Sommes de variables aléatoires : 20 exercices corrigésmaths Tale spé — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, du calcul d'une espérance au problème de bac, avec un rappel de cours avant chaque niveau. On y additionne des variables aléatoires : l'espérance suit toujours, la variance seulement si elles sont indépendantes. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : elle est écrite étape par étape, et elle dessine les lois.

Télécharger en PDF

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. On applique, on écrit le résultat.

Rappel de cours

Pour deux variables aléatoires $X$ et $Y$ quelconques : $E (X + Y) = E (X) +$ $E (Y)$ . Et $E (a X + b) = a E (X) +$ $b$ . C'est la linéarité de l'espérance.
$V (a X + b) = a^{2} V (X)$ et $σ (a X + b) =$ $∣ a ∣ σ (X)$ : ajouter $b$ décale les valeurs sans les écarter.
Si $X$ et $Y$ sont INDÉPENDANTES : $V (X + Y) = V (X) +$ $V (Y)$ . Ce sont les variances qui s'ajoutent, pas les écarts types.
Un échantillon de taille $n$ : $n$ variables $X_{1}$ , …, $X_{n}$ indépendantes et de même loi. Leur somme $S_{n}$ vérifie $E (S_{n}) = n E (X)$ et $V (S_{n}) =$ $nV (X)$ .

1
On lance deux dés tétraédriques équilibrés, dont les faces portent $1$ , $2$ , $3$ et $4$ . On note $X_{1}$ et $X_{2}$ les résultats, et $S = X_{1} +$ $X_{2}$ . Le tableau donne $S$ pour chaque couple. a) Pourquoi $S$ est-elle une variable aléatoire ? Quelles valeurs prend-elle ? b) Donner la loi de $S$ . c) Calculer $E (S)$ , puis comparer avec $E (X_{1}) +$ $E (X_{2})$ .
+ 1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
Voir la correction
a) À chaque issue (un couple de faces), $S$ associe un nombre réel : c'est une fonction définie sur l'univers, donc une variable aléatoire. Ses valeurs : $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ et $8$ . b) Les $16$ couples sont équiprobables. On compte les cases de chaque somme dans le tableau : $P (S = 2) =$ $\frac{1}{16}$ , $P (S = 3) =$ $\frac{2}{16}$ , $P (S = 4) =$ $\frac{3}{16}$ , $P (S = 5) =$ $\frac{4}{16}$ , $P (S = 6) =$ $\frac{3}{16}$ , $P (S = 7) =$ $\frac{2}{16}$ , $P (S = 8) =$ $\frac{1}{16}$ . c) $E (S) = \frac{2 \times 1 + 3 \times 2 + \dots + 8 \times 1}{16} = \frac{80}{16} =$ $5$ . Pour un dé : $E (X_{1}) = \frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} =$ $2, 5$ . Et $2, 5 + 2, 5 =$ $5$ : on retrouve $E (S)$ sans passer par la loi. ⚠️ Les sept valeurs de $S$ ne sont PAS équiprobables : les couples le sont, pas les sommes. ⭐ Sur le tableau : les cases surlignées donnent $S =$ $5$ , sur une diagonale de $4$ cases. Le diagramme (en seizièmes) monte puis redescend, en toit.
2
Dans une boulangerie, on note $X$ le nombre de baguettes et $Y$ le nombre de croissants vendus entre $7$ h et $8$ h. On sait que $E (X) = 30$ et $E (Y) =$ $18$ . Une baguette coûte $1, 20$ € et un croissant $1, 50$ €. On note $R$ la recette de cette heure, en euros. a) Exprimer $R$ en fonction de $X$ et $Y$ . b) Calculer $E (R)$ . c) Les ventes de baguettes et de croissants sont sans doute liées. Cela change-t-il le résultat du b) ?
Voir la correction
a) $R = 1, 2 X +$ $1, 5 Y$ . b) Par linéarité : $E (R) = 1, 2 E (X) +$ $1, 5 E (Y)$ . $E (R) = 1, 2 \times 30 + 1, 5 \times 18 = 36 + 27 = 63$ €. c) Non. La linéarité de l'espérance est vraie pour TOUTES les variables, liées ou non. ⚠️ Pour la variance de $R$ , en revanche, il faudrait que $X$ et $Y$ soient indépendantes : ici, on ne pourrait pas conclure. ⭐ Sur le tableau : chaque ligne multiplie une espérance par un prix, et la dernière ligne ajoute les deux produits.
espérance prix (€) produit (€)
X 30 1,20 36
Y 18 1,50 27
R 63
3
$X$ prend les valeurs $0$ , $1$ et $2$ avec les probabilités $0, 2$ ; $0, 5$ et $0, 3$ (diagramme en %). On pose $Y = 10 X -$ $4$ . a) Calculer $E (X)$ et $V (X)$ . b) En déduire $E (Y)$ , $V (Y)$ et $σ (Y)$ , sans la loi de $Y$ . c) Vérifier $E (Y)$ à l'aide de la loi de $Y$ .
Voir la correction
a) $E (X) = 0 \times 0, 2 + 1 \times 0, 5 + 2 \times 0, 3 =$ $1, 1$ . $E (X^{2}) = 0 + 1 \times 0, 5 + 4 \times 0, 3 =$ $1, 7$ , donc $V (X) = 1, 7 - 1, 1^{2} =$ $0, 49$ . b) $E (Y) = 10 E (X) - 4 = 11 - 4 =$ $7$ . $V (Y) = 1 0^{2} \times V (X) = 100 \times 0, 49 =$ $49$ , et $σ (Y) = 49 =$ $7$ . c) $Y$ prend les valeurs $- 4$ , $6$ et $16$ , avec les probabilités $0, 2$ ; $0, 5$ et $0, 3$ . $E (Y) = - 0, 8 + 3 + 4, 8 =$ $7$ : c'est bien le même résultat. ⚠️ $V (10 X - 4)$ n'est pas $10 V (X) -$ $4$ : le $- 4$ disparaît, et le $10$ passe au carré. ⭐ Sur les dessins : les barres ont les mêmes hauteurs, mais les valeurs de $Y$ sont $10$ fois plus écartées. Le $- 4$ décale tout, sans rien écarter.
4
$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes, avec $σ (X) = 3$ et $σ (Y) =$ $4$ . a) Calculer $V (X +$ $Y)$ , puis $σ (X +$ $Y)$ . b) Calculer $σ (X -$ $Y)$ . c) Pourquoi ne trouve-t-on pas $7$ au a) ?
Voir la correction
a) $X$ et $Y$ sont indépendantes : $V (X + Y) = V (X) + V (Y) = 9 + 16 =$ $25$ . Donc $σ (X + Y) = 25 =$ $5$ . b) $V (X - Y) = V (X) + (- 1)^{2} V (Y) = 9 + 16 =$ $25$ , donc $σ (X - Y) = 5$ aussi. c) Ce sont les VARIANCES qui s'ajoutent. Les écarts types se combinent comme les côtés d'un triangle rectangle : $3^{2} + 4^{2} =$ $5^{2}$ . ⚠️ $σ (X + Y) = 3 + 4 = 7$ est faux. Et $V (X - Y)$ n'est pas $V (X) -$ $V (Y)$ : une différence disperse autant qu'une somme. ⭐ Sur le dessin : les côtés de l'angle droit mesurent $3$ et $4$ ; l'hypoténuse, $5$ , est l'écart type de la somme.
5
Un magasin reçoit $X$ livraisons le matin et $Y$ l'après-midi. $X$ vaut $0$ ou $1$ , avec $P (X = 1) =$ $0, 3$ . $Y$ vaut $0$ , $1$ ou $2$ , avec les probabilités $0, 5$ ; $0, 3$ et $0, 2$ . On admet que $X$ et $Y$ sont indépendantes, et on pose $S = X +$ $Y$ . a) Calculer la probabilité de chaque couple de valeurs de $X$ et $Y$ . b) En déduire la loi de $S$ . c) Calculer $E (S)$ de deux façons.
Voir la correction
a) Par indépendance, la probabilité d'un couple est le produit des probabilités : par exemple $0, 7 \times 0, 3 = 0, 21$ pour $X = 0$ et $Y =$ $1$ . Le tableau donne les six produits. b) On regroupe les cases de même somme : $P (S = 0) =$ $0, 35$ ; $P (S = 1) = 0, 21 + 0, 15 =$ $0, 36$ ; $P (S = 2) = 0, 14 + 0, 09 =$ $0, 23$ ; $P (S = 3) =$ $0, 06$ . Contrôle : $0, 35 + 0, 36 + 0, 23 + 0, 06 =$ $1$ . c) Avec la loi : $E (S) = 0, 36 + 2 \times 0, 23 + 3 \times 0, 06 =$ $1$ . Par linéarité : $E (X) = 0, 3$ et $E (Y) = 0, 3 + 0, 4 =$ $0, 7$ , donc $E (S) =$ $1$ . ⚠️ Multiplier les probabilités n'est permis QUE parce que $X$ et $Y$ sont indépendantes. ⭐ Sur le tableau : les deux cases surlignées donnent $S =$ $1$ ; on les additionne.
X ; Y 0 (0,5) 1 (0,3) 2 (0,2)
0 (0,7) 0,35 0,21 0,14
1 (0,3) 0,15 0,09 0,06
6
On lance un dé équilibré ; on admet que son résultat $X$ vérifie $E (X) = 3, 5$ et $V (X) =$ $\frac{35}{12}$ . Jeu A : on lance le dé une fois et on double le résultat, $A =$ $2 X$ . Jeu B : on lance le dé deux fois, de façon indépendante, et on additionne, $B = X_{1} +$ $X_{2}$ . a) Comparer $E (A)$ et $E (B)$ . b) Comparer $V (A)$ et $V (B)$ . Quel jeu est le plus dispersé ?
Voir la correction
a) $E (A) = 2 E (X) = 7$ et $E (B) = E (X_{1}) + E (X_{2}) =$ $7$ : même espérance. b) $V (A) = 2^{2} V (X) = 4 \times \frac{35}{12} = \frac{35}{3} \approx$ $11, 67$ . $V (B) = V (X_{1}) + V (X_{2}) = \frac{35}{6} \approx$ $5, 83$ , par indépendance. Le jeu A a une variance DOUBLE : il est le plus dispersé ( $σ (A) \approx$ $3, 42$ contre $σ (B) \approx$ $2, 42$ ). ⚠️ $X_{1} + X_{2}$ n'est pas $2 X$ : deux lancers différents se compensent souvent, un lancer doublé jamais. ⭐ Sur les dessins (en trente-sixièmes) : A a six barres égales, de $2$ à $12$ ; B a onze barres en toit, serrées autour de $7$ .
7
Une machine remplit des paquets de riz. La masse d'un paquet, en grammes, est une variable aléatoire d'espérance $1000$ et d'écart type $5$ . Un carton contient $12$ paquets, dont les masses sont indépendantes. On note $S$ la masse totale de riz du carton. a) Calculer $E (S)$ . b) Calculer $V (S)$ , puis $σ (S)$ au gramme près.
Voir la correction
a) $S = X_{1} + \dots +$ $X_{12}$ , donc $E (S) = 12 \times 1000 = 12000$ g. b) Les masses sont indépendantes : $V (S) = 12 \times 5^{2} =$ $300$ . $σ (S) = 300 \approx 17$ g. ⚠️ Ce n'est pas $12 \times 5 = 60$ g : les écarts des paquets se compensent en partie. L'écart type de la somme vaut $512$ , pas $5 \times$ $12$ . ⭐ Sur le dessin (une graduation = $5$ g) : les points $n$ donnent l'écart type de $n$ paquets. Ils restent loin sous la droite orange $y =$ $n$ , qui serait le calcul faux. Pour $12$ paquets : $3, 46$ graduations, soit environ $17$ g.
8
À un concours, la note $X$ d'un candidat a pour espérance $11$ et pour écart type $4$ . On pose $Z =$ $\frac{X - 11}{4}$ : c'est la note centrée réduite. a) Calculer $E (Z)$ et $σ (Z)$ . b) Léa a eu $17$ . Que vaut $Z$ pour elle ? Interpréter. c) À une autre épreuve, d'espérance $9$ et d'écart type $2$ , Tom a eu $13$ . Qui a le meilleur résultat, relativement aux autres candidats ?
Voir la correction
a) $Z = \frac{1}{4} X -$ $\frac{11}{4}$ : c'est une expression $a X +$ $b$ , avec $a =$ $\frac{1}{4}$ . $E (Z) = \frac{1}{4} \times 11 - \frac{11}{4} = 0$ et $σ (Z) = \frac{1}{4} \times 4 =$ $1$ . b) $Z = \frac{17 - 11}{4} =$ $1, 5$ : Léa est à $1, 5$ écart type au-dessus de l'espérance. c) Pour Tom : $\frac{13 - 9}{2} =$ $2$ . Il est à $2$ écarts types au-dessus : relativement, il a mieux réussi que Léa, avec une note plus basse. ⚠️ $V (Z) = \frac{V ( X )}{16} =$ $1$ : on divise la variance par $4^{2}$ , pas par $4$ . ⭐ Le tableau traduit les notes en « nombre d'écarts types » : $11$ devient $0$ , et chaque pas de $4$ points compte pour $1$ .
X 3 7 11 15 17
Z −2 −1 0 1 1,5

