Nombres réels, intervalles et valeur absolue : 20 exercices corrigésmaths 2nde — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : nombres réels, intervalles et valeur absolue, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. On cherche l'écriture la plus simple de chaque nombre, puis le plus petit ensemble. a) $7$ est un entier positif : $\mathbb{N}$. $-4$ est un entier négatif : $\mathbb{Z}$. b) $0,35$ a une écriture décimale qui s'arrête : $\mathbb{D}$. $\frac{3}{8}=$$0,375$ : $\mathbb{D}$ aussi. c) $\frac{2}{3}=0,666\dots$ ne s'arrête jamais : c'est une fraction, $\mathbb{Q}$. Et $\sqrt{16}=$$4$ : $\mathbb{N}$. ⛔ Le piège : ranger $\sqrt{16}$ dans $\mathbb{R}$ parce qu'il y a une racine. On calcule d'abord : c'est $4$. d) $\sqrt{2}$ et $\pi$ ne sont pas des fractions : $\mathbb{R}$.
   Le plus petit ensemble

   Données	ensemble	parce que
   3/8	D	3/8 = 0,375
   2/3	Q	0,666… sans fin
   √16	N	√16 = 4
   √2	R	pas une fraction

2. 2. a) FAUX. $\mathbb{N}$ ne contient que les entiers positifs ou nuls. $-3$ est dans $\mathbb{Z}$. b) VRAI. $\frac{1}{4}=$$0,25$ : l'écriture décimale s'arrête. c) FAUX. $\frac{1}{3}=$$0,333\dots$ : l'écriture décimale ne s'arrête jamais. L'exercice 15 le démontre. d) VRAI. $5=$$5,0$ : un entier est un décimal sans chiffre après la virgule. C'est pour cela que $\mathbb{Z}\subset$$\mathbb{D}$. ⭐ Le symbole $\in$ se lit « appartient à ».
3. 3. On écrit d'abord chaque nombre en décimal, pour savoir entre quelles graduations il tombe. a) $-1,5$ : au milieu entre $-2$ et $-1$. b) $0,5$ : au milieu entre $0$ et $1$. c) $\frac{7}{4}=$$1,75$ : aux trois quarts entre $1$ et $2$. ⛔ Le piège : placer $\frac{7}{4}$ à $7$ ou à $4$. Une fraction est un nombre : on la calcule avant de la placer. d) $\sqrt{2}\approx$$1,41$ : un peu avant le milieu entre $1$ et $2$. $D$ est donc à gauche de $C$, car $1,41<$$1,75$.
4. 4. Un crochet tourné vers le nombre donne $⩽$ ; tourné à l'envers, il donne $<$. a) $[-1;4[$ : $-1⩽x<$$4$. On prend $-1$, pas $4$. b) $]-\infty ;3]$ : $x⩽$$3$. Pas de borne à gauche : tous les nombres plus petits que $3$. c) $]0;+\infty [$ : $x>$$0$. Les nombres strictement positifs. ⛔ Le piège au a) : écrire $-1<x<$$4$. Le crochet « $[$ » devant $-1$ est tourné vers lui : $-1$ est compris.
5. 5. a) FAUX. Le crochet est tourné à l'envers devant $3$ : $3$ n'est pas compris. b) VRAI. Le crochet est tourné vers $-2$ : il est compris. c) VRAI. $-2<2,99<$$3$ : il est entre les bornes, même s'il est tout près de $3$. d) VRAI. $\pi \approx$$3,14159$, et $3,14⩽3,14159⩽$$3,15$. ⛔ Le piège au c) : croire qu'un nombre si proche de $3$ est exclu avec lui. Seul $3$ est exclu ; $2,99$, $2,999$ et $2,9999$ sont dedans.
6. 6. a) On cherche deux carrés autour de $30$ : $5^2=25$ et $6^2=$$36$. Comme $25<30<$$36$, on a $5<\sqrt{30}<$$6$. b) On essaie les dixièmes : $5,4^2=29,16$ et $5,5^2=$$30,25$. Donc $5,4<\sqrt{30}<$$5,5$. c) $\frac{22}{7}\approx$$3,1428$, donc $3,14<\frac{22}{7}<$$3,15$. Et $\pi \approx$$3,1416$ : $\frac{22}{7}$ est un peu plus GRAND que $\pi$, d'environ $0,0013$. ⭐ Archimède utilisait déjà $\frac{22}{7}$ pour $\pi$ : c'est une bonne valeur approchée, pas la valeur exacte.
