Le théorème de Thalès
Quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, le théorème de Thalès donne des rapports de longueurs égaux. Il sert à calculer une longueur ou à prouver un parallélisme.
À quoi ça sert ?
Thalès permet de mesurer des hauteurs ou des distances impossibles à atteindre : la hauteur d'un arbre ou d'un immeuble grâce à son ombre, la largeur d'une rivière... Il est aussi à la base des agrandissements et réductions (plans, maquettes, échelles).
Un peu d'histoire
Thalès de Milet (vers 600 avant J.-C.) était un savant grec, considéré comme l'un des « sept sages » de la Grèce. La légende raconte qu'il a mesuré la hauteur de la grande pyramide d'Égypte en comparant son ombre à celle d'un bâton.
Définition
Soient deux droites sécantes en A, la première portant les points A, M, B et la seconde les points A, N, C. Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors les longueurs des triangles AMN et ABC sont proportionnelles : AM / AB = AN / AC = MN / BC.
Propriétés
Le théorème (sens direct)
Si (MN) est parallèle à (BC), alors AM / AB = AN / AC = MN / BC. Il sert à calculer une longueur manquante par produit en croix.
La réciproque
Si AM / AB = AN / AC et si les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre, alors (MN) est parallèle à (BC). Elle sert à prouver un parallélisme.
La contraposée
Si AM / AB et AN / AC ne sont pas égaux, alors (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. Elle sert à prouver que deux droites ne sont pas parallèles.
La formule
Si (MN) est parallèle à (BC)
AM / AB = AN / AC = MN / BC
A est le sommet commun aux deux droites.
1. Repérer
On vérifie la configuration : deux droites sécantes en A et deux droites parallèles.
2. Écrire
On écrit l'égalité des rapports en respectant l'ordre des sommets : AM / AB = AN / AC = MN / BC.
3. Calculer
On garde les deux rapports utiles, puis on calcule la longueur manquante par produit en croix.
Selon ce que l'on cherche
Calculer une longueur
On écrit les rapports égaux, puis on utilise le produit en croix pour trouver la longueur manquante.
Vérifier le parallélisme
Réciproque : si les rapports sont égaux (et les points dans le même ordre), les droites sont parallèles.
Agrandir ou réduire
Thalès traduit un agrandissement : toutes les longueurs sont multipliées par le même rapport.
Exemples corrigés
Calculer une longueur
(MN) est parallèle à (BC). AM = 2 cm, AB = 8 cm et AC = 12 cm.
Calculer AN.
D'après Thalès : AM / AB = AN / AC, donc AN = AC × AM / AB = 12 × 2 / 8 = 3 cm.
Calculer le grand côté
(MN) est parallèle à (BC). AM = 3 cm, AB = 9 cm et MN = 4 cm.
Calculer BC.
AM / AB = MN / BC, donc BC = MN × AB / AM = 4 × 9 / 3 = 12 cm.
Pièges à éviter
- Écrire les longueurs dans le désordre : il faut respecter l'ordre des sommets (A, puis B, puis C).
- Appliquer Thalès alors que les droites ne sont pas parallèles.
- Oublier que A est le sommet commun aux deux droites sécantes.
À retenir
- Thalès donne des rapports égaux quand deux parallèles coupent deux sécantes.
- On trouve la longueur manquante par produit en croix.
- La réciproque sert à prouver que deux droites sont parallèles.
Je m'entraîne
1. (MN) est parallèle à (BC). AM = 2 cm, AB = 8 cm, AC = 12 cm. Calcule AN.
Voir la correction
AM / AB = AN / AC, donc AN = 12 × 2 / 8 = 3 cm.
2. (MN) est parallèle à (BC). AM = 4 cm, AB = 10 cm, MN = 6 cm. Calcule BC.
Voir la correction
AM / AB = MN / BC, donc BC = 6 × 10 / 4 = 15 cm.
3. Dans un triangle, M est sur [AB] et N sur [AC] avec AM / AB = 2/5 et AN / AC = 2/5. Que peut-on en déduire ?
Voir la correction
Les deux rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : d'après la réciproque de Thalès, (MN) est parallèle à (BC).
4. Pourquoi faut-il que les droites soient parallèles pour appliquer le théorème de Thalès ?
Voir la correction
Le théorème ne donne des rapports égaux que si les droites sont parallèles. Sans ce parallélisme, l'égalité des rapports est fausse.
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