Les statistiques descriptives : 20 exercices corrigésmaths 2nde — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : les statistiques descriptives, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) L'effectif total est la somme des effectifs : $3+5+8+6+3=25$ élèves. b) Au moins $12$, c'est $12$, $14$ ou $16$ : $8+6+3=17$ élèves. c) Fréquence de $12$ : $\frac{8}{25}=$$0,32$, soit $32$ %. Fréquence des notes d'au moins $12$ : $\frac{17}{25}=$$0,68$, soit $68$ %. ⛔ Le piège au a) : répondre $5$, le nombre de notes différentes. On compte les ÉLÈVES, donc les effectifs.
2. 2. On additionne les cinq temps, puis on divise par leur nombre. $72+75+70+78+85=$$380$, et $\frac{380}{5}=$$76$. Son temps moyen est de $76$ secondes par tour. ⛔ Le piège : faire la moyenne du tour le plus rapide et du plus lent, $\frac{70+85}{2}=$$77,5$. La moyenne tient compte de TOUS les tours.
3. 3. Chaque note compte autant de fois que son effectif : on multiplie, on additionne, puis on divise par l'effectif total. $8\times 3+10\times 5+12\times 8+14\times 6+16\times 3=24+50+96+84+48=$$302$. Moyenne : $\frac{302}{25}=$$12,08$. ⭐ La moyenne n'est la note de personne : aucun élève n'a eu $12,08$. ⛔ Le piège : faire la moyenne des cinq notes, $\frac{8+10+12+14+16}{5}=$$12$. Ce serait compter autant les $3$ élèves à $8$ que les $8$ élèves à $12$.

   Note	8	10	12	14	16
   Note × effectif	24	50	96	84	48

4. 4. On RANGE d'abord : $9$, $9$, $11$, $14$, $15$, $17$, $20$. Il y a $7$ valeurs, un nombre impair : la médiane est la valeur du milieu, la $4^e$. Donc la médiane est $14$. ⭐ Trois valeurs sont en dessous, trois au-dessus. ⛔ Le piège : prendre la $4^e$ valeur de la liste telle qu'elle arrive, $11$. Sans ranger, le milieu de la liste ne veut rien dire.

5. 5. On range : $3$, $5$, $6$, $7$, $8$, $10$, $12$, $15$. Il y a $8$ valeurs, un nombre pair : pas de valeur au milieu. La médiane est la moyenne des $4^e$ et $5^e$ valeurs : $\frac{7+8}{2}=$$7,5$. ⭐ La médiane n'est pas une valeur de la série, et ce n'est pas grave : elle coupe quand même la série en deux moitiés de $4$ valeurs. ⛔ Le piège : prendre la moyenne des $4^e$ et $5^e$ valeurs SANS ranger, $\frac{15+10}{2}=$$12,5$.

6. 6. On range : $2$, $4$, $4$, $5$, $7$, $8$, $9$, $11$, $12$, $13$, $15$, $18$. a) $12$ valeurs : la médiane est la moyenne des $6^e$ et $7^e$, $\frac{8+9}{2}=8,5$ minutes. b) $\frac{12}{4}=$$3$ : $Q_1$ est la $3^e$ valeur, $Q_1=$$4$. Et $\frac{3\times 12}{4}=$$9$ : $Q_3$ est la $9^e$ valeur, $Q_3=$$12$. c) $Q_3-Q_1=12-4=8$ minutes : la moitié centrale des attentes tient dans $8$ minutes. ⛔ Le piège au b) : croire que $Q_1$ est « la médiane de la première moitié ». Au lycée, $Q_1$ est une valeur de la série, de rang $\frac{N}{4}$ arrondi au-dessus.

