Fonction logarithme népérien : 20 exercices corrigésmaths Tale spé — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : fonction logarithme népérien, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) ${\mathrm{e}}^0=$$1$, donc $\ln 1=$$0$. ${\mathrm{e}}^1=$$\mathrm{e}$, donc $\ln \mathrm{e}=$$1$. Et $\ln ({\mathrm{e}}^3)=$$3$. b) ${\mathrm{e}}^{\ln 5}=$$5$ : l'exponentielle défait le logarithme. ${\mathrm{e}}^{2\ln 3}={\mathrm{e}}^{\ln (3^2)}=3^2=$$9$. c) $\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}=$${\mathrm{e}}^{-1/2}$, donc $\ln \left(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right)=$$-\frac{1}{2}$. ⚠️ ${\mathrm{e}}^{2\ln 3}$ ne vaut pas $2\times$$3$ : le $2$ passe en exposant de $3$. ⭐ Sur le dessin : la courbe de $\ln$ (orange) est le reflet de celle de $\exp$ (bleue) dans la droite grise $y=$$x$. Elle passe par $(1;0)$ et $(\mathrm{e};1)$.
2. 2. On décompose en facteurs premiers, puis on applique les règles. a) $12=2^2\times$$3$ : $\ln 12=2\ln 2+$$\ln 3$. b) $\frac{8}{9}=$$\frac{2^3}{3^2}$ : $\ln \frac{8}{9}=3\ln 2-$$2\ln 3$. c) $\ln \sqrt{6}=\frac{1}{2}\ln 6=\frac{1}{2}(\ln 2+$$\ln 3)$. d) $18=2\times$$3^2$ : $\ln \frac{1}{18}=-\ln 18=-\ln 2-$$2\ln 3$. ⛔ $\ln (a+b)$ ne se découpe pas : $\ln 5\ne \ln 2+$$\ln 3$. Seul un PRODUIT devient une somme. ⭐ Le tableau vérifie a) : $2\times 0,693+1,099=$$2,485$.

   x	2	3	12
   ln x	0,693	1,099	2,485

3. 3. a) L'équation n'a de sens que si $2x-1>$$0$, soit $x>$$\frac{1}{2}$. $\ln (2x-1)=1⟺2x-1={\mathrm{e}}^1⟺x=\frac{\mathrm{e}+1}{2}\approx$$1,86$. Cette valeur est bien supérieure à $\frac{1}{2}$ : $S=$$\left\{\frac{\mathrm{e}+1}{2}\right\}$. b) ${\mathrm{e}}^x=7⟺x=\ln 7\approx$$1,95$. ⚠️ On commence TOUJOURS par l'ensemble où l'équation a un sens : $\ln$ n'accepte que des nombres strictement positifs. ⭐ Sur le dessin : la courbe de $\ln (2x-1)$ coupe la droite $y=1$ au point rouge d'abscisse $1,86$.
4. 4. a) Ensemble de définition : $x>$$0$. Puis $\ln x<2⟺\ln x<\ln ({\mathrm{e}}^2)⟺x<$${\mathrm{e}}^2$. $S=$$]0;{\mathrm{e}}^2[$, avec ${\mathrm{e}}^2\approx$$7,39$. b) Ensemble de définition : $3-x>$$0$, soit $x<$$3$. $\ln (3-x)⩾0=\ln 1⟺3-x⩾1⟺x⩽$$2$. $S=]-$$\infty ;2]$. ⚠️ En a), oublier $x>0$ donnerait $]-$$\infty ;{\mathrm{e}}^2[$ : faux, $\ln (-1)$ n'existe pas. ⭐ Sur le dessin : la courbe de $\ln$ reste sous la droite $y=2$ tant que $x<$${\mathrm{e}}^2$, au point rouge.
5. 5. a) $(x\ln x{)}^{\prime }=1\times \ln x+x\times \frac{1}{x}=\ln x+$$1$. Donc $f^{\prime }(x)=\ln x+1-1=$$\ln x$. b) $g=\ln u$ avec $u(x)=x^2+1>$$0$ : $g^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}=$$\frac{2x}{x^2+1}$. Le dénominateur est positif : $g^{\prime }(x)$ a le signe de $2x$. c) $h^{\prime }(x)=\frac{3}{3x}=$$\frac{1}{x}$. ⭐ En c), c'est logique : $\ln (3x)=\ln 3+$$\ln x$, et $\ln 3$ est une constante. ⚠️ En b), $(\ln u{)}^{\prime }$ n'est pas $\frac{1}{u}$ : il faut multiplier par $u^{\prime }$.
   x

