Loi binomiale : 20 exercices corrigésmaths Tale spé — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, du schéma de Bernoulli au problème de bac, avec un rappel de cours avant chaque niveau. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : elle est écrite étape par étape, et elle dessine la loi en barres, la bonne barre en couleur.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. On applique, on écrit le résultat.

Rappel de cours

Épreuve de Bernoulli : deux issues, succès (probabilité $p$ ) et échec ( $1 -$ $p$ ). Schéma de Bernoulli : on la répète $n$ fois, de façon identique et indépendante.
Si $X$ compte les succès, $X$ suit la loi binomiale $B (n; p)$ et $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 -$ $p)^{n - k}$ .
$E (X) =$ $n p$ , $V (X) = n p (1 - p)$ et $σ (X) =$ $n p (1 - p)$ .
« Au moins un succès » est le contraire de « aucun succès » : $P (X ⩾ 1) = 1 - (1 -$ $p)^{n}$ .

1
On répète trois fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0, 2$ (succès $S$ , échec $E$ ). $X$ compte les succès. a) Combien de chemins de l'arbre contiennent exactement deux succès ? b) Quelle est la probabilité de chacun de ces chemins ? c) En déduire $P (X =$ $2)$ , puis $P (X =$ $0)$ .
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a) Deux succès et un échec : l'échec est au 1er, au 2e ou au 3e rang. Ce sont les chemins $SSE$ , $SES$ et $ESS$ : il y en a $3$ . b) Les épreuves sont indépendantes : on multiplie le long du chemin. Chacun porte deux fois $0, 2$ et une fois $0, 8$ , dans un ordre différent. Sa probabilité vaut $0, 2^{2} \times 0, 8 =$ $0, 032$ . c) $P (X = 2) = 3 \times 0, 032 =$ $0, 096$ . $X = 0$ correspond au seul chemin $EEE$ : $P (X = 0) = 0, 8^{3} =$ $0, 512$ . ⚠️ Ne pas oublier le nombre de chemins : $0, 032$ est la probabilité d'UN chemin, pas de l'événement $X =$ $2$ . ⭐ Sur le dessin : les feuilles $SSE$ , $SES$ , $ESS$ sont éparpillées dans l'arbre, mais leurs probabilités sont égales. Le $3$ est $(2 3)$ .
2
Dans chaque cas, $X$ suit-elle une loi binomiale ? Si oui, donner ses paramètres. a) On lance $10$ fois un dé équilibré ; $X$ compte les $6$ . b) On tire $3$ cartes SANS remise dans un jeu de $32$ cartes ; $X$ compte les as. c) On tire $5$ boules AVEC remise dans une urne de $3$ rouges et $7$ vertes ; $X$ compte les rouges. d) On lance une pièce jusqu'à obtenir pile ; $X$ compte les lancers.
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a) Oui. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli (succès : « obtenir $6$ », $p =$ $\frac{1}{6}$ ), répétée $10$ fois de façon identique et indépendante. $X \sim$ $B (10; \frac{1}{6})$ . b) Non. Sans remise, la probabilité de tirer un as change d'un tirage à l'autre : $\frac{4}{32}$ au premier, puis $\frac{3}{31}$ ou $\frac{4}{31}$ . Les tirages ne sont pas indépendants. c) Oui. Avec remise, l'urne ne change pas : $p = \frac{3}{10} = 0, 3$ à chaque tirage. $X \sim$ $B (5; 0, 3)$ . d) Non. Le nombre de répétitions n'est pas fixé à l'avance : c'est justement lui que $X$ mesure. ⚠️ Deux conditions sont nécessaires : un nombre $n$ de répétitions FIXÉ, et des répétitions indépendantes et identiques. ⭐ Sur le dessin (cas b) : après un as, la branche vers « As » porte $\frac{3}{31}$ ; après une autre carte, elle porte $\frac{4}{31}$ . Les probabilités changent : ce n'est pas un schéma de Bernoulli.
3
$X$ suit la loi $B (8; 0, 3)$ . Calculer $P (X = 2)$ et $P (X =$ $0)$ , arrondies au dix-millième.
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$P (X = 2) = (2 8) \times 0, 3^{2} \times$ $0, 7^{6}$ . À la calculatrice, $(2 8) =$ $28$ : $P (X = 2) = 28 \times 0, 09 \times 0, 7^{6} \approx$ $0, 2965$ . $P (X = 0) = 0, 7^{8} \approx$ $0, 0576$ : aucun succès, huit échecs. ⚠️ L'exposant de $0, 7$ est $8 - 2 =$ $6$ , le nombre d'ÉCHECS, pas $8$ . ⭐ Sur le dessin : la loi en barres (hauteurs en %). La barre de $2$ , en couleur, est la plus haute : $2$ est la valeur la plus probable, proche de $E (X) =$ $2, 4$ .