+	1	2	3	4
1	2	3	4	5
2	3	4	5	6
3	4	5	6	7
4	5	6	7	8

	espérance	prix (€)	produit (€)
X	30	1,20	36
Y	18	1,50	27
R			63

X ; Y	0 (0,5)	1 (0,3)	2 (0,2)
0 (0,7)	0,35	0,21	0,14
1 (0,3)	0,15	0,09	0,06

X	3	7	11	15	17
Z	−2	−1	0	1	1,5

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs gestes à enchaîner, comme dans un devoir. On rédige.

Rappel de cours

Loi de $X +$ $Y$ , avec $X$ et $Y$ indépendantes : la case $(i; j)$ a la probabilité $P (X = i) \times P (Y =$ $j)$ , puis on regroupe les cases de même somme.
Formule de König-Huygens : $V (X) = E (X^{2}) -$ $E (X)^{2}$ .
Compter avec des indicatrices : si $X_{i}$ vaut $1$ quand l'événement $A_{i}$ est réalisé et $0$ sinon, alors $E (X_{i}) =$ $P (A_{i})$ , et $X_{1} + \dots + X_{n}$ compte les événements réalisés.
⚠️ L'espérance d'une somme n'a besoin d'aucune hypothèse. La variance d'une somme demande l'indépendance.