   $-\infty$

   $0$

   $+\infty$

   $2x$

   −

   0

   +

   $x^2+1$

   +

   +

   $g^{\prime }(x)$

   −

   0

   +
6. 6. a) $\ln x\to$$-\infty$, donc $-\ln x\to +\infty$ et $1-\ln x\to$$+\infty$. b) $\frac{\ln x}{x^2}=\frac{\ln x}{x}\times$$\frac{1}{x}$ : produit de deux termes qui tendent vers $0$. La limite vaut $0$. c) Forme « $0\times$$\infty$ ». Par croissance comparée, $x\ln x\to$$0$. d) Forme « $\infty -$$\infty$ ». On factorise : $\ln x-x=$$x\left(\frac{\ln x}{x}-1\right)$. La parenthèse tend vers $-1$ : la limite vaut $-\infty$. ⚠️ En d), on factorise par $x$, qui l'emporte sur $\ln x$ : le logarithme croît beaucoup plus lentement. ⭐ Sur le dessin (courbe de $x\ln x$) : elle part de l'origine, descend jusqu'à $-\frac{1}{\mathrm{e}}\approx -0,37$ en $x=$$\frac{1}{\mathrm{e}}$, puis remonte.
7. 7. $\ln$ est croissante : $0,8^n<0,01⟺\ln (0,8^n)<\ln 0,01$ $⟺n\ln 0,8<$$\ln 0,01$. Or $\ln 0,8<$$0$, car $0,8<$$1$. On divise par un NÉGATIF : l'inégalité change de sens. $n>\frac{\ln 0,01}{\ln 0,8}\approx$$20,6$. Le plus petit entier est $n=$$21$. ⛔ Le piège : garder le sens et conclure $n<$$20,6$. Toujours regarder le signe de $\ln q$. ⭐ Le tableau le confirme : $0,8^{20}\approx 0,0115$ est encore trop grand, $0,8^{21}\approx 0,0092$ passe sous $0,01$.

   n	20	21
   0,8ⁿ	0,0115	0,0092

8. 8. a) $\frac{\ln (1+x)}{x}=$$\frac{\ln (1+x)-\ln 1}{(1+x)-1}$ : c'est le taux d'accroissement de $\ln$ entre $1$ et $1+$$x$. Quand $x\to$$0$, il tend vers le nombre dérivé ${\ln }^{\prime }(1)=\frac{1}{1}=$$1$. b) $\frac{\ln (1+2h)}{h}=2\times$$\frac{\ln (1+2h)}{2h}$. Avec $x=2h\to$$0$, la fraction tend vers $1$. La limite vaut $2$. ⚠️ Forme « $\frac{0}{0}$ » : on reconnaît un nombre dérivé, on ne conclut pas « $0$ ». ⭐ Le tableau montre $\frac{\ln (1+x)}{x}$ : $0,9531$, puis $0,9950$, puis $0,9995$.

   x	0,1	0,01	0,001
   ln(1 + x)/x	0,9531	0,9950	0,9995

9. 9. Ensemble de définition : $x>0$ et $x-2>$$0$, soit $x>$$2$. Sur cet ensemble : $\ln x+\ln (x-2)=\ln (x(x-$$2))$. L'équation devient $x(x-2)=$$3$. Soit $x^2-2x-3=$$0$, ou $(x-3)(x+1)=$$0$ : $x=3$ ou $x=$$-1$. $-1$ n'est pas dans $]2;+\infty [$ : on l'écarte. $S=$$\{3\}$. ⛔ Le piège : garder $x=$$-1$. Pour cette valeur, $\ln x$ et $\ln (x-2)$ n'existent même pas. ⭐ Sur le dessin : la courbe, qui n'existe qu'à droite de $2$, coupe la droite $y=\ln 3\approx 1,1$ en un seul point, d'abscisse $3$.
10. 10. $5000\times 1,03^n>8000⟺1,03^n>$$1,6$. $\ln$ est croissante : $n\ln 1,03>$$\ln 1,6$. $\ln 1,03>$$0$ : on divise sans changer le sens. $n>\frac{\ln 1,6}{\ln 1,03}\approx$$15,9$. Le capital dépasse $8000$ € au bout de $16$ ans. ⚠️ Ici, $\ln 1,03>0$ car $1,03>$$1$ : le sens ne change PAS. Il ne change que pour une raison entre $0$ et $1$. ⭐ Le tableau le confirme : $7789,84$ € après $15$ ans, $8023,53$ € après $16$ ans.