4
On lance $5$ fois une pièce équilibrée ; $X$ compte les piles. Le tableau donne le nombre de chemins de l'arbre qui mènent à $k$ piles. a) Pourquoi tous les chemins ont-ils la même probabilité ? Laquelle ? b) Calculer $P (X = 3)$ et $P (X ⩾$ $4)$ .
k 0 1 2 3 4 5
chemins 1 5 10 10 5 1
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a) Chaque chemin est une suite de $5$ lancers indépendants. Pile et face ont la même probabilité $0, 5$ : chaque chemin vaut $0, 5^{5} =$ $\frac{1}{32}$ . b) $P (X = 3) = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} =$ $0, 3125$ . $P (X ⩾ 4) = P (X = 4) + P (X = 5) = \frac{5 + 1}{32} = \frac{6}{32} =$ $0, 1875$ . ⚠️ Ce raccourci marche parce que $p =$ $0, 5$ . Si $p \neq =$ $0, 5$ , les chemins n'ont pas tous la même probabilité. ⭐ Sur le tableau : ce sont les coefficients $(k 5)$ . Ils sont symétriques, et leur somme vaut $32 =$ $2^{5}$ , le nombre total de chemins.
5
Un institut de sondage appelle $50$ numéros. Chaque appel aboutit à une réponse avec la probabilité $0, 2$ , indépendamment des autres. $X$ compte les réponses. Calculer $E (X)$ , $V (X)$ et $σ (X)$ . Interpréter $E (X)$ .
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$X$ suit la loi $B (50; 0, 2)$ . $E (X) = 50 \times 0, 2 =$ $10$ . $V (X) = 50 \times 0, 2 \times 0, 8 = 8$ et $σ (X) = 8 \approx$ $2, 83$ . Si l'institut refait très souvent cette série de $50$ appels, il obtient en moyenne $10$ réponses par série. ⚠️ $σ$ est la racine de la variance : $σ (X) =$ $8$ , pas $8$ . ⭐ Sur le dessin (de $5$ à $15$ réponses) : les barres sont hautes autour de $10$ , en couleur, et diminuent de chaque côté. De $7$ à $13$ réponses, elles totalisent environ $79$ %.
6
Un bureau a $10$ imprimantes. Chaque jour, chacune tombe en panne avec la probabilité $0, 05$ , indépendamment des autres. Quelle est la probabilité qu'au moins une imprimante tombe en panne un jour donné ?
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$X$ , le nombre d'imprimantes en panne, suit la loi $B (10; 0, 05)$ . « Au moins une » est le contraire de « aucune ». $P (X = 0) =$ $0, 9 5^{10}$ , donc $P (X ⩾ 1) = 1 - 0, 9 5^{10} \approx$ $0, 401$ . Chaque imprimante est fiable à $95$ %, et pourtant il y a environ $40$ % de risque qu'au moins une tombe en panne. ⚠️ Additionner $P (X = 1) + P (X = 2) + \dots + P (X = 10)$ marche aussi, mais c'est dix calculs au lieu d'un. ⭐ Sur le dessin : la barre de $0$ , en couleur, vaut environ $60$ % ; tout le reste de la loi est « au moins une ».
7
$X$ suit la loi $B (6; 0, 4)$ . Calculer : a) $P (X ⩽$ $2)$ ; b) $P (X >$ $2)$ ; c) $P (2 ⩽ X ⩽$ $4)$ .
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a) $P (X ⩽ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X =$ $2)$ . Cela fait $0, 046656 + 0, 186624 + 0, 31104 =$ $0, 54432$ . b) $P (X > 2) = 1 - P (X ⩽ 2) =$ $0, 45568$ . c) $P (2 ⩽ X ⩽ 4) = P (X ⩽ 4) - P (X ⩽$ $1)$ . $P (X ⩽ 4) = 0, 95904$ et $P (X ⩽ 1) =$ $0, 23328$ : on obtient $0, 72576$ . ⚠️ $P (2 ⩽ X ⩽ 4) \neq = P (X ⩽ 4) - P (X ⩽$ $2)$ : il faut garder la valeur $2$ , on retire donc $P (X ⩽$ $1)$ . ⭐ Sur le dessin : $P (X ⩽$ $2)$ , ce sont les trois barres de gauche, jusqu'à celle en couleur.
8
Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale d'espérance $6$ et de variance $4, 2$ . Déterminer ses paramètres $n$ et $p$ .
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On a $n p = 6$ et $n p (1 - p) =$ $4, 2$ . On divise la seconde égalité par la première : $1 - p = \frac{4 , 2}{6} =$ $0, 7$ , donc $p =$ $0, 3$ . Puis $n = \frac{6}{0 , 3} =$ $20$ : $X \sim$ $B (20; 0, 3)$ . Vérification : $20 \times 0, 3 \times 0, 7 =$ $4, 2$ . ⚠️ $n$ doit être un entier : si le calcul donnait $n =$ $20, 5$ , il n'existerait pas de telle loi binomiale. ⭐ Sur le dessin : la loi $B (20; 0, 3)$ de $0$ à $10$ ; la plus haute barre, en couleur, est à $6$ , l'espérance.