9
On tire une carte au hasard dans un jeu de $52$ cartes. $X$ vaut $1$ si la carte est un cœur, $0$ sinon. $Y$ vaut $1$ si la carte est rouge (cœur ou carreau), $0$ sinon. On pose $S = X +$ $Y$ . a) Calculer $E (X)$ , $E (Y)$ , puis $E (S)$ . b) Déterminer la loi de $S$ et retrouver $E (S)$ . c) Calculer $V (X)$ , $V (Y)$ et $V (S)$ . A-t-on $V (S) = V (X) +$ $V (Y)$ ? Expliquer.
Voir la correction
a) Il y a $13$ cœurs et $26$ cartes rouges : $E (X) = P (X = 1) = \frac{1}{4}$ et $E (Y) =$ $\frac{1}{2}$ . Par linéarité : $E (S) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} =$ $\frac{3}{4}$ . b) Carte noire : $S =$ $0$ . Carreau : $S = 0 + 1 =$ $1$ . Cœur : $S = 1 + 1 =$ $2$ . $P (S = 0) =$ $\frac{1}{2}$ , $P (S = 1) =$ $\frac{1}{4}$ , $P (S = 2) =$ $\frac{1}{4}$ . $E (S) = \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{4} =$ $\frac{3}{4}$ : même résultat. c) Une variable qui vaut $1$ avec la probabilité $p$ , et $0$ sinon, a pour variance $p (1 -$ $p)$ : $V (X) = \frac{3}{16}$ et $V (Y) = \frac{1}{4} =$ $\frac{4}{16}$ . $E (S^{2}) = 1 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{1}{4} =$ $\frac{5}{4}$ , donc $V (S) = \frac{5}{4} - \frac{9}{16} =$ $\frac{11}{16}$ . Or $V (X) + V (Y) =$ $\frac{7}{16}$ : l'égalité est FAUSSE. C'est que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes : un cœur est toujours rouge, donc $X = 1$ entraîne $Y =$ $1$ . Les deux variables grandissent ensemble, et leur somme se disperse davantage. ⚠️ La linéarité de l'espérance marche toujours ; l'addition des variances demande l'indépendance. ⭐ Le tableau donne $S$ pour chaque couleur : deux couleurs sur quatre donnent $0$ .
Couleur Pique Trèfle Carreau Cœur
X + Y 0 0 1 2
10
Un QCM compte $20$ questions, chacune avec $4$ réponses dont une seule juste. Un élève répond au hasard, de façon indépendante d'une question à l'autre. $X_{i}$ vaut $1$ s'il répond juste à la question $i$ , $0$ sinon, et $N = X_{1} + \dots +$ $X_{20}$ . a) Calculer $E (X_{i})$ et $V (X_{i})$ . b) En déduire $E (N)$ , $V (N)$ et $σ (N)$ . c) Une bonne réponse rapporte $3$ points, une mauvaise en retire $1$ . Exprimer la note $T$ en fonction de $N$ , puis calculer $E (T)$ et $σ (T)$ . Interpréter.
Voir la correction
a) $E (X_{i}) = P (X_{i} = 1) = \frac{1}{4}$ et $V (X_{i}) = \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} =$ $\frac{3}{16}$ . b) Par linéarité : $E (N) = 20 \times \frac{1}{4} =$ $5$ . Les $X_{i}$ sont indépendantes : $V (N) = 20 \times \frac{3}{16} =$ $3, 75$ , et $σ (N) = 3, 75 \approx$ $1, 94$ . c) $N$ bonnes réponses et $20 - N$ mauvaises : $T = 3 N - (20 - N) = 4 N -$ $20$ . $E (T) = 4 \times 5 - 20 = 0$ et $σ (T) = 4 σ (N) \approx$ $7, 75$ . Au hasard, la note vaut $0$ en moyenne : le barème annule le hasard. Mais elle fluctue d'environ $8$ points d'une copie à l'autre. ⚠️ $σ (4 N - 20) =$ $4 σ (N)$ , mais $V (4 N - 20) =$ $16 V (N)$ : le $4$ passe au carré dans la variance, pas dans l'écart type. ⭐ On a retrouvé l'espérance $n p$ et la variance $n p (1 - p)$ de la loi binomiale $B (20; 0, 25)$ : une loi binomiale est une somme. ⭐ Sur le dessin (en %) : les barres culminent en $N =$ $5$ ; au-delà de $10$ , elles sont invisibles (moins de $0, 5$ % en tout).
11
Démonstration du cours. Soit $X$ une variable aléatoire, $a$ et $b$ deux réels, et $Y = a X +$ $b$ . a) Montrer que $Y - E (Y) =$ $a (X - E (X))$ . b) En déduire que $V (Y) =$ $a^{2} V (X)$ , puis que $σ (Y) =$ $∣ a ∣ σ (X)$ . c) Application : le prix d'une course de taxi est $P = 2, 5 D + 4$ (en €), où la distance $D$ (en km) a pour espérance $6$ et pour écart type $2$ . Calculer $E (P)$ et $σ (P)$ . d) Avec une remise, un client paie $Q = 30 -$ $2 D$ . Calculer $σ (Q)$ .
Voir la correction
a) Par linéarité, $E (Y) = a E (X) +$ $b$ . Donc $Y - E (Y) = a X + b - a E (X) - b =$ $a (X - E (X))$ . b) $V (Y) = E ((Y - E (Y))^{2})$ $=$ $E (a^{2} (X - E (X))^{2})$ . Par linéarité, on sort la constante $a^{2}$ : $V (Y) = a^{2} E ((X - E (X))^{2}) =$ $a^{2} V (X)$ . Enfin $σ (Y) = a^{2} V (X) =$ $∣ a ∣ σ (X)$ , car $a^{2} =$ $∣ a ∣$ . c) $E (P) = 2, 5 \times 6 + 4 = 19$ € et $σ (P) = 2, 5 \times 2 = 5$ €. d) $σ (Q) = ∣ - 2∣ \times 2 = 4$ €. ⚠️ Un écart type n'est jamais négatif : $σ (Q) =$ $4$ , pas $- 4$ . C'est pour cela qu'on écrit $∣ a ∣$ . ⭐ Sur le tableau : quand $D$ passe de $E - σ$ à $E + σ$ (de $4$ à $8$ km), le prix passe de $14$ à $24$ € : $5$ € de chaque côté de $19$ .
E − σ E E + σ
D (km) 4 6 8
P (€) 14 19 24
12
À un stand de chamboule-tout, le gain net $G$ d'une partie (en €) vaut $- 2$ avec la probabilité $0, 7$ et $5$ avec la probabilité $0, 3$ . Un joueur fait $100$ parties indépendantes ; $S$ est son gain total. a) Calculer $E (G)$ , $V (G)$ et $σ (G)$ . b) Calculer $E (S)$ et $σ (S)$ . c) Le joueur est-il sûr de gagner de l'argent sur $100$ parties ? Et sur $10000$ parties ?
Voir la correction
a) $E (G) = - 2 \times 0, 7 + 5 \times 0, 3 = - 1, 4 + 1, 5 = 0, 1$ €. $E (G^{2}) = 4 \times 0, 7 + 25 \times 0, 3 =$ $10, 3$ , donc $V (G) = 10, 3 - 0, 01 = 10, 29$ et $σ (G) \approx 3, 21$ €. b) $E (S) = 100 \times 0, 1 = 10$ € et, par indépendance, $V (S) = 100 \times 10, 29 =$ $1029$ . $σ (S) = 1029 \approx 32, 1$ €. c) Non : il gagne $10$ € en moyenne, mais son gain total s'écarte d'habitude d'environ $32$ € de cette moyenne. Perdre de l'argent sur $100$ parties n'a rien de rare. Sur $10000$ parties : $E = 1000$ € et $σ = 102900 \approx 321$ €. L'écart type ne fait plus qu'un tiers de l'espérance : finir en perte devient rare. ⚠️ L'espérance grandit comme $n$ , l'écart type seulement comme $n$ : c'est pour cela que le hasard « se tasse » sur un grand nombre de parties. ⭐ Sur le diagramme (en %) : $70$ % de chances de perdre $2$ € à chaque partie. L'espérance positive vient des gains de $5$ €, plus rares.
13
