Limites de fonctions : 20 exercices corrigésmaths Tale spé — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : limites de fonctions, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) Aux deux bouts, la courbe se colle à la droite $y=$$2$ : ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2$ et ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=$$2$. b) Juste à droite de $1$, la courbe monte sans fin : ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=$$+\infty$. Juste à gauche de $1$, elle plonge : ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=$$-\infty$. c) La droite $y=2$ est asymptote horizontale, en $+\infty$ et en $-\infty$. La droite $x=1$ est asymptote verticale. ⚠️ En $1$, deux côtés, deux réponses : on n'écrit pas « la limite en $1$ » sans dire de quel côté. ⭐ C'est la courbe de $f(x)=2+$$\frac{1}{x-1}$ : quand $x\to$$+\infty$, $\frac{1}{x-1}\to$$0$, et il reste $2$.
2. 2. a) $-\infty$. La puissance $3$ est impaire : elle garde le signe de $x$. b) $+\infty$. $x^2$ est positif et tend vers $0$ : son inverse devient aussi grand qu'on veut, des deux côtés. c) $+\infty$. d) $0$. La courbe de l'exponentielle se colle à l'axe des abscisses vers la gauche. e) $-\infty$. Pour $x<0$ tout près de $0$, $\frac{1}{x}$ est négatif et très grand en valeur absolue. ⚠️ En a), ne pas répondre $+\infty$ par réflexe : $(-10{)}^3=$$-1000$. ⚠️ En b) et e), même point $0$, réponses différentes : $\frac{1}{x^2}$ ne change pas de signe, $\frac{1}{x}$ si. ⭐ Sur le dessin : en bleu $y=$$\frac{1}{x}$, qui part en sens contraires de part et d'autre de $0$ ; en orange $y=$$\frac{1}{x^2}$, qui monte des deux côtés.
3. 3. a) $x^2\to +\infty$ et $\frac{1}{x}\to$$0$. La somme tend vers $+\infty$. b) $3-\frac{1}{x}\to 3$ et $x+2\to$$+\infty$. Le produit d'un facteur qui tend vers $3$, POSITIF, par un facteur qui tend vers $+\infty$ tend vers $+\infty$. c) $x^2+1\to$$+\infty$, donc $\frac{5}{x^2+1}\to$$0$. d) $\sqrt{x}\to$$+\infty$, donc $-2\sqrt{x}\to$$-\infty$, et $7-2\sqrt{x}\to$$-\infty$. ⚠️ En b), c'est le SIGNE de $3$ qui décide : un facteur qui tendrait vers $-3$ donnerait $-\infty$, et un facteur qui tendrait vers $0$ donnerait une forme indéterminée. ⭐ Le tableau (expression b) : $34,8$, puis $304,98$, puis environ $3005$. Les valeurs grandissent sans fin, à peu près comme $3x$.

