Les fonctions de référence : 20 exercices corrigésmaths 2nde — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : les fonctions de référence, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) $f(-1,5)=(-1,5{)}^2=$$2,25$ : le carré d'un nombre négatif est positif. $f(0,1)=0,1^2=$$0,01$ : entre $0$ et $1$, le carré est plus PETIT que le nombre. $f(\sqrt{5})=(\sqrt{5}{)}^2=$$5$. b) $(-8{)}^2=64$ et $8^2=$$64$ : un nombre et son opposé ont le même carré. La courbe, une parabole, est SYMÉTRIQUE par rapport à l'axe des ordonnées. ⛔ Le piège au a) : écrire $-1,5^2=$$-2,25$. Sans parenthèses, le carré ne porte que sur $1,5$.
2. 2. a) $g(4)=\frac{1}{4}=$$0,25$, $g(-0,5)=\frac{1}{-0,5}=-2$ et $g\left(\frac{2}{3}\right)=$$\frac{3}{2}$ : l'inverse d'une fraction, c'est la fraction retournée. b) Diviser $1$ par $0$ n'a pas de sens : la fonction inverse est définie sur $\mathbb{R}$ privé de $0$. c) On résout $\frac{1}{x}=$$5$ : $x=\frac{1}{5}=$$0,2$. ⛔ Le piège au a) : confondre l'inverse et l'opposé. L'inverse de $4$ est $\frac{1}{4}$ ; son opposé est $-4$.
3. 3. a) $h(0,25)=$$0,5$, car $0,5^2=$$0,25$. Puis $h(100)=10$ et $h(0)=$$0$. b) Il faudrait un nombre dont le carré soit $-4$. Or un carré n'est jamais négatif : $-4$ n'a pas d'image. La fonction racine est définie sur $[0;+\infty [$. c) $\sqrt{x}=1,2$ donne $x=1,2^2=$$1,44$. ⛔ Le piège au a) : croire que $\sqrt{0,25}$ est plus petit que $0,25$. Entre $0$ et $1$, la racine est PLUS GRANDE que le nombre.
4. 4. a) $k(-3)=(-3{)}^3=$$-27$ : un nombre NÉGATIF au cube reste négatif. $k(0,5)=0,125$ et $k(10)=$$1000$. b) $(-5{)}^3=$$-125$ : l'antécédent de $-125$ est $-5$, et c'est le SEUL. La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$ : elle ne prend jamais deux fois la même valeur. c) $x^3$ a le signe de $x$ : négatif pour $x<$$0$, positif pour $x>$$0$. ⛔ Le piège au b) : chercher deux antécédents, comme pour le carré. $5^3=$$125$, pas $-125$.
5. 5. a) $|-7|=$$7$. $|3-5|=|-2|=$$2$. Et $\pi \approx 3,14$ est plus petit que $4$ : $\pi -4$ est négatif, donc $|\pi -4|=4-$$\pi$. b) $|x|=6$ pour $x=6$ ou $x=$$-6$ : les deux nombres à distance $6$ de $0$. c) Deux demi-droites en V, qui se rejoignent à l'origine : $|x|=-x$ pour $x⩽$$0$, et $|x|=x$ pour $x⩾$$0$. ⛔ Le piège au a) : écrire $|\pi -4|=\pi -$$4$. Une valeur absolue n'est jamais négative.
6. 6. a) $1,07<$$1,7$, deux nombres POSITIFS. Le carré est croissant sur $[0;+\infty [$ : il conserve l'ordre, donc $1,07^2<$$1,7^2$. b) $-3,2<$$-2,3$, deux nombres NÉGATIFS. Le carré est décroissant sur $]-\infty ;0]$ : il inverse l'ordre, donc $(-3,2{)}^2>$$(-2,3{)}^2$. c) $0,4<$$0,5$, deux nombres positifs. L'inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$ : $\frac{1}{0,4}>$$\frac{1}{0,5}$. En effet, $2,5>$$2$. ⛔ Le piège au b) : « $-3,2$ est plus petit, donc son carré aussi ». Sur les négatifs, le carré inverse l'ordre.
7. 7. a) $x=\sqrt{2}$ ou $x=$$-\sqrt{2}$ : deux solutions, opposées. b) $x=0,7$ ou $x=$$-0,7$, car $0,7^2=$$0,49$. c) Un carré n'est jamais négatif : AUCUNE solution. d) $4^3=$$64$ : $x=$$4$, et c'est la seule solution, car la fonction cube est croissante. $(-4{)}^3=-64$ ne convient pas. ⛔ Le piège au a) : oublier $-\sqrt{2}$.
