Problèmes de géométrie plane : 20 exercices corrigésmaths 2nde — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, du geste seul au problème : sinus, cosinus et tangente dans le triangle rectangle, la relation cos² + sin² = 1, le projeté orthogonal et la distance d'un point à une droite, des aires, et un maximum à trouver. La hauteur d'un arbre, la pente d'un col du Tour de France, un enclos le long d'une rivière, le chemin le plus court jusqu'à un phare. Chaque corrigé dessine sa figure à l'échelle. Un rappel de cours avant chaque niveau. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice : nommer les côtés, choisir la formule, calculer.

Rappel de cours

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $α$ : $cos α =$ $\frac{adjacent}{hypot e ˊ nuse}$ , $sin α =$ $\frac{oppos e ˊ}{hypot e ˊ nuse}$ , $tan α =$ $\frac{oppos e ˊ}{adjacent}$ .
L'hypoténuse est en face de l'angle droit ; l'adjacent touche l'angle ; l'opposé est en face.
Pour tout angle aigu $x$ : $cos^{2} x + sin^{2} x =$ $1$ .
Le PROJETÉ ORTHOGONAL de $M$ sur une droite $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $(M H)$ soit perpendiculaire à $d$ . La distance de $M$ à $d$ est $M H$ : c'est la plus courte.

1
Le triangle $A BC$ est rectangle en $A$ , avec $A B =$ $4$ , $A C = 3$ et $BC =$ $5$ . Calculer $cos B$ , $sin B$ et $tan B$ .
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On nomme les côtés depuis l'angle $B$ : l'hypoténuse est $[BC]$ (en face de l'angle droit), le côté adjacent $[A B]$ (il touche $B$ ), le côté opposé $[A C]$ (en face de $B$ ). $cos B = \frac{A B}{BC} = \frac{4}{5} =$ $0, 8$ ; $sin B = \frac{A C}{BC} = \frac{3}{5} =$ $0, 6$ ; $tan B = \frac{A C}{A B} = \frac{3}{4} =$ $0, 75$ . ⭐ Vérification : $0, 8^{2} + 0, 6^{2} = 0, 64 + 0, 36 =$ $1$ . ✓ ⛔ Le piège : prendre $[A C]$ comme côté adjacent parce qu'il est « à côté ». L'adjacent est celui qui TOUCHE l'angle, sans être l'hypoténuse.
2
Le triangle $A BC$ est rectangle en $B$ , avec $A = 35°$ et $A C = 10$ cm. Calculer $BC$ et $A B$ , arrondis au centième.
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Depuis l'angle $A$ : $[A C]$ est l'hypoténuse, $[BC]$ l'opposé, $[A B]$ l'adjacent. $sin 35° =$ $\frac{BC}{A C}$ , donc $BC = 10 \times sin 35° \approx 5, 74$ cm. $cos 35° =$ $\frac{A B}{A C}$ , donc $A B = 10 \times cos 35° \approx 8, 19$ cm. ⭐ Vérification par Pythagore : $5, 7 4^{2} + 8, 1 9^{2} \approx$ $100$ , soit $A C^{2}$ . ✓ ⛔ Le piège : la calculatrice en radians. Il faut qu'elle soit en DEGRÉS, sinon $sin 35$ donne $- 0, 43$ .
3
Le triangle $A BC$ est rectangle en $C$ , avec $C A = 6$ et $CB =$ $8$ . Calculer la mesure de l'angle $A$ , arrondie au dixième de degré.
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Depuis $A$ : on connaît l'adjacent $C A = 6$ et l'opposé $CB =$ $8$ . C'est la tangente qui les relie. $tan A = \frac{CB}{C A} = \frac{8}{6} =$ $\frac{4}{3}$ . À la calculatrice (touche $tan^{- 1}$ , en degrés) : $A \approx$ $53, 1°$ . ⭐ L'autre angle aigu vaut $90° - 53, 1° =$ $36, 9°$ : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus font $90°$ à eux deux.
4
$x$ est un angle aigu tel que $cos x =$ $0, 6$ . Calculer $sin x$ sans calculer $x$ .
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On utilise $cos^{2} x + sin^{2} x =$ $1$ : $sin^{2} x = 1 - 0, 6^{2} = 1 - 0, 36 =$ $0, 64$ . $x$ est aigu, donc $sin x$ est positif : $sin x = 0, 64 =$ $0, 8$ . ⭐ Sur le dessin : un triangle rectangle d'hypoténuse $1$ et de côté adjacent $0, 6$ a un côté opposé de $0, 8$ . C'est Pythagore, tout simplement. ⛔ Le piège : écrire $sin x = 1 - 0, 6 =$ $0, 4$ . Ce sont les CARRÉS qui font $1$ .