Pour aller au lycée, Inès prend le bus, puis marche. La durée du bus $T_{1}$ (en minutes) vaut $10$ avec la probabilité $0, 6$ et $15$ avec la probabilité $0, 4$ . La durée de la marche, attente comprise, $T_{2}$ , vaut $5$ , $10$ ou $20$ avec les probabilités $0, 5$ ; $0, 3$ et $0, 2$ . On suppose $T_{1}$ et $T_{2}$ indépendantes, et on pose $T = T_{1} +$ $T_{2}$ . a) À l'aide de l'arbre, déterminer la loi de $T$ . b) Calculer $E (T)$ de deux façons. c) Calculer $V (T_{1})$ , $V (T_{2})$ , puis $σ (T)$ . d) Inès part $25$ minutes avant la sonnerie. Quelle est la probabilité qu'elle soit à l'heure ?
Voir la correction
a) Chaque chemin donne une durée ; par indépendance, sa probabilité est le produit des branches. $T =$ $15$ : $0, 6 \times 0, 5 =$ $0, 3$ . $T =$ $20$ : $0, 6 \times 0, 3 + 0, 4 \times 0, 5 =$ $0, 38$ . $T =$ $25$ : $0, 4 \times 0, 3 =$ $0, 12$ . $T =$ $30$ : $0, 6 \times 0, 2 =$ $0, 12$ . $T =$ $35$ : $0, 4 \times 0, 2 =$ $0, 08$ . b) Avec la loi, on additionne les produits valeur × probabilité : $E (T) = 4, 5 + 7, 6 + 3 + 3, 6 + 2, 8 = 21, 5$ min. Par linéarité : $E (T_{1}) = 6 + 6 = 12$ et $E (T_{2}) = 2, 5 + 3 + 4 =$ $9, 5$ , donc $E (T) = 21, 5$ min. c) $E (T_{1}^{2}) = 0, 6 \times 100 + 0, 4 \times 225 =$ $150$ , donc $V (T_{1}) = 150 - 144 =$ $6$ . $E (T_{2}^{2}) = 12, 5 + 30 + 80 =$ $122, 5$ , donc $V (T_{2}) = 122, 5 - 90, 25 =$ $32, 25$ . Par indépendance, $V (T) = 38, 25$ et $σ (T) \approx 6, 2$ min. d) $P (T ⩽ 25) = 0, 3 + 0, 38 + 0, 12 =$ $0, 8$ . ⚠️ $T = 20$ s'obtient par DEUX chemins (bus rapide et marche de $10$ min, ou bus lent et marche de $5$ min) : on additionne leurs probabilités. ⭐ Sur l'arbre : chaque feuille porte la durée totale ; les deux feuilles « T = 20 » se regroupent.
14
Un menuisier assemble un tenon dans une mortaise. La largeur $M$ de la mortaise (en mm) a pour espérance $20, 10$ et pour écart type $0, 03$ ; la largeur $T$ du tenon a pour espérance $20, 00$ et pour écart type $0, 04$ . Les deux pièces viennent de machines différentes : $M$ et $T$ sont indépendantes. Le jeu de l'assemblage est $J = M -$ $T$ . a) Calculer $E (J)$ et $σ (J)$ . b) Le menuisier veut un jeu entre $0$ et $0, 2$ mm. Exprimer ces bornes à l'aide de $E (J)$ et $σ (J)$ . c) Un fournisseur propose des tenons d'écart type $0, 01$ mm. Que devient $σ (J)$ ? Interpréter.
Voir la correction
a) $E (J) = E (M) - E (T) = 0, 10$ mm. $V (J) = V (M) + V (T)$ $= 0, 0009 + 0, 0016 =$ $0, 0025$ , donc $σ (J) = 0, 05$ mm. b) $0 = 0, 10 - 2 \times 0, 05$ et $0, 2 = 0, 10 + 2 \times$ $0, 05$ : l'intervalle voulu est $[E (J) - 2 σ (J); E (J) +$ $2 σ (J)]$ . c) $V (J) = 0, 0009 + 0, 0001 =$ $0, 001$ , donc $σ (J) \approx 0, 032$ mm. L'intervalle voulu s'étend alors à plus de $3$ écarts types de chaque côté : les assemblages ratés deviennent plus rares. ⚠️ $σ (M - T)$ ne vaut ni $0, 04 -$ $0, 03$ , ni $0, 03 +$ $0, 04$ : on passe par les variances, qui s'AJOUTENT, même pour une différence. ⭐ Sur la droite (en centièmes de mm) : l'intervalle voulu va de $0$ à $20$ , centré sur l'espérance $10$ , avec $5$ centièmes d'écart type.
15
On lance deux dés équilibrés, de façon indépendante. On admet que le résultat $X$ d'un dé vérifie $E (X) = 3, 5$ et $V (X) =$ $\frac{35}{12}$ . On considère la fonction Python ci-dessous. a) Que représente d à chaque passage dans la boucle ? b) Que calcule ecart(n) ? c) Vers quel nombre ecart(n) devrait-elle s'approcher pour $n$ grand ? Justifier par le cours. d) Démontrer la valeur admise de $V (X)$ .
```
from random import randint
 
def ecart(n):
    s = 0
    for i in range(n):
        x = randint(1, 6)
        y = randint(1, 6)
        d = x + y - 7
        s = s + d * d
    return s / n
```
Voir la correction
a) x et y sont les deux dés ; d est l'écart entre leur somme et $7$ . b) La boucle ajoute d × d à s, $n$ fois, puis on divise par $n$ : ecart(n) est la moyenne des carrés des écarts à $7$ , sur $n$ lancers des deux dés. c) $7 = E (X_{1} +$ $X_{2})$ . La moyenne des carrés des écarts à l'espérance approche la variance : $V (X_{1} + X_{2}) = V (X_{1}) + V (X_{2}) = \frac{35}{6} \approx$ $5, 83$ , par indépendance. Une exécution de ecart(200000) donne bien un nombre proche de $5, 83$ . d) $E (X^{2}) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} =$ $\frac{91}{6}$ . Puis $V (X) = \frac{91}{6} - 3, 5^{2} = \frac{182 - 147}{12} =$ $\frac{35}{12}$ . ⚠️ Sans l'indépendance des deux dés, on ne pourrait pas ajouter les variances. ⭐ Le programme est une expérience : il mesure une variance que le cours calcule.
16
À la sortie d'un vestiaire, $n$ personnes récupèrent leur manteau, mais les manteaux sont rendus au hasard : toutes les répartitions sont équiprobables. $X$ est le nombre de personnes qui récupèrent LEUR manteau. a) Pour $n =$ $3$ , lister les $6$ répartitions, puis donner la loi de $X$ et $E (X)$ . b) Pour $n$ quelconque, $X_{i}$ vaut $1$ si la personne $i$ récupère son manteau, $0$ sinon. Calculer $E (X_{i})$ , puis $E (X)$ . c) Les $X_{i}$ sont-elles indépendantes ? Est-ce gênant ?
Voir la correction
a) On écrit les manteaux reçus par les personnes $1$ , $2$ et $3$ : 123, 132, 213, 231, 312, 321. Ces répartitions donnent $X =$ $3$ , $1$ , $1$ , $0$ , $0$ et $1$ . $P (X = 0) =$ $\frac{2}{6}$ , $P (X = 1) =$ $\frac{3}{6}$ , $P (X = 3) =$ $\frac{1}{6}$ . $E (X) = \frac{3}{6} + 3 \times \frac{1}{6} =$ $1$ . b) La personne $i$ reçoit un manteau au hasard parmi $n$ : $E (X_{i}) = P (X_{i} = 1) =$ $\frac{1}{n}$ . $X = X_{1} + \dots +$ $X_{n}$ , donc $E (X) = n \times \frac{1}{n} =$ $1$ , quel que soit $n$ . c) Non : si les $n - 1$ premières personnes ont leur manteau, la dernière a forcément le sien. Ce n'est pas gênant : la linéarité de l'espérance ne demande aucune indépendance. ⚠️ $X = 2$ est impossible pour $n =$ $3$ : si deux personnes ont leur manteau, la troisième a aussi le sien. ⭐ Le tableau montre les six répartitions : la moyenne des valeurs de $X$ vaut $1$ .
rendus X
1 2 3 3
1 3 2 1
2 1 3 1
2 3 1 0
3 1 2 0
3 2 1 1
moyenne 1