    années	15	16
    capital (€)	7 789,84	8 023,53

11. 11. a) En $0$ : $x\to 0$ et $-\ln x\to$$+\infty$. Donc $f(x)\to$$+\infty$. En $+\infty$ : $f(x)=$$x\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)$. Or $\frac{\ln x}{x}\to$$0$ : la parenthèse tend vers $1$, et $f(x)\to$$+\infty$. b) $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=$$\frac{x-1}{x}$. Sur $]0;+\infty [$, $x>$$0$ : le signe est celui de $x-$$1$. $f$ décroît sur $]0;1]$ et croît sur $[1;+\infty [$. Minimum : $f(1)=1-0=$$1$. c) Pour tout $x>$$0$, $f(x)⩾1>$$0$, soit $x-\ln x>$$0$ : $\ln x<$$x$. ⚠️ En $+\infty$, « $\infty -$$\infty$ » est indéterminée : c'est la factorisation qui conclut. ⭐ Le tableau : deux flèches qui partent de $+\infty$ et y retournent, avec un creux à $1$.
12. 12. a) $(x-2{)}^2+1=x^2-4x+4+1=x^2-4x+$$5$. C'est une somme d'un carré et de $1$ : c'est toujours $⩾1>$$0$. Donc $\ln (x^2-4x+5)$ existe pour tout réel $x$. b) $f=\ln u$ avec $u(x)=x^2-4x+$$5$ : $f^{\prime }(x)=$$\frac{2x-4}{x^2-4x+5}$, du signe de $2x-$$4$. $f$ décroît sur $]-\infty ;2]$ et croît sur $[2;+\infty [$. Minimum : $f(2)=\ln 1=$$0$. c) $x^2-4x+5\to +\infty$ en $\pm \infty$, et $\ln X\to +\infty$ quand $X\to$$+\infty$ : les deux limites valent $+\infty$. ⚠️ Le signe de $f^{\prime }$ se lit sur le numérateur SEULEMENT parce que le dénominateur est positif. On le justifie. ⭐ Sur le dessin : la courbe est symétrique par rapport à la droite $x=$$2$, et touche l'axe au point rouge $(2;0)$.
13. 13. a) $\log (10^{-3})=\frac{-3\ln 10}{\ln 10}=$$-3$, donc $\mathrm{pH}=$$3$. b) $-\log \frac{c}{10}=-(\log c-\log 10)=-\log c+$$1$. Le pH augmente de $1$. c) $\log (4\times 10^{-5})=\log 4-$$5$, donc $\mathrm{pH}=5-\log 4\approx$$4,40$. d) $-\log c=7,4⟺\log c=-7,4$ $⟺c=10^{-7,4}\approx 4,0\times 10^{-8}$ mol/L. ⚠️ Diviser la concentration par $10$ n'enlève pas $10$ au pH : cela lui AJOUTE $1$. Le logarithme transforme les produits en sommes. ⭐ Le tableau : chaque fois que $c$ est divisée par $10$, le pH gagne $1$.

    c (mol/L)	0,01	0,001	0,0001
    pH	2	3	4

14. 14. a) Si $X=$$\ln x$, alors $x=$${\mathrm{e}}^X$, et $X\to +\infty$ quand $x\to$$+\infty$. $\frac{\ln x}{x}=$$\frac{X}{{\mathrm{e}}^X}$, l'inverse de $\frac{{\mathrm{e}}^X}{X}$, qui tend vers $+\infty$. Donc $\frac{\ln x}{x}\to$$0$. b) Si $X=$$\frac{1}{x}$, alors $X\to +\infty$ quand $x\to$$0^{+}$. $x\ln x=\frac{1}{X}\ln \frac{1}{X}=$$-\frac{\ln X}{X}$. D'après a), cela tend vers $0$. ⚠️ Le changement de variable doit aussi changer la LIMITE : $x\to 0^{+}$ devient $X\to$$+\infty$. ⭐ Le tableau : $\frac{\ln x}{x}$ vaut $0,2303$ en $10$, $0,0461$ en $100$, $0,0069$ en $1000$.