5
$x$ est un angle aigu tel que $sin x =$ $\frac{5}{13}$ . Calculer la valeur exacte de $cos x$ , puis de $tan x$ .
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$cos^{2} x = 1 - (\frac{5}{13})^{2} = 1 - \frac{25}{169} =$ $\frac{144}{169}$ . $x$ est aigu : $cos x =$ $\frac{12}{13}$ . $tan x = \frac{sin x}{cos x} = \frac{5}{13} \times \frac{13}{12} =$ $\frac{5}{12}$ . ⭐ C'est le triangle $5$ - $12$ - $13$ : $5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 =$ $1 3^{2}$ .
6
a) $A BC$ est rectangle en $A$ . Quel est le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(A C)$ ? b) $A BC$ est équilatéral de côté $6$ cm. Quel est le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur $(A B)$ ? Calculer $C H$ en valeur exacte, puis arrondie au centième.
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a) $(B A)$ est déjà perpendiculaire à $(A C)$ : le projeté orthogonal de $B$ sur $(A C)$ est le point $A$ lui-même. b) Dans un triangle équilatéral, la hauteur issue de $C$ est aussi une médiane : $H$ est le MILIEU de $[A B]$ , et $A H = 3$ cm. Le triangle $A H C$ est rectangle en $H$ : $C H^{2} = A C^{2} - A H^{2} = 36 - 9 =$ $27$ , donc $C H = 27 = 33 \approx 5, 20$ cm. ⭐ $C H$ est la distance de $C$ à la droite $(A B)$ : aucun autre point de $(A B)$ n'est plus près de $C$ .
7
Dans le triangle $A BC$ , $A B = 8$ cm, $A C = 6$ cm et $A =$ $30°$ . On note $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(A B)$ . a) Calculer $C H$ . b) En déduire l'aire du triangle $A BC$ .
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a) Le triangle $A H C$ est rectangle en $H$ ; depuis $A$ , $[C H]$ est l'opposé et $[A C]$ l'hypoténuse : $C H = A C \times sin 30° = 6 \times 0, 5 = 3$ cm. b) Aire $= \frac{base \times hauteur}{2} = \frac{A B \times C H}{2} = \frac{8 \times 3}{2} = 12$ cm². ⛔ Le piège : prendre $A C = 6$ comme hauteur, et trouver $24$ cm². La hauteur est PERPENDICULAIRE à la base ; $[A C]$ est oblique.
8
Le point $H$ est le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite $d$ . On sait que $H$ et $A$ sont sur $d$ , que $H A = 5$ m et que $M A = 13$ m. Quelle est la distance du point $M$ à la droite $d$ ?
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La distance de $M$ à $d$ , c'est $M H$ . Le triangle $M H A$ est rectangle en $H$ (projeté orthogonal) : $M H^{2} = M A^{2} - H A^{2} = 169 - 25 =$ $144$ , donc $M H = 12$ m. ⭐ $M H = 12 < M A =$ $13$ : dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le plus grand côté. C'est pour cela que le projeté donne le point le PLUS PROCHE.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs étapes, comme au contrôle : tracer la hauteur, découper en triangles rectangles, enchaîner.

Rappel de cours

Un triangle quelconque se DÉCOUPE en deux triangles rectangles en traçant une hauteur : c'est là que la trigonométrie s'applique.
Aire d'un triangle $=$ $\frac{base \times hauteur}{2}$ , la hauteur étant perpendiculaire à la base.
On garde les valeurs EXACTES ( $3$ , $\frac{12}{13}$ ) jusqu'au bout, et on arrondit à la fin.

9
Le triangle $A BC$ est rectangle en $A$ , avec $B = 40°$ et $BC = 12$ cm. a) Calculer $A C$ et $A B$ , au centième. b) Calculer l'aire du triangle, au dixième de cm².
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a) Depuis $B$ : $[BC]$ hypoténuse, $[A C]$ opposé, $[A B]$ adjacent. $A C = 12 \times sin 40° \approx 7, 71$ cm et $A B = 12 \times cos 40° \approx 9, 19$ cm. b) Le triangle est rectangle en $A$ : ses deux côtés de l'angle droit sont base et hauteur. Aire $= \frac{A B \times A C}{2} \approx 35, 5$ cm². ⭐ Avec les valeurs exactes, $\frac{12 cos 40° \times 12 sin 40°}{2} \approx$ $35, 45$ : on arrondit à la fin, pas avant.