k	0	1	2	3	4	5
chemins	1	5	10	10	5	1

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Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs gestes à enchaîner, comme dans un devoir. On rédige.

Rappel de cours

Pour justifier une loi binomiale : on nomme l'épreuve, le succès et sa probabilité $p$ ; on dit qu'elle est répétée $n$ fois de façon identique et indépendante, et que $X$ compte les succès.
Un tirage SANS remise dans une très grande population s'assimile à un tirage avec remise.
$P (X > k) = 1 - P (X ⩽ k)$ et $P (a ⩽ X ⩽ b) = P (X ⩽ b) - P (X ⩽ a -$ $1)$ .
$E (a X + b) = a E (X) + b$ et $V (a X + b) =$ $a^{2} V (X)$ .

9
Démonstration du cours. On répète $n$ fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ ; on note $q = 1 - p$ et $X$ le nombre de succès. a) Pour $n =$ $4$ , écrire les chemins qui comptent exactement $2$ succès. Quelle est la probabilité de chacun ? b) Dans le cas général, justifier que $P (X = k) =$ $(k n) p^{k} q^{n - k}$ . c) Application : $n = 4$ et $p =$ $0, 5$ . Calculer $P (X =$ $2)$ .
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a) On place les deux $S$ parmi quatre rangs : $SSEE$ , $SESE$ , $SEES$ , $ESSE$ , $ESES$ , $EESS$ . Il y a $6$ chemins, et $6 =$ $(2 4)$ . Les épreuves sont indépendantes : chaque chemin a pour probabilité le produit de ses branches, deux facteurs $p$ et deux facteurs $q$ , soit $p^{2} q^{2}$ . b) Un chemin qui compte $k$ succès porte $k$ facteurs $p$ et $n - k$ facteurs $q$ : sa probabilité est $p^{k} q^{n - k}$ , quel que soit l'ordre. Ces chemins sont autant que de façons de choisir les $k$ rangs des succès parmi $n$ : il y en a $(k n)$ . Ils correspondent à des issues deux à deux incompatibles : on additionne. $P (X = k) =$ $(k n) p^{k} q^{n - k}$ . c) $P (X = 2) = 6 \times 0, 5^{2} \times 0, 5^{2} = \frac{6}{16} =$ $0, 375$ . ⚠️ L'indépendance sert DEUX fois : pour multiplier le long d'un chemin, et pour que chaque branche porte le même $p$ . ⭐ Sur le tableau : six chemins, six fois la même probabilité $p^{2} q^{2}$ ; la dernière ligne fait la somme.
chemin probabilité
SSEE p²q²
SESE p²q²
SEES p²q²
ESSE p²q²
ESES p²q²
EESS p²q²
6 chemins 6p²q²
10
Un traitement guérit $80$ % des patients. On le donne à $12$ patients, qui réagissent indépendamment les uns des autres. $X$ compte les patients guéris. a) Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres. b) Calculer $P (X =$ $12)$ . c) Calculer $P (X ⩾$ $10)$ . d) Calculer $E (X)$ et l'interpréter.
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a) Pour chaque patient, deux issues : guéri (succès, $p =$ $0, 8$ ) ou non. On répète $12$ fois, de façon identique et indépendante, et $X$ compte les succès : $X \sim$ $B (12; 0, 8)$ . b) $P (X = 12) = 0, 8^{12} \approx$ $0, 0687$ . c) $P (X = 10) = (10 12) \times 0, 8^{10} \times 0, 2^{2} \approx$ $0, 2835$ , avec $(10 12) =$ $66$ . $P (X = 11) = 12 \times 0, 8^{11} \times 0, 2 \approx$ $0, 2062$ . $P (X ⩾ 10) = P (X = 10) + P (X = 11)$ $+ P (X = 12) \approx$ $0, 558$ . d) $E (X) = 12 \times 0, 8 =$ $9, 6$ : sur un grand nombre de groupes de $12$ patients, on compte en moyenne $9, 6$ guérisons par groupe. ⚠️ On n'observera jamais $9, 6$ guérisons : l'espérance est une MOYENNE, pas une valeur possible de $X$ . ⚠️ En c), on garde les valeurs exactes jusqu'au bout : additionner les arrondis donnerait $0, 5584$ au lieu de $0, 5583$ . ⭐ Sur le dessin (de $4$ à $12$ guérisons) : $P (X ⩾$ $10)$ , ce sont les trois barres de droite, à partir de celle en couleur.
11
Un fichier est envoyé en $200$ paquets. Chaque paquet est perdu avec la probabilité $0, 02$ , indépendamment des autres. $X$ compte les paquets perdus. a) Calculer $E (X)$ et $σ (X)$ . b) Calculer $P (X ⩽$ $4)$ . c) Le transfert est jugé mauvais si plus de $8$ paquets sont perdus. Calculer la probabilité de cet événement.
Voir la correction
$X$ suit la loi $B (200; 0, 02)$ . a) $E (X) = 200 \times 0, 02 =$ $4$ . $V (X) = 4 \times 0, 98 = 3, 92$ et $σ (X) = 3, 92 \approx$ $1, 98$ . b) À la calculatrice (fonction de répartition) : $P (X ⩽ 4) \approx$ $0, 629$ . c) « Plus de $8$ » veut dire $X ⩾$ $9$ : $P (X > 8) = 1 - P (X ⩽ 8) \approx$ $0, 020$ . ⚠️ $P (X > 8) = 1 - P (X ⩽$ $8)$ , et non $1 - P (X ⩽$ $7)$ : le contraire de « $X >$ $8$ » est « $X ⩽$ $8$ ». ⭐ Sur le dessin : la loi est tassée entre $0$ et $10$ ; la barre de $4$ , en couleur, et celle de $3$ sont les plus hautes. Au-delà de $8$ , les barres sont presque nulles.
12
Une espèce de grenouille rare vit dans $5$ % des mares d'une région. Une biologiste inspecte $n$ mares prises au hasard, de façon indépendante. $X$ compte les mares où elle trouve l'espèce. a) Exprimer $P (X ⩾ 1)$ en fonction de $n$ . b) Déterminer par le calcul le plus petit $n$ tel que $P (X ⩾ 1) ⩾$ $0, 95$ . c) Que renvoie la fonction Python ci-dessous ?
```
def seuil():
    n = 1
    while 1 - 0.95**n < 0.95:
        n = n + 1
    return n
```
Voir la correction