8. 8. a) Au-dessus de $4$, la courbe est à la hauteur $2$ : $\sqrt{4}=$$2$. Au-dessus de $6,25$, à la hauteur $2,5$ : $\sqrt{6,25}=$$2,5$. b) L'horizontale $y=1,5$ coupe la courbe au point d'abscisse $2,25$ : $x=$$2,25$. On vérifie : $1,5^2=$$2,25$. ✓ c) La courbe est sous l'horizontale $y=2$ pour $x$ entre $0$ et $4$ : les solutions forment $[0;4]$. ⛔ Le piège au c) : écrire $]-\infty ;4]$. La racine n'existe pas pour les négatifs : les solutions commencent à $0$.
9. 9. On s'aide de la parabole : où est-elle sous l'horizontale, où est-elle au-dessus ? a) $x^2=9$ pour $x=-3$ et $x=$$3$ ; entre les deux, la parabole est sous $y=$$9$. Les solutions forment $[-3;3]$. b) $x^2=4$ pour $x=-2$ et $x=$$2$ ; la parabole est au-dessus de $y=4$ à l'EXTÉRIEUR : $]-\infty ;-2[\cup ]2;+\infty [$. c) Un carré n'est jamais négatif : AUCUNE solution. ⛔ Le piège au a) : répondre « $x⩽$$3$ ». Avec $x=$$-5$, on a bien $x⩽$$3$, mais $x^2=$$25$.
10. 10. On s'aide de la courbe de la fonction inverse, en deux morceaux. a) $\frac{1}{x}=2$ pour $x=$$\frac{1}{2}$. Pour $x$ négatif, $\frac{1}{x}$ est négatif : jamais supérieur à $2$. Pour $x$ positif, la courbe est au-dessus de $y=2$ entre $0$, exclu, et $\frac{1}{2}$ : les solutions forment $]0;0,5]$. b) $\frac{1}{x}=-1$ pour $x=$$-1$. Pour $x$ positif, jamais. Pour $x$ négatif, la courbe est sous $y=-1$ entre $-1$ et $0$, exclus tous les deux : $]-1;0[$. ⛔ Le piège : multiplier les deux membres par $x$. On ne connaît pas son signe, et le sens de l'inégalité en dépend.
11. 11. Les trois fonctions sont monotones sur $[2;5]$ : on les applique aux deux bornes, en regardant si l'ordre est conservé. a) Le carré est croissant sur les positifs : $4⩽x^2⩽$$25$. b) L'inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$ : l'ordre s'INVERSE, $\frac{1}{5}⩽\frac{1}{x}⩽$$\frac{1}{2}$, soit $0,2⩽\frac{1}{x}⩽$$0,5$. c) La racine est croissante : $\sqrt{2}⩽\sqrt{x}⩽$$\sqrt{5}$. ⛔ Le piège au b) : écrire l'encadrement à l'envers, avec $\frac{1}{2}$ à gauche. Or $\frac{1}{2}>$$\frac{1}{5}$.
12. 12. a) L'intervalle contient $0$, et le carré n'y est pas monotone : il décroît jusqu'à $0$, puis croît. Sur $[-3;0]$, $x^2$ va de $9$ à $0$ ; sur $[0;2]$, de $0$ à $4$. Donc $0⩽x^2⩽$$9$. b) Le cube est croissant sur $\mathbb{R}$ : il conserve l'ordre, $(-1{)}^3⩽x^3⩽$$3^3$, soit $-1⩽x^3⩽$$27$. ⛔ Le piège au a) : élever les deux bornes au carré et écrire $4⩽x^2⩽$$9$. Or $x=0$ donne $x^2=$$0$, hors de cet encadrement.
13. 13. a) $f(-1)=|-3|=$$3$, $f(2)=0$ et $f(5)=|3|=$$3$. b) $|x-2|$ est la distance entre $x$ et $2$ : elle diminue jusqu'à $x=$$2$, où elle vaut $0$, puis augmente. $f(-2)=4$ et $f(6)=$$4$. c) Les nombres à distance $3$ de $2$ : $x=2-3=-1$ et $x=2+3=$$5$. On les avait trouvés au a). ⭐ La courbe est un V de sommet $(2;0)$ : celle de $|x|$, décalée de $2$ vers la droite.
14. 14. a) $0,25^2=0,0625$ et $\sqrt{0,25}=$$0,5$ : $0,0625<0,25<$$0,5$, soit $x^2<x<$$\sqrt{x}$. b) $4^2=16$ et $\sqrt{4}=$$2$ : $2<4<$$16$, soit $\sqrt{x}<x<$$x^2$. c) Entre $0$ et $1$, le carré rapetisse et la racine grandit : $x^2<x<$$\sqrt{x}$. Au-delà de $1$, c'est l'inverse : $\sqrt{x}<x<$$x^2$. En $x=$$1$, les trois valent $1$. ⭐ Sur le dessin — $x$ en bleu, $x^2$ en orange, $\sqrt{x}$ en vert — les trois courbes se croisent au point $(1;1)$.