10
$x$ est un angle aigu. a) Montrer que $(cos x + sin x)^{2} = 1 +$ $2 sin x cos x$ . b) Le vérifier avec $cos x =$ $0, 8$ .
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a) On développe l'identité remarquable : $(cos x + sin x)^{2} = cos^{2} x + 2 sin x cos x +$ $sin^{2} x$ . Or $cos^{2} x + sin^{2} x =$ $1$ : il reste $1 +$ $2 sin x cos x$ . b) $sin x = 1 - 0, 64 =$ $0, 6$ . À gauche : $(0, 8 + 0, 6)^{2} = 1, 4^{2} =$ $1, 96$ . À droite : $1 + 2 \times 0, 6 \times 0, 8 = 1 + 0, 96 =$ $1, 96$ . ✓ ⛔ Le piège au a) : écrire $(cos x + sin x)^{2} = cos^{2} x + sin^{2} x =$ $1$ , en oubliant le double produit.
11
Dans le triangle $A BC$ , $A B = 10$ cm. Le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur $(A B)$ est sur $[A B]$ , avec $A H = 4$ cm et $C H = 6$ cm. a) Calculer $A C$ et $BC$ en valeur exacte. b) Calculer l'aire du triangle. c) Montrer que $B =$ $45°$ .
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a) $H B = 10 - 4 = 6$ cm. Dans $A H C$ , rectangle en $H$ : $A C = 16 + 36 = 52 = 213$ cm. Dans $B H C$ : $BC = 36 + 36 = 72 = 62$ cm. b) Aire $= \frac{A B \times C H}{2} = \frac{10 \times 6}{2} = 30$ cm². c) Dans $B H C$ : $tan B = \frac{C H}{H B} = \frac{6}{6} =$ $1$ , donc $B =$ $45°$ . Le triangle $B H C$ est rectangle ISOCÈLE. ⭐ Découper par la hauteur transforme un triangle quelconque en deux triangles rectangles : Pythagore et la trigonométrie redeviennent possibles.
12
$A BC D$ est un parallélogramme avec $A B = 7$ cm, $A D = 4$ cm et $A =$ $60°$ . a) Calculer la hauteur issue de $D$ sur $(A B)$ , en valeur exacte. b) En déduire l'aire du parallélogramme, en valeur exacte puis au centième.
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a) Soit $H$ le projeté orthogonal de $D$ sur $(A B)$ . Dans $A HD$ , rectangle en $H$ : $DH = A D \times sin 60° = 4 \times \frac{3}{2} = 23$ cm. b) Aire d'un parallélogramme $=$ base $\times$ hauteur $= 7 \times 23 = 143 \approx 24, 25$ cm². ⛔ Le piège : faire $7 \times 4 = 28$ cm², l'aire du RECTANGLE de mêmes côtés. Le parallélogramme penché est plus petit.
13
Le triangle $A BC$ est isocèle en $A$ , avec $A B = A C = 5$ cm et $BC = 6$ cm. On note $I$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$ . a) Où est $I$ ? Calculer $A I$ . b) Calculer l'aire de $A BC$ . c) Calculer $B$ , puis $A$ , au dixième de degré.
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a) Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiane : $I$ est le milieu de $[BC]$ , $B I = 3$ cm. Puis $A I = 25 - 9 = 16 = 4$ cm. b) Aire $= \frac{BC \times A I}{2} = \frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm². c) Dans $A B I$ , rectangle en $I$ : $cos B = \frac{B I}{A B} =$ $\frac{3}{5}$ , donc $B \approx$ $53, 1°$ . Les angles à la base sont égaux, et la somme fait $180°$ : $A \approx 180 - 2 \times 53, 13 \approx$ $73, 7°$ . ⛔ Le piège au c) : calculer $A$ avec l'arrondi $53, 1$ , et trouver $73, 8°$ . On garde plus de décimales jusqu'au bout.
14
Un rectangle a un périmètre de $20$ cm. On note $x$ sa largeur. a) Exprimer sa longueur, puis son aire $A (x)$ , en fonction de $x$ . b) Calculer $A (2)$ , $A (4)$ , $A (5)$ , $A (6)$ . c) Montrer que $A (x) = 25 - (x -$ $5)^{2}$ . En déduire l'aire maximale, et la forme du rectangle.