7. 7. On divise chaque effectif par l'effectif total, $40$. Bus : $\frac{18}{40}=$$0,45$, soit $45$ %. Voiture : $\frac{10}{40}=$$0,25$, soit $25$ %. Vélo : $\frac{4}{40}=$$0,1$, soit $10$ %. À pied : $\frac{8}{40}=$$0,2$, soit $20$ %. ⭐ On vérifie : $0,45+0,25+0,1+0,2=$$1$. Les fréquences d'une série font toujours $1$, soit $100$ %.
8. 8. a) Si on transforme chaque valeur par $1,8C+$$32$, la moyenne subit la MÊME transformation : $1,8\times 20+32=36+32=68$ °F. b) Ajouter $2$ à chaque note ajoute $2$ à la moyenne : $11,4+2=$$13,4$. c) L'écart type mesure un étalement : le $+32$ décale toute la série sans l'étaler, il ne compte pas. Seul le $\times 1,8$ agit : $1,8\times 3=5,4$ °F. ⛔ Le piège au c) : calculer $1,8\times 3+$$32$. Un décalage ne change pas la dispersion.

   	°C	°F
   Moyenne	20	68

9. 9. a) On additionne les effectifs au fur et à mesure : $2$, $7$, $16$, $24$, $28$, $30$. b) Médiane : $30$ valeurs, c'est la moyenne des $15^e$ et $16^e$. Les pointures $38$ vont du rang $8$ au rang $16$ : les deux valent $38$, la médiane est $38$. $Q_1$ : $\frac{30}{4}=$$7,5$, arrondi à $8$ ; la $8^e$ valeur est $38$ (le cumul passe de $7$ à $16$), donc $Q_1=$$38$. $Q_3$ : $\frac{3\times 30}{4}=$$22,5$, arrondi à $23$ ; la $23^e$ valeur est $39$ (cumul de $17$ à $24$), donc $Q_3=$$39$. c) $36\times 2+37\times 5+38\times 9+39\times 8+40\times 4+41\times 2=72+185+342+312+160+82=$$1153$, et $\frac{1153}{30}\approx$$38,43$. ⛔ Le piège au b) : arrondir $7,5$ à $7$. Le rang d'un quartile s'arrondit toujours à l'entier SUPÉRIEUR.

   Pointure	Effectif cumulé
   36	2
   37	7
   38	16
   39	24
   40	28
   41	30

   Pointure	36	37	38	39	40	41
   Effectif cumulé	2	7	16	24	28	30

10. 10. Moyenne : $\frac{4+6+8+10+12}{5}=\frac{40}{5}=$$8$. Les écarts à la moyenne : $-4$, $-2$, $0$, $2$, $4$. Leurs carrés : $16$, $4$, $0$, $4$, $16$. La moyenne des carrés : $\frac{16+4+0+4+16}{5}=\frac{40}{5}=8$ (c'est la VARIANCE). L'écart type est sa racine : $\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx$$2,83$. ⛔ Le piège : faire la moyenne des écarts eux-mêmes, $\frac{-4-2+0+2+4}{5}=$$0$. Les écarts se compensent toujours : c'est pour ça qu'on les met au carré.

    Valeur	4	6	8	10	12
    Carré de l'écart	16	4	0	4	16

11. 11. a) A : $\frac{7+8+8+9+8}{5}=\frac{40}{5}=$$8$. B : $\frac{10+5+10+6+9}{5}=\frac{40}{5}=$$8$. Même moyenne. b) A : écarts $-1$, $0$, $0$, $1$, $0$ ; carrés $1$, $0$, $0$, $1$, $0$ ; variance $\frac{2}{5}=$$0,4$ ; écart type $\sqrt{0,4}\approx$$0,63$. B : écarts $2$, $-3$, $2$, $-2$, $1$ ; carrés $4$, $9$, $4$, $4$, $1$ ; variance $\frac{22}{5}=$$4,4$ ; écart type $\sqrt{4,4}\approx$$2,10$. c) L'archer A a un écart type plus de trois fois plus petit : il est bien plus RÉGULIER. Pour éviter le mauvais tir, on choisit A. ⭐ La moyenne seule ne les distinguait pas. C'est la dispersion qui dit la différence.

