2$ : $x ⩾$ $- 3$ . Les solutions forment $[- 3; + \infty [$ . ⭐ Au a), $5$ n'est pas solution ( $3 \times$ $5 - 4 =$ $11$ , qui n'est pas plus petit que $11$ ) : le crochet est tourné vers l'extérieur.
5. On divise par un nombre NÉGATIF : le sens de l'inégalité se RETOURNE. a) On divise par $- 5$ : $x <$ $- 4$ . Les solutions forment $] - \infty; - 4 [$ . b) On retire $7$ : $- 2 x ⩽$ $10$ . On divise par $- 2$ : $x ⩾$ $- 5$ . Les solutions forment $[- 5; + \infty [$ . ⭐ On vérifie le a) avec $x =$ $- 10$ , qui est plus petit que $- 4$ : $- 5 \times (- 10) =$ $50$ , qui est bien plus grand que $20$ . ✓ ⛔ Le piège : garder le sens et répondre $x >$ $- 4$ . Avec $x =$ $0$ , on aurait $0 >$ $20$ : faux.
6. a) $x >$ $- 1$ : $] - 1; + \infty [$ . Le $- 1$ n'est pas compris, le crochet est à l'envers. $x ⩽$ $2, 5$ : $] - \infty; 2, 5]$ . Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert. $- 3 < x ⩽$ $4$ : $] - 3; 4]$ . b) $4$ appartient à $] - 3; 4]$ , car le crochet est tourné vers $4$ . Mais $4$ n'appartient pas à $] - 3; 4 [$ . ⛔ Le piège : écrire $[- \infty$ . L'infini n'est pas un nombre qu'on atteint : son crochet est toujours ouvert.
7. On appelle $x$ le nombre pensé, et on traduit chaque phrase. « Je le multiplie par $4$ et je retire $6$ » : $4 x -$ $6$ . « En ajoutant $9$ à mon nombre » : $x +$ $9$ . L'équation : $4 x - 6 = x +$ $9$ . On retire $x$ : $3 x - 6 =$ $9$ . On ajoute $6$ : $3 x =$ $15$ . Donc $x =$ $5$ . Le nombre pensé est $5$ . Vérification : $4 \times 5 - 6 = 14$ et $5 + 9 =$ $14$ . ✓
8. a) On met au même dénominateur : $\frac{7}{9} = \frac{700}{900}$ et $0, 78 =$ $\frac{702}{900}$ . $A - B = \frac{700 - 702}{900} =$ $- \frac{2}{900}$ , qui est négatif. Donc $A <$ $B$ . b) $\frac{2 ^{10}}{1 0 ^{3}} = \frac{1 024}{1 000} =$ $1, 024$ , qui est plus grand que $1$ . Donc $2^{10} >$ $1 0^{3}$ . ⭐ La différence se compare à $0$ , le quotient se compare à $1$ (pour deux nombres positifs). ⛔ Le piège au a) : arrondir $\frac{7}{9}$ à $0, 78$ et conclure qu'ils sont égaux. $\frac{7}{9} = 0, 777 \dots$
9. On développe : $6 x - 3 - 4 < 2 x +$ $10$ , soit $6 x - 7 < 2 x +$ $10$ . On retire $2 x$ : $4 x - 7 <$ $10$ . On ajoute $7$ : $4 x <$ $17$ . On divise par $4$ , positif : $x <$ $\frac{17}{4}$ , c'est-à-dire $x <$ $4, 25$ . Les solutions forment $] - \infty; \frac{17}{4} [$ . Le plus grand entier solution est $4$ . ⛔ Le piège : répondre $4, 25$ au plus grand entier. $4, 25$ n'est pas solution (crochet ouvert), et ce n'est pas un entier.
