Les triangles
Trois côtés, trois sommets, trois angles : le triangle. En 5e, on apprend à le classer, à le construire au compas et à retrouver un angle manquant.
À quoi ça sert ?
Le triangle est la forme la plus solide : on le retrouve dans les charpentes, les ponts, les pylônes électriques et les grues. Sa rigidité vient de ce qu'on ne peut pas le déformer sans changer un côté.
Un peu d'histoire
Que la somme des angles fasse 180° est démontré depuis Euclide, il y a plus de 2300 ans, dans ses « Éléments ». C'est l'un des tout premiers théorèmes de géométrie enseignés dans l'histoire.
Définition
Un triangle est une figure à trois côtés et trois sommets. Dans le triangle ABC, les points A, B et C sont les sommets ; les segments AB, BC et CA sont les côtés. La somme de ses trois angles est toujours égale à 180°.
Propriétés
Isocèle
Deux côtés de même longueur (codés par la même marque).
Équilatéral
Trois côtés de même longueur (et trois angles de 60°).
Rectangle
Un angle droit (90°), repéré par un petit carré au sommet.
L'inégalité triangulaire
Le plus grand côté doit être plus petit que la somme des deux autres.
La formule
La somme des angles d'un triangle
 + B̂ + Ĉ = 180°
Exemple : si deux angles valent 50° et 60°, le troisième vaut 180 − 50 − 60 = 70°.
1. Je vérifie l'inégalité
Le plus grand côté doit être < somme des deux autres.
2. Je construis au compas
Je trace un côté, puis je reporte les deux autres longueurs au compas.
3. Je calcule un angle
180° − (les deux angles connus) = l'angle manquant.
Selon ce que l'on cherche
Classer
Selon les côtés (isocèle, équilatéral) ou un angle droit (rectangle).
Construire
Avec 3 longueurs : règle + compas, après avoir vérifié l'inégalité.
Calculer
Un angle manquant grâce à la somme = 180°.
Exemples corrigés
Triangle isocèle
Le triangle KLM a deux côtés marqués égaux.
Quelle est sa nature ?
Deux côtés sont codés égaux (KL et LM). Le triangle est isocèle en L.
Triangle rectangle
Un triangle avec un petit carré à un sommet.
Quelle est sa nature ?
Le petit carré indique un angle droit (90°) en A. Le triangle est rectangle en A.
Peut-on le construire ?
Trois longueurs : 2 cm, 3 cm et 8 cm.
Ce triangle est-il constructible ?
On compare le plus grand côté (8) à la somme des deux autres : 2 + 3 = 5. Comme 5 < 8, non : ce triangle est impossible. (Avec 4, 5 et 7 : 4 + 5 = 9 > 7 → oui.)
Trouver un angle
Deux angles d'un triangle valent 50° et 60°.
Combien mesure le troisième ?
La somme fait 180° : le troisième vaut 180 − 50 − 60 = 70°.
Pièges à éviter
- Croire qu'un triangle avec deux angles droits existe : 90° + 90° = 180°, il ne resterait rien pour le 3ᵉ angle.
- Construire sans vérifier : avec 3 cm, 4 cm et 8 cm, on a 3 + 4 = 7 < 8 → triangle impossible.
- Confondre sommet et côté : A, B, C sont les sommets (points) ; AB, BC, CA sont les côtés (segments).
À retenir
- Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut 180°.
- On le classe par ses côtés (équilatéral, isocèle) ou ses angles (rectangle).
- Inégalité triangulaire : un côté est plus court que la somme des deux autres.
Je m'entraîne
1. Un triangle a trois côtés de même longueur. Quelle est sa nature ?
Voir la correction
Trois côtés égaux : c'est un triangle équilatéral (ses angles font tous 60°).
2. Peut-on construire un triangle de côtés 4 cm, 5 cm et 7 cm ?
Voir la correction
Le plus grand côté est 7. Or 4 + 5 = 9 > 7 : oui, il est constructible.
3. Deux angles d'un triangle valent 45° et 45°. Combien mesure le troisième ?
Voir la correction
45 + 45 = 90, donc le troisième vaut 180 − 90 = 90° (c'est un triangle rectangle).
4. Un triangle peut-il avoir deux angles droits ?
Voir la correction
Non : 90° + 90° = 180°, il ne resterait rien pour le troisième angle.
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