Les probabilités conditionnelles : 20 exercices corrigésmaths 2nde — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : les probabilités conditionnelles, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) On se place parmi les $100$ filles : $P_F(D)=\frac{60}{100}=$$0,6$. b) On se place parmi les $110$ demi-pensionnaires : $P_D(F)=\frac{60}{110}\approx$$0,545$. ⭐ Même case, $60$ élèves, mais pas le même dénominateur : « sachant $F$ » divise par la ligne des filles, « sachant $D$ » par la colonne des demi-pensionnaires. ⛔ Le piège : diviser par $200$. $\frac{60}{200}=$$0,3$, c'est $P(F\cap$$D)$ : « fille ET demi-pensionnaire », parmi TOUS les élèves.

   	Demi-pension	Externe	Total
   Filles	60	40	100
   Garçons	50	50	100
   Total	110	90	200

2. 2. $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0,1}{0,4}=$$0,25$. ⭐ Lecture : parmi les issues de $A$, un quart sont aussi dans $B$. ⛔ Le piège : diviser dans l'autre sens, $\frac{0,4}{0,1}=$$4$. Une probabilité ne dépasse jamais $1$.
3. 3. Au premier niveau : $P(\overline{A})=1-0,3=$$0,7$. Après $A$ : $P_A(\overline{B})=1-0,6=$$0,4$. Après $\overline{A}$ : $P_{\overline{A}}(\overline{B})=1-0,2=$$0,8$. ⭐ Chaque nœud a des branches de somme $1$ : c'est la seule règle pour compléter un arbre. ⛔ Le piège : écrire $0,6$ sur la branche $A$ → $B$ puis $0,2$… sur la branche $A$ → $\overline{B}$. Les deux nombres donnés appartiennent à DEUX nœuds différents.
4. 4. On multiplie le long de chaque chemin. $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=0,3\times 0,6=$$0,18$. $P(\overline{A}\cap B)=0,7\times 0,2=$$0,14$. ⛔ Le piège : répondre $P(A\cap B)=$$0,6$. $0,6$ est la probabilité de $B$ PARMI $A$ ; il faut encore tomber dans $A$, avec la probabilité $0,3$.
5. 5. Deux chemins mènent à $B$ : $A\to B$ et $\overline{A}\to$$B$. On les additionne. $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)=0,18+0,14=$$0,32$. ⛔ Le piège : $P(B)=0,6+0,2=$$0,8$, en additionnant les branches au lieu des chemins.
6. 6. « Sachant que c'est une figure » : on se place parmi les $12$ figures ($3$ par couleur). Parmi elles, $3$ sont des cœurs : $P_F(C)=\frac{3}{12}=$$\frac{1}{4}$. ⭐ Par la formule : $P(F\cap C)=\frac{3}{32}$ et $P(F)=$$\frac{12}{32}$, donc $P_F(C)=\frac{3}{32}÷\frac{12}{32}=$$\frac{3}{12}$. ✓ ⛔ Le piège : répondre $\frac{3}{32}$, en oubliant l'information « c'est une figure ».

   	Figure	Pas figure	Total
   Cœur	3	5	8
   Pas cœur	9	15	24
   Total	12	20	32

7. 7. a) Parmi les $30$ jours nuageux, $12$ de pluie : $P_N(P)=\frac{12}{30}=$$0,4$. b) Parmi les $12$ jours de pluie, tous étaient nuageux : $P_P(N)=\frac{12}{12}=$$1$. c) Non ! « Pluie sachant nuages » vaut $0,4$, « nuages sachant pluie » vaut $1$. Les nuages n'annoncent pas toujours la pluie, mais la pluie vient toujours avec des nuages. ⭐ Échanger ce qu'on sait et ce qu'on cherche change la probabilité : c'est le piège des faux positifs, en version météo.