    x	10	100	1000
    ln(x)/x	0,2303	0,0461	0,0069

15. 15. a) Ensemble : $x+1>0$ et $x>$$0$, soit $x>$$0$. $\ln \frac{x+1}{x}⩽\ln 2⟺\frac{x+1}{x}⩽2⟺x+1⩽2x$ (car $x>$$0$) $⟺x⩾$$1$. $S=$$[1;+\infty [$. b) Ensemble : $x>$$0$. On pose $X=$$\ln x$ : $X^2-X-2>$$0$, soit $(X-2)(X+1)>$$0$. C'est vrai pour $X<-1$ ou $X>$$2$. Donc $\ln x<-1$ ou $\ln x>$$2$. $S=$$]0;{\mathrm{e}}^{-1}[\cup ]{\mathrm{e}}^2;+\infty [$, avec ${\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,37$ et ${\mathrm{e}}^2\approx$$7,39$. ⚠️ En a), on multiplie par $x$ parce qu'il est POSITIF : l'inégalité garde son sens. ⭐ Sur le dessin : la courbe de $(\ln x{)}^2-\ln x-2$ est au-dessus de l'axe avant le premier point rouge et après le second.
16. 16. a) La longueur est divisée par $2$ à chaque étape : après $n$ étapes, elle vaut $\frac{1}{2^n}$. b) $\frac{1}{2^n}<10^{-6}⟺2^n>10^6⟺n\ln 2>$$6\ln 10$. $\ln 2>$$0$ : $n>\frac{6\ln 10}{\ln 2}\approx$$19,93$. Il faut $20$ étapes. c) La boucle divise $L$ par $2$ tant que $L⩾$$10^{-6}$ : etapes(10**-6) renvoie $20$. ⭐ Vingt étapes pour six décimales : chaque étape gagne un chiffre binaire. Il en faut environ $3,3$ pour gagner une décimale. ⚠️ $19,93$ n'est pas une réponse : un nombre d'étapes est entier, on prend l'entier SUIVANT.
17. 17. Le bénéfice d'un atelier a) $10x\to 0$ et, par croissance comparée, $x\ln x\to$$0$. Donc $B(x)\to$$0$. b) $(x\ln x{)}^{\prime }=\ln x+$$1$, donc $B^{\prime }(x)=10-4(\ln x+1)=6-$$4\ln x$. c) $B^{\prime }(x)⩾0⟺\ln x⩽1,5⟺x⩽{\mathrm{e}}^{1,5}\approx$$4,48$. $B$ croît sur $]0;{\mathrm{e}}^{1,5}]$ et décroît sur $[{\mathrm{e}}^{1,5};13]$. Maximum : $B({\mathrm{e}}^{1,5})={\mathrm{e}}^{1,5}(10-4\times 1,5)$ $=4{\mathrm{e}}^{1,5}\approx$$17,93$, soit environ $17930$ € pour $448$ objets. d) $B(x)=x(10-4\ln x)$ et $x>$$0$ : $B(x)<0⟺\ln x>2,5⟺x>{\mathrm{e}}^{2,5}\approx$$12,18$. Au-delà de $1218$ objets environ, l'atelier perd de l'argent. ⚠️ En c), le maximum se calcule avec la valeur EXACTE ${\mathrm{e}}^{1,5}$, où $\ln x=$$1,5$ : c'est ce qui simplifie le calcul. ⭐ Sur le dessin, une graduation vaut $2$ milliers d'euros : les points rouges sont le sommet $(4,48;8,96)$ et le passage à zéro en $12,18$.
