Concentration et loi des grands nombres : 20 exercices corrigésmaths Tale spé — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : concentration et loi des grands nombres, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) $E(M_{25})=$$12$ : la moyenne a la même espérance que chaque variable. $V(M_{25})=\frac{9}{25}=$$0,36$, donc $\sigma (M_{25})=\sqrt{0,36}=$$0,6$. b) $\sigma (M_n)=\frac{3}{\sqrt{n}}=0,3$ donne $\sqrt{n}=$$10$, soit $n=$$100$. ⚠️ $\sigma (M_n)=$$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$, pas $\frac{\sigma }{n}$ : c'est la VARIANCE qui est divisée par $n$. ⭐ Le tableau le montre : pour diviser l'écart type par $10$ (de $3$ à $0,3$), il faut $100$ fois plus de variables.

   n	1	4	25	100
   σ(Mₙ)	3	1,5	0,6	0,3

2. 2. a) Bienaymé-Tchebychev avec $\delta =$$10$ : $P(|X-50|⩾10)⩽\frac{16}{10^2}=$$0,16$. b) L'événement $40<X<60$ est le contraire de $|X-50|⩾$$10$. Donc $P(40<X<60)⩾1-0,16=$$0,84$. ⚠️ On divise par ${\delta }^2=$$100$, pas par $\delta =$$10$ : on trouverait $1,6$, absurde pour une probabilité. ⚠️ Le contraire de « l'écart est au moins $10$ » est « l'écart est STRICTEMENT inférieur à $10$ » : les bornes $40$ et $60$ sont exclues. ⭐ Sur la droite : au moins $84$ % des charges durent entre $40$ et $60$ minutes, de part et d'autre de l'espérance $50$.
3. 3. a) Bienaymé-Tchebychev avec $\delta =$$k\sigma$ : $P(|X-\mu |⩾k\sigma )⩽\frac{{\sigma }^2}{k^2{\sigma }^2}=$$\frac{1}{k^2}$. b) $k=$$2$ : s'écarter de $2$ écarts types ou plus arrive avec une probabilité d'au plus $\frac{1}{4}=$$0,25$. $k=$$3$ : au plus $\frac{1}{9}\approx$$0,11$. $k=$$1$ : au plus $1$. C'est vrai, mais cela n'apprend rien. ⚠️ L'inégalité vaut pour TOUTE loi : c'est sa force, et c'est pourquoi elle est souvent large. ⭐ Sur le dessin : la courbe $y=$$\frac{1}{x^2}$ ; les points marqués sont les majorants pour $k=2$ et $k=$$3$. Pour $k⩽$$1$, la courbe est au-dessus de la droite $y=$$1$ : aucune information.
4. 4. a) $E(X)=100\times 0,5=50$ et $V(X)=100\times 0,5\times 0,5=$$25$. b) $P(|X-50|⩾10)⩽\frac{25}{10^2}=$$0,25$. c) $|X-50|⩾10$ signifie $X⩽40$ ou $X⩾$$60$. Comme $p=$$0,5$, la loi est symétrique : ces deux probabilités sont égales. Donc $P(|X-50|⩾10)\approx 2\times 0,0284\approx$$0,057$. La vraie probabilité est plus de quatre fois plus petite que le majorant. ⚠️ L'inégalité n'est pas fausse : elle est GROSSIÈRE. Elle ne sert pas à calculer une probabilité, mais à garantir qu'elle est petite. ⭐ Sur le diagramme (en %) : les deux classes des bords pèsent environ $3$ % chacune, loin des $25$ % autorisés.
5. 5. a) Inégalité de concentration avec $V=$$4$, $n=100$ et $\delta =$$0,5$ : $P(|M_{100}-20|⩾0,5)⩽\frac{4}{100\times 0,25}=$$0,16$. b) $n=$$400$ : $\frac{4}{400\times 0,25}=$$0,04$. $n=$$1600$ : $\frac{4}{1600\times 0,25}=$$0,01$. Quatre fois plus de jours : le majorant est divisé par $4$. ⚠️ ${\delta }^2=$$0,25$, pas $0,5$ : on n'oublie pas le carré. ⭐ Le tableau montre le majorant qui fond quand $n$ grandit : la loi des grands nombres se prépare.