10. On multiplie les DEUX côtés par $6$ , positif : le sens ne change pas. Chaque terme est multiplié. $6 \times \frac{x}{2} - 6 \times 1 > 6 \times \frac{x}{3} + 6 \times$ $1$ , soit $3 x - 6 > 2 x +$ $6$ . On retire $2 x$ : $x - 6 >$ $6$ . Donc $x >$ $12$ . Les solutions forment $] 12; + \infty [$ . ⛔ Le piège : multiplier seulement les fractions par $6$ et oublier les $1$ . On obtiendrait $3 x - 1 > 2 x +$ $1$ , donc $x >$ $2$ : faux. Avec $x =$ $3$ , on a $0, 5 >$ $2$ , ce qui est faux.
11. On fait la même opération sur les trois morceaux. On retire $3$ : $- 4 ⩽ 2 x <$ $6$ . On divise par $2$ , positif : $- 2 ⩽ x <$ $3$ . Les solutions forment $[- 2; 3 [$ . Les entiers solutions sont $- 2$ , $- 1$ , $0$ , $1$ et $2$ . Le $3$ n'en fait pas partie : le crochet est ouvert. ⭐ On vérifie les bornes : pour $x =$ $- 2$ , $2 x + 3 =$ $- 1$ , qui est bien $⩾$ $- 1$ . Pour $x =$ $3$ , $2 x + 3 =$ $9$ , qui n'est pas $<$ $9$ .
12. On développe, en distribuant le $- 3$ sur les deux termes : $1 - 3 x - 6 ⩽ x +$ $3$ , soit $- 3 x - 5 ⩽ x +$ $3$ . On retire $x$ : $- 4 x - 5 ⩽$ $3$ . On ajoute $5$ : $- 4 x ⩽$ $8$ . On divise par $- 4$ , NÉGATIF : le sens se retourne. $x ⩾$ $- 2$ . Les solutions forment $[- 2; + \infty [$ . ⛔ Deux pièges se cumulent ici : écrire $- 3 x + 6$ en développant, et garder le sens en divisant par $- 4$ .
13. a) On développe : $3 x + 6 = 3 x +$ $5$ . On retire $3 x$ : $6 =$ $5$ , ce qui est FAUX. L'égalité est fausse quel que soit $x$ : l'équation n'a AUCUNE solution. b) On développe : $2 x - 2 + 4 = 2 x +$ $2$ , soit $2 x + 2 = 2 x +$ $2$ . On retire $2 x$ : $2 =$ $2$ , ce qui est toujours VRAI. TOUS les nombres sont solutions. ⭐ Quand les $x$ disparaissent, il reste une phrase vraie ou fausse : c'est elle qui donne la réponse.
14. a) On développe : $A = x^{2} + 6 x + 9$ et $B = x^{2} +$ $6 x$ . $A - B = x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x =$ $9$ , qui est positif. Donc $A >$ $B$ , pour tout nombre $x$ . b) On écrit $9^{9}$ avec la base $3$ : $9^{9} = (3^{2})^{9} =$ $3^{18}$ . $\frac{3 ^{20}}{3 ^{18}} = 3^{2} =$ $9$ , qui est plus grand que $1$ . Donc $3^{20} >$ $9^{9}$ . ⭐ La calculatrice aurait du mal ; le quotient règle la question en une ligne.
15. On appelle $x$ le prix d'un kilo de letchis, en euros. Un ananas coûte alors $x +$ $2$ . L'équation : $3 x + 2 (x + 2) =$ $19$ . On développe : $3 x + 2 x + 4 =$ $19$ , soit $5 x + 4 =$ $19$ . Donc $5 x = 15$ et $x =$ $3$ . Un kilo de letchis coûte $3$ € et un ananas $5$ €. Vérification : $3 \times 3 + 2 \times 5 = 9 + 10 =$ $19$ . ✓ ⛔ Le piège : écrire $2 x + 2$ pour les deux ananas. Ce sont DEUX ananas à $x + 2$ chacun : $2 (x +$ $2)$ .
