La proportionnalitécours et exercices corrigés de maths 5e
Deux fois plus de cahiers, deux fois plus cher : c'est la proportionnalité. Un seul nombre, le coefficient, relie les deux grandeurs.
La proportionnalité : 20 exercices corrigésUne feuille à part, du geste seul au problème de contrôle, avec un rappel de cours avant chaque niveau et chaque corrigé étape par étape.À quoi ça sert : la proportionnalité
La proportionnalité est partout : les prix au marché (2 € le kilo), les recettes (pour 4 puis pour 10 personnes), les échelles d'une carte, les vitesses, les soldes (−20 %), les mélanges (sirop et eau).
Un peu d'histoire : la proportionnalité
La « règle de trois » (retrouver une 4ᵉ valeur à partir de trois) est enseignée depuis l'Antiquité, en Inde et en Chine il y a plus de 2000 ans. C'était l'outil de base des marchands avant les calculatrices.
Définition : la proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. Si on double une grandeur, l'autre double aussi.
| Cahiers | 3 | 6 | 9 |
| Prix (€) | 9 | 18 | 27 |
Propriétés : la proportionnalité
On reconnaît
Chaque colonne s'obtient en multipliant par le même coefficient. Doubler l'un double l'autre.
| Sachets | 2 | 4 | 8 |
| Bonbons | 6 | 12 | 24 |
×3 partout : proportionnel
| Âge | 2 | 4 | 8 |
| Taille (dm) | 6 | 9 | 14 |
ni ×, ni + constant : non proportionnel
Le coefficient
C'est la valeur pour 1 : 4 stylos coûtent 20 €, donc le coefficient est 20 ÷ 4 = 5.
| Stylos | 1 | 4 | 8 |
| Prix (€) | 5 | 20 | 40 |
Le pourcentage
Prendre p % = multiplier par p/100 : 30 % = ×0,3.
Hausse ou baisse
+20 % → ×1,2 ; −15 % → ×0,85 (on part de 1).
Méthode : la proportionnalité
1. Je reviens à l'unité
Je calcule la valeur de 1, puis je multiplie par la quantité voulue.
| Kilos | 3 | 1 | 8 |
| Prix (€) | 7,50 | 2,50 | 20 |
2. J'utilise le coefficient
Prix = quantité × coefficient (le prix d'un objet).
| Kilos | 1 | 5 | 12 |
| Prix (€) | 2,50 | 12,50 | 30 |
3. Je vérifie
Le rapport prix ÷ quantité doit être le même dans chaque colonne.
| Kilos | 3 | 8 |
| Prix (€) | 7,50 | 20 |
Selon ce que l'on cherche : la proportionnalité
Prix et quantités
3 kg coûtent 7,50 € → 1 kg coûte 2,50 € → 8 kg coûtent 20 €.
| Kilos | 3 | 1 | 8 |
| Prix (€) | 7,50 | 2,50 | 20 |
Ratio / mélange
Sirop:eau = 1:4 → 3 doses de sirop → 12 doses d'eau.
| Sirop | 1 | 3 | 5 |
| Eau | 4 | 12 | 20 |
Pourcentages
30 % des 200 élèves → 0,3 × 200 = 60 élèves.
Exemples corrigés : la proportionnalité
Reconnaître
3 cahiers coûtent 9 €, 6 cahiers coûtent 18 €.
La situation est-elle proportionnelle ?
| Cahiers | 3 | 6 |
| Prix (€) | 9 | 18 |
De 3 à 6 cahiers : ×2. Le prix passe de 9 € à 18 € : ×2 aussi. Même coefficient → oui, c'est proportionnel.
Compléter (retour à l'unité)
3 cahiers coûtent 12 €.
Combien coûtent 9 cahiers ?
| Cahiers | 3 | 1 | 9 |
| Prix (€) | 12 | 4 | ? |
1 cahier coûte 12 ÷ 3 = 4 €. Donc 9 cahiers coûtent 9 × 4 = 36 €.
Un pourcentage
Dans un collège de 200 élèves, 30 % viennent à vélo.
Combien d'élèves cela fait-il ?
30 % = ×0,3. Donc 0,3 × 200 = 60 élèves viennent à vélo.
Une hausse
Un prix de 50 € augmente de 20 %.
Quel est le nouveau prix ?
Une hausse de 20 % correspond au coefficient ×1,2. Donc 50 × 1,2 = 60 €.
Pièges à éviter : la proportionnalité
- Croire qu'ajouter le même nombre suffit : proportionnel = on MULTIPLIE par le même nombre.
- Oublier de revenir à l'unité (le prix de 1) avant de multiplier.
- Confondre hausse et coefficient : +20 % → ×1,2 (et non ×0,2 ni ×20).
À retenir : la proportionnalité
- Proportionnel = on multiplie toujours par le même nombre (le coefficient).
- Retour à l'unité : je calcule la valeur de 1, puis je multiplie.
- Un pourcentage est une proportionnalité : 30 % = ×0,3 ; +20 % = ×1,2.
Exercices corrigés : la proportionnalité
1. 8 stylos coûtent 20 €. Combien coûtent 4 stylos ?
Voir la correction
4 stylos, c'est la moitié de 8 : le prix est la moitié de 20 €, soit 10 €.
2. Sirop:eau = 1:4. Avec 3 doses de sirop, combien de doses d'eau ?
Voir la correction
Le ratio 1:4 est conservé : 3 doses de sirop → 3 × 4 = 12 doses d'eau.
3. Pour 4 personnes, il faut 300 g de riz. Quelle quantité pour 10 personnes ?
Voir la correction
Pour 1 personne : 300 ÷ 4 = 75 g. Pour 10 personnes : 75 × 10 = 750 g.
4. Un sac coûte 60 €. Avec −20 %, quel est le nouveau prix ?
Voir la correction
20 % de 60 € = 12 €. Nouveau prix : 60 − 12 = 48 € (ou 60 × 0,8 = 48 €).
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