   n	100	400	1 600
   majorant	0,16	0,04	0,01

6. 6. L'inégalité donne $P(|M_n-\mu |⩾0,2)⩽$$\frac{9}{n\times 0,04}$. Il suffit que $\frac{9}{0,04n}⩽$$0,05$. On multiplie par $0,04n>$$0$ : $9⩽$$0,002n$, donc $n⩾$$4500$. Un échantillon de $4500$ valeurs suffit. ⚠️ « Suffit » ne veut pas dire « il faut » : une taille plus petite marcherait peut-être, mais l'inégalité ne le GARANTIT pas. ⭐ Le tableau : à $4500$, le majorant atteint juste $0,05$ ; au double, il est divisé par $2$.

   n	1 000	2 000	4 500	9 000
   majorant	0,225	0,1125	0,05	0,025

7. 7. a) Les probabilités descendent : environ $0,75$ pour $n=$$10$, $0,20$ pour $n=$$50$, $0,06$ pour $n=$$100$. C'est la loi des grands nombres : pour tout $\delta >$$0$, $P(|F_n-0,5|⩾\delta )$ tend vers $0$. b) Faux : les lancers sont indépendants, la pièce n'a pas de mémoire. Face garde la probabilité $0,5$. c) Faux : pour $n$ impair, $F_n$ ne peut même pas valoir $0,5$. La loi dit seulement que les GRANDS écarts deviennent rares. ⚠️ La loi des grands nombres ne « corrige » pas les écarts passés : elle les noie dans la masse des lancers suivants. ⭐ Sur le dessin : les points tombent vers l'axe des abscisses, sans jamais l'atteindre.
8. 8. a) $F=$$\frac{X}{400}$, où $X$ suit $\mathcal{B}(400;0,3)$. $E(F)=\frac{400\times 0,3}{400}=$$0,3$. $V(F)=\frac{400\times 0,3\times 0,7}{400^2}$ $=\frac{0,21}{400}=$$0,000525$. b) Bienaymé-Tchebychev : $P(|F-0,3|⩾0,05)$ $⩽\frac{0,000525}{0,05^2}=$$0,21$. Dans au moins $79$ % des prélèvements, la fréquence tombe strictement entre $25$ % et $35$ %. ⚠️ $V(F)=$$\frac{V(X)}{400^2}$ : diviser $X$ par $400$ divise sa variance par $400^2$. ⭐ Sur la droite (en %) : l'intervalle de $25$ à $35$ entoure $p=$$30$ ; au moins $79$ % des fréquences y tombent.
9. 9. a) $E(M)=200$ ms et $V(M)=\frac{40^2}{64}=$$25$, donc $\sigma (M)=5$ ms. b) Inégalité de concentration : $P(|M-200|⩾15)⩽\frac{1600}{64\times 15^2}=\frac{1}{9}\approx$$0,11$. c) Si $M⩾$$215$, alors $M-200⩾$$15$, donc $|M-200|⩾$$15$. L'événement « alerte » est inclus dans celui du b) : sa probabilité est au plus $\frac{1}{9}$. ⚠️ L'inégalité majore l'écart des DEUX côtés. Pour un seul côté, elle reste vraie, mais elle est encore plus large. ⭐ Sur la droite : $M$ tombe entre $185$ et $215$ ms avec une probabilité d'au moins $\frac{8}{9}$ ; l'alerte est au-delà de $215$.
10. 10. a) Par linéarité, $E(M_n)=\frac{1}{n}\times n\mu =$$\mu$. Par indépendance, $V(X_1+\cdots +X_n)=$$nV$ ; puis $V(M_n)=\frac{1}{n^2}\times nV=$$\frac{V}{n}$. b) Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_n$ : $P(|M_n-E(M_n)|⩾\delta )⩽$$\frac{V(M_n)}{{\delta }^2}$. On remplace : $P(|M_n-\mu |⩾\delta )⩽$$\frac{V}{n{\delta }^2}$. c) $\delta$ est fixé : $\frac{V}{n{\delta }^2}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Une probabilité est positive : par le théorème des gendarmes, $P(|M_n-\mu |⩾\delta )$ tend vers $0$. d) Avec $\delta =$$0,5$ : $P(|M_{50}-3,5|⩾0,5)$ $⩽\frac{35}{12\times 50\times 0,25}=\frac{7}{30}\approx$$0,23$. Par passage au contraire, $P(3<M_{50}<4)⩾1-\frac{7}{30}=\frac{23}{30}\approx$$0,77$. ⚠️ La loi des grands nombres dit que les écarts deviennent RARES, pas qu'ils disparaissent : $M_n$ reste une variable aléatoire. ⭐ Sur la droite : la moyenne des $50$ lancers tombe entre $3$ et $4$ avec une probabilité d'au moins $77$ %.