a) $X \sim B (n; 0, 05)$ et $P (X ⩾ 1) = 1 - P (X = 0) = 1 -$ $0, 9 5^{n}$ . b) $1 - 0, 9 5^{n} ⩾ 0, 95$ équivaut à $0, 9 5^{n} ⩽$ $0, 05$ . La fonction $ln$ est croissante : $n ln (0, 95) ⩽$ $ln (0, 05)$ . $ln (0, 95) <$ $0$ : en divisant, le sens change. $n ⩾ \frac{ln ( 0 , 05 )}{ln ( 0 , 95 )} \approx$ $58, 4$ . Le plus petit entier est $n =$ $59$ . Vérification : $1 - 0, 9 5^{58} \approx 0, 9490$ et $1 - 0, 9 5^{59} \approx$ $0, 9515$ . c) La boucle augmente $n$ tant que la probabilité reste sous $0, 95$ : elle renvoie $59$ , comme le calcul. ⚠️ Diviser par $ln (0, 95)$ , qui est NÉGATIF, retourne l'inégalité : c'est l'erreur la plus fréquente. ⭐ Dans le programme : la condition du while est le CONTRAIRE de ce qu'on cherche. La boucle tourne tant que ce n'est pas assez.
n 58 59
P(X ≥ 1) 0,9490 0,9515
13
Une machine produit $5$ % de pièces défectueuses. Un lot compte $100$ pièces, assimilé à un tirage avec remise ; $X$ compte les pièces défectueuses. a) Donner la loi de $X$ et son espérance. b) À l'aide du tableau, déterminer le plus petit entier $k$ tel que $P (X ⩽ k) ⩾$ $0, 95$ . c) Un lot contient $12$ pièces défectueuses. Qu'en penser ?
Voir la correction
a) $X \sim B (100; 0, 05)$ et $E (X) = 100 \times 0, 05 =$ $5$ . b) $P (X ⩽ 8) \approx 0, 937 < 0, 95$ et $P (X ⩽ 9) \approx 0, 972 ⩾$ $0, 95$ : $k =$ $9$ . Dans $95$ % des lots au moins, on compte au plus $9$ pièces défectueuses. c) $12 >$ $9$ : si la machine produisait encore $5$ % de défauts, un tel lot aurait une probabilité inférieure à $5$ % d'arriver. On met en doute le réglage de la machine. ⚠️ Ce n'est pas une preuve : un lot à $12$ défauts reste possible avec une machine bien réglée. La règle se trompe dans moins de $5$ % des cas. ⭐ Sur le tableau : la probabilité cumulée monte avec $k$ ; on lit la PREMIÈRE colonne qui dépasse $0, 95$ .
k 7 8 9 10
P(X ≤ k) 0,872 0,937 0,972 0,989
14
Un livreur fait $20$ livraisons par jour ; chacune est en retard avec la probabilité $0, 15$ , indépendamment des autres. $X$ compte les retards. Sa prime du jour vaut $30 - 4 X$ euros. a) Calculer $E (X)$ et $V (X)$ . b) En déduire l'espérance et l'écart-type de la prime. c) Quelle est la probabilité que la prime atteigne au moins $22$ euros ?
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a) $X \sim$ $B (20; 0, 15)$ : $E (X) = 20 \times 0, 15 = 3$ et $V (X) = 3 \times 0, 85 =$ $2, 55$ . b) Espérance : $E (30 - 4 X) = 30 - 4 E (X) = 30 - 12 = 18$ euros. Variance : $V (30 - 4 X) = (- 4)^{2} V (X) = 16 \times 2, 55 =$ $40, 8$ . Écart-type : $40, 8 \approx 6, 39$ euros. c) $30 - 4 X ⩾ 22$ équivaut à $4 X ⩽$ $8$ , soit $X ⩽$ $2$ . $P (X ⩽ 2) \approx$ $0, 405$ . ⚠️ Dans la variance, le $30$ disparaît et le $- 4$ devient $16$ : on ne trouve pas $30 - 4 \times$ $2, 55$ . ⭐ Sur le dessin : la prime atteint $22$ euros pour $0$ , $1$ ou $2$ retards, les trois barres de gauche jusqu'à celle en couleur.
15
Un sac contient $10000$ graines, dont $3$ % ne germent pas. On en prélève $50$ au hasard. $X$ compte les graines qui ne germent pas. a) Le prélèvement est sans remise. Pourquoi peut-on quand même utiliser une loi binomiale ? Laquelle ? b) Calculer la probabilité que toutes les graines prélevées germent. c) Calculer la probabilité qu'au plus $2$ graines ne germent pas.
Voir la correction
a) Il y a $300$ graines stériles sur $10000$ . Même après en avoir retiré quelques-unes, la proportion reste presque $0, 03$ : par exemple $\frac{299}{9 999} \approx$ $0, 0299$ . On assimile donc le prélèvement à $50$ tirages avec remise : $X \sim$ $B (50; 0, 03)$ . b) « Toutes germent » veut dire $X =$ $0$ : $P (X = 0) = 0, 9 7^{50} \approx$ $0, 218$ . c) $P (X ⩽ 2) \approx 0, 811$ (calculatrice). ⚠️ Avec $50$ graines prélevées dans un sac de $60$ , l'approximation serait fausse : elle demande un prélèvement petit devant la population. ⭐ Sur le dessin : la barre de $1$ , en couleur, est la plus haute ; en moyenne on attend $50 \times 0, 03 = 1, 5$ graine stérile.
16
Un laboratoire fait $10$ mesures ; chacune est aberrante avec la probabilité $p$ , indépendamment des autres. On cherche la valeur de $p$ qui rend le plus probable « exactement une mesure aberrante ». a) Montrer que cette probabilité vaut $f (p) = 10 p (1 -$ $p)^{9}$ . b) Montrer que $f^{'} (p) = 10 (1 - p)^{8} (1 -$ $10 p)$ . c) En déduire la valeur de $p$ qui maximise $f$ sur $[0; 1]$ , et ce maximum.
Voir la correction
a) Le nombre $X$ de mesures aberrantes suit $B (10; p)$ , et $(1 10) =$ $10$ : $P (X = 1) = 10 p (1 -$ $p)^{9}$ . b) On dérive un produit : $f^{'} (p) = 10 (1 - p)^{9} + 10 p \times 9 (1 - p)^{8} \times$ $(- 1)$ . On factorise par $10 (1 -$ $p)^{8}$ : $f^{'} (p) = 10 (1 - p)^{8} ((1 - p) - 9 p)$ $= 10 (1 - p)^{8} (1 -$ $10 p)$ . c) Sur $[0; 1]$ , $(1 - p)^{8} ⩾$ $0$ : $f^{'} (p)$ a le signe de $1 -$ $10 p$ , positif avant $0, 1$ et négatif après. $f$ croît puis décroît : son maximum est atteint en $p =$ $0, 1$ , et vaut $f (0, 1) = 0, 9^{9} \approx$ $0, 387$ . ⭐ C'est naturel : pour $p =$ $0, 1$ , $E (X) = 10 \times 0, 1 =$ $1$ . La valeur « une mesure aberrante » est alors la moyenne. ⚠️ Dans la dérivée de $(1 -$ $p)^{9}$ , ne pas oublier le facteur $- 1$ , dérivée de $1 -$ $p$ . ⚠️ Sur le dessin, les deux axes sont agrandis dix fois : une graduation vaut $0, 1$ . Le sommet de la courbe est au point $(1; 3, 87)$ , c'est-à-dire $p = 0, 1$ et $f (p) \approx$ $0, 387$ .