   	Pluie	Sec	Total
   Nuages	12	18	30
   Ciel clair	0	70	70
   Total	12	88	100

8. 8. a) Premier niveau : $P(F)=0,6$ et $P(\overline{F})=$$0,4$. Deuxième niveau : $P_F(D)=0,3$ et $P_F(\overline{D})=$$0,7$ ; $P_{\overline{F}}(D)=0,5$ et $P_{\overline{F}}(\overline{D})=$$0,5$. b) $P(F\cap D)=0,6\times 0,3=$$0,18$. ⭐ « Parmi eux, $30$ % » est une probabilité CONDITIONNELLE : elle va au deuxième niveau, derrière $F$. ⛔ Le piège : lire « $30$ % prennent un dessert » comme $P(D)=$$0,3$. Ce n'est vrai que parmi ceux qui ont des frites.
9. 9. a) Deux chemins mènent à $D$ : $P(D)=0,6\times 0,3+0,4\times 0,5=0,18+0,2=$$0,38$. b) $P_D(F)=\frac{P(F\cap D)}{P(D)}=\frac{0,18}{0,38}\approx$$0,474$. ⭐ L'arbre donnait $P_F(D)=$$0,3$ ; on vient de calculer l'inverse, $P_D(F)\approx$$0,47$. Rien ne les oblige à être égales. ⛔ Le piège au b) : répondre $0,3$, la probabilité inscrite sur la branche. Elle répond à une autre question.
10. 10. a) $30$ ans ou plus : $300$ salariés, dont $45$ à vélo et $255$ autrement. À vélo : $60+45=105$ en tout. b) $P_J(V)=\frac{60}{200}=0,3$ et $P_{\overline{J}}(V)=\frac{45}{300}=$$0,15$ : les moins de $30$ ans viennent deux fois plus souvent à vélo. c) Parmi les $105$ cyclistes : $P_V(J)=\frac{60}{105}\approx$$0,571$. ⭐ Au c), on se place dans la COLONNE des cyclistes ; au b), dans les LIGNES des âges.

    	Vélo	Autre	Total
    Moins de 30 ans	60	140	200
    30 ans ou plus	45	255	300
    Total	105	395	500

11. 11. a) Trois branches au premier niveau : $0,5$ ; $0,3$ ; $0,2$. Derrière chacune : « défectueuse » ($0,02$ ; $0,03$ ; $0,05$) et « bonne » ($0,98$ ; $0,97$ ; $0,95$). b) Trois chemins mènent à « défectueuse » : $0,5\times 0,02+0,3\times 0,03+0,2\times 0,05=0,01+0,009+0,01=$$0,029$. Environ $2,9$ % des pièces sont défectueuses. ⛔ Le piège : faire la moyenne des trois taux, $\frac{2+3+5}{3}\approx 3,3$ %. Les machines ne produisent pas autant les unes que les autres.
12. 12. $P_D(M_3)=\frac{P(M_3\cap D)}{P(D)}=\frac{0,01}{0,029}\approx$$0,345$. $P_D(M_1)=\frac{0,01}{0,029}\approx 0,345$ aussi. ⭐ $M_3$ ne fait que $20$ % des pièces, mais $34,5$ % des défectueuses : c'est elle qu'il faut régler en priorité. Et $M_1$, la plus sûre, fournit autant de défauts parce qu'elle produit le plus. ⛔ Le piège : répondre $0,05$, le taux de défaut de $M_3$. C'est $P_{M_3}(D)$, pas $P_D(M_3)$.

    Machine	Part des pièces	Part des défauts
    M1	50 %	34,5 %
    M2	30 %	31,0 %
    M3	20 %	34,5 %

13. 13. a) Compétition : $\frac{2}{3}\times 30=20$ garçons et $10$ filles. Loisir : $50$ membres, dont $0,4\times 50=20$ garçons et $30$ filles. Total : $40$ garçons et $40$ filles. b) $P_G(C)=\frac{20}{40}=$$0,5$ : un garçon sur deux fait de la compétition. $P_C(G)=\frac{20}{30}=$$\frac{2}{3}$ : deux compétiteurs sur trois sont des garçons. ⭐ Même case ($20$), deux questions, deux réponses.

    	Compétition	Loisir	Total
    Garçons	20	20	40
    Filles	10	30	40
    Total	30	50	80

14. 14. a) Premier niveau : $P(D)=$$0,05$, $P(\overline{D})=$$0,95$. Deuxième niveau : $P_D(R)=$$0,9$, $P_D(\overline{R})=$$0,1$ ; $P_{\overline{D}}(R)=$$0,02$, $P_{\overline{D}}(\overline{R})=$$0,98$. b) Deux chemins mènent au rejet : $0,05\times 0,9+0,95\times 0,02=0,045+0,019=$$0,064$. Environ $6,4$ % des pièces sont rejetées. ⛔ Le piège : oublier le second chemin et répondre $0,045$. Les pièces bonnes rejetées à tort comptent aussi.
15. 15. $P_R(D)=\frac{P(D\cap R)}{P(R)}=\frac{0,045}{0,064}\approx$$0,703$. Environ $70$ % des pièces rejetées sont défectueuses : les $30$ % restants sont de bonnes pièces jetées pour rien. ⭐ Le contrôle semble excellent (il attrape $90$ % des défauts, ne se trompe que sur $2$ % des bonnes pièces), et pourtant près d'une pièce rejetée sur trois est bonne. C'est parce que les bonnes pièces sont bien plus NOMBREUSES : $2$ % de beaucoup, c'est beaucoup. ⛔ Le piège : répondre $0,9$, qui est $P_D(R)$.