11. 11. a) $E(F)=0,52$ et $V(F)=\frac{0,52\times 0,48}{1000}=$$0,0002496$, donc $\sigma (F)\approx$$0,016$. b) « Se tromper de $5$ points ou plus », c'est $|F-0,52|⩾$$0,05$. Bienaymé-Tchebychev : $P(|F-0,52|⩾0,05)$ $⩽\frac{0,0002496}{0,0025}\approx$$0,0998$. Le sondage tombe à moins de $5$ points de la vérité dans au moins $90$ % des cas. c) $V(F)⩽\frac{1}{4\times 1000}=$$0,00025$, d'où le majorant $\frac{0,00025}{0,0025}=$$0,1$ : presque le même, sans connaître $p$. ⚠️ $5$ points, c'est $\delta =$$0,05$, donc ${\delta }^2=$$0,0025$ : pas $25$. ⭐ Sur la droite (en %) : de $47$ à $57$, la fourchette qui contient $F$ avec une probabilité d'au moins $90$ %. Elle déborde sous $50$ : un sondage peut donner le « non » gagnant alors que le « oui » l'emporte.
12. 12. a) $\frac{1}{4}-p(1-p)=p^2-p+\frac{1}{4}={\left(p-\frac{1}{2}\right)}^2⩾$$0$. b) $V(F)=\frac{p(1-p)}{n}⩽$$\frac{1}{4n}$. Bienaymé-Tchebychev : $P(|F-p|⩾0,02)⩽\frac{1}{4n\times 0,0004}$ $=\frac{1}{0,0016n}=$$\frac{625}{n}$. c) $\frac{625}{n}⩽0,05$ donne $n⩾$$12500$. ⚠️ On ne peut pas utiliser $V(F)=\frac{p(1-p)}{n}$ tel quel : $p$ est justement ce qu'on cherche. D'où la majoration par $\frac{1}{4}$. ⭐ Sur le dessin : la parabole $y=p(1-p)$ atteint son sommet $\frac{1}{4}$ en $p=$$\frac{1}{2}$, et reste sous la droite $y=$$0,25$.
13. 13. a) La boucle compte les $6$ obtenus (dans k), puis la fonction renvoie k / n : la fréquence des $6$ sur $n$ lancers. b) Le nombre de $6$ suit $\mathcal{B}\left(n;\frac{1}{6}\right)$ : $E(F_n)=\frac{1}{6}$ et $V(F_n)=\frac{1}{n}\times \frac{1}{6}\times \frac{5}{6}=$$\frac{5}{36n}$. c) Bienaymé-Tchebychev : le majorant est $\frac{5}{36n\times 0,0001}$. Pour $n=$$100000$ : $\frac{5}{360}=\frac{1}{72}\approx$$0,014$. d) Un nombre à moins de $0,01$ de $\frac{1}{6}\approx$$0,1667$, avec une probabilité d'au moins $1-\frac{1}{72}\approx$$0,986$. Une exécution le confirme. ⚠️ Le programme ne démontre rien : il illustre la loi des grands nombres sur une expérience. La preuve, c'est l'inégalité. ⭐ La fréquence simulée se rapproche de la probabilité : c'est la loi des grands nombres, sous nos yeux.
14. 14. a) $E(F)=0,5$ et $V(F)=\frac{0,5\times 0,5}{10000}=$$0,000025$. b) $P(|F-0,5|⩾0,05)$ $⩽\frac{0,000025}{0,0025}=$$0,01$. c) On a observé $F=$$0,57$, soit un écart de $0,07$, supérieur à $0,05$. Avec une pièce équilibrée, un tel écart arrive au plus $1$ fois sur $100$. On a de bonnes raisons de douter que la pièce soit équilibrée. ⚠️ On ne PROUVE pas que la pièce est truquée : on montre qu'un résultat aussi éloigné serait très improbable si elle ne l'était pas. ⭐ Sur la droite (en %) : la fréquence observée, $57$, tombe hors de l'intervalle de $45$ à $55$, qui devrait la contenir au moins $99$ fois sur $100$.
15. 15. a) $V=0,8^2=$$0,64$. Inégalité de concentration : $P(|M_n-\mu |⩾0,2)⩽\frac{0,64}{0,04n}=$$\frac{16}{n}$. b) $\frac{16}{n}⩽0,1$ donne $n⩾$$160$. c) On veut $\frac{0,64}{40{\delta }^2}⩽$$0,1$, soit ${\delta }^2⩾$$0,16$, donc $\delta ⩾0,4$ mg/L. Avec $40$ mesures, la moyenne est à moins de $0,4$ mg/L de la vraie valeur avec une probabilité d'au moins $90$ %. ⚠️ Quatre fois moins de mesures ($40$ au lieu de $160$) : l'écart garanti est deux fois plus grand ($0,4$ au lieu de $0,2$), pas quatre fois. C'est ${\delta }^2$ qui suit $n$. ⭐ Le tableau montre le majorant $\frac{16}{n}$ pour $40$, $80$ et $160$ mesures.