chemin	probabilité
SSEE	p²q²
SESE	p²q²
SEES	p²q²
ESSE	p²q²
ESES	p²q²
EESS	p²q²
6 chemins	6p²q²

n	58	59
P(X ≥ 1)	0,9490	0,9515

k	7	8	9	10
P(X ≤ k)	0,872	0,937	0,972	0,989

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Un exercice complet de bac, avec ses questions qui s'enchaînent. On reconnaît la loi, on calcule, on décide.

Rappel de cours

Plan type : reconnaître la loi et ses paramètres, calculer, puis interpréter dans le contexte.
Chercher un seuil : on calcule la probabilité pour plusieurs valeurs de $n$ ou de $k$ (tableau, boucle), et on garde la première qui convient.
Une espérance se lit « en moyenne, sur un grand nombre de répétitions ». Elle n'est pas forcément une valeur possible.

17Répondre au hasard
Un QCM compte $20$ questions à $4$ réponses, dont une seule est juste. Un candidat répond à tout au hasard. $X$ compte ses bonnes réponses. a) Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. b) Calculer $E (X)$ et $σ (X)$ . c) Il faut $10$ bonnes réponses pour réussir. Calculer $P (X ⩾$ $10)$ . d) Une bonne réponse rapporte $1$ point, une mauvaise en retire $a$ . Exprimer la note $N$ en fonction de $X$ , puis choisir $a$ pour que $E (N) =$ $0$ .
Voir la correction
a) Chaque question est une épreuve de Bernoulli : succès « bonne réponse », $p =$ $\frac{1}{4}$ . Le candidat répond au hasard, donc de façon indépendante, $20$ fois : $X \sim$ $B (20; 0, 25)$ . b) $E (X) = 20 \times 0, 25 =$ $5$ ; $V (X) = 5 \times 0, 75 =$ $3, 75$ ; $σ (X) = 3, 75 \approx$ $1, 94$ . c) $P (X ⩾ 10) = 1 - P (X ⩽ 9) \approx$ $0, 0139$ : un peu plus d'une chance sur cent. d) Il y a $X$ bonnes réponses et $20 - X$ mauvaises : $N = X - a (20 - X) = (1 + a) X -$ $20 a$ . $E (N) = (1 + a) \times 5 - 20 a = 5 -$ $15 a$ . Donc $E (N) = 0$ pour $a =$ $\frac{1}{3}$ . Avec ce barème, répondre au hasard ne rapporte rien en moyenne. ⚠️ $P (X ⩾ 10) = 1 - P (X ⩽$ $9)$ : on retire tout ce qui est STRICTEMENT sous $10$ . ⭐ Sur le dessin : la loi culmine en $5$ (en couleur) ; les barres de $10$ et au-delà sont presque invisibles.
18Le parc d'éoliennes
Un parc compte $n$ éoliennes. Un jour donné, chacune fonctionne avec la probabilité $0, 9$ , indépendamment des autres. $Y$ compte les éoliennes qui fonctionnent. Le parc couvre ses besoins si au moins $10$ éoliennes fonctionnent. a) Pour $n =$ $12$ : donner la loi de $Y$ , puis calculer $E (Y)$ et $P (Y =$ $12)$ . b) Calculer $P (Y ⩾ 10)$ pour $n =$ $12$ . c) Combien d'éoliennes faut-il au minimum pour que $P (Y ⩾ 10) ⩾$ $0, 95$ ?
Voir la correction
a) $Y \sim$ $B (12; 0, 9)$ , $E (Y) = 12 \times 0, 9 = 10, 8$ et $P (Y = 12) = 0, 9^{12} \approx$ $0, 282$ . b) $P (Y = 10) \approx 0, 230$ et $P (Y = 11) \approx$ $0, 377$ . $P (Y ⩾ 10) = P (Y = 10) + P (Y = 11)$ $+ P (Y = 12) \approx$ $0, 889$ . c) On recalcule pour d'autres valeurs de $n$ : $0, 889$ pour $n =$ $12$ , puis $0, 966$ pour $n =$ $13$ . Il faut au moins $13$ éoliennes. ⚠️ $E (Y) = 10, 8$ dépasse $10$ , et pourtant le parc manque d'énergie plus d'un jour sur dix : une moyenne ne garantit rien pour UN jour donné. ⭐ Sur le tableau : une seule éolienne de plus fait passer la probabilité de $0, 889$ à $0, 966$ .
n 12 13 14
P(Y ≥ 10) 0,889 0,966 0,991
19Les deux ateliers
Une usine a deux ateliers. L'atelier $A$ fait $60$ % des pièces, dont $3$ % sont défectueuses ; l'atelier $B$ fait les autres, dont $5, 5$ % sont défectueuses. a) Montrer que la probabilité qu'une pièce soit défectueuse vaut $0, 04$ . b) Un client prélève $25$ pièces dans un stock très grand ; on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. $X$ compte les pièces défectueuses. Quelle est la loi de $X$ ? c) Calculer $P (X =$ $0)$ , $P (X ⩽ 2)$ et $E (X)$ . d) Le client refuse le lot s'il y trouve au moins $3$ pièces défectueuses. Quelle est la probabilité qu'il le refuse ?
Voir la correction
a) Probabilités totales : $P (D) = 0, 6 \times 0, 03 + 0, 4 \times 0, 055$ $= 0, 018 + 0, 022 =$ $0, 04$ . b) Chaque pièce est défectueuse (succès) avec la probabilité $0, 04$ , et les $25$ prélèvements sont assimilés à des tirages indépendants : $X \sim$ $B (25; 0, 04)$ . c) $P (X = 0) = 0, 9 6^{25} \approx$ $0, 360$ . $P (X ⩽ 2) \approx 0, 924$ (calculatrice) et $E (X) = 25 \times 0, 04 =$ $1$ . d) « Au moins $3$ » : $P (X ⩾ 3) = 1 - P (X ⩽ 2) \approx$ $0, 076$ . Le client refuse environ $8$ lots sur $100$ , alors que la production n'a pas changé. ⚠️ Le « succès » de la loi binomiale est ici un défaut : « succès » veut seulement dire « l'issue qu'on compte ». ⭐ Sur le dessin : l'arbre donne $p = 0, 04$ en additionnant les deux chemins qui finissent par $D$ ; la loi binomiale part de là.
20L'avion en surréservation
Un avion a $150$ places. Chaque personne qui a acheté un billet se présente à l'embarquement avec la probabilité $0, 92$ , indépendamment des autres. La compagnie vend $158$ billets ; $X$ compte les passagers qui se présentent. a) Quelle loi suit $X$ ? Calculer $E (X)$ et $σ (X)$ . b) Il y a surréservation si $X >$ $150$ . Calculer sa probabilité. c) La compagnie accepte un risque de surréservation d'au plus $5$ %. Combien de billets peut-elle vendre au maximum ?
Voir la correction
a) $X \sim$ $B (158; 0, 92)$ . $E (X) = 158 \times 0, 92 =$ $145, 36$ . $V (X) = 145, 36 \times 0, 08 \approx$ $11, 63$ , donc $σ (X) \approx$ $3, 41$ . b) $P (X > 150) = 1 - P (X ⩽ 150) \approx 0, 058$ (calculatrice). c) On refait le calcul en changeant le nombre de billets : $0, 012$ pour $156$ billets, $0, 028$ pour $157$ , $0, 058$ pour $158$ . Le risque reste sous $5$ % jusqu'à $157$ billets : la compagnie peut en vendre $157$ au plus. ⚠️ En moyenne, $145$ passagers se présentent, bien moins que $150$ : mais le risque vient des jours où beaucoup se présentent. $151$ passagers, c'est un peu plus d'un écart-type et demi au-dessus de la moyenne : ce n'est pas rare. ⭐ Sur le tableau : chaque billet de plus fait plus que doubler le risque.
billets 156 157 158
P(X > 150) 0,012 0,028 0,058