   x	10	100	1000
   f(x)	34,8	304,98	3 005

4. 4. a) $x^3\to +\infty$ et $-4x^2\to$$-\infty$ : c'est la forme « $\infty -$$\infty$ ». b) Pour $x\ne$$0$ : $f(x)=$$x^3\left(1-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^3}\right)$. La parenthèse tend vers $1$, et $x^3\to$$+\infty$ : ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=$$+\infty$. c) En $-\infty$ : $x^3\to -\infty$ et $-4x^2\to$$-\infty$. Deux termes qui partent vers $-\infty$ : la somme aussi. ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=$$-\infty$. ⚠️ En $-\infty$, il n'y a PAS de forme indéterminée : pas besoin de factoriser. Il faut regarder les signes avant de se lancer. ⭐ Un polynôme se comporte à l'infini comme son terme de plus haut degré, ici $x^3$. ⭐ Sur le dessin : la courbe descend d'abord (elle passe sous $-8$ vers $x\approx$$2,7$), puis repart vers le haut. À l'infini, c'est $x^3$ qui gagne.
5. 5. a) En haut et en bas, forme « $\frac{\infty }{\infty }$ ». On divise en haut et en bas par $x^2$, pour $x\ne$$0$ : $f(x)=$$\frac{2-\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}$. $\frac{3}{x}\to 0$ et $\frac{1}{x^2}\to$$0$, en $+\infty$ comme en $-\infty$. Donc $f(x)\to \frac{2}{1}=2$ des deux côtés. b) La droite $y=2$ est asymptote horizontale à la courbe, en $+\infty$ et en $-\infty$. ⚠️ Une courbe peut COUPER son asymptote : ici, $f(x)=2$ pour $x=$$-\frac{2}{3}$. L'asymptote décrit ce qui se passe loin, pas partout. ⭐ Sur le dessin : la courbe monte au-dessus de la droite $y=2$ à gauche, la traverse, puis revient vers elle par en dessous à droite.
6. 6. Quand $x\to$$2$, le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $0$ : la limite est infinie. Reste le signe. Le tableau de signes de $x-$$2$ : négatif avant $2$, positif après. À droite de $2$ : $x-2\to 0$ en restant positif. Un nombre proche de $3$ divisé par un tout petit nombre positif devient énorme : ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=$$+\infty$. À gauche de $2$ : $x-2\to 0$ en restant négatif. ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=$$-\infty$. La droite $x=2$ est asymptote verticale. ⚠️ « $\frac{3}{0}$ » n'est pas un calcul : c'est le signe du dénominateur, près de $2$, qui donne $+\infty$ ou $-\infty$. ⭐ Sur le tableau : le $0$ sous le $2$, et le changement de signe de $-$ à $+$, disent tout.
   x

   $-\infty$

   $2$

   $+\infty$

   $x-2$

   −

   0

   +
7. 7. a) En haut $x^2-9\to$$0$, en bas $x-3\to$$0$ : forme « $\frac{0}{0}$ », indéterminée. On factorise : $x^2-9=(x-3)(x+$$3)$. Pour $x\ne$$3$, $\frac{x^2-9}{x-3}=x+$$3$. Donc la limite en $3$ vaut $3+3=$$6$. b) Ici, le numérateur tend vers $18$, pas vers $0$. Le dénominateur tend vers $0$ en restant positif (à droite de $3$). La limite vaut $+\infty$. ⚠️ « $\frac{0}{0}$ » ne vaut ni $0$, ni $1$, ni l'infini : c'est une forme indéterminée, qu'on lève en simplifiant par le facteur qui s'annule. ⭐ Le tableau (question a) : $5,9$, $5,99$, puis $6,01$, $6,1$. Des deux côtés de $3$, les valeurs se rapprochent de $6$.