Couleur	Pique	Trèfle	Carreau	Cœur
X + Y	0	0	1	2

	E − σ	E	E + σ
D (km)	4	6	8
P (€)	14	19	24

rendus	X
1 2 3	3
1 3 2	1
2 1 3	1
2 3 1	0
3 1 2	0
3 2 1	1
moyenne	1

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Un exercice complet de bac, avec ses questions qui s'enchaînent. On additionne des variables, puis on interprète.

Rappel de cours

Plan type : on nomme la variable, on dresse sa loi, on calcule $E$ et $V$ , puis on passe à la somme ou à la moyenne de $n$ copies indépendantes.
Moyenne d'un échantillon : $M_{n} =$ $\frac{S _{n}}{n}$ , donc $E (M_{n}) = E (X)$ et $V (M_{n}) =$ $\frac{V ( X )}{n}$ .
Interpréter : l'espérance dit « combien en moyenne » ; l'écart type dit « de combien on s'en écarte d'habitude », dans la même unité.

17La file de la caisse
Dans un supermarché, la durée de passage $D$ d'un client à une caisse (en minutes) suit la loi du diagramme : $1$ min avec la probabilité $0, 3$ ; $2$ min avec $0, 5$ ; $4$ min avec $0, 2$ . Les durées des clients sont indépendantes. a) Calculer $E (D)$ , $V (D)$ et $σ (D)$ . b) Une caissière voit passer $30$ clients ; on note $T$ la durée totale. Calculer $E (T)$ et $σ (T)$ . c) La caissière a prévu $70$ minutes. Est-ce large ? d) Pour $n$ clients, calculer le rapport $\frac{σ ( T _{n} )}{E ( T _{n} )}$ pour $n =$ $30$ , puis pour $n =$ $120$ . Que remarque-t-on ?
Voir la correction
a) $E (D) = 0, 3 + 1 + 0, 8 = 2, 1$ min. $E (D^{2}) = 0, 3 + 4 \times 0, 5 + 16 \times 0, 2 =$ $5, 5$ , donc $V (D) = 5, 5 - 2, 1^{2} = 1, 09$ et $σ (D) \approx 1, 04$ min. b) $T = D_{1} + \dots +$ $D_{30}$ : $E (T) = 30 \times 2, 1 = 63$ min. Par indépendance, $V (T) = 30 \times 1, 09 = 32, 7$ et $σ (T) \approx 5, 7$ min. c) $70 - 63 = 7$ min, un peu plus d'un écart type : la marge est modeste, un dépassement arrivera de temps en temps. d) $n =$ $30$ : $\frac{5 , 72}{63} \approx$ $0, 09$ . $n =$ $120$ : $E = 252$ et $σ = 130, 8 \approx$ $11, 4$ , donc le rapport vaut environ $0, 045$ . Quatre fois plus de clients : l'écart relatif est divisé par $2$ , car $\frac{n}{n} =$ $\frac{1}{n}$ . ⚠️ $σ (T) = 30 \times 1, 04$ serait faux : c'est la VARIANCE qu'on multiplie par $30$ . ⭐ Sur le diagramme (en %) : la moitié des clients passe en $2$ min, mais les clients à $4$ min ( $20$ %) tirent l'espérance au-dessus de $2$ .
18Pièce, puis dé
Une association propose un jeu : on paie $3$ €, puis on lance une pièce équilibrée et un dé équilibré. Face rapporte $2$ € ; un $6$ au dé rapporte $6$ €. On note $X$ le gain de la pièce, $Y$ celui du dé, et $N = X + Y - 3$ le gain net du joueur. a) Donner les lois de $X$ et de $Y$ , leurs espérances et leurs variances. b) En déduire $E (N)$ et $V (N)$ . c) À l'aide de l'arbre, donner la loi de $N$ , et vérifier les résultats du b). d) $1000$ parties indépendantes sont jouées dans la journée. Donner l'espérance et l'écart type du bénéfice $B$ de l'association. Interpréter.
Voir la correction
a) $X$ vaut $0$ ou $2$ , avec la probabilité $\frac{1}{2}$ chacun : $E (X) = 1$ et $V (X) = \frac{0 + 4}{2} - 1^{2} =$ $1$ . $Y$ vaut $6$ avec la probabilité $\frac{1}{6}$ , et $0$ sinon : $E (Y) = 1$ et $V (Y) = 36 \times \frac{1}{6} - 1^{2} =$ $5$ . b) $E (N) = 1 + 1 - 3 = - 1$ €. La pièce et le dé sont indépendants : $V (N) = V (X) + V (Y) = 6$ (le $- 3$ ne change pas la variance). c) $P (N = 5) =$ $\frac{1}{12}$ , $P (N = 3) =$ $\frac{1}{12}$ , $P (N = - 1) =$ $\frac{5}{12}$ , $P (N = - 3) =$ $\frac{5}{12}$ . $E (N) = \frac{5 + 3 - 5 - 15}{12} =$ $- 1$ . $E (N^{2}) = \frac{25 + 9 + 5 + 45}{12} =$ $7$ , donc $V (N) = 7 - 1 =$ $6$ : les deux calculs concordent. d) Le bénéfice de l'association est l'opposé du gain des joueurs : $B = - (N_{1} + \dots +$ $N_{1000})$ . $E (B) = 1000$ € et $V (B) = 1000 \times 6 =$ $6000$ , donc $σ (B) \approx 77, 5$ €. Pour perdre de l'argent, l'association devrait s'écarter de sa moyenne de près de $13$ écarts types : c'est extrêmement improbable. ⚠️ $V (- S) = (- 1)^{2} V (S) =$ $V (S)$ : changer de camp ne change pas la dispersion. ⭐ Sur l'arbre : deux feuilles sur quatre font perdre le joueur, avec en tout $\frac{10}{12}$ des chances.
19La charge de l'ascenseur
Un ascenseur porte au plus $630$ kg. On modélise la masse d'un usager par une variable aléatoire d'espérance $75$ kg et d'écart type $12$ kg ; les masses des usagers sont indépendantes. On note $S_{n}$ la masse totale de $n$ usagers. a) Calculer $E (S_{8})$ et $σ (S_{8})$ . b) La plaque indique « $8$ personnes ». L'écart entre $630$ et $E (S_{8})$ représente combien d'écarts types ? Commenter. c) Le constructeur adopte la règle $E (S_{n}) + 3 σ (S_{n}) ⩽$ $630$ . Montrer que $E (S_{n}) + 3 σ (S_{n}) = 75 n +$ $36 n$ . d) Combien d'usagers cette règle autorise-t-elle au plus ?
Voir la correction
a) $E (S_{8}) = 8 \times 75 = 600$ kg. Par indépendance, $V (S_{8}) = 8 \times 1 2^{2} =$ $1152$ , donc $σ (S_{8}) \approx 33, 9$ kg. b) $\frac{630 - 600}{33 , 9} \approx$ $0, 88$ : moins d'un écart type. Avec $8$ personnes, dépasser $630$ kg n'est pas un événement rare. c) $E (S_{n}) = 75 n$ et $σ (S_{n}) = n \times 144 =$ $12 n$ . Donc $E (S_{n}) + 3 σ (S_{n}) = 75 n +$ $36 n$ . d) $n =$ $7$ : $525 + 367 \approx$ $620, 2$ , qui est $⩽$ $630$ . $n =$ $8$ : $600 + 368 \approx$ $701, 8$ , qui dépasse $630$ . La fonction $n \mapsto 75 n + 36 n$ est croissante : la règle autorise au plus $7$ usagers. ⚠️ $σ (S_{8})$ n'est pas $8 \times 12 = 96$ kg : c'est $128$ . ⭐ Sur le dessin (une graduation = $100$ kg) : les points $75 n + 36 n$ passent au-dessus de la droite $y = 6, 3$ entre $n = 7$ et $n =$ $8$ .
20Mesurer plusieurs fois
Un appareil mesure une résistance électrique. Chaque mesure $X_{i}$ (en ohms) a pour espérance la vraie valeur $r$ et pour écart type $2$ ; les mesures sont indépendantes. On fait $n$ mesures, et on retient leur moyenne $M_{n} =$ $\frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}$ . a) Montrer que $E (M_{n}) = r$ et $V (M_{n}) =$ $\frac{4}{n}$ . b) Calculer $σ (M_{4})$ . Interpréter. c) Combien de mesures faut-il pour que $σ (M_{n}) ⩽$ $0, 5$ ? d) Pour diviser l'écart type par $10$ , par combien faut-il multiplier le nombre de mesures ?
Voir la correction
a) Par linéarité : $E (M_{n}) = \frac{1}{n} (E (X_{1}) + \dots + E (X_{n}))$ $= \frac{n r}{n} =$ $r$ . Par indépendance : $V (X_{1} + \dots + X_{n}) =$ $4 n$ . Puis $V (a S) = a^{2} V (S)$ avec $a =$ $\frac{1}{n}$ : $V (M_{n}) = \frac{4 n}{n ^{2}} =$ $\frac{4}{n}$ . b) $σ (M_{4}) = \frac{4}{4} =$ $1$ : la moyenne de $4$ mesures s'écarte d'habitude de $1$ ohm de la vraie valeur, deux fois moins qu'une mesure seule. c) $σ (M_{n}) = \frac{2}{n} ⩽ 0, 5$ équivaut à $n ⩾$ $4$ , soit $n ⩾$ $16$ . d) Pour diviser $\frac{2}{n}$ par $10$ , il faut multiplier $n$ par $10$ , donc $n$ par $100$ . ⚠️ Diviser par $n$ dans la moyenne divise la variance par $n^{2}$ , pas par $n$ ; c'est la somme, avec ses $n$ variances, qui ramène à $\frac{4}{n}$ . ⭐ Sur le dessin : les points $\frac{2}{n}$ descendent vite, puis de plus en plus lentement vers la droite $y =$ $0, 5$ , qu'ils n'atteignent qu'à $n =$ $16$ .