n	12	13	14
P(Y ≥ 10)	0,889	0,966	0,991

billets	156	157	158
P(X > 150)	0,012	0,028	0,058

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : loi binomiale, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. a) Deux succès et un échec : l'échec est au 1er, au 2e ou au 3e rang. Ce sont les chemins $SSE$ , $SES$ et $ESS$ : il y en a $3$ . b) Les épreuves sont indépendantes : on multiplie le long du chemin. Chacun porte deux fois $0, 2$ et une fois $0, 8$ , dans un ordre différent. Sa probabilité vaut $0, 2^{2} \times 0, 8 =$ $0, 032$ . c) $P (X = 2) = 3 \times 0, 032 =$ $0, 096$ . $X = 0$ correspond au seul chemin $EEE$ : $P (X = 0) = 0, 8^{3} =$ $0, 512$ . ⚠️ Ne pas oublier le nombre de chemins : $0, 032$ est la probabilité d'UN chemin, pas de l'événement $X =$ $2$ . ⭐ Sur le dessin : les feuilles $SSE$ , $SES$ , $ESS$ sont éparpillées dans l'arbre, mais leurs probabilités sont égales. Le $3$ est $(2 3)$ .
2. a) Oui. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli (succès : « obtenir $6$ », $p =$ $\frac{1}{6}$ ), répétée $10$ fois de façon identique et indépendante. $X \sim$ $B (10; \frac{1}{6})$ . b) Non. Sans remise, la probabilité de tirer un as change d'un tirage à l'autre : $\frac{4}{32}$ au premier, puis $\frac{3}{31}$ ou $\frac{4}{31}$ . Les tirages ne sont pas indépendants. c) Oui. Avec remise, l'urne ne change pas : $p = \frac{3}{10} = 0, 3$ à chaque tirage. $X \sim$ $B (5; 0, 3)$ . d) Non. Le nombre de répétitions n'est pas fixé à l'avance : c'est justement lui que $X$ mesure. ⚠️ Deux conditions sont nécessaires : un nombre $n$ de répétitions FIXÉ, et des répétitions indépendantes et identiques. ⭐ Sur le dessin (cas b) : après un as, la branche vers « As » porte $\frac{3}{31}$ ; après une autre carte, elle porte $\frac{4}{31}$ . Les probabilités changent : ce n'est pas un schéma de Bernoulli.
3. $P (X = 2) = (2 8) \times 0, 3^{2} \times$ $0, 7^{6}$ . À la calculatrice, $(2 8) =$ $28$ : $P (X = 2) = 28 \times 0, 09 \times 0, 7^{6} \approx$ $0, 2965$ . $P (X = 0) = 0, 7^{8} \approx$ $0, 0576$ : aucun succès, huit échecs. ⚠️ L'exposant de $0, 7$ est $8 - 2 =$ $6$ , le nombre d'ÉCHECS, pas $8$ . ⭐ Sur le dessin : la loi en barres (hauteurs en %). La barre de $2$ , en couleur, est la plus haute : $2$ est la valeur la plus probable, proche de $E (X) =$ $2, 4$ .
4. a) Chaque chemin est une suite de $5$ lancers indépendants. Pile et face ont la même probabilité $0, 5$ : chaque chemin vaut $0, 5^{5} =$ $\frac{1}{32}$ . b) $P (X = 3) = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} =$ $0, 3125$ . $P (X ⩾ 4) = P (X = 4) + P (X = 5) = \frac{5 + 1}{32} = \frac{6}{32} =$ $0, 1875$ . ⚠️ Ce raccourci marche parce que $p =$ $0, 5$ . Si $p \neq =$ $0, 5$ , les chemins n'ont pas tous la même probabilité. ⭐ Sur le tableau : ce sont les coefficients $(k 5)$ . Ils sont symétriques, et leur somme vaut $32 =$ $2^{5}$ , le nombre total de chemins.
5. $X$ suit la loi $B (50; 0, 2)$ . $E (X) = 50 \times 0, 2 =$ $10$ . $V (X) = 50 \times 0, 2 \times 0, 8 = 8$ et $σ (X) = 8 \approx$ $2, 83$ . Si l'institut refait très souvent cette série de $50$ appels, il obtient en moyenne $10$ réponses par série. ⚠️ $σ$ est la racine de la variance : $σ (X) =$ $8$ , pas $8$ . ⭐ Sur le dessin (de $5$ à $15$ réponses) : les barres sont hautes autour de $10$ , en couleur, et diminuent de chaque côté. De $7$ à $13$ réponses, elles totalisent environ $79$ %.
6. $X$ , le nombre d'imprimantes en panne, suit la loi $B (10; 0, 05)$ . « Au moins une » est le contraire de « aucune ». $P (X = 0) =$ $0, 9 5^{10}$ , donc $P (X ⩾ 1) = 1 - 0, 9 5^{10} \approx$ $0, 401$ . Chaque imprimante est fiable à $95$ %, et pourtant il y a environ $40$ % de risque qu'au moins une tombe en panne. ⚠️ Additionner $P (X = 1) + P (X = 2) + \dots + P (X = 10)$ marche aussi, mais c'est dix calculs au lieu d'un. ⭐ Sur le dessin : la barre de $0$ , en couleur, vaut environ $60$ % ; tout le reste de la loi est « au moins une ».
7. a) $P (X ⩽ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X =$ $2)$ . Cela fait $0, 046656 + 0, 186624 + 0, 31104 =$ $0, 54432$ . b) $P (X > 2) = 1 - P (X ⩽ 2) =$ $0, 45568$ . c) $P (2 ⩽ X ⩽ 4) = P (X ⩽ 4) - P (X ⩽$ $1)$ . $P (X ⩽ 4) = 0, 95904$ et $P (X ⩽ 1) =$ $0, 23328$ : on obtient $0, 72576$ . ⚠️ $P (2 ⩽ X ⩽ 4) \neq = P (X ⩽ 4) - P (X ⩽$ $2)$ : il faut garder la valeur $2$ , on retire donc $P (X ⩽$ $1)$ . ⭐ Sur le dessin : $P (X ⩽$ $2)$ , ce sont les trois barres de gauche, jusqu'à celle en couleur.
8. On a $n p = 6$ et $n p (1 - p) =$ $4, 2$ . On divise la seconde égalité par la première : $1 - p = \frac{4 , 2}{6} =$ $0, 7$ , donc $p =$ $0, 3$ . Puis $n = \frac{6}{0 , 3} =$ $20$ : $X \sim$ $B (20; 0, 3)$ . Vérification : $20 \times 0, 3 \times 0, 7 =$ $4, 2$ . ⚠️ $n$ doit être un entier : si le calcul donnait $n =$ $20, 5$ , il n'existerait pas de telle loi binomiale. ⭐ Sur le dessin : la loi $B (20; 0, 3)$ de $0$ à $10$ ; la plus haute barre, en couleur, est à $6$ , l'espérance.