12. 12. a) Minimum $12$, $Q_1=$$18$, médiane $23$, $Q_3=$$30$, maximum $45$ (les deux bouts des moustaches, les deux bords de la boîte, le trait dedans). b) Écart interquartile : $Q_3-Q_1=30-18=12$ minutes, la largeur de la boîte. Étendue : $45-12=33$ minutes, d'un bout à l'autre. c) Au moins la moitié des salariés mettent $23$ minutes ou moins (la médiane). Au moins $75$ % mettent $30$ minutes ou moins ($Q_3$) : au plus $25$ % mettent plus de $30$ minutes, soit au plus $0,25\times 200=50$ salariés. ⛔ Le piège au b) : confondre les deux. L'écart interquartile ne regarde que la moitié centrale, l'étendue regarde les deux salariés les plus extrêmes.

13. 13. Une moyenne de $12$ sur $5$ notes, c'est un total de $12\times 5=60$ points. Elle en a déjà $12+9+15+11=$$47$. Il lui manque $60-47=$$13$ : elle doit avoir $13$. ⭐ On vérifie : $\frac{12+9+15+11+13}{5}=\frac{60}{5}=$$12$. ✓ ⛔ Le piège : répondre $12$, « la moyenne voulue ». Ses notes actuelles ont une moyenne de $11,75$ : il faut compenser.
14. 14. a) Augmenter de $3$ %, c'est multiplier chaque salaire par $1,03$. La moyenne est multipliée par $1,03$ : $1800\times 1,03=1854$ €. L'écart type AUSSI : $250\times 1,03=257,5$ €. b) Ajouter $50$ € à chaque salaire ajoute $50$ € à la moyenne : $1850$ €. Mais tout le monde bouge de la même somme : l'écart type reste $250$ €. c) L'augmentation en pourcentage : elle donne plus en euros aux gros salaires, et l'écart type grandit. La prime fixe, elle, ne change pas les écarts en euros. ⛔ Le piège au b) : ajouter aussi $50$ à l'écart type. Un décalage ne change pas la dispersion.

    	Avant	+3 %	+50 €
    Moyenne (€)	1 800	1 854	1 850

    	Avant	+3 %	+50 €
    Écart type (€)	250	257,5	250

15. 15. Chaque note compte autant de fois que son coefficient. Somme des notes × coefficients : $14\times 4+11\times 3+16\times 2+18\times 1=56+33+32+18=$$139$. Somme des coefficients : $4+3+2+1=$$10$. Moyenne : $\frac{139}{10}=$$13,9$. ⛔ Le piège : la moyenne simple des quatre notes, $\frac{14+11+16+18}{4}=$$14,75$. Le $18$ d'EPS pèse quatre fois moins que le $14$ de maths. ⛔ Et diviser par $4$ (le nombre de matières) au lieu de $10$ (le total des coefficients).