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : sommes de variables aléatoires, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. a) À chaque issue (un couple de faces), $S$ associe un nombre réel : c'est une fonction définie sur l'univers, donc une variable aléatoire. Ses valeurs : $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ et $8$ . b) Les $16$ couples sont équiprobables. On compte les cases de chaque somme dans le tableau : $P (S = 2) =$ $\frac{1}{16}$ , $P (S = 3) =$ $\frac{2}{16}$ , $P (S = 4) =$ $\frac{3}{16}$ , $P (S = 5) =$ $\frac{4}{16}$ , $P (S = 6) =$ $\frac{3}{16}$ , $P (S = 7) =$ $\frac{2}{16}$ , $P (S = 8) =$ $\frac{1}{16}$ . c) $E (S) = \frac{2 \times 1 + 3 \times 2 + \dots + 8 \times 1}{16} = \frac{80}{16} =$ $5$ . Pour un dé : $E (X_{1}) = \frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} =$ $2, 5$ . Et $2, 5 + 2, 5 =$ $5$ : on retrouve $E (S)$ sans passer par la loi. ⚠️ Les sept valeurs de $S$ ne sont PAS équiprobables : les couples le sont, pas les sommes. ⭐ Sur le tableau : les cases surlignées donnent $S =$ $5$ , sur une diagonale de $4$ cases. Le diagramme (en seizièmes) monte puis redescend, en toit.
2. a) $R = 1, 2 X +$ $1, 5 Y$ . b) Par linéarité : $E (R) = 1, 2 E (X) +$ $1, 5 E (Y)$ . $E (R) = 1, 2 \times 30 + 1, 5 \times 18 = 36 + 27 = 63$ €. c) Non. La linéarité de l'espérance est vraie pour TOUTES les variables, liées ou non. ⚠️ Pour la variance de $R$ , en revanche, il faudrait que $X$ et $Y$ soient indépendantes : ici, on ne pourrait pas conclure. ⭐ Sur le tableau : chaque ligne multiplie une espérance par un prix, et la dernière ligne ajoute les deux produits.
espérance prix (€) produit (€)
X 30 1,20 36
Y 18 1,50 27
R 63
3. a) $E (X) = 0 \times 0, 2 + 1 \times 0, 5 + 2 \times 0, 3 =$ $1, 1$ . $E (X^{2}) = 0 + 1 \times 0, 5 + 4 \times 0, 3 =$ $1, 7$ , donc $V (X) = 1, 7 - 1, 1^{2} =$ $0, 49$ . b) $E (Y) = 10 E (X) - 4 = 11 - 4 =$ $7$ . $V (Y) = 1 0^{2} \times V (X) = 100 \times 0, 49 =$ $49$ , et $σ (Y) = 49 =$ $7$ . c) $Y$ prend les valeurs $- 4$ , $6$ et $16$ , avec les probabilités $0, 2$ ; $0, 5$ et $0, 3$ . $E (Y) = - 0, 8 + 3 + 4, 8 =$ $7$ : c'est bien le même résultat. ⚠️ $V (10 X - 4)$ n'est pas $10 V (X) -$ $4$ : le $- 4$ disparaît, et le $10$ passe au carré. ⭐ Sur les dessins : les barres ont les mêmes hauteurs, mais les valeurs de $Y$ sont $10$ fois plus écartées. Le $- 4$ décale tout, sans rien écarter.
4. a) $X$ et $Y$ sont indépendantes : $V (X + Y) = V (X) + V (Y) = 9 + 16 =$ $25$ . Donc $σ (X + Y) = 25 =$ $5$ . b) $V (X - Y) = V (X) + (- 1)^{2} V (Y) = 9 + 16 =$ $25$ , donc $σ (X - Y) = 5$ aussi. c) Ce sont les VARIANCES qui s'ajoutent. Les écarts types se combinent comme les côtés d'un triangle rectangle : $3^{2} + 4^{2} =$ $5^{2}$ . ⚠️ $σ (X + Y) = 3 + 4 = 7$ est faux. Et $V (X - Y)$ n'est pas $V (X) -$ $V (Y)$ : une différence disperse autant qu'une somme. ⭐ Sur le dessin : les côtés de l'angle droit mesurent $3$ et $4$ ; l'hypoténuse, $5$ , est l'écart type de la somme.
5. a) Par indépendance, la probabilité d'un couple est le produit des probabilités : par exemple $0, 7 \times 0, 3 = 0, 21$ pour $X = 0$ et $Y =$ $1$ . Le tableau donne les six produits. b) On regroupe les cases de même somme : $P (S = 0) =$ $0, 35$ ; $P (S = 1) = 0, 21 + 0, 15 =$ $0, 36$ ; $P (S = 2) = 0, 14 + 0, 09 =$ $0, 23$ ; $P (S = 3) =$ $0, 06$ . Contrôle : $0, 35 + 0, 36 + 0, 23 + 0, 06 =$ $1$ . c) Avec la loi : $E (S) = 0, 36 + 2 \times 0, 23 + 3 \times 0, 06 =$ $1$ . Par linéarité : $E (X) = 0, 3$ et $E (Y) = 0, 3 + 0, 4 =$ $0, 7$ , donc $E (S) =$ $1$ . ⚠️ Multiplier les probabilités n'est permis QUE parce que $X$ et $Y$ sont indépendantes. ⭐ Sur le tableau : les deux cases surlignées donnent $S =$ $1$ ; on les additionne.
X ; Y 0 (0,5) 1 (0,3) 2 (0,2)
0 (0,7) 0,35 0,21 0,14
1 (0,3) 0,15 0,09 0,06
6. a) $E (A) = 2 E (X) = 7$ et $E (B) = E (X_{1}) + E (X_{2}) =$ $7$ : même espérance. b) $V (A) = 2^{2} V (X) = 4 \times \frac{35}{12} = \frac{35}{3} \approx$ $11, 67$ . $V (B) = V (X_{1}) + V (X_{2}) = \frac{35}{6} \approx$ $5, 83$ , par indépendance. Le jeu A a une variance DOUBLE : il est le plus dispersé ( $σ (A) \approx$ $3, 42$ contre $σ (B) \approx$ $2, 42$ ). ⚠️ $X_{1} + X_{2}$ n'est pas $2 X$ : deux lancers différents se compensent souvent, un lancer doublé jamais. ⭐ Sur les dessins (en trente-sixièmes) : A a six barres égales, de $2$ à $12$ ; B a onze barres en toit, serrées autour de $7$ .
7. a) $S = X_{1} + \dots +$ $X_{12}$ , donc $E (S) = 12 \times 1000 = 12000$ g. b) Les masses sont indépendantes : $V (S) = 12 \times 5^{2} =$ $300$ . $σ (S) = 300 \approx 17$ g. ⚠️ Ce n'est pas $12 \times 5 = 60$ g : les écarts des paquets se compensent en partie. L'écart type de la somme vaut $512$ , pas $5 \times$ $12$ . ⭐ Sur le dessin (une graduation = $5$ g) : les points $n$ donnent l'écart type de $n$ paquets. Ils restent loin sous la droite orange $y =$ $n$ , qui serait le calcul faux. Pour $12$ paquets : $3, 46$ graduations, soit environ $17$ g.
8. a) $Z = \frac{1}{4} X -$ $\frac{11}{4}$ : c'est une expression $a X +$ $b$ , avec $a =$ $\frac{1}{4}$ . $E (Z) = \frac{1}{4} \times 11 - \frac{11}{4} = 0$ et $σ (Z) = \frac{1}{4} \times 4 =$ $1$ . b) $Z = \frac{17 - 11}{4} =$ $1, 5$ : Léa est à $1, 5$ écart type au-dessus de l'espérance. c) Pour Tom : $\frac{13 - 9}{2} =$ $2$ . Il est à $2$ écarts types au-dessus : relativement, il a mieux réussi que Léa, avec une note plus basse. ⚠️ $V (Z) = \frac{V ( X )}{16} =$ $1$ : on divise la variance par $4^{2}$ , pas par $4$ . ⭐ Le tableau traduit les notes en « nombre d'écarts types » : $11$ devient $0$ , et chaque pas de $4$ points compte pour $1$ .
X 3 7 11 15 17
Z −2 −1 0 1 1,5