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a) Largeur $+$ longueur $=$ $10$ : la longueur est $10 -$ $x$ , et $A (x) = x (10 -$ $x)$ , pour $x$ entre $0$ et $10$ . b) $A (2) =$ $16$ , $A (4) =$ $24$ , $A (5) =$ $25$ , $A (6) =$ $24$ . c) $25 - (x - 5)^{2} = 25 - (x^{2} - 10 x + 25) = - x^{2} + 10 x = x (10 -$ $x)$ . ✓ Un carré n'est jamais négatif : $A (x) ⩽$ $25$ , avec égalité seulement pour $x =$ $5$ . L'aire maximale est $25$ cm², pour un rectangle de $5$ cm sur $5$ cm : un CARRÉ. ⭐ À périmètre égal, le carré est le rectangle le plus « rentable ».
15
On part d'un triangle équilatéral de côté $1$ , coupé en deux par une hauteur. On obtient un triangle rectangle avec un angle de $30°$ . a) Montrer que $sin 30° =$ $\frac{1}{2}$ . b) En déduire la valeur exacte de $cos 30°$ avec $cos^{2} x + sin^{2} x =$ $1$ . c) En déduire $tan 30°$ .
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a) La hauteur coupe le côté opposé en son milieu, et l'angle de $60°$ en deux angles de $30°$ . Dans le demi-triangle, l'hypoténuse vaut $1$ et le côté opposé à $30°$ vaut $\frac{1}{2}$ : $sin 30° =$ $\frac{1}{2}$ . b) $cos^{2} 30° = 1 - \frac{1}{4} =$ $\frac{3}{4}$ , et le cosinus est positif : $cos 30° =$ $\frac{3}{2}$ . c) $tan 30° = \frac{sin 30°}{cos 30°} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3} =$ $\frac{3}{3}$ . ⭐ Ce sont des valeurs EXACTES : la calculatrice ne donne que $0, 866 \dots$ ; le triangle, lui, donne $\frac{3}{2}$ .
16
Dans un repère orthonormé, soit $A (3; 5)$ et $d$ la droite d'équation $y =$ $x$ . On admet que le projeté orthogonal de $A$ sur $d$ est $H (4; 4)$ . a) Vérifier que $H$ est sur $d$ . b) Calculer $O A$ , $O H$ et $A H$ , puis vérifier que le triangle $O H A$ est rectangle en $H$ . c) Quelle est la distance du point $A$ à la droite $d$ ?
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a) $H (4; 4)$ a une ordonnée égale à son abscisse : $H$ est sur $d$ . b) $O A^{2} = 3^{2} + 5^{2} =$ $34$ ; $O H^{2} = 4^{2} + 4^{2} =$ $32$ ; $A H^{2} = 1^{2} + (- 1)^{2} =$ $2$ . $O H^{2} + A H^{2} = 32 + 2 = 34 =$ $O A^{2}$ : d'après la réciproque de Pythagore, $O H A$ est rectangle en $H$ . C'est bien le projeté orthogonal. c) La distance de $A$ à $d$ est $A H = 2 \approx$ $1, 41$ . ⭐ Aucun autre point de $d$ n'est aussi près de $A$ : par exemple $B (5; 5)$ est à $A B =$ $2$ .

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Des situations réelles : on dessine, on repère le triangle rectangle, on calcule et on répond avec l'unité.

Rappel de cours

Dans une situation réelle, on cherche d'abord le triangle RECTANGLE (un mur vertical et un sol horizontal en font un).
Un angle et une longueur connus dans un triangle rectangle : la trigonométrie donne les deux autres côtés.
Un maximum : on exprime la grandeur en fonction de $x$ , on étudie la fonction, on répond par une phrase.

17La hauteur de l'arbre
Pour mesurer un arbre sans y grimper, Lila se place à $30$ m de son pied, sur un sol horizontal. Elle vise le sommet : son regard fait un angle de $40°$ avec l'horizontale. Ses yeux sont à $1, 60$ m du sol. a) Faire un schéma et repérer le triangle rectangle. b) Calculer la hauteur de l'arbre, au décimètre près.
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a) Le triangle $OPS$ : $O$ l'œil de Lila, $P$ le point du tronc à la hauteur de ses yeux, $S$ le sommet. Il est rectangle en $P$ (le tronc est vertical, le regard horizontal jusqu'en $P$ ). b) Depuis l'angle en $O$ : $OP = 30$ m est l'adjacent, $PS$ l'opposé. $tan 40° =$ $\frac{PS}{30}$ , donc $PS = 30 \times tan 40° \approx 25, 17$ m. On ajoute la hauteur des yeux : $25, 17 + 1, 60 \approx 26, 8$ m. ⛔ Le piège : oublier les $1, 60$ m. Le triangle part des YEUX, pas du sol. ⭐ C'est ainsi qu'on mesurait les arbres, les tours et les montagnes avant les lasers : un angle, une distance, et la tangente.
