Image, antécédent et courbe d'une fonction : 20 exercices corrigésmaths 2nde — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : image, antécédent et courbe d'une fonction, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) L'énoncé dit $f(0)=$$-1$ : l'image de $0$ est $-1$. b) $f(-2)=5$ et $f(3)=$$5$ : $-2$ et $3$ sont deux antécédents de $5$. c) $A(3;5)$ est sur la courbe, car $f(3)=$$5$. Pour $B(5;3)$, il faudrait $f(5)=$$3$ : l'énoncé ne dit rien de $f(5)$, on ne peut pas conclure. d) Non : $0$ a déjà une image, $-1$, et une image est UNIQUE. ⛔ Le piège au c) : lire $B(5;3)$ comme $A(3;5)$. L'abscisse vient toujours en premier.

   x	−2	0	3
   f(x)	5	−1	5

2. 2. On remplace $x$ par le nombre PARTOUT, avec des parenthèses autour des nombres négatifs. a) $f(0)=0^2-4\times 0+1=$$1$. b) $f(-2)=(-2{)}^2-4\times (-2)+1=4+8+1=$$13$. c) $f(5)=5^2-4\times 5+1=25-20+1=$$6$. ⛔ Les deux pièges du b) : $(-2{)}^2$ vaut $4$ et non $-4$, et $-4\times (-2)$ vaut $+8$.

   x	−2	0	5
   f(x)	13	1	6

3. 3. a) On calcule d'abord la parenthèse, puis le carré, puis on multiplie par $3$. $g(4)=3\times (4-2{)}^2-5=3\times 4-5=$$7$. $g(0)=3\times (0-2{)}^2-5=3\times 4-5=$$7$. $g(2)=3\times 0^2-5=$$-5$. b) $4$ et $0$ ont la même image, $7$ : le nombre $7$ a au moins deux antécédents, $4$ et $0$. ⛔ Le piège : calculer $(3\times 2{)}^2=$$36$. Le carré ne porte que sur la parenthèse ; le $3$ multiplie APRÈS.
4. 4. On pose l'ÉQUATION $f(x)=$$k$, et on la résout. a) $5x-8=12$ donne $5x=$$20$, donc $x=$$4$. Vérification : $5\times 4-8=$$12$. ✓ b) $5x-8=-3$ donne $5x=$$5$, donc $x=$$1$. c) $5x-8=0$ donne $5x=$$8$, donc $x=\frac{8}{5}=$$1,6$. ⛔ Le piège : calculer $f(12)=$$52$. On ne cherche pas l'image de $12$, on cherche le nombre dont l'image est $12$.

   x	1	1,6	4
   f(x)	−3	0	12

5. 5. On résout $g(x)=k$ en isolant $x^2$. a) $x^2-3=1$ donne $x^2=$$4$ : $x=2$ ou $x=$$-2$. DEUX antécédents. b) $x^2-3=-3$ donne $x^2=$$0$ : $x=$$0$. UN seul antécédent. c) $x^2-3=-5$ donne $x^2=$$-2$. Un carré n'est jamais négatif : AUCUN antécédent. ⭐ Deux, un, aucun : un antécédent n'est pas unique, et il peut ne pas exister. Sur la courbe, ce sont trois horizontales. ⛔ Le piège au a) : oublier $-2$. $(-2{)}^2=4$ aussi.
6. 6. On cherche les $x$ INTERDITS : ceux qui annulent un dénominateur, ceux qui rendent négatif ce qui est sous une racine. a) $x+5=0$ pour $x=$$-5$. Le domaine est $\mathbb{R}\setminus$$\{-5\}$. b) Il faut $x-3⩾$$0$, soit $x⩾$$3$. Le domaine est $[3;+\infty [$. c) $2x-6=0$ pour $x=$$3$. Le domaine est $\mathbb{R}\setminus$$\{3\}$. ⭐ Au b), $\sqrt{0}=0$ existe : $3$ est compris, le crochet est fermé. ⛔ Le piège au c) : interdire $x=$$-1$. Le numérateur PEUT être nul, $h(-1)=$$0$ ; seul le dénominateur ne le peut pas.
7. 7. a) $f(-3)=9-4=$$5$, $f(-2)=4-4=$$0$, $f(-1)=1-4=$$-3$, $f(0)=$$-4$. Puis, de l'autre côté, $f(1)=$$-3$, $f(2)=0$ et $f(3)=$$5$. b) Chaque colonne donne UN point : $(-3;5)$, $(-2;0)$, et ainsi de suite. On les relie par une courbe arrondie, pas par des segments : c'est une parabole. c) $0$ apparaît sous $-2$ et sous $2$ : ce sont ses antécédents. $-3$ apparaît sous $-1$ et sous $1$. ⭐ Un nombre et son opposé ont la même image, car $(-x{)}^2=$$x^2$ : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