18. 18. Les oiseaux de la réserve a) $v_{n+1}=0,85u_n+60-400=0,85u_n-$$340$. On factorise : $v_{n+1}=0,85(u_n-400)=$$0,85v_n$. $(v_n)$ est géométrique de raison $0,85$, de premier terme $v_0=$$600$. b) $v_n=600\times$$0,85^n$, donc $u_n=400+600\times$$0,85^n$. $0<0,85<$$1$ : $0,85^n\to 0$ et $\lim u_n=$$400$. La population se stabilise vers $400$ oiseaux. c) $u_n<450⟺600\times 0,85^n<50⟺0,85^n<$$\frac{1}{12}$. $⟺n\ln 0,85<-\ln 12⟺n>\frac{\ln 12}{-\ln 0,85}\approx$$15,3$, car $\ln 0,85<$$0$. Donc $n=$$16$ : la population passe sous $450$ en $2041$. d) La boucle calcule les termes tant qu'ils restent $⩾$$450$ : elle renvoie $16$. C'est cohérent avec c) : $u_{15}\approx 452,4$ et $u_{16}\approx$$444,6$. ⚠️ En c), diviser par $\ln 0,85$, négatif, RETOURNE l'inégalité. ⭐ Sur le dessin, une graduation vaut $100$ oiseaux : les points descendent vers la droite $y=$$4$, c'est-à-dire $400$ oiseaux.
19. 19. Qui a raison : e puissance π ou π puissance e ? a) En $0$ : $\ln x\to -\infty$ et $\frac{1}{x}\to$$+\infty$ : $f(x)\to$$-\infty$. En $+\infty$ : $f(x)\to 0$ (croissance comparée). b) Quotient : $f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\times x-\ln x\times 1}{x^2}=$$\frac{1-\ln x}{x^2}$, du signe de $1-$$\ln x$. $1-\ln x⩾0⟺x⩽$$\mathrm{e}$. $f$ croît sur $]0;\mathrm{e}]$, décroît ensuite. Maximum : $f(\mathrm{e})=\frac{1}{\mathrm{e}}\approx$$0,37$. c) $\ln$ est croissante : $a^b>b^a⟺b\ln a>$$a\ln b$. On divise par $ab>$$0$ : $⟺\frac{\ln a}{a}>$$\frac{\ln b}{b}$. d) $f$ atteint son maximum en $\mathrm{e}$, et $\pi \ne$$\mathrm{e}$ : $f(\mathrm{e})>$$f(\pi )$. D'après c), ${\mathrm{e}}^{\pi }>$${\pi }^{\mathrm{e}}$ : Léa a raison. En effet, ${\mathrm{e}}^{\pi }\approx 23,14$ et ${\pi }^{\mathrm{e}}\approx$$22,46$. Et $f(4)=\frac{\ln 4}{4}=\frac{2\ln 2}{4}=\frac{\ln 2}{2}=$$f(2)$ : d'où $2^4=$$4^2$. ⚠️ Les deux nombres sont proches : une intuition « à l'œil » ne tranche pas. C'est l'étude de fonction qui décide. ⭐ Le tableau : $f$ monte de $-\infty$ jusqu'à $0,37$ en $\mathrm{e}$, puis redescend vers $0$. Le sommet est en $\mathrm{e}$, et aucun autre nombre ne l'atteint.
20. 20. Le bruit de l'atelier a) $L_n=10\log \frac{nI}{I_0}=10\left(\log n+\log \frac{I}{I_0}\right)=10\log n+$$70$. b) $L_2=70+10\log 2\approx 73,0$ dB. $L_4=70+20\log 2\approx 76,0$ dB. c) $70+10\log n=80⟺\log n=1⟺n=$$10$ : dix machines. d) $10\log \frac{I}{4I_0}=L-$$10\log 4$. Le niveau baisse de $10\log 4\approx 6,0$ dB. e) $70+10\log n<85⟺\log n<1,5⟺n<10^{1,5}\approx$$31,6$. Au plus $31$ machines. ⚠️ Deux machines ne font pas $140$ dB : doubler l'intensité ajoute seulement $3$ dB. Le logarithme transforme le produit en somme. ⭐ Sur le dessin : la courbe de $10\log x$ (le niveau au-dessus de $70$ dB) passe par les points rouges $3$, $6$ et $10$ pour $2$, $4$ et $10$ machines. Chaque doublement ajoute la même hauteur.