18La pente du col
Dans la montée d'un col du Tour de France, un panneau annonce une pente de $12$ %. Cela veut dire que la route s'élève de $12$ m pour $100$ m parcourus à l'HORIZONTALE. a) Calculer l'angle $α$ de la route avec l'horizontale, au dixième de degré. b) Un cycliste parcourt $2$ km le long de la route (c'est son compteur qui les mesure). De combien s'est-il élevé, au mètre près ? c) Un autre élève répond « $12$ % de $2000$ m, soit $240$ m ». Pourquoi est-ce presque juste, mais pas exact ?
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a) $tan α = \frac{12}{100} =$ $0, 12$ , donc $α \approx$ $6, 8°$ . b) Les $2000$ m sont mesurés le long de la route : c'est l'HYPOTÉNUSE. Le dénivelé est le côté opposé : $2000 \times sin α \approx 238$ m. c) $12$ % s'appliquent à la distance HORIZONTALE, pas à la route. Ici, l'horizontale vaut $2000 \times cos α \approx 1986$ m, et $12$ % de $1986$ m font bien environ $238$ m. Pour une pente faible, horizontale et route sont presque égales : l'erreur n'est que de $2$ m. ⭐ En degrés, $12$ % ne font même pas $7°$ : une pente qui paraît rude à vélo est un angle très faible.
19L'enclos le long de la rivière
Un éleveur dispose de $60$ m de clôture pour fermer un enclos rectangulaire le long d'une rivière : le côté de la rivière n'a pas besoin de clôture. On note $x$ la largeur (les deux côtés perpendiculaires à la rivière). a) Exprimer la longueur, puis l'aire $A (x)$ , en fonction de $x$ . b) Calculer l'aire pour $x =$ $5$ , $10$ , $15$ , $20$ et $25$ . c) Montrer que $A (x) = 450 - 2 (x -$ $15)^{2}$ , et en déduire les dimensions de l'enclos le plus grand.
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a) Deux largeurs et une longueur : $2 x + L =$ $60$ , donc $L = 60 -$ $2 x$ , et $A (x) = x (60 - 2 x)$ pour $x$ entre $0$ et $30$ . b) $A (5) =$ $250$ ; $A (10) =$ $400$ ; $A (15) =$ $450$ ; $A (20) =$ $400$ ; $A (25) = 250$ (en m²). c) $450 - 2 (x - 15)^{2} = 450 - 2 (x^{2} - 30 x + 225) = - 2 x^{2} + 60 x = x (60 -$ $2 x)$ . ✓ Le carré est positif, donc $A (x) ⩽$ $450$ , avec égalité pour $x =$ $15$ : l'enclos le plus grand fait $15$ m sur $30$ m, soit $450$ m². ⭐ Ce n'est PAS un carré : la rivière fait un côté gratuitement, la longueur vaut le double de la largeur. ⛔ Le piège au a) : écrire $2 x + 2 L =$ $60$ , comme pour un rectangle entièrement clos.
20Le chemin le plus court jusqu'au phare
Une route côtière rectiligne passe par un carrefour $O$ . Un phare $P$ est à $800$ m du carrefour, dans une direction qui fait un angle de $30°$ avec la route. On veut construire le chemin le plus court possible entre la route et le phare. a) Où faut-il faire partir ce chemin ? Justifier. b) Calculer sa longueur. c) À quelle distance du carrefour, le long de la route, part-il ? Arrondir au mètre.
Voir la correction
a) Le chemin le plus court va de la route au phare PERPENDICULAIREMENT : il part du projeté orthogonal $H$ de $P$ sur la route. b) Le triangle $O H P$ est rectangle en $H$ , d'hypoténuse $OP = 800$ m. $P H = 800 \times sin 30° = 800 \times 0, 5 = 400$ m. c) $O H = 800 \times cos 30° = 800 \times \frac{3}{2} = 4003 \approx 693$ m. ⭐ Partir du carrefour coûterait $800$ m de chemin ; partir de $H$ , seulement $400$ : moitié moins. ⛔ Le piège au a) : faire partir le chemin du carrefour, « parce que la route y est déjà ». La distance d'un point à une droite se mesure sur la perpendiculaire.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : problèmes de géométrie plane, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. On nomme les côtés depuis l'angle $B$ : l'hypoténuse est $[BC]$ (en face de l'angle droit), le côté adjacent $[A B]$ (il touche $B$ ), le côté opposé $[A C]$ (en face de $B$ ). $cos B = \frac{A B}{BC} = \frac{4}{5} =$ $0, 8$ ; $sin B = \frac{A C}{BC} = \frac{3}{5} =$ $0, 6$ ; $tan B = \frac{A C}{A B} = \frac{3}{4} =$ $0, 75$ . ⭐ Vérification : $0, 8^{2} + 0, 6^{2} = 0, 64 + 0, 36 =$ $1$ . ✓ ⛔ Le piège : prendre $[A C]$ comme côté adjacent parce qu'il est « à côté ». L'adjacent est celui qui TOUCHE l'angle, sans être l'hypoténuse.
