Les probabilités
Une probabilité mesure la chance qu'un événement se produise. Elle est comprise entre 0 (impossible) et 1 (certain).
À quoi ça sert ?
Les probabilités sont partout : jeux de hasard (dés, cartes, loto), prévisions météo (« 70 % de pluie »), assurances, sport (chances de gagner), et même en médecine pour évaluer des risques.
Un peu d'histoire
La théorie des probabilités est née au XVIIᵉ siècle d'une correspondance entre deux mathématiciens français, Blaise Pascal et Pierre de Fermat, qui cherchaient à résoudre des problèmes de jeux de dés.
Définition
Dans une situation d'équiprobabilité, c'est-à-dire quand toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même chance de se produire, la probabilité d'un événement est le quotient du nombre d'issues favorables à cet événement par le nombre total d'issues possibles.
Propriétés
Entre 0 et 1
Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : 0 pour un événement impossible, 1 pour un événement certain.
La somme fait 1
La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire est égale à 1.
Événement contraire
La probabilité de l'événement contraire (« l'événement ne se produit pas ») vaut 1 − p. Exemple : si p(obtenir un 4) = 1/6, alors p(ne pas obtenir un 4) = 5/6.
La formule
Pour un événement (situation d'équiprobabilité)
P(événement) = nombre d'issues favorables ÷ nombre d'issues possibles
Exemple : un 4 au dé → 1 favorable sur 6 = 1/6.
1. Cas possibles
On compte toutes les issues possibles de l'expérience.
2. Cas favorables
On compte les issues qui réalisent l'événement cherché.
3. Calculer
On divise : p = favorables ÷ possibles, puis on simplifie.
Selon ce que l'on cherche
Équiprobabilité
Quand toutes les issues ont la même chance (dé équilibré, pièce), il suffit de compter les cas.
Événement contraire
La probabilité de l'événement contraire vaut 1 − p.
Comparer
Entre deux événements, le plus probable est celui dont la probabilité est la plus grande.
Exemples corrigés
Obtenir un nombre précis
On lance un dé équilibré à 6 faces.
Quelle est la probabilité d'obtenir un 4 ?
Il y a 6 issues possibles et 1 seule favorable (le 4). p = 1/6.
Obtenir un nombre pair
On lance le même dé à 6 faces.
Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
Les favorables sont 2, 4 et 6 : 3 cas sur 6. p = 3/6 = 1/2.
Pièges à éviter
- Oublier de compter toutes les issues possibles.
- Donner une probabilité plus grande que 1 : c'est impossible.
- Confondre le nombre de cas favorables et la probabilité.
À retenir
- p = nombre de cas favorables ÷ nombre de cas possibles.
- Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
- Équiprobable : toutes les issues ont la même chance.
Je m'entraîne
1. On lance un dé équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir 5 ?
Voir la correction
1 cas favorable sur 6 possibles : p = 1/6.
2. Un sac contient 3 billes rouges et 2 bleues. Quelle est la probabilité de tirer une rouge ?
Voir la correction
3 cas favorables sur 5 possibles : p = 3/5.
3. Avec un dé, quelle est la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 4 ?
Voir la correction
Favorables : 5 et 6, soit 2 cas sur 6. p = 2/6 = 1/3.
4. Une probabilité peut-elle valoir 1,5 ? Pourquoi ?
Voir la correction
Non. Une probabilité est toujours comprise entre 0 (impossible) et 1 (certain).
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