   x	2,9	2,99	3,01	3,1
   g(x)	5,9	5,99	6,01	6,1

8. 8. a) On pose $X=4+$$\frac{1}{x}$. Quand $x\to$$+\infty$, $X\to$$4$. Et $\sqrt{X}\to \sqrt{4}=$$2$. La limite vaut $2$. b) On pose $X=$$-x^2$. Quand $x\to$$+\infty$, $X\to$$-\infty$. Et ${\mathrm{e}}^X\to 0$ quand $X\to$$-\infty$. La limite vaut $0$. c) On pose $X=$$-\frac{1}{x}$. À droite de $0$ : $\frac{1}{x}\to$$+\infty$, donc $X\to$$-\infty$, et ${\mathrm{e}}^X\to$$0$. À gauche de $0$ : $\frac{1}{x}\to$$-\infty$, donc $X\to$$+\infty$, et ${\mathrm{e}}^X\to$$+\infty$. ⚠️ On traite d'abord l'INTÉRIEUR, puis la fonction extérieure. Et en c), le côté change tout : $0$ d'un côté, $+\infty$ de l'autre. ⭐ Sur le dessin (courbe de c) : à droite de $0$, la courbe part de l'axe et monte vers la droite $y=$$1$ ; à gauche, elle s'envole près de $0$.
9. 9. a) Pour $x\ne$$0$ : $f(x)=$$\frac{3-\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}$, qui tend vers $3$ en $+\infty$ et en $-\infty$. b) Quand $x\to$$-2$, le numérateur tend vers $-7$, négatif, et le dénominateur vers $0$. À droite de $-2$, $x+2>$$0$ : négatif divisé par petit positif, ${\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)=$$-\infty$. À gauche de $-2$, $x+2<$$0$ : négatif divisé par petit négatif, ${\lim }_{x\to -2^{-}}f(x)=$$+\infty$. c) Asymptote horizontale $y=3$ (en $\pm \infty$), asymptote verticale $x=$$-2$. d) $f(x)-3=\frac{3x-1-3(x+2)}{x+2}=$$\frac{-7}{x+2}$. Pour $x>$$-2$, c'est négatif : la courbe est SOUS la droite $y=$$3$. Pour $x<$$-2$, c'est positif : elle est au-dessus. ⚠️ En b), le numérateur est négatif : les signes se croisent. On écrit la règle des signes, on ne devine pas. ⭐ Sur le dessin : à droite de $x=$$-2$, la branche monte du bas vers $y=$$3$, en restant dessous ; à gauche, elle quitte $y=3$ et monte vers le haut, en restant au-dessus.
10. 10. a) En $-\infty$ : $x^2+1\to$$+\infty$, donc $\sqrt{x^2+1}\to$$+\infty$. Et $-x\to$$+\infty$. La somme de deux termes qui tendent vers $+\infty$ : ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=$$+\infty$. b) En $+\infty$ : forme « $\infty -$$\infty$ ». On multiplie en haut et en bas par la quantité conjuguée $\sqrt{x^2+1}+$$x$ : $f(x)=\frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}$ $=$$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$. Le dénominateur tend vers $+\infty$ : ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=$$0$. c) La droite $y=0$ (l'axe des abscisses) est asymptote à la courbe en $+\infty$. ⚠️ Même expression, deux bouts, deux histoires : en $-\infty$, il n'y a PAS de forme indéterminée, car $-x$ est alors positif. ⭐ Sur le dessin : à gauche, la courbe monte comme une droite ; à droite, elle s'écrase sur l'axe des abscisses.