    Matière	Note × coef.
    Maths	56
    Français	33
    Anglais	32
    EPS	18

    Matière	Maths	Français	Anglais	EPS
    Note × coef.	56	33	32	18

16. 16. On ne fait pas la moyenne des moyennes : on reconstitue les TOTAUX. Classe A : $20\times 11=220$ points. Classe B : $30\times 13=390$ points. Ensemble : $\frac{220+390}{50}=\frac{610}{50}=$$12,2$. ⭐ C'est plus près de $13$ que de $11$ : la classe B, plus nombreuse, pèse plus. ⛔ Le piège : répondre $\frac{11+13}{2}=$$12$. Ce serait vrai seulement si les deux classes avaient le même effectif.
17. 17. Le PDG dans la moyenne a) Total : $4\times 1800+3\times 1900+2\times 2100+2500+12000=7200+5700+4200+2500+12000=31600$ €. Moyenne : $\frac{31600}{11}\approx 2873$ €. b) $11$ salaires rangés : la médiane est le $6^e$. Les rangs $1$ à $4$ sont à $1800$, les rangs $5$ à $7$ à $1900$ : la médiane est $1900$ €. c) Ce n'est pas faux : la moyenne vaut bien environ $2873$ €. Mais dix personnes sur onze gagnent moins de $2873$ € ; c'est le salaire du PDG qui tire la moyenne vers le haut. La médiane, $1900$ €, décrit mieux le salarié ordinaire. d) Sans le PDG : moyenne $\frac{19600}{10}=1960$ €, médiane $1900$ € (moyenne des $5^e$ et $6^e$, tous deux à $1900$). La moyenne perd plus de $900$ €, la médiane ne bouge pas : elle RÉSISTE aux valeurs extrêmes. ⭐ C'est pour cela qu'on parle souvent de salaire MÉDIAN : en France aussi, le salaire moyen est au-dessus du salaire médian.
18. 18. Deux climats, une même moyenne a) Ville A : la somme des douze mois vaut $138$, et $\frac{138}{12}=11,5$ °C. Ville B : la somme vaut aussi $138$, donc $11,5$ °C. La même moyenne. b) On range. A : $7$, $7$, $7$, $9$, $9$, $10$, $12$, $13$, $15$, $15$, $17$, $17$. B : $1$, $2$, $3$, $6$, $7$, $11$, $12$, $16$, $17$, $20$, $21$, $22$. Rangs : médiane entre la $6^e$ et la $7^e$ valeur, $Q_1$ la $3^e$, $Q_3$ la $9^e$. A : médiane $\frac{10+12}{2}=$$11$, $Q_1=$$7$, $Q_3=$$15$, écart interquartile $8$. B : médiane $\frac{11+12}{2}=$$11,5$, $Q_1=$$3$, $Q_3=$$17$, écart interquartile $14$. c) Même centre, mais la boîte de B est presque deux fois plus large : ses températures s'étalent de $1$ à $22$ °C, celles de A de $7$ à $17$ °C seulement. Ville A : un climat doux toute l'année, l'océan amortit les saisons. Ville B : des hivers froids et des étés chauds, un climat CONTINENTAL. ⭐ Avec la moyenne seule, on aurait dit « même climat ». C'est l'exemple même de la phrase du chapitre : un seul nombre ne résume jamais une série.

19. 19. La machine à paquets de pâtes a) La somme vaut $5000$ g, donc la moyenne est $\frac{5000}{10}=500$ g. b) Écarts à $500$ : $-2$, $2$, $1$, $-3$, $0$, $3$, $-1$, $0$, $2$, $-2$. Carrés : $4$, $4$, $1$, $9$, $0$, $9$, $1$, $0$, $4$, $4$, de somme $36$. Variance : $\frac{36}{10}=$$3,6$. Écart type : $\sqrt{3,6}\approx 1,90$ g. c) La moyenne, $500$ g, est entre $499$ et $501$ ; l'écart type, $1,90$ g, est inférieur à $2$ g. La machine est bien réglée. d) Chaque masse augmente de $4$ g : la moyenne passe à $504$ g, l'écart type reste $1,90$ g. La machine reste aussi RÉGULIÈRE, mais elle est DÉCALÉE : la moyenne sort de l'intervalle, il faut la régler. ⭐ Les deux critères surveillent deux défauts différents : un mauvais réglage (la moyenne) et un manque de précision (l'écart type).
20. 20. Le temps d'écran a) Au moins $3$ heures : les deux dernières classes, $8+4=12$ élèves. Fréquence : $\frac{12}{50}=$$0,24$, soit $24$ %, près d'un élève sur quatre. b) Les centres des classes : $0,5$ ; $1,5$ ; $2,5$ ; $3,5$ ; $4,5$. $0,5\times 6+1,5\times 14+2,5\times 18+3,5\times 8+4,5\times 4=3+21+45+28+18=$$115$, et $\frac{115}{50}=2,3$ h. $0,3$ h, c'est $0,3\times 60=18$ minutes : environ $2$ h $18$ min par jour. c) La médiane est entre la $25^e$ et la $26^e$ valeur. Effectifs cumulés : $6$, $20$, $38$… Les rangs $21$ à $38$ sont dans la classe $[2;3[$ : la médiane y est. ⭐ Au b), ce n'est qu'une ESTIMATION : on fait comme si chaque élève d'une classe était pile au milieu. ⛔ Le piège au b) : écrire « $2,3$ h $=2$ h $30$ min ». Une heure fait $60$ minutes, pas $100$.