Le parallélogramme
Deux paires de côtés parallèles : voilà tout ce qui définit un parallélogramme. Tout le reste — côtés égaux, angles opposés, diagonales qui se coupent en leur milieu — en découle.
À quoi ça sert ?
Le parallélogramme est partout dès qu'une chose penche sans se déformer : un portail à barreaux qu'on ouvre, un escabeau, un cric de voiture, l'ombre d'une fenêtre sur le sol en fin de journée, les losanges d'un grillage.
Un peu d'histoire
Euclide, il y a plus de 2300 ans, démontrait déjà que les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux. Le mot lui-même vient du grec « parallelogrammon » : « aux lignes parallèles ».
Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Dans ABCD, (AB) est parallèle à (DC) et (AD) est parallèle à (BC). Attention : un quadrilatère qui n'a qu'une seule paire de côtés parallèles est un trapèze, pas un parallélogramme.
Propriétés
Deux paires de côtés parallèles
C'est la définition : (AB) // (DC) et (AD) // (BC).
Côtés et angles opposés
Les côtés opposés sont égaux ; les angles opposés aussi. Deux angles consécutifs font 180°.
Les diagonales
Elles se coupent en leur milieu. Ce point est le centre de symétrie de la figure.
Losange, rectangle, carré
Quatre côtés égaux → losange ; quatre angles droits → rectangle ; les deux → carré.
losange : 4 côtés égaux
rectangle : 4 angles droits
carré : les deux à la fois
La formule
L'aire d'un parallélogramme
aire = base × hauteur
La hauteur est perpendiculaire à la base — jamais le côté oblique. Base 7 cm, hauteur 4 cm → 28 cm².
1. Je trace un côté et un angle
Je pose la base [AB], puis le côté [AD] avec l'angle voulu.
2. Je reporte les longueurs
Le côté opposé a la même longueur : je reporte [AB] depuis D, et [AD] depuis B.
3. Je vérifie par les diagonales
Elles doivent se couper exactement en leur milieu.
Selon ce que l'on cherche
Reconnaître
Deux paires de côtés parallèles : si une seule, c'est un trapèze.
Calculer un angle
Les angles opposés sont égaux, les consécutifs font 180°.
Calculer l'aire
Base × hauteur, avec la hauteur perpendiculaire à la base.
Exemples corrigés
Est-ce un parallélogramme ?
Un quadrilatère dont une seule paire de côtés est parallèle.
Comment s'appelle-t-il ?
C'est un trapèze, pas un parallélogramme : il en faut DEUX paires. Sur la figure ci-contre, les deux paires sont codées — c'est bien un parallélogramme.
Trouver un angle
Dans le parallélogramme ABCD, l'angle en A mesure 70°.
Combien mesure l'angle en C ? Et l'angle en B ?
A et C sont opposés, donc l'angle en C mesure aussi 70°. A et B sont consécutifs, donc leur somme fait 180° : l'angle en B mesure 180 − 70 = 110°.
Une diagonale
Les diagonales de ABCD se coupent en O, et AO = 4 cm.
Combien mesure la diagonale [AC] ?
O est le milieu de [AC], donc OC = AO = 4 cm. La diagonale [AC] mesure 4 + 4 = 8 cm.
Un cas particulier
Un parallélogramme dont les quatre côtés sont égaux.
Comment s'appelle-t-il ?
C'est un losange. S'il avait en plus quatre angles droits, ce serait un carré.
Pièges à éviter
- Croire que tous les angles d'un parallélogramme sont égaux : ce sont les angles OPPOSÉS qui le sont (70° et 70°, 110° et 110°).
- Confondre avec le trapèze : le trapèze n'a qu'UNE paire de côtés parallèles, le parallélogramme en a deux.
- Prendre un côté oblique pour la hauteur : la hauteur est perpendiculaire à la base.
À retenir
- Un parallélogramme a deux paires de côtés parallèles — c'est sa définition.
- Côtés opposés égaux, angles opposés égaux, angles consécutifs de somme 180°.
- Les diagonales se coupent en leur milieu : ce point est son centre de symétrie.
Je m'entraîne
1. Un quadrilatère n'a qu'une seule paire de côtés parallèles. Comment s'appelle-t-il ?
Voir la correction
C'est un trapèze : le parallélogramme, lui, a DEUX paires de côtés parallèles.
2. Dans un parallélogramme, l'angle en A mesure 55°. Combien mesurent les trois autres ?
Voir la correction
L'angle opposé (en C) mesure aussi 55°. Les deux autres sont consécutifs à A : 180 − 55 = 125° chacun.
3. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en O, avec BO = 3 cm. Combien mesure [BD] ?
Voir la correction
O est le milieu de [BD] : OD = 3 cm, donc BD = 3 + 3 = 6 cm.
4. Un carré est-il un parallélogramme ?
Voir la correction
Oui : ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. C'est même un parallélogramme particulier — à la fois losange et rectangle.
5. Un parallélogramme a une base de 9 cm et une hauteur de 5 cm. Quelle est son aire ?
Voir la correction
aire = base × hauteur = 9 × 5 = 45 cm². (On ne divise pas par 2 : ce n'est pas un triangle.)
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