7. 7. Si le nombre dans les barres est positif, on le garde. S'il est négatif, on prend son opposé. a) $|-8|=$$8$. b) $3-7=$$-4$, donc $|3-7|=$$4$. c) $\pi \approx$$3,14$, donc $\pi -4$ est négatif. $|\pi -4|=4-\pi \approx$$0,86$. d) $\sqrt{2}\approx$$1,41$, donc $\sqrt{2}-1$ est positif. $|\sqrt{2}-1|=\sqrt{2}-1\approx$$0,41$. ⛔ Le piège au c) : écrire $|\pi -4|=\pi -$$4$. Ce nombre est négatif, et une valeur absolue ne l'est jamais.
8. 8. La distance entre $a$ et $b$ est $|a-$$b|$, ou $|b-$$a|$ : c'est la même chose. a) $|5-(-3)|=|8|=$$8$. b) $|-2-(-7)|=|5|=$$5$. c) $|2,5-(-1,5)|=|4|=$$4$. ⭐ On vérifie le a) sur la droite : de $-3$ à $0$, il y a $3$ ; de $0$ à $5$, il y a $5$ ; en tout, $8$. ⛔ Le piège au a) : calculer $5-3=$$2$. On soustrait $-3$, donc on AJOUTE $3$.
9. 9. Avec la droite : $|x-3|$ est la distance entre $x$ et $3$. On cherche les nombres à la distance $5$ de $3$ : on part de $3$ et on fait $5$ pas de chaque côté. On trouve $3-5=-2$ et $3+5=$$8$. Par le calcul : le nombre $x-3$ vaut $5$ ou $-5$. Donc $x=8$ ou $x=$$-2$. Les solutions sont $-2$ et $8$. ⛔ Le piège : ne garder que $x=$$8$. Il y a toujours deux nombres à une distance donnée, un de chaque côté.
10. 10. a) $|x+2|=|x-$$(-2)|$ : c'est la distance entre $x$ et $-2$. Les nombres à la distance $4$ de $-2$ sont $-2-4=-6$ et $-2+4=$$2$. Les solutions sont $-6$ et $2$. b) Une distance n'est jamais négative : l'équation n'a AUCUNE solution. ⛔ Le piège au a) : partir de $2$ au lieu de $-2$, et trouver $-2$ et $6$. On vérifie : $|6+2|=$$8$, pas $4$.
11. 11. a) Les nombres à une distance de $1$ inférieure ou égale à $3$. On va de $1-3=-2$ à $1+3=$$4$, bornes comprises : $[-2;4]$. b) $|x+3|$ est la distance entre $x$ et $-3$. On va de $-3-2=-5$ à $-3+2=$$-1$, bornes exclues : $]-5;-1[$. ⭐ Le centre de l'intervalle est le nombre de la valeur absolue ($1$, puis $-3$) ; sa demi-largeur est le nombre de droite ($3$, puis $2$). ⛔ Le piège au b) : garder les bornes. Le signe $<$ est strict : $-5$ et $-1$ sont à la distance $2$ exactement, donc exclus.
12. 12. On cherche le CENTRE (le milieu des bornes) et la demi-largeur. a) Centre : $\frac{2+8}{2}=$$5$. Demi-largeur : $8-5=$$3$. Bornes comprises : $|x-5|⩽$$3$. b) Centre : $\frac{-4+0}{2}=$$-2$. Demi-largeur : $0-(-2)=$$2$. Bornes exclues : $|x+2|<$$2$. ⭐ On vérifie le a) sur les bornes : $|2-5|=3$ et $|8-5|=$$3$. ✓
13. 13. a) $I$ va de $-3$ (compris) à $4$ (exclu) ; $J$ va de $1$ (exclu) à $6$ (compris). Ils se chevauchent entre $1$ et $4$. b) Dans les deux à la fois : de $1$ à $4$, sans $1$ (hors de $J$) et sans $4$ (hors de $I$). $I\cap J=$$]1;4[$. c) Dans l'un ou l'autre : de $-3$ à $6$, sans trou au milieu. $I\cup J=$$[-3;6]$. ⛔ Le piège au b) : écrire $[1;4]$. Une borne de l'intersection n'est comprise que si elle est dans LES DEUX intervalles.
    I = [−3 ; 4[ et J = ]1 ; 6]

    Données	dans I	dans J
    −3	oui	non
    1	oui	non
    2	oui	oui
    4	non	oui
    6	non	oui

14. 14. a) $L$ est à moins de $0,1$ de $12,4$ : de $12,4-0,1=12,3$ à $12,4+0,1=$$12,5$, bornes comprises. $L\in$$[12,3;12,5]$. b) $|12,45-12,4|=$$0,05$, qui est bien $⩽$$0,1$ : c'est possible. $|12,55-12,4|=$$0,15$, qui dépasse $0,1$ : c'est impossible. ⭐ Une mesure n'est jamais un nombre exact : c'est un intervalle. La valeur absolue dit sa largeur.