   x	−3	−2	−1	0	1	2	3
   f(x)	5	0	−3	−4	−3	0	5
8. 8. a) On part de $2$ sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe, on lit l'ordonnée : $f(2)=$$3$. b) On trace l'horizontale $y=$$3$. Elle coupe la courbe en deux points, d'abscisses $0$ et $2$ : les solutions sont $x=0$ et $x=$$2$. c) L'horizontale $y=4$ touche la courbe en un seul point, son sommet, d'abscisse $1$ : une seule solution, $x=$$1$. d) L'horizontale $y=5$ passe au-dessus de la courbe : AUCUNE solution. ⛔ Le piège au b) : répondre $3$. Résoudre, c'est lire des ABSCISSES ; le $3$ est dans la question.
9. 9. a) $h(-1)=(-2{)}^2-4=0$ et $h(0)=(-1{)}^2-4=$$-3$. b) $h(x)=x^2-2x+1-4=x^2-2x-$$3$. c) On part de la forme développée : $x^2-2x-3=-3$ donne $x^2-2x=$$0$, soit $x(x-2)=$$0$. Un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est : $x=0$ ou $x=$$2$. Deux antécédents, $0$ et $2$. d) Ici, c'est la forme de l'énoncé qui aide : $(x-1{)}^2-4=-4$ donne $(x-1{)}^2=$$0$, donc $x=$$1$. Un seul antécédent. ⭐ On choisit la forme selon la question : développée au c), avec le carré au d). ⛔ Le piège au c) : diviser par $x$, et perdre la solution $x=$$0$.
10. 10. a) Un point est sur la courbe si son ordonnée est l'image de son abscisse. $g(-1)=1+3+2=$$6$ : $A$ est sur ${\mathcal{C}}_g$. $g(2)=4-6+2=$$0$, et non $1$ : $B$ n'est pas sur ${\mathcal{C}}_g$. $g(4)=16-12+2=$$6$ : $C$ est sur ${\mathcal{C}}_g$. b) $(x-1)(x-2)=x^2-2x-x+2=x^2-3x+$$2$. ✓ c) La courbe coupe l'axe des abscisses là où $g(x)=$$0$, soit $(x-1)(x-2)=$$0$ : $x=1$ ou $x=$$2$. Les points sont $(1;0)$ et $(2;0)$. ⭐ $A$ et $C$ ont la même ordonnée : $6$ a deux antécédents, $-1$ et $4$.
11. 11. a) Sous la racine, il faut $6-2x⩾$$0$, soit $-2x⩾$$-6$. On divise par $-2$, négatif : le sens se retourne, $x⩽$$3$. Le domaine est $]-\infty ;3]$. b) Le dénominateur s'annule quand $x^2=$$9$, c'est-à-dire pour $x=3$ ou $x=$$-3$. Le domaine est $\mathbb{R}\setminus$$\{-3;3\}$. c) Deux conditions à la fois : $x⩾0$ pour la racine, et $x\ne 4$ pour le dénominateur. Le domaine est $[0;4[\cup ]4;+\infty [$. ⛔ Le piège au b) : n'interdire que $3$. $(-3{)}^2=9$ aussi.
12. 12. a) L'horizontale $y=1$ coupe la courbe aux points d'abscisses $-1$ et $3$ : $x=-1$ ou $x=$$3$. b) On garde les $x$ dont le point de la courbe est SOUS l'horizontale, ou sur elle : $[-1;3]$. Crochets fermés, car l'égalité est permise. c) Cette fois, le point doit être strictement AU-DESSUS : $[-2;-1[\cup ]3;4]$. d) Le point le plus bas de la courbe est à l'ordonnée $-3$ : l'horizontale $y=-4$ ne la rencontre pas. AUCUNE solution. ⭐ Les solutions du b) et du c) se partagent tout le domaine : chaque $x$ est dans l'un OU dans l'autre. ⛔ Le piège au c) : écrire $]-\infty ;-1[$. La fonction n'est définie que sur $[-2;4]$ : les solutions commencent à $-2$.