11. 11. a) Pour tout réel, $\sin x⩾$$-1$. On ajoute $x$ : $x+\sin x⩾x-$$1$. Or ${\lim }_{x\to +\infty }(x-1)=$$+\infty$. Par comparaison, ${\lim }_{x\to +\infty }(x+\sin x)=$$+\infty$. b) $g(x)=2+$$\frac{\cos x}{x}$. Comme $-1⩽\cos x⩽1$ et $x>$$0$, on divise par $x$ : $-\frac{1}{x}⩽\frac{\cos x}{x}⩽$$\frac{1}{x}$. On ajoute $2$ : c'est l'encadrement demandé. $2-\frac{1}{x}$ et $2+\frac{1}{x}$ tendent vers $2$. Par le théorème des gendarmes, ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=$$2$. ⚠️ $\sin x$ et $\cos x$ n'ont PAS de limite en $+\infty$. On ne s'en sert que parce qu'ils restent entre $-1$ et $1$. ⭐ Sur le dessin : la courbe de $x+\sin x$ ondule, mais reste au-dessus de la droite orange $y=x-$$1$, qui l'emmène vers le haut.
12. 12. a) On pose $X=$$-0,5t$. Quand $t\to$$+\infty$, $X\to$$-\infty$, donc ${\mathrm{e}}^X\to$$0$. Alors $1-{\mathrm{e}}^{-0,5t}\to 1$ et ${\lim }_{t\to +\infty }u(t)=$$6$. La droite $y=6$ est asymptote horizontale. Physiquement : la tension se rapproche de $6$ V, la tension de charge complète. b) $u^{\prime }(t)=6\times 0,5{\mathrm{e}}^{-0,5t}=3{\mathrm{e}}^{-0,5t}>$$0$ : $u$ est croissante. c) $99$ % de $6$ V, c'est $5,94$ V. $u(9)\approx 5,933$ (pas encore) et $u(10)\approx$$5,960$. La tension dépasse $99$ % de sa valeur limite entre $9$ et $10$ secondes. ⚠️ La tension n'atteint JAMAIS $6$ V : ${\mathrm{e}}^{-0,5t}$ reste strictement positif. Une asymptote se rapproche, elle ne se touche pas forcément. ⭐ Sur le dessin : la courbe monte vite, puis se couche sous la droite $y=$$6$.
13. 13. a) $C(q)=\frac{200}{q}+$$3$. Quand $q\to$$+\infty$, $\frac{200}{q}\to$$0$ : $\lim C(q)=$$3$. En fabriquant beaucoup, les frais fixes se partagent sur tant de lampes que chacune coûte presque $3$ €. b) Quand $q\to$$0^{+}$, $\frac{200}{q}\to$$+\infty$ : $\lim C(q)=$$+\infty$. Pour une toute petite production, les $200$ € de frais fixes pèsent sur très peu de lampes. c) Asymptote horizontale $y=3$ en $+\infty$ ; asymptote verticale $q=$$0$, l'axe des ordonnées. d) $C(q)<3,5$ équivaut à $\frac{200}{q}<$$0,5$, soit $q>$$400$. À partir de $401$ lampes. ⚠️ Le coût moyen ne descend jamais sous $3$ € : $\frac{200}{q}$ reste positif. ⭐ Sur le dessin (une graduation horizontale vaut $100$ lampes) : la courbe descend du haut, le long de l'axe vertical, puis se couche sur la droite $y=$$3$. Le point marqué est $(400;3,5)$.
14. 14. a) En $0$ : $\sqrt{x+4}-2\to \sqrt{4}-2=$$0$, et $x\to$$0$. C'est la forme « $\frac{0}{0}$ ». b) On multiplie en haut et en bas par la quantité conjuguée $\sqrt{x+4}+$$2$. En haut : $(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)=x+4-4=$$x$. Donc $f(x)=\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=$$\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$, pour $x\ne$$0$. Quand $x\to$$0$, le dénominateur tend vers $2+2=$$4$ : ${\lim }_{x\to 0}f(x)=$$\frac{1}{4}$. ⚠️ On simplifie par $x$ parce que $x\ne$$0$ : la fonction n'est pas définie en $0$, mais sa limite existe. ⭐ Ce quotient est un taux d'accroissement de la racine en $4$ : sa limite $\frac{1}{4}$ est le nombre dérivé $\frac{1}{2\sqrt{4}}$. ⭐ Le tableau : $0,2516$, $0,2502$, puis $0,2498$, $0,2485$. Des deux côtés de $0$, on s'approche de $0,25$.