    Sur 1 000	Rejet	Accepté	Total
    Défect.	45	5	50
    Bonnes	19	931	950
    Total	64	936	1000

16. 16. a) Après une rouge, il reste $3$ rouges sur $9$ boules : $P_{R_1}(R_2)=\frac{3}{9}=$$\frac{1}{3}$. b) Premier tirage : $P(R_1)=$$\frac{4}{10}$, $P(B_1)=$$\frac{6}{10}$. Après une bleue, il reste $4$ rouges sur $9$ : $P_{B_1}(R_2)=$$\frac{4}{9}$. $P(R_2)=\frac{4}{10}\times \frac{3}{9}+\frac{6}{10}\times \frac{4}{9}=\frac{12}{90}+\frac{24}{90}=\frac{36}{90}=$$0,4$. C'est exactement $P(R_1)=$$0,4$ ! ⭐ Sans savoir ce qu'est la première boule, la seconde a la même chance d'être rouge : tirer en deuxième n'avantage ni ne désavantage personne. C'est pour cela qu'un tirage au sort est équitable, dans l'ordre qu'on veut.
17. 17. Le test de dépistage a) $P(M)=$$0,01$, $P(\overline{M})=$$0,99$ ; $P_M(+)=$$0,99$ ; $P_{\overline{M}}(+)=$$0,05$. b) Deux chemins : $P(+)=0,01\times 0,99+0,99\times 0,05=0,0099+0,0495=$$0,0594$. c) $P_{+}(M)=\frac{0,0099}{0,0594}\approx$$0,167$ : environ UNE chance sur six. d) Sur $10000$ personnes : $100$ malades, dont $99$ positifs ; $9900$ saines, dont $495$ positives. Sur les $594$ positifs, seuls $99$ sont malades : $\frac{99}{594}=$$\frac{1}{6}$. ⭐ Le test est fiable, mais la maladie est RARE : les faux positifs, pris sur une foule de gens sains, sont cinq fois plus nombreux que les vrais. C'est pourquoi un test positif se confirme toujours par un second examen. ⛔ Le piège : répondre $99$ %. C'est $P_M(+)$, la question du laboratoire, pas celle de Léa.
    Sur 10 000	Positif	Négatif	Total
    Malades	99	1	100
    Sains	495	9405	9900
    Total	594	9406	10000

18. 18. Le même test, chez des patients à risque a) Malades : $2000$, dont $0,99\times 2000=1980$ positifs et $20$ négatifs. Sains : $8000$, dont $0,05\times 8000=400$ positifs et $7600$ négatifs. Positifs : $1980+400=$$2380$. b) $P_{+}(M)=\frac{1980}{2380}\approx$$0,832$ : plus de huit chances sur dix. c) Même test, même fiabilité : $17$ % dans la population générale, $83$ % chez les patients à risque. La valeur d'un test positif dépend de la fréquence de la maladie dans le groupe testé. ⭐ C'est pour cela qu'on ne dépiste pas tout le monde pour tout : on cible les groupes où la maladie est fréquente.

    Sur 10 000	Positif	Négatif	Total
    Malades	1980	20	2000
    Sains	400	7600	8000
    Total	2380	7620	10000

19. 19. L'application météo a) $P(P)=$$0,25$, $P(\overline{P})=$$0,75$ ; $P_P(A)=$$0,8$, $P_{\overline{P}}(A)=$$0,1$. b) $P(A)=0,25\times 0,8+0,75\times 0,1=0,2+0,075=$$0,275$. c) $P_A(P)=\frac{0,2}{0,275}\approx$$0,727$ : environ $73$ %. ⭐ Quand elle annonce la pluie, l'application a raison environ trois fois sur quatre. Prendre son parapluie reste un bon calcul. ⛔ Le piège au c) : répondre $0,8$, qui est $P_P(A)$ : « annoncée sachant qu'il pleut ».
20. 20. Le filtre anti-spam a) Spams : $600$, dont $570$ filtrés et $30$ qui passent. Vrais messages : $400$, dont $8$ filtrés et $392$ qui passent. Filtrés : $578$ ; reçus : $422$. b) Parmi les $578$ filtrés, $8$ vrais messages : $\frac{8}{578}\approx$$0,014$, soit environ $1,4$ %. Le dossier « indésirables » ne cache presque rien d'important. c) Parmi les $422$ messages reçus, $30$ spams : $\frac{30}{422}\approx$$0,071$, soit environ $7$ %. ⭐ Ici, les spams sont MAJORITAIRES : c'est l'inverse du test de dépistage, et les erreurs du filtre pèsent peu. ⛔ Le piège au b) : répondre $2$ %, la part des vrais messages filtrés. On cherche la part des vrais messages PARMI les filtrés.

    Sur 1 000	Filtré	Reçu	Total
    Spams	570	30	600
    Vrais	8	392	400
    Total	578	422	1000