    n	40	80	160
    majorant	0,4	0,2	0,1

16. 16. a) $P(G=1)=\frac{18}{37}$ et $P(G=-1)=$$\frac{19}{37}$. $E(G)=\frac{18-19}{37}=-\frac{1}{37}\approx -0,027$ €. $E(G^2)=$$1$, donc $V(G)=1-\frac{1}{37^2}\approx$$0,999$. b) Pour tout $\delta >$$0$, $P\left(\left|M_n+\frac{1}{37}\right|⩾\delta \right)$ tend vers $0$ : sur un très grand nombre de mises, le gain moyen des joueurs est très probablement proche de $-\frac{1}{37}$ € par euro misé. c) $n=$$10000$ : majorant $\frac{0,999}{10000\times 0,0004}\approx$$0,25$. $n=$$100000$ : majorant $\approx$$0,025$. Pour le casino, qui voit passer des centaines de milliers de mises, un bénéfice moyen proche de $2,7$ centimes par euro misé est pratiquement assuré. ⚠️ La loi des grands nombres ne dit rien d'UNE soirée d'un joueur : sur quelques mises, il peut gagner. Elle parle de la moyenne sur un grand nombre de mises. ⭐ Sur le diagramme (en %) : les deux barres sont presque égales ; c'est le zéro, une case sur $37$, qui fait pencher l'espérance.
17. 17. La taille d'un sondage a) $n{F}_n$ suit $\mathcal{B}(n;p)$ : $E(F_n)=p$ et $V(F_n)=$$\frac{p(1-p)}{n}$. Or $\frac{1}{4}-p(1-p)={\left(p-\frac{1}{2}\right)}^2⩾$$0$. Donc $V(F_n)⩽$$\frac{1}{4n}$. b) Bienaymé-Tchebychev : $P(|F_n-p|⩾0,03)⩽\frac{V(F_n)}{0,0009}$ $⩽$$\frac{1}{0,0036n}$. Et $\frac{1}{0,0036}=\frac{10000}{36}=$$\frac{2500}{9}$. c) On veut $\frac{2500}{9n}⩽$$0,05$, soit $n⩾\frac{2500}{0,45}\approx$$5555,6$. Il suffit d'interroger $5556$ personnes. d) $\frac{2500}{9000}\approx$$0,28$ : l'inégalité ne garantit qu'une probabilité d'au moins $72$ % d'être à moins de $3$ points. C'est une garantie PRUDENTE : le calcul exact avec la loi binomiale donne environ $94$ % pour $p=$$0,5$. ⚠️ $5556$ est une taille qui SUFFIT, pas la plus petite possible : l'inégalité, valable pour toutes les lois, paie sa généralité. ⭐ Sur le dessin (abscisse : $n$ en milliers ; ordonnée : majorant en %) : la courbe passe sous la droite $y=5$ au point marqué, en $n\approx$$5556$.
18. 18. La machine à café a) $E(M)=150$ mL et $V(M)=\frac{16}{25}=$$0,64$, donc $\sigma (M)=0,8$ mL. b) Bienaymé-Tchebychev : $P(|X-150|⩾10)⩽\frac{16}{100}=$$0,16$. c) Concentration : $P(|M-150|⩾2)⩽\frac{16}{25\times 4}=$$0,16$. d) Même majorant, mais pour un écart $5$ fois plus petit ($2$ mL au lieu de $10$) : la moyenne de $25$ gobelets est $5$ fois plus précise qu'un gobelet seul, car $\sqrt{25}=$$5$. e) $\frac{16}{n\times 1^2}⩽0,04$ donne $n⩾$$400$. ⚠️ En b), on travaille sur UN gobelet : la taille de l'échantillon n'intervient pas. En c), elle divise la variance. ⭐ Sur la droite : un gobelet tombe entre $140$ et $160$ mL, la moyenne entre $148$ et $152$ mL, chacun avec une probabilité d'au moins $84$ %.