15. 15. a) Un décimal s'écrit $\frac{a}{10^n}$, avec $a$ entier. Supposons que $\frac{1}{3}=$$\frac{a}{10^n}$. Alors $10^n=$$3a$ : $10^n$ serait un multiple de $3$. Or la somme des chiffres de $10^n$ ($1$ suivi de zéros) vaut $1$ : $10^n$ n'est pas divisible par $3$. C'est impossible, donc $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal. b) $\frac{7}{40}=$$0,175$ : décimal. $\frac{13}{20}=$$0,65$ : décimal. $\frac{5}{12}=$$0,41666\dots$ : pas décimal. Le facteur $3$ de $12=2^2\times 3$ l'en empêche, comme pour $\frac{1}{3}$. ⭐ La règle : une fraction irréductible est décimale quand son dénominateur n'a pas d'autre facteur premier que $2$ et $5$.
16. 16. On élève au carré des nombres de plus en plus proches. Entre deux entiers : $2^2=4$ et $3^2=$$9$, donc $2<\sqrt{7}<$$3$. Au dixième : $2,6^2=6,76$ et $2,7^2=$$7,29$, donc $2,6<\sqrt{7}<$$2,7$. Au centième : $2,64^2=6,9696$ et $2,65^2=$$7,0225$, donc $2,64<\sqrt{7}<$$2,65$. ⭐ À chaque étape, l'encadrement devient dix fois plus étroit. C'est ce que fait la calculatrice, en beaucoup plus vite.
17. 17. √2 n'est pas une fraction a) On élève au carré : $2=$$\frac{p^2}{q^2}$, donc $p^2=$$2q^2$. C'est $2$ fois un entier : $p^2$ est pair. b) Si $p$ était impair, $p^2$ serait impair. Or $p^2$ est pair : $p$ est donc pair. c) On remplace : $(2k{)}^2=$$2q^2$, donc $4k^2=2q^2$ et $q^2=$$2k^2$. Comme au a), $q^2$ est pair, puis $q$ est pair. d) $p$ et $q$ sont tous les deux pairs : la fraction $\frac{p}{q}$ se simplifie par $2$. Or on l'avait supposée irréductible. C'est une contradiction. Donc $\sqrt{2}$ ne peut pas s'écrire comme une fraction : il est dans $\mathbb{R}$ mais pas dans $\mathbb{Q}$. ⭐ Cette preuve a plus de deux mille ans. Elle montre que la droite des nombres a des « trous » que les fractions ne remplissent pas.
18. 18. La pièce à 0,2 mm près a) De $50-0,2=49,8$ à $50+0,2=$$50,2$, bornes comprises : $[49,8;50,2]$. b) On calcule l'écart à $50$ de chaque pièce. $|49,75-50|=$$0,25$ : refusée. $|50,1-50|=$$0,1$ : acceptée. $|50,25-50|=$$0,25$ : refusée. $|49,8-50|=$$0,2$ : acceptée, tout juste. Deux pièces sont acceptées : $50,1$ et $49,8$. ⛔ Le piège : refuser $49,8$. L'inégalité est large ($⩽$) : un écart de $0,2$ exactement est accepté.
19. 19. Le sondage a) De $52-3=49$ à $52+3=$$55$ : $p\in$$[49;55]$. b) Non. L'intervalle contient des valeurs sous $50$, comme $49$ : la candidate peut perdre. c) Il faut que toutes les valeurs possibles dépassent $50$, donc que $52-m>$$50$, soit $m<$$2$. La marge d'erreur doit être inférieure à $2$ points. ⛔ Le piège : lire « $52\%$ » et conclure qu'elle gagne. Un sondage ne donne pas un nombre, il donne un INTERVALLE.
20. 20. Deux relais téléphoniques a) Capté par $A$ : $|x-12|<$$5$, soit $x\in$$]7;17[$. b) Capté par $B$ : $|x-20|<$$8$, soit $x\in$$]12;28[$. c) Les deux à la fois : l'intersection, $]12;17[$. On capte les deux relais entre les bornes $12$ et $17$. d) Au moins un : la réunion, $]7;28[$. Les zones se chevauchent, il n'y a pas de trou. ⭐ Au point $A$ lui-même (borne $12$), on ne capte pas $B$ : $|12-20|=$$8$, et il faut moins de $8$.