    x	−0,1	−0,01	0,01	0,1
    f(x)	0,2516	0,2502	0,2498	0,2485

15. 15. a) $P(0)=$$0$ : sans résistance, rien ne la chauffe. En $+\infty$ : forme « $\frac{\infty }{\infty }$ ». On factorise $(R+2{)}^2=$$R^2{\left(1+\frac{2}{R}\right)}^2$. $P(R)=$$\frac{36}{R{\left(1+\frac{2}{R}\right)}^2}$. Le dénominateur tend vers $+\infty$ : ${\lim }_{R\to +\infty }P(R)=$$0$. Une résistance énorme ne laisse presque plus passer de courant : elle ne reçoit presque rien. b) $(R+2{)}^3>$$0$ : $P^{\prime }(R)$ a le signe de $2-$$R$. Positif avant $2$, négatif après. $P$ croît sur $[0;2]$, puis décroît sur $[2;+\infty [$. $P(2)=\frac{72}{16}=$$4,5$. c) La résistance de $2$ Ω, égale à la résistance interne de la pile, reçoit le maximum : $4,5$ W. ⚠️ Le degré du dénominateur ($2$) dépasse celui du numérateur ($1$) : c'est pour cela que la limite vaut $0$, et non $36$. ⭐ Sur le tableau : $0$, puis $4,5$ au sommet, puis retour vers $0$ en $+\infty$ ; la limite trouvée en a) est écrite au bout de la flèche.
16. 16. a) Pour $x\ne$$0$ : $f(x)=$$\frac{a+\frac{1}{x}}{1-\frac{b}{x}}$, qui tend vers $a$. L'asymptote horizontale est $y=$$a$, donc $a=$$3$. b) Le dénominateur s'annule en $x=$$b$. L'asymptote verticale est $x=$$2$, donc $b=$$2$. c) $f(x)=$$\frac{3x+1}{x-2}$. En $2$ : le numérateur tend vers $7$, et $x-2\to 0$ en restant positif à droite. La limite vaut $+\infty$ : il y a bien une asymptote verticale. ⚠️ Le rôle de $ab\ne$$-1$ : si le numérateur s'annulait AUSSI en $b$, on aurait « $\frac{0}{0}$ » et peut-être pas d'asymptote. Ici, $3\times 2+1=7\ne$$0$. ⭐ Sur le dessin : la courbe de $\frac{3x+1}{x-2}$ avec ses deux asymptotes grises, $x=2$ et $y=$$3$.
17. 17. Plus vite que la lumière ? a) $E(0)=\frac{1}{1}-1=$$0$. Puis $E(0,5)\approx$$0,15$, $E(0,9)\approx 1,29$ et $E(0,99)\approx$$6,09$. b) Quand $x\to$$1^{-}$ : $1-x^2\to 0$ en restant positif, donc $\sqrt{1-x^2}\to$$0^{+}$. Son inverse tend vers $+\infty$ : ${\lim }_{x\to 1^{-}}E(x)=$$+\infty$. Graphiquement : la droite $x=1$ est asymptote verticale. Physiquement : atteindre la vitesse de la lumière demanderait une énergie infinie. C'est impossible. c) Sur $[0;1[$, $x\mapsto 1-x^2$ décroît et reste positif ; la racine garde l'ordre, donc $\sqrt{1-x^2}$ décroît. Son inverse croît : $E$ est croissante. d) $E(x)=$$\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}$. On multiplie en haut et en bas par $1+$$\sqrt{1-x^2}$. En haut : $\left(1-\sqrt{1-x^2}\right)\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)=1-(1-x^2)=$$x^2$. On divise par $x^2\ne$$0$ : c'est la formule annoncée. Quand $x\to$$0$, le dénominateur tend vers $1\times 2=$$2$ : la limite vaut $\frac{1}{2}$. Aux petites vitesses, $E(x)$ vaut donc environ $\frac{x^2}{2}$ : on retrouve l'énergie cinétique « classique ». ⚠️ En b), le « $0$ » du dénominateur est un $0^{+}$ : on le dit, c'est lui qui donne $+\infty$ et pas $-\infty$. ⚠️ En d), forme « $\frac{0}{0}$ » : on ne remplace pas $x$ par $0$, on transforme d'abord. ⭐ Sur le dessin (une graduation horizontale vaut $0,1$) : la courbe bleue s'envole le long de la droite grise $x=$$1$ ; la parabole orange $\frac{x^2}{2}$ la colle au début, puis reste basse. Les points marqués sont les valeurs de a).