13. 13. a) Les deux courbes se coupent aux points d'abscisses $-1$ et $2$ : $x=-1$ ou $x=$$2$. b) La parabole est SOUS la droite entre ces deux points : $]-1;2[$. Crochets ouverts, car l'inégalité est stricte. c) Ailleurs, la parabole est au-dessus de la droite, ou la touche : $[-2;-1]\cup$$[2;3]$. d) $f(x)-g(x)=x^2-1-x-1=x^2-x-$$2$. Et $(x-2)(x+1)=x^2+x-2x-2=x^2-x-$$2$. ✓ Le produit est nul pour $x=2$ ou $x=$$-1$ : ce sont bien les abscisses lues au a). ⛔ Le piège au d) : écrire $x^2-1-x+$$1$. Le moins porte sur TOUTE l'expression de $g$ : $-(x+1)=-x-$$1$.
14. 14. a) $f(4)=$$-1$. b) L'image de $-3$ est $0$ : $g(-3)=$$0$. c) L'image de $2$ par $h$ est $5$ : $h(2)=$$5$. d) Le a) donne $f(4)=$$-1$, soit $4a+3=$$-1$. Donc $4a=-4$ et $a=$$-1$ : $f(x)=-x+$$3$. ⭐ On vérifie le d) : $f(4)=-4+3=$$-1$. ✓ ⛔ Le piège au b) : écrire $g(0)=$$-3$. L'antécédent est ce qu'on met DANS la parenthèse.
15. 15. a) $f(-1)=2\times 1+3-5=$$0$. b) $f\left(\frac{1}{2}\right)=2\times \frac{1}{4}-\frac{3}{2}-5=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}-5=$$-6$. c) $f(\sqrt{2})=2\times 2-3\sqrt{2}-5=-1-$$3\sqrt{2}$. d) $f\left(\frac{5}{2}\right)=2\times \frac{25}{4}-\frac{15}{2}-5=\frac{25}{2}-\frac{15}{2}-5=$$0$. Avec le a) : $-1$ et $\frac{5}{2}$ sont deux antécédents de $0$. ⭐ Une valeur EXACTE garde $\sqrt{2}$. Écrire $-5,24$ donnerait une valeur approchée. ⛔ Le piège au c) : $(\sqrt{2}{)}^2=$$2$, donc $2\times 2=$$4$. Et $-1-3\sqrt{2}$ ne se réduit pas : un nombre et un multiple de $\sqrt{2}$ ne s'additionnent pas.
16. 16. a) Chaque colonne donne un point : $(0;3)$, $(1;1)$, $(2;0)$, et ainsi de suite jusqu'à $(6;1)$. La température est une fonction de l'heure : à chaque heure, UNE température. b) $-1$ apparaît deux fois dans la ligne du bas, sous $3$ h et sous $5$ h : deux antécédents, $3$ et $5$. c) La plus petite valeur de la ligne est $-2$ °C, relevée à $4$ h. d) Le graphique passe sous l'axe juste après $2$ h. Il remonte au-dessus à $5$ h $30$ : le segment qui va de $(5;-1)$ à $(6;1)$ coupe l'axe en son milieu. Il a gelé de $2$ h à $5$ h $30$ environ. ⛔ Le piège au d) : répondre « de $2$ h à $6$ h ». À $6$ h, il fait déjà $1$ °C. Et le « environ » compte : entre deux relevés, le segment n'est qu'une estimation.