15. 15. a) Deux nombres ont pour carré $16$ : $4$ et $-4$. Donc $x-3=4$ ou $x-3=$$-4$, soit $x=7$ ou $x=$$-1$. b) $2x^2=$$50$, donc $x^2=$$25$ : $x=5$ ou $x=$$-5$. c) Un carré n'est jamais négatif : AUCUNE solution. ⛔ Le piège au a) : n'écrire que $x-3=$$4$, et perdre $x=$$-1$.
16. 16. a) Le côté $c$ vérifie $c^2=$$36$, avec $c>$$0$ : $c=6$ m. b) Non : un côté de $12$ m donnerait $12^2=144$ m², QUATRE fois plus. Doubler le côté multiplie l'aire par $4$. c) $c^2=72$ et $c>$$0$ : $c=\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2}\approx 8,49$ m. ⭐ Pour doubler l'aire, on multiplie le côté par $\sqrt{2}\approx$$1,41$. ⛔ Le piège au a) : garder aussi $c=$$-6$. Une longueur est positive.
17. 17. Le gouffre a) $d(2)=5\times 2^2=5\times 4=20$ m. b) Non : $d(4)=5\times 16=80$ m, QUATRE fois plus. La durée est au carré : doubler la durée multiplie la profondeur par $4$. c) $5t^2=80$ donne $t^2=$$16$, avec $t>$$0$ : $t=4$ s. d) $5t^2=100$ donne $t^2=$$20$, donc $t=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4,5$ s. ⭐ On garde la solution POSITIVE : une durée ne vaut pas $-4$ s. ⛔ Le piège de terrain : le bruit du caillou met lui aussi du temps à remonter. Pour un gouffre profond, la vraie profondeur est un peu plus petite que ce calcul.

    t (s)	1	2	3	4	4,5
    d (m)	5	20	45	80	101,25

18. 18. Le marathon sous les 2 heures a) $t(10)=4,2195$ h, soit environ $4$ h $13$ min. $t(12)\approx 3,52$ h, soit environ $3$ h $31$ min. b) $t(v)$, c'est $42,195$ fois l'inverse de $v$, et la fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$ : plus on court vite, moins on met de temps. c) $t(v)<2$ donne $\frac{42,195}{v}<$$2$. Comme $v>$$0$, cela revient à $42,195<$$2v$, soit $v>21,0975$ km/h. d) $1$ h $59$ min $30$ s, c'est $1+\frac{59,5}{60}\approx 1,9917$ h. Sa vitesse : $\frac{42,195}{1,9917}\approx 21,2$ km/h, pendant plus de $42$ km. ⛔ Le piège au a) : croire qu'à $12$ km/h au lieu de $10$, on gagne $2$ heures. Le temps n'est pas une fonction affine de la vitesse : on ne gagne qu'environ $42$ minutes.
19. 19. Le poids d'une baleine a) $M(4,5)=0,009\times 4,5^3\approx 0,8$ t : environ $800$ kg à la naissance. $M(15)=0,009\times 3375\approx 30$ t. b) Non : $M(2L)=0,009\times (2L{)}^3=8\times$$0,009L^3$. Deux fois plus longue, elle est HUIT fois plus lourde. c) $0,009L^3=24$ donne $L^3=\frac{24}{0,009}\approx$$2667$, donc $L\approx 13,9$ m : c'est le nombre dont le cube vaut $2667$, qu'on obtient à la calculatrice. ⭐ La masse suit le VOLUME, qui a trois dimensions. Trois fois plus long, $27$ fois plus lourd : c'est pour cela qu'un géant est si lourd. ⛔ Le piège au b) : « deux fois plus long, deux fois plus lourd ». C'est le cube de la longueur qui compte.
20. 20. Le refuge a) $d(4)=|-8|=8$ km, $d(12)=0$ et $d(15)=|3|=3$ km. b) La distance diminue jusqu'au refuge, où elle vaut $0$, puis elle augmente : $d(0)=$$12$, $d(12)=0$ et $d(20)=$$8$. c) $|x-12|=3$ donne $x-12=3$ ou $x-12=$$-3$ : aux kilomètres $15$ et $9$. d) $|x-12|⩽2$ donne $10⩽x⩽$$14$ : entre les kilomètres $10$ et $14$, soit sur $[10;14]$. ⛔ Le piège au c) : ne trouver que le kilomètre $15$. On peut aussi être à $3$ km AVANT le refuge.