9. a) Il y a $13$ cœurs et $26$ cartes rouges : $E (X) = P (X = 1) = \frac{1}{4}$ et $E (Y) =$ $\frac{1}{2}$ . Par linéarité : $E (S) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} =$ $\frac{3}{4}$ . b) Carte noire : $S =$ $0$ . Carreau : $S = 0 + 1 =$ $1$ . Cœur : $S = 1 + 1 =$ $2$ . $P (S = 0) =$ $\frac{1}{2}$ , $P (S = 1) =$ $\frac{1}{4}$ , $P (S = 2) =$ $\frac{1}{4}$ . $E (S) = \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{4} =$ $\frac{3}{4}$ : même résultat. c) Une variable qui vaut $1$ avec la probabilité $p$ , et $0$ sinon, a pour variance $p (1 -$ $p)$ : $V (X) = \frac{3}{16}$ et $V (Y) = \frac{1}{4} =$ $\frac{4}{16}$ . $E (S^{2}) = 1 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{1}{4} =$ $\frac{5}{4}$ , donc $V (S) = \frac{5}{4} - \frac{9}{16} =$ $\frac{11}{16}$ . Or $V (X) + V (Y) =$ $\frac{7}{16}$ : l'égalité est FAUSSE. C'est que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes : un cœur est toujours rouge, donc $X = 1$ entraîne $Y =$ $1$ . Les deux variables grandissent ensemble, et leur somme se disperse davantage. ⚠️ La linéarité de l'espérance marche toujours ; l'addition des variances demande l'indépendance. ⭐ Le tableau donne $S$ pour chaque couleur : deux couleurs sur quatre donnent $0$ .
Couleur Pique Trèfle Carreau Cœur
X + Y 0 0 1 2
10. a) $E (X_{i}) = P (X_{i} = 1) = \frac{1}{4}$ et $V (X_{i}) = \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} =$ $\frac{3}{16}$ . b) Par linéarité : $E (N) = 20 \times \frac{1}{4} =$ $5$ . Les $X_{i}$ sont indépendantes : $V (N) = 20 \times \frac{3}{16} =$ $3, 75$ , et $σ (N) = 3, 75 \approx$ $1, 94$ . c) $N$ bonnes réponses et $20 - N$ mauvaises : $T = 3 N - (20 - N) = 4 N -$ $20$ . $E (T) = 4 \times 5 - 20 = 0$ et $σ (T) = 4 σ (N) \approx$ $7, 75$ . Au hasard, la note vaut $0$ en moyenne : le barème annule le hasard. Mais elle fluctue d'environ $8$ points d'une copie à l'autre. ⚠️ $σ (4 N - 20) =$ $4 σ (N)$ , mais $V (4 N - 20) =$ $16 V (N)$ : le $4$ passe au carré dans la variance, pas dans l'écart type. ⭐ On a retrouvé l'espérance $n p$ et la variance $n p (1 - p)$ de la loi binomiale $B (20; 0, 25)$ : une loi binomiale est une somme. ⭐ Sur le dessin (en %) : les barres culminent en $N =$ $5$ ; au-delà de $10$ , elles sont invisibles (moins de $0, 5$ % en tout).
11. a) Par linéarité, $E (Y) = a E (X) +$ $b$ . Donc $Y - E (Y) = a X + b - a E (X) - b =$ $a (X - E (X))$ . b) $V (Y) = E ((Y - E (Y))^{2})$ $=$ $E (a^{2} (X - E (X))^{2})$ . Par linéarité, on sort la constante $a^{2}$ : $V (Y) = a^{2} E ((X - E (X))^{2}) =$ $a^{2} V (X)$ . Enfin $σ (Y) = a^{2} V (X) =$ $∣ a ∣ σ (X)$ , car $a^{2} =$ $∣ a ∣$ . c) $E (P) = 2, 5 \times 6 + 4 = 19$ € et $σ (P) = 2, 5 \times 2 = 5$ €. d) $σ (Q) = ∣ - 2∣ \times 2 = 4$ €. ⚠️ Un écart type n'est jamais négatif : $σ (Q) =$ $4$ , pas $- 4$ . C'est pour cela qu'on écrit $∣ a ∣$ . ⭐ Sur le tableau : quand $D$ passe de $E - σ$ à $E + σ$ (de $4$ à $8$ km), le prix passe de $14$ à $24$ € : $5$ € de chaque côté de $19$ .
E − σ E E + σ
D (km) 4 6 8
P (€) 14 19 24
12. a) $E (G) = - 2 \times 0, 7 + 5 \times 0, 3 = - 1, 4 + 1, 5 = 0, 1$ €. $E (G^{2}) = 4 \times 0, 7 + 25 \times 0, 3 =$ $10, 3$ , donc $V (G) = 10, 3 - 0, 01 = 10, 29$ et $σ (G) \approx 3, 21$ €. b) $E (S) = 100 \times 0, 1 = 10$ € et, par indépendance, $V (S) = 100 \times 10, 29 =$ $1029$ . $σ (S) = 1029 \approx 32, 1$ €. c) Non : il gagne $10$ € en moyenne, mais son gain total s'écarte d'habitude d'environ $32$ € de cette moyenne. Perdre de l'argent sur $100$ parties n'a rien de rare. Sur $10000$ parties : $E = 1000$ € et $σ = 102900 \approx 321$ €. L'écart type ne fait plus qu'un tiers de l'espérance : finir en perte devient rare. ⚠️ L'espérance grandit comme $n$ , l'écart type seulement comme $n$ : c'est pour cela que le hasard « se tasse » sur un grand nombre de parties. ⭐ Sur le diagramme (en %) : $70$ % de chances de perdre $2$ € à chaque partie. L'espérance positive vient des gains de $5$ €, plus rares.
13. a) Chaque chemin donne une durée ; par indépendance, sa probabilité est le produit des branches. $T =$ $15$ : $0, 6 \times 0, 5 =$ $0, 3$ . $T =$ $20$ : $0, 6 \times 0, 3 + 0, 4 \times 0, 5 =$ $0, 38$ . $T =$ $25$ : $0, 4 \times 0, 3 =$ $0, 12$ . $T =$ $30$ : $0, 6 \times 0, 2 =$ $0, 12$ . $T =$ $35$ : $0, 4 \times 0, 2 =$ $0, 08$ . b) Avec la loi, on additionne les produits valeur × probabilité : $E (T) = 4, 5 + 7, 6 + 3 + 3, 6 + 2, 8 = 21, 5$ min. Par linéarité : $E (T_{1}) = 6 + 6 = 12$ et $E (T_{2}) = 2, 5 + 3 + 4 =$ $9, 5$ , donc $E (T) = 21, 5$ min. c) $E (T_{1}^{2}) = 0, 6 \times 100 + 0, 4 \times 225 =$ $150$ , donc $V (T_{1}) = 150 - 144 =$ $6$ . $E (T_{2}^{2}) = 12, 5 + 30 + 80 =$ $122, 5$ , donc $V (T_{2}) = 122, 5 - 90, 25 =$ $32, 25$ . Par indépendance, $V (T) = 38, 25$ et $σ (T) \approx 6, 2$ min. d) $P (T ⩽ 25) = 0, 3 + 0, 38 + 0, 12 =$ $0, 8$ . ⚠️ $T = 20$ s'obtient par DEUX chemins (bus rapide et marche de $10$ min, ou bus lent et marche de $5$ min) : on additionne leurs probabilités. ⭐ Sur l'arbre : chaque feuille porte la durée totale ; les deux feuilles « T = 20 » se regroupent.
14. a) $E (J) = E (M) - E (T) = 0, 10$ mm. $V (J) = V (M) + V (T)$ $= 0, 0009 + 0, 0016 =$ $0, 0025$ , donc $σ (J) = 0, 05$ mm. b) $0 = 0, 10 - 2 \times 0, 05$ et $0, 2 = 0, 10 + 2 \times$ $0, 05$ : l'intervalle voulu est $[E (J) - 2 σ (J); E (J) +$ $2 σ (J)]$ . c) $V (J) = 0, 0009 + 0, 0001 =$ $0, 001$ , donc $σ (J) \approx 0, 032$ mm. L'intervalle voulu s'étend alors à plus de $3$ écarts types de chaque côté : les assemblages ratés deviennent plus rares. ⚠️ $σ (M - T)$ ne vaut ni $0, 04 -$ $0, 03$ , ni $0, 03 +$ $0, 04$ : on passe par les variances, qui s'AJOUTENT, même pour une différence. ⭐ Sur la droite (en centièmes de mm) : l'intervalle voulu va de $0$ à $20$ , centré sur l'espérance $10$ , avec $5$ centièmes d'écart type.