2. Depuis l'angle $A$ : $[A C]$ est l'hypoténuse, $[BC]$ l'opposé, $[A B]$ l'adjacent. $sin 35° =$ $\frac{BC}{A C}$ , donc $BC = 10 \times sin 35° \approx 5, 74$ cm. $cos 35° =$ $\frac{A B}{A C}$ , donc $A B = 10 \times cos 35° \approx 8, 19$ cm. ⭐ Vérification par Pythagore : $5, 7 4^{2} + 8, 1 9^{2} \approx$ $100$ , soit $A C^{2}$ . ✓ ⛔ Le piège : la calculatrice en radians. Il faut qu'elle soit en DEGRÉS, sinon $sin 35$ donne $- 0, 43$ .
3. Depuis $A$ : on connaît l'adjacent $C A = 6$ et l'opposé $CB =$ $8$ . C'est la tangente qui les relie. $tan A = \frac{CB}{C A} = \frac{8}{6} =$ $\frac{4}{3}$ . À la calculatrice (touche $tan^{- 1}$ , en degrés) : $A \approx$ $53, 1°$ . ⭐ L'autre angle aigu vaut $90° - 53, 1° =$ $36, 9°$ : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus font $90°$ à eux deux.
4. On utilise $cos^{2} x + sin^{2} x =$ $1$ : $sin^{2} x = 1 - 0, 6^{2} = 1 - 0, 36 =$ $0, 64$ . $x$ est aigu, donc $sin x$ est positif : $sin x = 0, 64 =$ $0, 8$ . ⭐ Sur le dessin : un triangle rectangle d'hypoténuse $1$ et de côté adjacent $0, 6$ a un côté opposé de $0, 8$ . C'est Pythagore, tout simplement. ⛔ Le piège : écrire $sin x = 1 - 0, 6 =$ $0, 4$ . Ce sont les CARRÉS qui font $1$ .
5. $cos^{2} x = 1 - (\frac{5}{13})^{2} = 1 - \frac{25}{169} =$ $\frac{144}{169}$ . $x$ est aigu : $cos x =$ $\frac{12}{13}$ . $tan x = \frac{sin x}{cos x} = \frac{5}{13} \times \frac{13}{12} =$ $\frac{5}{12}$ . ⭐ C'est le triangle $5$ - $12$ - $13$ : $5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 =$ $1 3^{2}$ .
6. a) $(B A)$ est déjà perpendiculaire à $(A C)$ : le projeté orthogonal de $B$ sur $(A C)$ est le point $A$ lui-même. b) Dans un triangle équilatéral, la hauteur issue de $C$ est aussi une médiane : $H$ est le MILIEU de $[A B]$ , et $A H = 3$ cm. Le triangle $A H C$ est rectangle en $H$ : $C H^{2} = A C^{2} - A H^{2} = 36 - 9 =$ $27$ , donc $C H = 27 = 33 \approx 5, 20$ cm. ⭐ $C H$ est la distance de $C$ à la droite $(A B)$ : aucun autre point de $(A B)$ n'est plus près de $C$ .
7. a) Le triangle $A H C$ est rectangle en $H$ ; depuis $A$ , $[C H]$ est l'opposé et $[A C]$ l'hypoténuse : $C H = A C \times sin 30° = 6 \times 0, 5 = 3$ cm. b) Aire $= \frac{base \times hauteur}{2} = \frac{A B \times C H}{2} = \frac{8 \times 3}{2} = 12$ cm². ⛔ Le piège : prendre $A C = 6$ comme hauteur, et trouver $24$ cm². La hauteur est PERPENDICULAIRE à la base ; $[A C]$ est oblique.
8. La distance de $M$ à $d$ , c'est $M H$ . Le triangle $M H A$ est rectangle en $H$ (projeté orthogonal) : $M H^{2} = M A^{2} - H A^{2} = 169 - 25 =$ $144$ , donc $M H = 12$ m. ⭐ $M H = 12 < M A =$ $13$ : dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le plus grand côté. C'est pour cela que le projeté donne le point le PLUS PROCHE.