18. 18. La cuve d'eau salée a) Au bout de $t$ minutes, on a versé $5t$ litres, qui apportent $30\times 5t=150t$ grammes de sel. Le volume vaut $100+5t$ litres. La concentration est la masse divisée par le volume. b) Forme « $\frac{\infty }{\infty }$ ». Pour $t>$$0$, on divise par $t$ : $c(t)=$$\frac{150}{\frac{100}{t}+5}$. $\frac{100}{t}\to$$0$, donc $c(t)\to \frac{150}{5}=$$30$. À long terme, la concentration se rapproche de $30$ g/L, celle de l'eau versée : l'eau pure du début ne compte presque plus. c) $c^{\prime }(t)=\frac{150(100+5t)-150t\times 5}{(100+5t{)}^2}$ $=\frac{15000}{(100+5t{)}^2}>$$0$ : $c$ est croissante. d) $c(t)⩾20$ équivaut à $150t⩾2000+$$100t$, soit $t⩾$$40$ : au bout de $40$ minutes. $c(t)⩾29$ équivaut à $150t⩾2900+$$145t$, soit $t⩾$$580$ : au bout de $580$ minutes. e) $100+5t=1000$ donne $t=180$ minutes. Alors $c(180)=\frac{27000}{1000}=27$ g/L. La cuve déborde bien avant $580$ minutes : $29$ g/L ne sera jamais atteint dans cette cuve. ⚠️ La limite $30$ décrit le modèle « à l'infini ». La vraie cuve s'arrête à $180$ minutes : on vérifie toujours que la réponse reste dans le domaine du modèle. ⭐ Sur le dessin (une graduation horizontale vaut $20$ min, une verticale $5$ g/L) : la courbe monte vers la droite $y=$$6$, soit $30$ g/L ; la droite grise $x=9$ marque la cuve pleine. Le point marqué : $20$ g/L à $40$ minutes.
19. 19. La lentille de l'appareil photo a) Pour $x>$$2$ : $d(x)=$$\frac{2}{1-\frac{2}{x}}$. Comme $\frac{2}{x}\to$$0$, ${\lim }_{x\to +\infty }d(x)=$$2$. L'image d'un objet très lointain se forme à $2$ dm : au foyer. C'est là qu'on place le capteur pour photographier un paysage. b) Quand $x\to$$2^{+}$ : $2x\to 4$ et $x-2\to 0$ en restant positif. ${\lim }_{x\to 2^{+}}d(x)=$$+\infty$. Un objet presque au foyer donne une image rejetée infiniment loin. c) Asymptote verticale $x=2$ et asymptote horizontale $y=2$ (en $+\infty$). d) $d(x)-2=\frac{2x-2(x-2)}{x-2}=$$\frac{4}{x-2}$. Pour $x>$$2$, c'est positif : $d(x)>$$2$. L'image est toujours à plus de $2$ dm : la courbe reste au-dessus de son asymptote horizontale. e) $d(x)=x$ équivaut à $2x=x(x-$$2)$, soit (en divisant par $x>$$0$) $2=x-$$2$, donc $x=$$4$. Un objet à $4$ dm, le double de la focale, a son image à $4$ dm aussi. ⚠️ En b), on travaille à droite de $2$ seulement : le modèle exige $x>$$2$. Écrire « la limite en $2$ » sans le côté serait faux. ⚠️ En e), on divise par $x$ parce que $x>$$2$, donc $x\ne$$0$. ⭐ Sur le dessin : la courbe descend le long de la droite grise $x=$$2$, puis se couche sur la droite $y=$$2$. Le point marqué $(4;4)$ est sur la droite grise $y=$$x$.
20. 20. La courbe en S d'un nouvel appareil a) $f(0)=\frac{100}{1+9}=$$10$ : $10$ % des foyers à la sortie. b) On pose $X=$$-0,5t$. Quand $t\to$$+\infty$, $X\to -\infty$ et ${\mathrm{e}}^X\to$$0$. Le dénominateur tend vers $1$ : ${\lim }_{t\to +\infty }f(t)=$$100$. À long terme, presque tous les foyers sont équipés. c) Quand $t\to$$-\infty$, $X=-0,5t\to +\infty$ et ${\mathrm{e}}^X\to$$+\infty$. Le dénominateur tend vers $+\infty$ : ${\lim }_{t\to -\infty }f(t)=$$0$. d) Deux asymptotes horizontales : $y=100$ en $+\infty$, et $y=0$ (l'axe des abscisses) en $-\infty$. e) $f=\frac{100}{u}$ avec $u(t)=1+9{\mathrm{e}}^{-0,5t}$ et $u^{\prime }(t)=$$-4,5{\mathrm{e}}^{-0,5t}$. $f^{\prime }=$$-\frac{100u^{\prime }}{u^2}$, ce qui donne la formule. Une exponentielle est positive : $f^{\prime }(t)>$$0$, $f$ est croissante. f) $f(8)\approx 85,8$ et $f(9)\approx$$90,9$. La part dépasse $90$ % pendant la $9$e année, entre $t=8$ et $t=$$9$. ⚠️ En b) et c), c'est la même exponentielle, mais son argument part dans des sens opposés : on refait le raisonnement à chaque bout. ⚠️ $100$ % n'est jamais atteint dans le modèle : $9{\mathrm{e}}^{-0,5t}$ reste strictement positif. ⭐ Sur le dessin (une graduation verticale vaut $10$ %) : la courbe en S part de l'axe à gauche, passe par $(0;1)$, soit $10$ %, et se couche sous la droite $y=$$10$, soit $100$ %.