9. a) On place les deux $S$ parmi quatre rangs : $SSEE$ , $SESE$ , $SEES$ , $ESSE$ , $ESES$ , $EESS$ . Il y a $6$ chemins, et $6 =$ $(2 4)$ . Les épreuves sont indépendantes : chaque chemin a pour probabilité le produit de ses branches, deux facteurs $p$ et deux facteurs $q$ , soit $p^{2} q^{2}$ . b) Un chemin qui compte $k$ succès porte $k$ facteurs $p$ et $n - k$ facteurs $q$ : sa probabilité est $p^{k} q^{n - k}$ , quel que soit l'ordre. Ces chemins sont autant que de façons de choisir les $k$ rangs des succès parmi $n$ : il y en a $(k n)$ . Ils correspondent à des issues deux à deux incompatibles : on additionne. $P (X = k) =$ $(k n) p^{k} q^{n - k}$ . c) $P (X = 2) = 6 \times 0, 5^{2} \times 0, 5^{2} = \frac{6}{16} =$ $0, 375$ . ⚠️ L'indépendance sert DEUX fois : pour multiplier le long d'un chemin, et pour que chaque branche porte le même $p$ . ⭐ Sur le tableau : six chemins, six fois la même probabilité $p^{2} q^{2}$ ; la dernière ligne fait la somme.
chemin probabilité
SSEE p²q²
SESE p²q²
SEES p²q²
ESSE p²q²
ESES p²q²
EESS p²q²
6 chemins 6p²q²
10. a) Pour chaque patient, deux issues : guéri (succès, $p =$ $0, 8$ ) ou non. On répète $12$ fois, de façon identique et indépendante, et $X$ compte les succès : $X \sim$ $B (12; 0, 8)$ . b) $P (X = 12) = 0, 8^{12} \approx$ $0, 0687$ . c) $P (X = 10) = (10 12) \times 0, 8^{10} \times 0, 2^{2} \approx$ $0, 2835$ , avec $(10 12) =$ $66$ . $P (X = 11) = 12 \times 0, 8^{11} \times 0, 2 \approx$ $0, 2062$ . $P (X ⩾ 10) = P (X = 10) + P (X = 11)$ $+ P (X = 12) \approx$ $0, 558$ . d) $E (X) = 12 \times 0, 8 =$ $9, 6$ : sur un grand nombre de groupes de $12$ patients, on compte en moyenne $9, 6$ guérisons par groupe. ⚠️ On n'observera jamais $9, 6$ guérisons : l'espérance est une MOYENNE, pas une valeur possible de $X$ . ⚠️ En c), on garde les valeurs exactes jusqu'au bout : additionner les arrondis donnerait $0, 5584$ au lieu de $0, 5583$ . ⭐ Sur le dessin (de $4$ à $12$ guérisons) : $P (X ⩾$ $10)$ , ce sont les trois barres de droite, à partir de celle en couleur.
11. $X$ suit la loi $B (200; 0, 02)$ . a) $E (X) = 200 \times 0, 02 =$ $4$ . $V (X) = 4 \times 0, 98 = 3, 92$ et $σ (X) = 3, 92 \approx$ $1, 98$ . b) À la calculatrice (fonction de répartition) : $P (X ⩽ 4) \approx$ $0, 629$ . c) « Plus de $8$ » veut dire $X ⩾$ $9$ : $P (X > 8) = 1 - P (X ⩽ 8) \approx$ $0, 020$ . ⚠️ $P (X > 8) = 1 - P (X ⩽$ $8)$ , et non $1 - P (X ⩽$ $7)$ : le contraire de « $X >$ $8$ » est « $X ⩽$ $8$ ». ⭐ Sur le dessin : la loi est tassée entre $0$ et $10$ ; la barre de $4$ , en couleur, et celle de $3$ sont les plus hautes. Au-delà de $8$ , les barres sont presque nulles.
12. a) $X \sim B (n; 0, 05)$ et $P (X ⩾ 1) = 1 - P (X = 0) = 1 -$ $0, 9 5^{n}$ . b) $1 - 0, 9 5^{n} ⩾ 0, 95$ équivaut à $0, 9 5^{n} ⩽$ $0, 05$ . La fonction $ln$ est croissante : $n ln (0, 95) ⩽$ $ln (0, 05)$ . $ln (0, 95) <$ $0$ : en divisant, le sens change. $n ⩾ \frac{ln ( 0 , 05 )}{ln ( 0 , 95 )} \approx$ $58, 4$ . Le plus petit entier est $n =$ $59$ . Vérification : $1 - 0, 9 5^{58} \approx 0, 9490$ et $1 - 0, 9 5^{59} \approx$ $0, 9515$ . c) La boucle augmente $n$ tant que la probabilité reste sous $0, 95$ : elle renvoie $59$ , comme le calcul. ⚠️ Diviser par $ln (0, 95)$ , qui est NÉGATIF, retourne l'inégalité : c'est l'erreur la plus fréquente. ⭐ Dans le programme : la condition du while est le CONTRAIRE de ce qu'on cherche. La boucle tourne tant que ce n'est pas assez.
n 58 59
P(X ≥ 1) 0,9490 0,9515
13. a) $X \sim B (100; 0, 05)$ et $E (X) = 100 \times 0, 05 =$ $5$ . b) $P (X ⩽ 8) \approx 0, 937 < 0, 95$ et $P (X ⩽ 9) \approx 0, 972 ⩾$ $0, 95$ : $k =$ $9$ . Dans $95$ % des lots au moins, on compte au plus $9$ pièces défectueuses. c) $12 >$ $9$ : si la machine produisait encore $5$ % de défauts, un tel lot aurait une probabilité inférieure à $5$ % d'arriver. On met en doute le réglage de la machine. ⚠️ Ce n'est pas une preuve : un lot à $12$ défauts reste possible avec une machine bien réglée. La règle se trompe dans moins de $5$ % des cas. ⭐ Sur le tableau : la probabilité cumulée monte avec $k$ ; on lit la PREMIÈRE colonne qui dépasse $0, 95$ .
k 7 8 9 10
P(X ≤ k) 0,872 0,937 0,972 0,989
14. a) $X \sim$ $B (20; 0, 15)$ : $E (X) = 20 \times 0, 15 = 3$ et $V (X) = 3 \times 0, 85 =$ $2, 55$ . b) Espérance : $E (30 - 4 X) = 30 - 4 E (X) = 30 - 12 = 18$ euros. Variance : $V (30 - 4 X) = (- 4)^{2} V (X) = 16 \times 2, 55 =$ $40, 8$ . Écart-type : $40, 8 \approx 6, 39$ euros. c) $30 - 4 X ⩾ 22$ équivaut à $4 X ⩽$ $8$ , soit $X ⩽$ $2$ . $P (X ⩽ 2) \approx$ $0, 405$ . ⚠️ Dans la variance, le $30$ disparaît et le $- 4$ devient $16$ : on ne trouve pas $30 - 4 \times$ $2, 55$ . ⭐ Sur le dessin : la prime atteint $22$ euros pour $0$ , $1$ ou $2$ retards, les trois barres de gauche jusqu'à celle en couleur.