9. a) Depuis $B$ : $[BC]$ hypoténuse, $[A C]$ opposé, $[A B]$ adjacent. $A C = 12 \times sin 40° \approx 7, 71$ cm et $A B = 12 \times cos 40° \approx 9, 19$ cm. b) Le triangle est rectangle en $A$ : ses deux côtés de l'angle droit sont base et hauteur. Aire $= \frac{A B \times A C}{2} \approx 35, 5$ cm². ⭐ Avec les valeurs exactes, $\frac{12 cos 40° \times 12 sin 40°}{2} \approx$ $35, 45$ : on arrondit à la fin, pas avant.
10. a) On développe l'identité remarquable : $(cos x + sin x)^{2} = cos^{2} x + 2 sin x cos x +$ $sin^{2} x$ . Or $cos^{2} x + sin^{2} x =$ $1$ : il reste $1 +$ $2 sin x cos x$ . b) $sin x = 1 - 0, 64 =$ $0, 6$ . À gauche : $(0, 8 + 0, 6)^{2} = 1, 4^{2} =$ $1, 96$ . À droite : $1 + 2 \times 0, 6 \times 0, 8 = 1 + 0, 96 =$ $1, 96$ . ✓ ⛔ Le piège au a) : écrire $(cos x + sin x)^{2} = cos^{2} x + sin^{2} x =$ $1$ , en oubliant le double produit.
11. a) $H B = 10 - 4 = 6$ cm. Dans $A H C$ , rectangle en $H$ : $A C = 16 + 36 = 52 = 213$ cm. Dans $B H C$ : $BC = 36 + 36 = 72 = 62$ cm. b) Aire $= \frac{A B \times C H}{2} = \frac{10 \times 6}{2} = 30$ cm². c) Dans $B H C$ : $tan B = \frac{C H}{H B} = \frac{6}{6} =$ $1$ , donc $B =$ $45°$ . Le triangle $B H C$ est rectangle ISOCÈLE. ⭐ Découper par la hauteur transforme un triangle quelconque en deux triangles rectangles : Pythagore et la trigonométrie redeviennent possibles.
12. a) Soit $H$ le projeté orthogonal de $D$ sur $(A B)$ . Dans $A HD$ , rectangle en $H$ : $DH = A D \times sin 60° = 4 \times \frac{3}{2} = 23$ cm. b) Aire d'un parallélogramme $=$ base $\times$ hauteur $= 7 \times 23 = 143 \approx 24, 25$ cm². ⛔ Le piège : faire $7 \times 4 = 28$ cm², l'aire du RECTANGLE de mêmes côtés. Le parallélogramme penché est plus petit.
13. a) Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiane : $I$ est le milieu de $[BC]$ , $B I = 3$ cm. Puis $A I = 25 - 9 = 16 = 4$ cm. b) Aire $= \frac{BC \times A I}{2} = \frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm². c) Dans $A B I$ , rectangle en $I$ : $cos B = \frac{B I}{A B} =$ $\frac{3}{5}$ , donc $B \approx$ $53, 1°$ . Les angles à la base sont égaux, et la somme fait $180°$ : $A \approx 180 - 2 \times 53, 13 \approx$ $73, 7°$ . ⛔ Le piège au c) : calculer $A$ avec l'arrondi $53, 1$ , et trouver $73, 8°$ . On garde plus de décimales jusqu'au bout.
14. a) Largeur $+$ longueur $=$ $10$ : la longueur est $10 -$ $x$ , et $A (x) = x (10 -$ $x)$ , pour $x$ entre $0$ et $10$ . b) $A (2) =$ $16$ , $A (4) =$ $24$ , $A (5) =$ $25$ , $A (6) =$ $24$ . c) $25 - (x - 5)^{2} = 25 - (x^{2} - 10 x + 25) = - x^{2} + 10 x = x (10 -$ $x)$ . ✓ Un carré n'est jamais négatif : $A (x) ⩽$ $25$ , avec égalité seulement pour $x =$ $5$ . L'aire maximale est $25$ cm², pour un rectangle de $5$ cm sur $5$ cm : un CARRÉ. ⭐ À périmètre égal, le carré est le rectangle le plus « rentable ».
15. a) La hauteur coupe le côté opposé en son milieu, et l'angle de $60°$ en deux angles de $30°$ . Dans le demi-triangle, l'hypoténuse vaut $1$ et le côté opposé à $30°$ vaut $\frac{1}{2}$ : $sin 30° =$ $\frac{1}{2}$ . b) $cos^{2} 30° = 1 - \frac{1}{4} =$ $\frac{3}{4}$ , et le cosinus est positif : $cos 30° =$ $\frac{3}{2}$ . c) $tan 30° = \frac{sin 30°}{cos 30°} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3} =$ $\frac{3}{3}$ . ⭐ Ce sont des valeurs EXACTES : la calculatrice ne donne que $0, 866 \dots$ ; le triangle, lui, donne $\frac{3}{2}$ .