15. a) x et y sont les deux dés ; d est l'écart entre leur somme et $7$ . b) La boucle ajoute d × d à s, $n$ fois, puis on divise par $n$ : ecart(n) est la moyenne des carrés des écarts à $7$ , sur $n$ lancers des deux dés. c) $7 = E (X_{1} +$ $X_{2})$ . La moyenne des carrés des écarts à l'espérance approche la variance : $V (X_{1} + X_{2}) = V (X_{1}) + V (X_{2}) = \frac{35}{6} \approx$ $5, 83$ , par indépendance. Une exécution de ecart(200000) donne bien un nombre proche de $5, 83$ . d) $E (X^{2}) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} =$ $\frac{91}{6}$ . Puis $V (X) = \frac{91}{6} - 3, 5^{2} = \frac{182 - 147}{12} =$ $\frac{35}{12}$ . ⚠️ Sans l'indépendance des deux dés, on ne pourrait pas ajouter les variances. ⭐ Le programme est une expérience : il mesure une variance que le cours calcule.
16. a) On écrit les manteaux reçus par les personnes $1$ , $2$ et $3$ : 123, 132, 213, 231, 312, 321. Ces répartitions donnent $X =$ $3$ , $1$ , $1$ , $0$ , $0$ et $1$ . $P (X = 0) =$ $\frac{2}{6}$ , $P (X = 1) =$ $\frac{3}{6}$ , $P (X = 3) =$ $\frac{1}{6}$ . $E (X) = \frac{3}{6} + 3 \times \frac{1}{6} =$ $1$ . b) La personne $i$ reçoit un manteau au hasard parmi $n$ : $E (X_{i}) = P (X_{i} = 1) =$ $\frac{1}{n}$ . $X = X_{1} + \dots +$ $X_{n}$ , donc $E (X) = n \times \frac{1}{n} =$ $1$ , quel que soit $n$ . c) Non : si les $n - 1$ premières personnes ont leur manteau, la dernière a forcément le sien. Ce n'est pas gênant : la linéarité de l'espérance ne demande aucune indépendance. ⚠️ $X = 2$ est impossible pour $n =$ $3$ : si deux personnes ont leur manteau, la troisième a aussi le sien. ⭐ Le tableau montre les six répartitions : la moyenne des valeurs de $X$ vaut $1$ .
rendus X
1 2 3 3
1 3 2 1
2 1 3 1
2 3 1 0
3 1 2 0
3 2 1 1
moyenne 1
17. La file de la caisse a) $E (D) = 0, 3 + 1 + 0, 8 = 2, 1$ min. $E (D^{2}) = 0, 3 + 4 \times 0, 5 + 16 \times 0, 2 =$ $5, 5$ , donc $V (D) = 5, 5 - 2, 1^{2} = 1, 09$ et $σ (D) \approx 1, 04$ min. b) $T = D_{1} + \dots +$ $D_{30}$ : $E (T) = 30 \times 2, 1 = 63$ min. Par indépendance, $V (T) = 30 \times 1, 09 = 32, 7$ et $σ (T) \approx 5, 7$ min. c) $70 - 63 = 7$ min, un peu plus d'un écart type : la marge est modeste, un dépassement arrivera de temps en temps. d) $n =$ $30$ : $\frac{5 , 72}{63} \approx$ $0, 09$ . $n =$ $120$ : $E = 252$ et $σ = 130, 8 \approx$ $11, 4$ , donc le rapport vaut environ $0, 045$ . Quatre fois plus de clients : l'écart relatif est divisé par $2$ , car $\frac{n}{n} =$ $\frac{1}{n}$ . ⚠️ $σ (T) = 30 \times 1, 04$ serait faux : c'est la VARIANCE qu'on multiplie par $30$ . ⭐ Sur le diagramme (en %) : la moitié des clients passe en $2$ min, mais les clients à $4$ min ( $20$ %) tirent l'espérance au-dessus de $2$ .
18. Pièce, puis dé a) $X$ vaut $0$ ou $2$ , avec la probabilité $\frac{1}{2}$ chacun : $E (X) = 1$ et $V (X) = \frac{0 + 4}{2} - 1^{2} =$ $1$ . $Y$ vaut $6$ avec la probabilité $\frac{1}{6}$ , et $0$ sinon : $E (Y) = 1$ et $V (Y) = 36 \times \frac{1}{6} - 1^{2} =$ $5$ . b) $E (N) = 1 + 1 - 3 = - 1$ €. La pièce et le dé sont indépendants : $V (N) = V (X) + V (Y) = 6$ (le $- 3$ ne change pas la variance). c) $P (N = 5) =$ $\frac{1}{12}$ , $P (N = 3) =$ $\frac{1}{12}$ , $P (N = - 1) =$ $\frac{5}{12}$ , $P (N = - 3) =$ $\frac{5}{12}$ . $E (N) = \frac{5 + 3 - 5 - 15}{12} =$ $- 1$ . $E (N^{2}) = \frac{25 + 9 + 5 + 45}{12} =$ $7$ , donc $V (N) = 7 - 1 =$ $6$ : les deux calculs concordent. d) Le bénéfice de l'association est l'opposé du gain des joueurs : $B = - (N_{1} + \dots +$ $N_{1000})$ . $E (B) = 1000$ € et $V (B) = 1000 \times 6 =$ $6000$ , donc $σ (B) \approx 77, 5$ €. Pour perdre de l'argent, l'association devrait s'écarter de sa moyenne de près de $13$ écarts types : c'est extrêmement improbable. ⚠️ $V (- S) = (- 1)^{2} V (S) =$ $V (S)$ : changer de camp ne change pas la dispersion. ⭐ Sur l'arbre : deux feuilles sur quatre font perdre le joueur, avec en tout $\frac{10}{12}$ des chances.
19. La charge de l'ascenseur a) $E (S_{8}) = 8 \times 75 = 600$ kg. Par indépendance, $V (S_{8}) = 8 \times 1 2^{2} =$ $1152$ , donc $σ (S_{8}) \approx 33, 9$ kg. b) $\frac{630 - 600}{33 , 9} \approx$ $0, 88$ : moins d'un écart type. Avec $8$ personnes, dépasser $630$ kg n'est pas un événement rare. c) $E (S_{n}) = 75 n$ et $σ (S_{n}) = n \times 144 =$ $12 n$ . Donc $E (S_{n}) + 3 σ (S_{n}) = 75 n +$ $36 n$ . d) $n =$ $7$ : $525 + 367 \approx$ $620, 2$ , qui est $⩽$ $630$ . $n =$ $8$ : $600 + 368 \approx$ $701, 8$ , qui dépasse $630$ . La fonction $n \mapsto 75 n + 36 n$ est croissante : la règle autorise au plus $7$ usagers. ⚠️ $σ (S_{8})$ n'est pas $8 \times 12 = 96$ kg : c'est $128$ . ⭐ Sur le dessin (une graduation = $100$ kg) : les points $75 n + 36 n$ passent au-dessus de la droite $y = 6, 3$ entre $n = 7$ et $n =$ $8$ .
20. Mesurer plusieurs fois a) Par linéarité : $E (M_{n}) = \frac{1}{n} (E (X_{1}) + \dots + E (X_{n}))$ $= \frac{n r}{n} =$ $r$ . Par indépendance : $V (X_{1} + \dots + X_{n}) =$ $4 n$ . Puis $V (a S) = a^{2} V (S)$ avec $a =$ $\frac{1}{n}$ : $V (M_{n}) = \frac{4 n}{n ^{2}} =$ $\frac{4}{n}$ . b) $σ (M_{4}) = \frac{4}{4} =$ $1$ : la moyenne de $4$ mesures s'écarte d'habitude de $1$ ohm de la vraie valeur, deux fois moins qu'une mesure seule. c) $σ (M_{n}) = \frac{2}{n} ⩽ 0, 5$ équivaut à $n ⩾$ $4$ , soit $n ⩾$ $16$ . d) Pour diviser $\frac{2}{n}$ par $10$ , il faut multiplier $n$ par $10$ , donc $n$ par $100$ . ⚠️ Diviser par $n$ dans la moyenne divise la variance par $n^{2}$ , pas par $n$ ; c'est la somme, avec ses $n$ variances, qui ramène à $\frac{4}{n}$ . ⭐ Sur le dessin : les points $\frac{2}{n}$ descendent vite, puis de plus en plus lentement vers la droite $y =$ $0, 5$ , qu'ils n'atteignent qu'à $n =$ $16$ .

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : sommes de variables aléatoires, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3