15. a) Il y a $300$ graines stériles sur $10000$ . Même après en avoir retiré quelques-unes, la proportion reste presque $0, 03$ : par exemple $\frac{299}{9 999} \approx$ $0, 0299$ . On assimile donc le prélèvement à $50$ tirages avec remise : $X \sim$ $B (50; 0, 03)$ . b) « Toutes germent » veut dire $X =$ $0$ : $P (X = 0) = 0, 9 7^{50} \approx$ $0, 218$ . c) $P (X ⩽ 2) \approx 0, 811$ (calculatrice). ⚠️ Avec $50$ graines prélevées dans un sac de $60$ , l'approximation serait fausse : elle demande un prélèvement petit devant la population. ⭐ Sur le dessin : la barre de $1$ , en couleur, est la plus haute ; en moyenne on attend $50 \times 0, 03 = 1, 5$ graine stérile.
16. a) Le nombre $X$ de mesures aberrantes suit $B (10; p)$ , et $(1 10) =$ $10$ : $P (X = 1) = 10 p (1 -$ $p)^{9}$ . b) On dérive un produit : $f^{'} (p) = 10 (1 - p)^{9} + 10 p \times 9 (1 - p)^{8} \times$ $(- 1)$ . On factorise par $10 (1 -$ $p)^{8}$ : $f^{'} (p) = 10 (1 - p)^{8} ((1 - p) - 9 p)$ $= 10 (1 - p)^{8} (1 -$ $10 p)$ . c) Sur $[0; 1]$ , $(1 - p)^{8} ⩾$ $0$ : $f^{'} (p)$ a le signe de $1 -$ $10 p$ , positif avant $0, 1$ et négatif après. $f$ croît puis décroît : son maximum est atteint en $p =$ $0, 1$ , et vaut $f (0, 1) = 0, 9^{9} \approx$ $0, 387$ . ⭐ C'est naturel : pour $p =$ $0, 1$ , $E (X) = 10 \times 0, 1 =$ $1$ . La valeur « une mesure aberrante » est alors la moyenne. ⚠️ Dans la dérivée de $(1 -$ $p)^{9}$ , ne pas oublier le facteur $- 1$ , dérivée de $1 -$ $p$ . ⚠️ Sur le dessin, les deux axes sont agrandis dix fois : une graduation vaut $0, 1$ . Le sommet de la courbe est au point $(1; 3, 87)$ , c'est-à-dire $p = 0, 1$ et $f (p) \approx$ $0, 387$ .
17. Répondre au hasard a) Chaque question est une épreuve de Bernoulli : succès « bonne réponse », $p =$ $\frac{1}{4}$ . Le candidat répond au hasard, donc de façon indépendante, $20$ fois : $X \sim$ $B (20; 0, 25)$ . b) $E (X) = 20 \times 0, 25 =$ $5$ ; $V (X) = 5 \times 0, 75 =$ $3, 75$ ; $σ (X) = 3, 75 \approx$ $1, 94$ . c) $P (X ⩾ 10) = 1 - P (X ⩽ 9) \approx$ $0, 0139$ : un peu plus d'une chance sur cent. d) Il y a $X$ bonnes réponses et $20 - X$ mauvaises : $N = X - a (20 - X) = (1 + a) X -$ $20 a$ . $E (N) = (1 + a) \times 5 - 20 a = 5 -$ $15 a$ . Donc $E (N) = 0$ pour $a =$ $\frac{1}{3}$ . Avec ce barème, répondre au hasard ne rapporte rien en moyenne. ⚠️ $P (X ⩾ 10) = 1 - P (X ⩽$ $9)$ : on retire tout ce qui est STRICTEMENT sous $10$ . ⭐ Sur le dessin : la loi culmine en $5$ (en couleur) ; les barres de $10$ et au-delà sont presque invisibles.
18. Le parc d'éoliennes a) $Y \sim$ $B (12; 0, 9)$ , $E (Y) = 12 \times 0, 9 = 10, 8$ et $P (Y = 12) = 0, 9^{12} \approx$ $0, 282$ . b) $P (Y = 10) \approx 0, 230$ et $P (Y = 11) \approx$ $0, 377$ . $P (Y ⩾ 10) = P (Y = 10) + P (Y = 11)$ $+ P (Y = 12) \approx$ $0, 889$ . c) On recalcule pour d'autres valeurs de $n$ : $0, 889$ pour $n =$ $12$ , puis $0, 966$ pour $n =$ $13$ . Il faut au moins $13$ éoliennes. ⚠️ $E (Y) = 10, 8$ dépasse $10$ , et pourtant le parc manque d'énergie plus d'un jour sur dix : une moyenne ne garantit rien pour UN jour donné. ⭐ Sur le tableau : une seule éolienne de plus fait passer la probabilité de $0, 889$ à $0, 966$ .
n 12 13 14
P(Y ≥ 10) 0,889 0,966 0,991
19. Les deux ateliers a) Probabilités totales : $P (D) = 0, 6 \times 0, 03 + 0, 4 \times 0, 055$ $= 0, 018 + 0, 022 =$ $0, 04$ . b) Chaque pièce est défectueuse (succès) avec la probabilité $0, 04$ , et les $25$ prélèvements sont assimilés à des tirages indépendants : $X \sim$ $B (25; 0, 04)$ . c) $P (X = 0) = 0, 9 6^{25} \approx$ $0, 360$ . $P (X ⩽ 2) \approx 0, 924$ (calculatrice) et $E (X) = 25 \times 0, 04 =$ $1$ . d) « Au moins $3$ » : $P (X ⩾ 3) = 1 - P (X ⩽ 2) \approx$ $0, 076$ . Le client refuse environ $8$ lots sur $100$ , alors que la production n'a pas changé. ⚠️ Le « succès » de la loi binomiale est ici un défaut : « succès » veut seulement dire « l'issue qu'on compte ». ⭐ Sur le dessin : l'arbre donne $p = 0, 04$ en additionnant les deux chemins qui finissent par $D$ ; la loi binomiale part de là.
20. L'avion en surréservation a) $X \sim$ $B (158; 0, 92)$ . $E (X) = 158 \times 0, 92 =$ $145, 36$ . $V (X) = 145, 36 \times 0, 08 \approx$ $11, 63$ , donc $σ (X) \approx$ $3, 41$ . b) $P (X > 150) = 1 - P (X ⩽ 150) \approx 0, 058$ (calculatrice). c) On refait le calcul en changeant le nombre de billets : $0, 012$ pour $156$ billets, $0, 028$ pour $157$ , $0, 058$ pour $158$ . Le risque reste sous $5$ % jusqu'à $157$ billets : la compagnie peut en vendre $157$ au plus. ⚠️ En moyenne, $145$ passagers se présentent, bien moins que $150$ : mais le risque vient des jours où beaucoup se présentent. $151$ passagers, c'est un peu plus d'un écart-type et demi au-dessus de la moyenne : ce n'est pas rare. ⭐ Sur le tableau : chaque billet de plus fait plus que doubler le risque.
billets 156 157 158
P(X > 150) 0,012 0,028 0,058

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : loi binomiale, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3