16. a) $H (4; 4)$ a une ordonnée égale à son abscisse : $H$ est sur $d$ . b) $O A^{2} = 3^{2} + 5^{2} =$ $34$ ; $O H^{2} = 4^{2} + 4^{2} =$ $32$ ; $A H^{2} = 1^{2} + (- 1)^{2} =$ $2$ . $O H^{2} + A H^{2} = 32 + 2 = 34 =$ $O A^{2}$ : d'après la réciproque de Pythagore, $O H A$ est rectangle en $H$ . C'est bien le projeté orthogonal. c) La distance de $A$ à $d$ est $A H = 2 \approx$ $1, 41$ . ⭐ Aucun autre point de $d$ n'est aussi près de $A$ : par exemple $B (5; 5)$ est à $A B =$ $2$ .
17. La hauteur de l'arbre a) Le triangle $OPS$ : $O$ l'œil de Lila, $P$ le point du tronc à la hauteur de ses yeux, $S$ le sommet. Il est rectangle en $P$ (le tronc est vertical, le regard horizontal jusqu'en $P$ ). b) Depuis l'angle en $O$ : $OP = 30$ m est l'adjacent, $PS$ l'opposé. $tan 40° =$ $\frac{PS}{30}$ , donc $PS = 30 \times tan 40° \approx 25, 17$ m. On ajoute la hauteur des yeux : $25, 17 + 1, 60 \approx 26, 8$ m. ⛔ Le piège : oublier les $1, 60$ m. Le triangle part des YEUX, pas du sol. ⭐ C'est ainsi qu'on mesurait les arbres, les tours et les montagnes avant les lasers : un angle, une distance, et la tangente.
18. La pente du col a) $tan α = \frac{12}{100} =$ $0, 12$ , donc $α \approx$ $6, 8°$ . b) Les $2000$ m sont mesurés le long de la route : c'est l'HYPOTÉNUSE. Le dénivelé est le côté opposé : $2000 \times sin α \approx 238$ m. c) $12$ % s'appliquent à la distance HORIZONTALE, pas à la route. Ici, l'horizontale vaut $2000 \times cos α \approx 1986$ m, et $12$ % de $1986$ m font bien environ $238$ m. Pour une pente faible, horizontale et route sont presque égales : l'erreur n'est que de $2$ m. ⭐ En degrés, $12$ % ne font même pas $7°$ : une pente qui paraît rude à vélo est un angle très faible.
19. L'enclos le long de la rivière a) Deux largeurs et une longueur : $2 x + L =$ $60$ , donc $L = 60 -$ $2 x$ , et $A (x) = x (60 - 2 x)$ pour $x$ entre $0$ et $30$ . b) $A (5) =$ $250$ ; $A (10) =$ $400$ ; $A (15) =$ $450$ ; $A (20) =$ $400$ ; $A (25) = 250$ (en m²). c) $450 - 2 (x - 15)^{2} = 450 - 2 (x^{2} - 30 x + 225) = - 2 x^{2} + 60 x = x (60 -$ $2 x)$ . ✓ Le carré est positif, donc $A (x) ⩽$ $450$ , avec égalité pour $x =$ $15$ : l'enclos le plus grand fait $15$ m sur $30$ m, soit $450$ m². ⭐ Ce n'est PAS un carré : la rivière fait un côté gratuitement, la longueur vaut le double de la largeur. ⛔ Le piège au a) : écrire $2 x + 2 L =$ $60$ , comme pour un rectangle entièrement clos.
20. Le chemin le plus court jusqu'au phare a) Le chemin le plus court va de la route au phare PERPENDICULAIREMENT : il part du projeté orthogonal $H$ de $P$ sur la route. b) Le triangle $O H P$ est rectangle en $H$ , d'hypoténuse $OP = 800$ m. $P H = 800 \times sin 30° = 800 \times 0, 5 = 400$ m. c) $O H = 800 \times cos 30° = 800 \times \frac{3}{2} = 4003 \approx 693$ m. ⭐ Partir du carrefour coûterait $800$ m de chemin ; partir de $H$ , seulement $400$ : moitié moins. ⛔ Le piège au a) : faire partir le chemin du carrefour, « parce que la route y est déjà ». La distance d'un point à une droite se mesure sur la perpendiculaire.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : problèmes de géométrie plane, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3