Le théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore relie les longueurs des trois côtés. Il sert à calculer une longueur manquante ou à vérifier qu'un triangle est rectangle.
À quoi ça sert ?
Pythagore sert à calculer des distances et à vérifier des angles droits : maçons et charpentiers s'en servent pour des murs bien droits, on calcule la longueur d'une diagonale, d'une rampe ou d'un toit, et il est utilisé en navigation et en informatique.
Un peu d'histoire
Le théorème porte le nom de Pythagore, savant grec du VIᵉ siècle avant J.-C. Mais les Babyloniens et les Égyptiens connaissaient déjà des triangles comme 3-4-5, plus de mille ans avant lui, pour tracer des angles droits.
Définition
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Propriétés
Le théorème (sens direct)
Dans un triangle rectangle : hypoténuse² = côté² + côté². Il sert à calculer une longueur quand on connaît les deux autres.
La réciproque
Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle. Elle sert à prouver un angle droit.
La contraposée
Si l'égalité n'est pas vérifiée, alors le triangle n'est pas rectangle. Elle sert à prouver qu'il n'y a pas d'angle droit.
La formule
Triangle rectangle en A
BC² = AB² + AC²
BC est l'hypoténuse (face à l'angle droit).
1. Repérer
On trouve l'angle droit, puis l'hypoténuse : le côté opposé à l'angle droit, le plus grand.
2. Écrire
On applique l'égalité : hypoténuse² = côté² + côté² (les deux côtés de l'angle droit).
3. Calculer
On remplace, on calcule les carrés, puis on prend la racine carrée pour la longueur cherchée.
Selon ce que l'on cherche
Calculer l'hypoténuse
On connaît les deux côtés de l'angle droit : hypoténuse = racine carrée de (côté² + côté²).
Calculer un côté
On connaît l'hypoténuse et un côté : côté = racine carrée de (hypoténuse² − autre côté²).
Vérifier l'angle droit
Réciproque : si le carré du plus grand côté égale la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle.
Exemples corrigés
Calculer l'hypoténuse
Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 3 cm et AC = 4 cm.
Calculer BC.
BC est l'hypoténuse. BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc BC = racine carrée de 25 = 5 cm.
Calculer un côté
Le triangle ABC est rectangle en A, avec BC = 13 cm et AB = 5 cm.
Calculer AC.
AC² = BC² − AB² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc AC = racine carrée de 144 = 12 cm.
Pièges à éviter
- Confondre l'hypoténuse (face à l'angle droit) avec un autre côté.
- Oublier de prendre la racine carrée quand on cherche une longueur.
- Additionner les longueurs au lieu d'additionner leurs carrés.
À retenir
- Pythagore s'utilise uniquement dans un triangle rectangle.
- hypoténuse² = somme des carrés des deux côtés de l'angle droit.
- La réciproque sert à prouver qu'un triangle est rectangle.
Je m'entraîne
1. Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calcule BC.
Voir la correction
BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, donc BC = racine carrée de 100 = 10 cm.
2. Le triangle ABC est rectangle en A, avec BC = 17 cm et AB = 8 cm. Calcule AC.
Voir la correction
AC² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225, donc AC = racine carrée de 225 = 15 cm.
3. Un triangle a pour côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm. Est-il rectangle ?
Voir la correction
13² = 169 et 5² + 12² = 25 + 144 = 169. Les deux sont égaux, donc le triangle est rectangle (réciproque de Pythagore).
4. Explique pourquoi il faut un angle droit pour utiliser le théorème de Pythagore.
Voir la correction
L'égalité hypoténuse² = côté² + côté² n'est vraie que dans un triangle rectangle. Sans angle droit, elle ne s'applique pas.
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