17. 17. Le plongeon de 10 mètres a) $h(0)=$$10$ : au départ, elle est à $10$ m, sur le plongeoir. b) $h(0,5)=-5\times 0,25+2,5+10=$$11,25$ : le sommet du saut est à $11,25$ m, un peu plus d'un mètre au-dessus du plongeoir. c) $h(2)=-20+10+10=$$0$ : au bout de $2$ secondes, elle entre dans l'eau. d) $-5t^2+5t+10=10$ donne $-5t^2+5t=$$0$, soit $5t(1-t)=$$0$. Donc $t=0$ ou $t=$$1$. À $t=$$0$, elle quitte le plongeoir. Au bout d'une seconde, elle repasse à sa hauteur, en descendant. e) Le temps commence au saut et s'arrête à l'entrée dans l'eau : $h$ a un sens sur $[0;2]$. ⛔ Le piège au d) : simplifier par $t$, et perdre $t=$$0$. On factorise, on ne divise pas.
18. 18. Les panneaux solaires a) À $10$ h : $P(10)=3$ kW et $C(10)=1$ kW. La maison produit trois fois ce qu'elle consomme. b) L'horizontale $y=3$ coupe la cloche deux fois, à $10$ h et à $16$ h : $t=10$ ou $t=$$16$. c) Les deux courbes se rejoignent à $8$ h et à $18$ h : $t=8$ ou $t=$$18$. d) La cloche est au-dessus de la courbe bleue entre ces deux heures : $]8;18[$. De $8$ h à $18$ h, les panneaux produisent PLUS que la maison ne consomme : le surplus peut charger une batterie ou partir sur le réseau. Tôt le matin et le soir, c'est l'inverse. ⛔ Le piège au d) : lire où la cloche est au-dessus de l'AXE, soit $]6;20[$. On compare les deux courbes entre elles.
19. 19. La distance de freinage a) $d(50)=0,005\times 2500=12,5$ m et $d(100)=0,005\times 10000=50$ m. La vitesse double, et la distance est multipliée par $4$ : $50=4\times$$12,5$. Doubler un nombre multiplie son carré par $4$. b) $d(130)=0,005\times 16900=84,5$ m : plus des trois quarts d'un terrain de football, sans compter le temps de réaction. c) $0,005v^2=32$ donne $v^2=$$6400$, donc $v=$$80$. À $80$ km/h, la voiture freine sur $32$ m. d) $v^2=6400$ donne aussi $v=$$-80$. Mais une vitesse est positive : $d$ est définie sur $[0;+\infty [$, et $-80$ n'est pas dans son domaine. ⛔ Le piège au a) : croire que la distance double avec la vitesse. C'est le carré qui compte : quelques km/h de trop changent tout.

    v (km/h)	d (m)
    50	12,5
    80	32
    100	50
    130	84,5

    v (km/h)	50	80	100	130
    d (m)	12,5	32	50	84,5

20. 20. Le CO₂ de l'atmosphère a) On lit sous $2000$ : $C(2000)=370$ ppm. b) $414$ est sous $2020$ : son antécédent est $2020$. c) De $1960$ à $1980$ : $339-317=22$ ppm. De $2000$ à $2020$ : $414-370=44$ ppm. Sur deux périodes de $20$ ans, l'augmentation a DOUBLÉ : le CO₂ ne monte pas seulement, il monte de plus en plus vite. d) Non : un tableau ne donne que ses colonnes. En reliant $(2000;370)$ et $(2020;414)$ par un segment, on lit au milieu $\frac{370+414}{2}=392$ ppm : c'est une ESTIMATION. La mesure réelle de $2010$ est $390$ ppm : l'estimation est proche, mais elle reste une estimation. ⭐ Pour comparer : avant l'ère industrielle, l'air contenait environ $280$ ppm de CO₂.