19. 19. Pourquoi l'assurance tient a) La plupart des années, un logement ne coûte rien ; rarement, un sinistre coûte très cher. Ces rares gros montants écartent beaucoup les valeurs de la moyenne. b) Si $M_n⩾$$330$, alors $M_n-300⩾30>$$0$, donc $|M_n-300|⩾$$30$. c) La compagnie perd de l'argent quand le coût moyen dépasse la cotisation : $M_n>$$330$. D'après b), cet événement est inclus dans $|M_n-300|⩾$$30$. Inégalité de concentration : $P(|M_n-300|⩾30)⩽\frac{1500^2}{900n}=$$\frac{2500}{n}$. d) $n=$$10000$ : $0,25$. $n=$$100000$ : $0,025$. $\frac{2500}{n}⩽0,01$ donne $n⩾$$250000$. e) La loi des grands nombres : plus la compagnie a de clients, plus le coût moyen se concentre autour de $300$ €. Ce qui est imprévisible pour UN logement devient presque certain pour des centaines de milliers. ⚠️ $\delta =$$30$, l'écart entre la cotisation et l'espérance, pas $330$. ⭐ Le tableau montre le majorant du risque de perte, divisé par $10$ quand les clients sont multipliés par $10$.

    n	10 000	100 000	250 000
    majorant	0,25	0,025	0,01

20. 20. Calculer π au hasard a) Chaque passage tire un point ; k compte ceux du quart de disque. La fonction renvoie $4\times \frac{k}{n}=$$4F_n$. Loi des grands nombres : $F_n$ se concentre autour de $p=$$\frac{\pi }{4}$, donc $4F_n$ autour de $\pi$. b) $|4F_n-\pi |⩾0,04$ équivaut à $\left|F_n-\frac{\pi }{4}\right|⩾$$0,01$, en divisant par $4$. $V(F_n)=\frac{p(1-p)}{n}⩽$$\frac{1}{4n}$, et Bienaymé-Tchebychev donne le majorant $\frac{1}{4n\times 0,0001}=$$\frac{2500}{n}$. c) $\frac{2500}{n}⩽0,01$ donne $n⩾$$250000$. d) Avec $250000$ points, estime renvoie une valeur à moins de $0,04$ de $\pi$ avec une probabilité d'au moins $99$ %. C'est lent : pour une décimale de plus ($\delta$ divisé par $10$), il faut $100$ fois plus de points. ⚠️ En b), on divise l'écart par $4$ : $0,04$ devient $0,01$, pas $0,16$. ⭐ Sur le dessin : le quart de disque occupe $\frac{\pi }{4}\approx 78,5$ % du carré ; c'est, à la longue, la part des points qui y tombent.