16. On appelle $x$ le nombre de places. Tarif A : $9 x$ . Tarif B : $30 +$ $6 x$ . On cherche quand B est moins cher : $30 + 6 x <$ $9 x$ . On retire $6 x$ : $30 <$ $3 x$ . On divise par $3$ : $x >$ $10$ . Le tarif B est moins cher à partir de $11$ places par an. ⭐ À $10$ places, les deux tarifs coûtent pareil : $9 \times 10 = 90$ € et $30 + 60 = 90$ €. ⛔ Le piège : répondre « à partir de $10$ ». L'inégalité est stricte, et on compte des places entières.
17. Froid au sommet a) $T = 20 - 0, 006 \times 1870 = 20 - 11, 22 = 8, 78$ °C. Il fait un peu moins de $9$ °C au sommet. b) On résout $20 - 0, 006 (h - 1200) =$ $11$ . On retire $20$ : $- 0, 006 (h - 1200) =$ $- 9$ . On divise par $- 0, 006$ : $h - 1200 =$ $1500$ , donc $h = 2700$ m. c) $T < 11$ donne $- 0, 006 (h - 1200) <$ $- 9$ . On divise par $- 0, 006$ , négatif : le sens se retourne. $h - 1200 >$ $1500$ , donc $h >$ $2700$ . Il fait moins de $11$ °C au-dessus de $2700$ m, jusqu'au sommet : $h$ est dans $] 2700; 3070]$ . ⭐ Plus on monte, plus il fait froid : c'est pour cela que le sens s'est retourné.
18. Le rectangle ou le carré ? a) $(x + 5) (x - 1) = x^{2} - x + 5 x - 5 = x^{2} + 4 x -$ $5$ . b) On retire l'aire du carré, $x^{2}$ : $x^{2} + 4 x - 5 - x^{2} = 4 x -$ $5$ . c) Le rectangle est plus grand quand la différence est positive : $4 x - 5 >$ $0$ , donc $4 x > 5$ et $x >$ $\frac{5}{4}$ , soit $x >$ $1, 25$ . Pour $x =$ $1, 25$ , les deux aires sont égales ; en dessous, c'est le carré qui l'emporte. ⭐ Vérification avec $x =$ $2$ : le rectangle fait $7 \times 1 = 7$ cm² et le carré $4$ cm². ✓
19. La note qu'il faut a) On additionne les notes, la dernière comptée deux fois, et on divise par la somme des coefficients, $1 + 1 + 1 + 2 =$ $5$ : $\frac{8 + 12 + 11 + 2 x}{5} =$ $\frac{31 + 2 x}{5}$ . b) On résout $\frac{31 + 2 x}{5} ⩾$ $12$ . On multiplie par $5$ : $31 + 2 x ⩾$ $60$ . Donc $2 x ⩾ 29$ et $x ⩾$ $14, 5$ . Il doit avoir au moins $14, 5$ au dernier devoir. c) $\frac{31 + 2 x}{5} ⩾ 15$ donne $31 + 2 x ⩾$ $75$ , donc $x ⩾$ $22$ . C'est impossible : la note est au plus $20$ . ⛔ Le piège au a) : diviser par $4$ , le nombre de devoirs. On divise par la somme des coefficients.
20. La course à rattraper a) On résout $12 t = 2 +$ $9 t$ : $3 t =$ $2$ , donc $t = \frac{2}{3}$ h, soit $40$ min. Léa a alors couru $12 \times \frac{2}{3} = 8$ km. b) Léa met $\frac{10}{12}$ h, soit $50$ min. Tom doit courir $8$ km : $\frac{8}{9}$ h, soit $53$ min $20$ s. Léa gagne. c) Avec une avance de $d$ km, Tom court $10 - d$ km en $\frac{10 - d}{9}$ h. Il gagne si $\frac{10 - d}{9} <$ $\frac{10}{12}$ . On multiplie par $9$ : $10 - d <$ $7, 5$ , donc $- d < - 2, 5$ et $d >$ $2, 5$ . Il faudrait donner à Tom plus de $2, 5$ km d'avance. ⭐ Léa rattrape Tom au kilomètre $8$ , avant l'arrivée : c'est pour cela qu'elle gagne.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : équations et inéquations, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3